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专题12 与圆有关的计算
（一）正多边形与圆
（1）正多边形：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．
（2）正n边形的内角和=180°（n-2）；正n边形的每个内角度数=；正n边形外角和=360°；正n边形的每个外角度数=．
（3）圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
（二）与圆有关的计算
（1）弧长和扇形面积的计算：
扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝
（2）圆锥与侧面展开图
①圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
②计算公式：
,（r为底面半径）
S侧=πrl（l为母线长，r为底面半径）
（3）圆锥表面积
圆锥体表面积公式：（为母线，R为底面半径）
备注：圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积
考点1：正多边形与圆
典例1：如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【变式2】如图，是正六边形的内切圆，分别切、于点M、N，P是优弧上的一点，则的度数为 ．
【变式3】如图，正五边形的边，与分别相切于点，，点在上，连接，，则的度数为 ．
考点2：扇形弧长计算
典例2：如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，的内接正六边形的边长为1，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，用一个半径为cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升cm，则滑轮旋转的角度为 ．
【变式3】抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留）
考点3：扇形面积计算
典例3：如图，在矩形中，．若将绕点B旋转后，点D落在延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，点A，B，C在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，菱形的边长为6，，是以点A为圆心，长为半径的弧，是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号）
【变式3】如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连接，以B为圆心，长为半径画弧交于点D，若，则阴影部分的面积为 （结果保个留）．
考点4：旋转过程——路径长
典例4：如图所示，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上作无滑动翻滚（顺时针方向），木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到时，共走过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在△中，，，，将△绕点旋转到△的位置，此时在同一直线上，则点经过的最短路径长为 ．
【变式3】如图，已知，，，半径为2的从点出发，沿方向滚动到点时停止，圆心运动的路程是 ．
考点5：旋转过程——扫过面积
典例5：如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是．
(1)画出绕点C顺时针方向旋转后得到的，点D、E分别与点A、B对应；
(2)在（1）的条件下，求线段所扫过的图形的面积．（结果保留π）
【变式1】在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴对称的；
(2)画出关于原点O成中心对称的．
(3)画出绕点A逆时针旋转后的，并求出点C旋转到的路径长为________，线段扫过的面积是_____．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，，
(1)以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的；
(2)在（1）的条件下，
①线段扫过的图形面积为______；
②点B经过的路径长为______．
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点A顺时针旋转得到．
(1)画出旋转后的；
(2)直接写出点的坐标；
(3)直接写出线段在变换到的过程中扫过的区域的面积．（结果保留）
考点6：圆锥侧面积
典例6：已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是 ．
【变式3】现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为 ．
考点7：圆锥中的最短路径
典例7：如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（ ）cm
A． B． C．3 D．
【变式1】如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5 B． C． D．
【变式2】如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．
【变式3】如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ．
考点8：扇形弧长与面积的实际应用
典例8：如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米．
(1)求这个圆锥的侧面积．
(2)求此圆锥侧面扇形的圆心角．
(3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米．
【变式1】综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：
问题情境：
如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是______；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）；
拓展迁移：
如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹．
（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离．
【变式2】粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角，所对的圆心角是．
(1)求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离；
(2)比较与的长度哪个更长；
(3)若粒子被注入粒子加速器后，三次经过被加速后被引出粒子加速器，求粒子在粒子加速器内飞行距离．（相关数据：）
【变式3】在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
考点9：不规则图形面积
典例9：如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【变式1】如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的长为，求图中阴影部分的面积．
【变式2】如图，是的直径，点B在上，点A为延长线上一点，过点O作交的延长线于点E，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若线段与的交点F是的中点，的半径为6，求阴影部分的面积．
【变式3】如图，是的弦，是直径，连接，，，其中，平分，过点B作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求图中阴影部分的周长之和．
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专题12 与圆有关的计算
