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专题03 三角形及基本性质（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，，，，，，连接，点恰好在上，则（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，三角形外角的性质，证明，得到，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
2．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【详解】A．，能构成三角形，不合题意；
B．，不能构成三角形，符合题意；
C．，能构成三角形，不合题意；
D．，能构成三角形，不合题意．
故选B．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题关键在于看较小的两个数的和能否大于第三个数．
3．如图，点是内一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】解：在中，，
∴
，
在中，，
∴
，
故选：B．
4．设a、b、c是的三边，化简：（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系的应用、化简绝对值
【分析】根据a、b、c是的三边得，，化简绝对值即可得．
【详解】解：∵a、b、c是的三边，
∴，，
∴
=
=0
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，绝对值，解题的关键是掌握这些知识点．
5．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别是和，则应是下列哪个度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形外角的性质“三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和”．延长，交于点E，根据三角形外角的性质可得，再根据三角形外角的性质可得．
【详解】解：如图，延长，交于点E，
∵是的外角，，
∴，
∵是的外角，，
∴．
故选：A．
6．将长分别为3，4．6，8的木棍用4颗螺丝按如图所示的方式安在一起，且相邻两木根之间的夹角均可调整，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．8 B．10 C．11 D．14
【答案】B
【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围、构成三角形的条件
【分析】本题考查的是三角形的三边关系定理，即“三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边”，据此分情况讨论，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．
【详解】已知条木棍的四边长为．
选三条边作为三角形，则三边长为，
，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为；
选作为三角形，则三边长为，
，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为；
选作为三角形，则三边长为，
，不能构成三角形，此种情况不成立；
选作为三角形，则三边长为，
，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为；
选作为三角形，则三边长为，
， 不能构成三角形，此种情况不成立；
选作为三角形，则三边长为，
， 不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任意两螺丝的距离之最大值为．
故选B．
7．如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，则（ ）
A．－1 B．－1 C．1 D．
【答案】A
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，然后根据勾股定理求出，进而得出答案．
【详解】∵，，
∴，
解得．
∵是的中线，
∴．
在中，，
∴．
故选：A．
8．中，，，，，连接CD，则CD最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、三角形三边关系的应用
【分析】过作且使，连接，根据条件证明，根据相似的性质得出，由于点在以 为圆心，为半径的圆上运动，连接并延长交 于点 ，然后根据三角形三边的关系得出当与重合时，最大，然后根据勾股定理求出，则可得出长，即的最大值，从而得出的最大值．
【详解】解：如图，过作且使，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接并延长交于点，
则，
在中，，
∴，
当与不重合时，
在中，，
当与 重合时，，
综上所述，，
即，
∴，
∴的最大值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形三边的关系，解题的关键是根据条件，作辅助线构造三角形相似以及作辅助圆找出动点B的运动轨迹．
9．如图，在中，D，E是内的两点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查三角形内角和与角平分线，设，则，即，判定点E为三条角平分线的交点，且和，则．
【详解】解：设，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴点E为三条角平分线的交点，
∴．
故选：B．
10．已知两个等腰三角形可按如图所示方式拼接在一起，则边的长可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握相关知识．根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系求解即可．
【详解】解： 为等腰三角形，
为或，
，
，
故选：B．
11．如图，直线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
12．如图，△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD的度数是（ ）
A．25° B．20° C．30° D．15°
【答案】B
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】根据∠ECD=∠DCB-∠ECB，求出∠DCB，∠ECB即可．
【详解】∵∠ACB=180°-∠A-∠B=90°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=×90°=45°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°-65°=25°，
∴∠ECD=45°-25°=20°．
故选B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．如图，是的角平分线，点O在上，且于点E，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形角平分线的定义、与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余、垂线的定义理解