（一）正多边形与圆
（1）正多边形：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．
（2）正n边形的内角和=180°（n-2）；正n边形的每个内角度数=；正n边形外角和=360°；正n边形的每个外角度数=．
（3）圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
（二）与圆有关的计算
（1）弧长和扇形面积的计算：
扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝
（2）圆锥与侧面展开图
①圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
②计算公式：
,（r为底面半径）
S侧=πrl（l为母线长，r为底面半径）
（3）圆锥表面积
圆锥体表面积公式：（为母线，R为底面半径）
备注：圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积
考点1：正多边形与圆
典例1：如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理、求正多边形的中心角
【分析】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接、、，如图所示：
∵正六边形内接于，
∴，
则，
∴，
故选：D．
【变式1】如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【知识点】求正多边形的中心角、已知正多边形的中心角求边数
【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可．
【详解】解：连接，，
∵是内接正六边形的一边，
∴
∵是内接正八边形的一边，
∴
∴
∴ ．
故选：D．
【变式2】如图，是正六边形的内切圆，分别切、于点M、N，P是优弧上的一点，则的度数为 ．
【答案】30
【知识点】切线的性质定理、正多边形和圆的综合、圆周角定理
【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及正多边形内角和的计算，掌握正六边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．
根据正六边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由四边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：连接，，
是正六边形的内切圆，分别切于点，
，
是正六边形，
，
，
，
故答案为：30．
【变式3】如图，正五边形的边，与分别相切于点，，点在上，连接，，则的度数为 ．
【答案】/度
【知识点】已知圆内接四边形求角度、切线的性质定理、正多边形和圆的综合、圆周角定理
【分析】根据正五边形的性质求出的度数，再根据切线的性质得到，由四边形的内角和求出的度数后，由圆周角定理以及圆内接四边形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，，在优弧上取一点，连接，，
五边形是正五边形，
正五边形的边，与分别相切于点，，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆内接四边形的性质，圆周角定理以及切线的性质，掌握正五边形的性质，圆内接四边形的对角互补，圆周角定理以及切线的性质是正确解答的关键．
考点2：扇形弧长计算
典例2：如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、求某点的弧形运动路径长度、求圆心角
【分析】本题考查了圆心角定理、勾股定理．作出辅助线并找到点的运动轨迹是解答的关键．
连接，，根据圆心角定理可得，根据勾股定理可得，根据，可知点在以为直径的半圆上运动，根据圆的周长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，，
点是上半圆的中点，
，
，
，
，
在中，
，
，
点在以为直径的半圆上运动，
．
故选B．
【变式1】如图，的内接正六边形的边长为1，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形和圆的综合、求弧长、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，以及弧长公式，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．先求出，再证明是等边三角形，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】如图，连接、、
由题意得：，
正六边形是的内接正六边形，
中心角，则
又，
是等边三角形，
，
则的长为，
故选：C．
【变式2】如图，用一个半径为cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升cm，则滑轮旋转的角度为 ．
【答案】
【知识点】求圆心角
【分析】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，．根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：，即滑轮旋转的角度为．
故答案为：．
【变式3】抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】切线的性质定理、求弧长、多边形内角和问题
【分析】此题考查了圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵，分别与相切，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
考点3：扇形面积计算
典例3：如图，在矩形中，．若将绕点B旋转后，点D落在延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，角直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据角直角三角形的性质得到，由勾股定理求得，用扇形面积减去的面积来求得正确答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由题意可知，，，
，，
所以图中阴影部分的面积是．
故选：C．
【变式1】如图，点A，B，C在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理、求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．先证得是等腰直角三角形，然后根据即可求得．
【详解】解：∵，
∴，而，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
．
故选C．
【变式2】如图，菱形的边长为6，，是以点A为圆心，长为半径的弧，是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】利用菱形的性质求线段长、求其他不规则图形的面积、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查求不规则图形的面积，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，是解题的关键．连接，过点作垂直于，易得阴影部分的面积等于的面积，勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：连接，过点作垂直于，
∵菱形的边长为6，，
∴，，
∴均为等边三角形，且面积相等均等于菱形面积的一半，
∴，
∴，
由题意，得：弓形，弓形，
∴弓形弓形，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式3】如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连接，以B为圆心，长为半径画弧交于点D，若，则阴影部分的面积为 （结果保个留）．
【答案】
【知识点】圆周角定理、求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、扇形面积公式；先根据圆周角定理可得等腰是等腰直角三角形，从而可得，再根据勾股定理可得的长，最后根据阴影部分的面积等于半圆O的面积减去扇形的面积即可求解．