【分析】根据可知，再由可求得的度数，再由角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义、直角三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
14．已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．如图1，中，显然直线是的关于点的二分割线．在图2的中，，若直线是的关于点的二分割线，则的度数是（ ）
A．或 B．或 C．或或 D．或或
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形，三角形内角和与外角和的综合，理解题目中“二分割线”的定义，掌握直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和与外角和的计算和性质，分类讨论思想是解题的关键．
根据题意，分类讨论：当，，即是等腰三角形，是直角三角形，满足条件；当，，即是直角三角形，是等腰三角形，满足条件；当，，即是等腰三角形，是直角三角形，满足条件；数形结合，分类讨论即可求解．
【详解】解：在中，，若直线是的关于点的二分割线，
∴①如图所示，当，，即是等腰三角形，是直角三角形，满足条件，
∴；
②如图所示，当，，即是直角三角形，是等腰三角形，满足条件，
∴，
∴；
③如图所示，当，，即是等腰三角形，是直角三角形，满足条件，
∴，
∵是的外角，
∴，
综上所述，的度数是或或，
故选：D ．
15．已知：中，是中线，点在上，且．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据等边对等角证明、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了相似三角形、等腰三角形的性质、三角形外角与内角的关系等知识点，先利用等腰三角形的性质及外角与内角的关系说明，再判断，利用相似三角形的性质用表示出，最后代入比例可得结论．
【详解】解： 是的中线，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
故选B．
二、填空题
16．如图，将绕点C顺时针旋转，得到，点恰好落在斜边上，连接，则 ．
【答案】/度
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解
【分析】
本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由旋转的性质得到，，再由等边对等角得到，由三角形内角和定理得到，则．
【详解】解：由旋转的性质可得，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
17．如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则 ．（用含的式子表示）
【答案】/
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索．先根据角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质证明，同理可证，，…据此求解即可．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
，
…
∴，
故答案为：．
18．若≌，且，，则 ．
【答案】/度
【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，本题先证明，可得，再结合三角形的内角和定理可得，从而可得答案．
【详解】解：∵≌，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
19．如图，在中，，E是两外角平分线的交点，则 ．
【答案】/70度
【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角外角的性质和角平分线的概念，首先根据三角形内角和定理得到，然后利用三角外角的性质和角平分线的概念得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，三角外角的性质和角平分线的概念．三角形内角和为．
【详解】∵
∴
∴
∵E是两外角平分线的交点
∴，
∴
∴．
故答案为：．
20．如图，，，，，则 °．
【答案】30
【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】先由得出，再根据三角形内角和定理得出，然后由求解即可．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：30．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
21．如图，直线，有一个含的直角三角板的直角顶点A在直线上，若边与直线的夹角，则边与直线的夹角 ．
【答案】40
【知识点】利用邻补角互补求角度、两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用
【分析】延长交于点，由题意可得，，利用平角的定义求得，，利用三角形内角和定理求得，由平行线的性质即可得到．
【详解】解：如图，延长交于点，
由题意可得，，，
，
，
，
在中，，
∵，
．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、平角的定义、三角形内角和定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
22．如图，在中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，交于点，则的度数是 ．
【答案】/度
【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握相关的知识．由平行四边形的性质得出，，由等边对等角得出，由折叠的性质可得：，，最后由三角形的内角和，即可得解．
【详解】解：在中，，
，，
，
，
，
，
由折叠可得：，，
，
，
故答案为：．
23．如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是 ．
【答案】≤m≤
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、确定第三边的取值范围
【分析】作AB的中点M，连接CM、QM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得QM和CM的长，然后在△CQM中根据三边关系即可求解．
【详解】解：作AB的中点M，连接CM、QM．
在以为圆心，为半径的圆上运动，
在直角△ABC中，AB＝，
∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CM＝AB＝5．
∵Q是BP的中点，M是AB的中点，
∴MQ＝AP＝．
∴在△CMQ中，5 ≤CQ≤＋5，即≤m≤．
故答案是：≤m≤．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作圆，作AB的中点M，连接CM、QM，构造三角形，是解题的关键．