【详解】解：连接，
∵为半圆的直径
∴
∵
∴
∵
∴在等腰中，，
∴，
∴阴影部分的面积为
故答案为：．
考点4：旋转过程——路径长
典例4：如图所示，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上作无滑动翻滚（顺时针方向），木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到时，共走过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、求某点的弧形运动路径长度
【分析】本题考查了弧长的计算、勾股定理，由勾股定理可得长方形的对角线长为，结合第一次是点以为旋转中心，顺时针旋转得到，即可得出第一次走过的路径，再由第二次是点以点为旋转中心，顺时针旋转得到，计算出第二次走过的路径，即可得解．
【详解】解：第一次是点以为旋转中心，顺时针旋转得到，
长方形的对角线长为，
此次点走过的路径为，
∵第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，
∴第二次是点以点为旋转中心，顺时针旋转得到，
此次点走过的路径为，
∴点翻滚到时，共走过的路径长为，
故选：B．
【变式1】如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据旋转的性质求解、求某点的弧形运动路径长度
【分析】本题考查了弧长公式，直角三角形的特征，旋转的性质，连接，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到，进而得到，则，易知点E 与点C 第一次重合时，旋转角为，根据旋转的性质得到，点A 运动路径的长为，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，
在中，点O是的中点，，
，
，
，
，
点E与点C第一次重合时，旋转角为，
，
由旋转的性质得到，
点A运动路径的长为，
点A运动路径的长为：，
故选：A．
【变式2】如图，在△中，，，，将△绕点旋转到△的位置，此时在同一直线上，则点经过的最短路径长为 ．
【答案】/
【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、求某点的弧形运动路径长度
【分析】先求解，，结合点A经过的最短路线长是半径为且圆心角等于的扇形的弧长，再进一步计算即可．
【详解】解：∵，，在同一直线上，，
∴，，
∴点A经过的最短路线长是半径为且圆心角等于的扇形的弧长．
∴点A经过的最短路线长．
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，旋转的性质，弧长的计算，锐角三角函数的应用，掌握旋转的性质是解本题的关键．
【变式3】如图，已知，，，半径为2的从点出发，沿方向滚动到点时停止，圆心运动的路程是 ．
【答案】/
【知识点】求某点的弧形运动路径长度、求弧长
【分析】本题考查了弧长的计算，找到运动轨迹，将运动轨迹分为三部分进行计算是解题关键．根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：，，，分别计算出各部分的长再相加即可．
【详解】解：圆心O运动路径如图：
∵；弧的长度为；，
∴圆心O运动的路程是．
故答案为：．
考点5：旋转过程——扫过面积
典例5：如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是．
(1)画出绕点C顺时针方向旋转后得到的，点D、E分别与点A、B对应；
(2)在（1）的条件下，求线段所扫过的图形的面积．（结果保留π）
【答案】(1)作图见解析
(2)
【知识点】求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了画旋转图形，求扇形的面积，
对于（1），将点A绕点C顺时针旋转得到点D，同理得到点E，再连接，可得答案；
对于（2）扫过的是以点C为圆心，以为半径的的圆的面积，再根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：∵绕点C顺时针方向旋转后得到的，
∴.
又∵，
∴线段所扫过的图形的面积．
【变式1】在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴对称的；
(2)画出关于原点O成中心对称的．
(3)画出绕点A逆时针旋转后的，并求出点C旋转到的路径长为________，线段扫过的面积是_____．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【知识点】求图形旋转后扫过的面积、画已知图形关于某点对称的图形、坐标与图形变化——轴对称、画旋转图形
【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出点A、B、C的对应点、、的坐标，然后描点即可得到；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A、B、C的对应点、、的坐标，然后描点即可得到；
（3）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点、、，即可得到，点C旋转到的路径长为半径为，圆心角为的扇形弧长，线段扫过的面积即为扇形面积，分别根据弧长公式和扇形面面积公式求出即可．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；
（3）解：如图，为所作．
∵，
∴点C旋转到的路径长为，
线段扫过的面积．
故答案为：，．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，，
(1)以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的；
(2)在（1）的条件下，
①线段扫过的图形面积为______；
②点B经过的路径长为______．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【知识点】求某点的弧形运动路径长度、画旋转图形、用勾股定理解三角形、求图形旋转后扫过的面积
【分析】本题考查了作图—旋转变换，勾股定理，扇形面积公式，弧长公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）先由勾股定理求出的长，再由扇形面积公式计算即可得解；②先求勾股定理求出的长，再由弧长公式计算即可得解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：①由勾股定理可得：，
由题意可得：，
∴线段扫过的图形面积为；
②由勾股定理可得：，
由题意可得：，
点B经过的路径长为．
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点A顺时针旋转得到．
(1)画出旋转后的；
(2)直接写出点的坐标；
(3)直接写出线段在变换到的过程中扫过的区域的面积．（结果保留）
【答案】(1)图见解析
(2)
(3)
【知识点】求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】本题考查坐标与旋转，求扇形的面积，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键：
（1）根据旋转的性质，画出即可；
（2）根据图形，直接写出点的坐标即可；
（3）勾股定理求出的长，根据线段扫过的面积是以为半径的扇形的面积，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）由图可知：；
（3）由勾股定理，得：，
∴线段在变换到的过程中扫过的区域的面积为：．
考点6：圆锥侧面积
典例6：已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求圆锥侧面积
【分析】本题考查圆锥侧面积的求法．熟练运用圆锥的侧面积公式是正确解题的关键．
圆锥的侧面积底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设圆锥的底面半径为，
由题意，
，
∴圆锥的侧面积，
故选：D．
【变式1】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求圆锥底面半径、求弧长
【分析】本题考查了圆锥的底面周长及侧面展开图，勾股定理．根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可求解．
【详解】解：∵小正方形方格的边长为，
∴母线长为：，圆心角为，
∴扇形的弧长为：，
∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴，
解得：，
故选：C．
【变式2】在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是 ．
【答案】
【知识点】求弧长、求圆锥的高、用勾股定理解三角形、求圆锥底面半径
【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．
【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板，
∴扇形的弧长为，
设圆锥的底面圆半径为r，
∴，
解得，
故圆锥的高为：，
故答案为：．
【变式3】现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为 ．
【答案】
【知识点】求弧长、求圆锥侧面展开图的圆心角
【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式和圆锥相关计算，熟知两者之间的对应关系是解题关键．圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．据此计算出制作圆锥形纸帽的扇形纸片的圆心角，即可获得答案．
【详解】解：设制作圆锥形纸帽的扇形纸片的圆心角为，
由题意，剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽，
可得，
解得，
∵扇形彩纸片是圆周，因而圆心角是，
∴剪去的扇形纸片的圆心角为．
故答案为：．
考点7：圆锥中的最短路径
典例7：如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（ ）cm
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】圆锥侧面上最短路径问题、求弧长、圆锥的实际问题
【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键．
先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度．
【详解】圆锥的侧面展开图如下图：
作
圆锥的底面直径,
底面周长为，
设
，
则有
解得，
，
在中
，
∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为
故选：D.
【变式1】如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥侧面上最短路径问题、求弧长、解直角三角形的相关计算
【分析】连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，
∵为底面圆的直径，，
设半径为r,
∴底面周长，
设圆锥的侧面展开后的圆心角为，
∵圆锥母线，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：，
解得：，
∴，
∵半径，
∴是等边三角形，
在中，，
∴蚂蚁爬行的最短路程为，
故选：B．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解．
【变式2】如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．
【答案】3
【知识点】最短路径问题、含30度角的直角三角形、圆锥侧面上最短路径问题
【分析】连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出即可解答．
【详解】解：如图，连接，作于点，
∴即为蚂蚁爬行的最短距离，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
∴蚂蚁爬行的最短距离为3．
故答案为：3
【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．
【变式3】如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【答案】
【知识点】圆锥侧面上最短路径问题、求圆心角
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：，
底面周长，
将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径，弧长等于圆锥底面圆的周长
设扇形圆心角度数为，则根据弧长公式得：
，
，
即展开图是一个半圆，
点是展开图弧的中点，
，
连接，则就是蚂蚁爬行的最短距离，
在中由勾股定理得，
，
，
即蚂蚁爬行的最短距离是．
故答案为：．
【点睛】考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
考点8：扇形弧长与面积的实际应用
典例8：如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米．
(1)求这个圆锥的侧面积．
(2)求此圆锥侧面扇形的圆心角．
(3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求圆锥侧面积、求圆锥侧面展开图的圆心角、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】此题考查了圆锥的侧面展开图，侧面积、弧长的计算，勾股定理；
（1）利用圆锥侧面积公式直接计算即可求解．
（2）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解；
（3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：这个圆锥的侧面积为（平方米）；
（2）解：设此圆锥侧面扇形的圆心角为，
底面周长为
解得：
（3）解：如图所示，在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，过点作
依题意，，
∴，
∴
∴米
故答案为：．
【变式1】综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：
问题情境：
如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是______；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）；
拓展迁移：
如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹．
（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】（1）两点之间线段最短；（2）最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形、求弧长、最短路径问题
【分析】本题主要考查了求曲面上两点之间的最短距离问题和勾股定理，关键是化曲为直，把空间问题转化为平面问题是解题的关键．
（1）两点之间线段最短；（2）把圆柱的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，利用勾股定理求解；（3）把圆锥的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，先利用弧长公式求圆心角度数，再用中位线定理和勾股定理求解．
【详解】解：（1）两点之间线段最短；
（2）剪开后，，，
最短路线的长为；
（3）圆锥的底面周长为，
设侧面展开图的圆心角度数为，
，解得，
如答图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，
在中，
点为中点，
是的中位线，
蚂蚁爬行的最短距离为．
【变式2】粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角，所对的圆心角是．
(1)求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离；