24．如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】本题考查圆周角定理，根据，利用圆周角与圆心角关系可求出，再由三角形外角定理即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
25．在中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．
（1）如图①，是的平分线．若，，则 ；（用含m，n的式子表示）
（2）如图②，平分，延长到点E，使得，连接．若，，，则的面积为 ．
【答案】 / 16
【知识点】角平分线的性质定理、根据三角形中线求面积
【分析】（1）过作于，于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可；
（2）根据已知和求出和的面积，即可求出答案．
【详解】（1）如图，过作于，于，
为的角平分线，
，
，，
；
故答案为：
（2）如图，
，
，
，
，
，，平分，
由（2）知：，
，
．
故答案为：16
【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
26．如图，在中，．
(1)利用尺规，作边的垂直平分线交于点，交于点．（保留作图痕迹）
(2)在（1）中，连接，若，，则的周长为__________．
(3)在（1）中，连接，若，试求出的度数．
【答案】(1)图见详解
(2)
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）根据垂直平分线的性质作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质即可求解；
（3）由得，由， ，即可求解；
【详解】（1）作边的垂直平分线如图：
（2）∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
27．如图，中，，于点D，于点G．
(1)求证；
(2)若，若平分，直接写出的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的性质、角平分线定义、直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：，
．
又，，
，
．
．
．
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
28．【发现】（1）如图1，在中，，，是角平分线，是高，求及的度数；
【探究】（2）如图2，在中，，是角平分线，动点在线段上（不与点，重合），，垂足为．求的度数；（用含的式子表示）
【拓展】（3）将【探究】中“动点的线段上”改为“动点在射线上”．其余条件不变，分别作平分，平分，且所在的直线与射线交于点，直接写出的度数．（用含的式子表示）
【答案】（1），；（2）；（3）的度数为或．
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、直角三角形的两个锐角互余
【分析】（1）根据三角形的内角和求出，再进一步利用角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）即可得到解答；
（2）根据已知得到，利用三角形内角和定理求得，利用三角形的外角性质得到，据此求解即可求得答案；
（3）分两种情况讨论，①当点在射线上且在外时，②当点在线段上时，同（2）计算即可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵是高，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）①当点在射线上且在外时，
∴，
由（2）可得，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
②当点在线段上时，
由①得，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和高的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的定义．
29．如图，点、分别在射线、上运动（不与点重合），、分别是和的角平分线，延长线交于点．
解决问题：
(1)若，，则________；
(2)若，求出的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）由角平分线的定义可求出和的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出的度数，然后再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形外角的性质求出结果即可．
【详解】（1）解：∵、分别是和的角平分线，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵、分别是和的角平分线，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、外角的性质及角平分线的定义，解答本题的关键是把看作一个整体，运用整体思想进行解答．
30．如图，在等边中，是边上一点（不含端点，），连接，作．
(1)尺规作图：作射线，交与点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）
(2)求证：．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、尺规作一个角等于已知角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）作，交于点即可；
（2）由等边三角形的性质得，，根据平行线的性质得，推出，过点作交于点，证明是等边三角形，再证明即可．
【详解】（1）解：如图，作，交于点，
∵，
∴，
则即为所作；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
过点作交于点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，即，
，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查尺规作图（作一个角等于已知角），平行线判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的定义及性质，全等三角形的判定和性质．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
31．如图，为内一点，过点作线段交于、．
(1)若 ，平分，平分，求的度数；
(2)若 ，且、分别在、的垂直平分线上，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理计算，得到答案．
（2）根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
平分，平分，
，
，
（2）解：∵、分别在、的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴
∴
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
32．如图，，分别是的高和角平分线．
(1)已知，，求的度数；
(2)设，，请直接写出用，表示的关系式．
【答案】(1)
(2)