(2)比较与的长度哪个更长；
(3)若粒子被注入粒子加速器后，三次经过被加速后被引出粒子加速器，求粒子在粒子加速器内飞行距离．（相关数据：）
【答案】(1)
(2)的长度更长，见解析
(3)
【知识点】解直角三角形的相关计算、求弧长、切线的性质定理、利用垂径定理求值
【分析】（1）如图所示，过点作于点，延长交于点，连接，根据切线的性质可得，根据垂径定理可得，，根据正切值的计算可得，根据勾股定理可得，所以，当粒子到达点时，离的距离最远，最远距离为；
（2）根据弧长公式计算得的长约为，由此即可求解；
（3）由（1）可得，，可求出圆的周长，的长度，的长度，所以粒子三次经过被加速后被引出，粒子在加速器内飞行距离为：倍圆的周长与的长度的和，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，延长交于点，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵是的弦，是弦心距，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当粒子到达点时，离的距离最远，最远距离为；
（2）解：的长度更长，
理由：∵所对的圆心角为，且，
∴的长度为：，且，
∵，
∴的长度更长；
（3）解：由（1）可得，，
∴圆的周长为：，则绕行两次的周长为：，的长度为：，的长度为：，
∴粒子三次经过被加速后被引出，粒子在加速器内飞行距离为：．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合知识，掌握圆的基础知识，切线的性质，锐角三角函数的计算，弧长公式，垂径定理，合理作出辅助线，图形结合思想是解题的关键．
【变式3】在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
【答案】(1)能，见解析
(2)
【知识点】求圆锥侧面积、圆锥的实际问题
【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用．
（1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论；
（2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积．
【详解】（1）解：如图所示：
∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形，
∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．
由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系．
将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆，
则围成的圆锥形的侧面积．
∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度，
如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：，
该侧面展开图的圆心角为．
由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等．
∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．
（2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为，
圆心角为，
滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，
又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，
∴滤纸重叠部分每层面积．
考点9：不规则图形面积
典例9：如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形、圆周角定理、求其他不规则图形的面积
【分析】（1）如图，连接，，，首先由直径得到，然后证明出，得到，然后推出，即可证明是的切线；
（2）如图所示，过点A作垂线，首先证明出四边形为正方形，设圆半径为R，利用勾股定理求出，得到，然后利用阴影面积代数求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，，
∵是的直径，
∴
平分
∴
为等腰直角三角形
∴为的切线；
（2）解：如图所示，过点A作垂线
∵
∴四边形为矩形
又
∴矩形为正方形
设圆半径为R
，，
∴
∴
解得：，负值舍去
∴
∴阴影面积
．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正方形性质与判定，勾股定理，扇形面积公式等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式1】如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的长为，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)阴影部分的面积为．
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、求其他不规则图形的面积、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形
【分析】（1）连接OD，由推出是等边三角形，再利用全等三角形判定定理证明，得到，再根据切线的判定定理即可证明；
（2）由的长计算出半径，再根据含的直角三角形的性质求出的边长，利用阴影部分面积 的面积扇形的面积，计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
与相切于点D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是的切线．
（2）的长为，，
，
，
，
，
，
，，
阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
【变式2】如图，是的直径，点B在上，点A为延长线上一点，过点O作交的延长线于点E，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若线段与的交点F是的中点，的半径为6，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】证明某直线是圆的切线、圆周角定理、求扇形面积、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
，是的中点，
，
的半径为 ，，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
阴影部分的面积为：
，
阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式3】如图，是的弦，是直径，连接，，，其中，平分，过点B作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求图中阴影部分的周长之和．
【答案】(1)详见解析
(2)
【知识点】证明某直线是圆的切线、求弧长、等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）根据圆中半径相等以及等边对等角得出，结合角平分线得出，推出，根据平行线的性质得出，即可证明是的切线．
（2）如图，连接，．证明，都是等边三角形．得出，求出．再根据直角三角形的性质得出，解直角三角形得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵．
∴，
∴．
∴，都是等边三角形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，．
∴图中阴影部分的周长之和为．
【点睛】本题主要考查了角平分线，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，圆的切线，圆周角定理，解直角三角形，直角三角形的性质，弧长公式等，解决问题的关键是熟练掌握以上知识点．
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