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题
【分析】（1）先根据三角形的内角和求出，再根据的高和角平分线求出，进而求解；
（2）仿照（1）的思路解答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，分别是的高和角平分线，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，分别是的高和角平分线，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高和角平分线等知识，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键．
33．阅读作答：
（1）等腰三角形中两个底角为，顶角为，这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比约为；
（2）等腰三角形中两个底角为，顶角为；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比．我们把满足上述条件之一的三角形都叫做“黄金三角形”．
已知：如图，在中，D是上一点，，，该图中有黄金三角形吗？若有，有几个，请说明理由．
【答案】该图中有黄金三角形3个，理由见解析
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】设，根据等边对等角求出，，，然后利用三角形内角和定理求出x，得到，，进而根据黄金三角形的定义得出答案．
【详解】该图中有黄金三角形3个，
理由：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，，
∴，，是黄金三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，求出各角的度数，正确理解黄金三角形的定义是解题的关键．
34．如图，在凹四边形中，，，，求的度数．
下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；
方法二：延长BC交AD于点E；
方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求的度数．
【答案】，方法见解析
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】选择方法一：作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E，根据外角的性质求出即可解得；
选择方法二：延长BC交AD于点E， 根据外角的性质求出即可解得；
选择方法三：连接BD，根据三角形内角和求出，在中，，再根据角之间的和差即可求出．
【详解】解：选择方法一：
如答图1，作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E．
∵是的外角，
∴．
同理可得．
∴．
∴．
∵，，，
∴
选择方法二：
如答图2，延长BC交AD于点E．
∵是的外角，
∴．
同理可得．
∴．
∵，，，
∴
选择方法三：
如答图3，连接BD．
在中，．
∴
∴．
在中，．
∴．
∵，，，
∴
【点睛】此题考查了三角形的外角性质、三角形内角和，解题的关键是构造辅助线，会用三角形的外角性质、三角形内角和解题．
35．如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．
（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质、同位角相等两直线平行
【分析】（1）利用基本作图作∠ADB的平分线DE；
（2）利用角平分线定义得到∠ADE=∠BDE，再根据三角形外角性质得∠ADB=∠C+∠DAC，加上∠C=∠DAC，从而得到∠BDE=∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论．
【详解】（1）如图：
（2）∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE=∠BDE．
∵∠ADB=∠C+∠DAC，而∠C=∠DAC，
∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，
∴DE∥AC．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的判定．
【能力提升】
36．如图，在和中，，连接，交于点，且，A，三点共线．
【模型建立】
（1）如图①，和是等腰三角形，，
①求证：；
②判断与的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图②，和都是等边三角形，连接，求证：平分；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；（2）见解析；（3）
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】（1）①由已知条件得，利用即可证明；②结合①得，然后利用三角形内角和定理即可解答；
（2）如图②：过点A作于点M，作于点N，根据等边三角形的性质证明可得，然后证明，得，再利用角平分线的性质即可即可；
（3）如图③：过点D作于点C，过点C作于点H，过点A作于点M，结合(2)证明，利用勾股定理求出，然后根据的面积的面积，求出，进而利用特殊角三角函数值即可解答．
【详解】解：（1）①证明：∵，
∴，
∴，
∵AB = AD，AC = AE，
∴；
②，理由如下：
由①知：，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴；
（2）证明：如图②：过点A作于点M，作于点N，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
(3)如图②，过点D作于点C，过点C作于点H，过点A作于点M，
∵B，A，E三点共线，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴，
∴，
由（2）得平分,
∴，
∵,
∴,
∴，
同理：，
∵，
∴，
由(2)得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角形的面积、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、特殊角三角函数值等知识点，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
37．如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”．
(1)填空：等边三角形_________（填“存在"或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形________（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”．
(2)在中，，为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出的所有可能______．
【答案】(1)不存在，存在；
(2)
【知识点】等边三角形的性质、等边对等角、三角形的外角的定义及性质、代入消元法
【分析】（1）画出图形，证明在中，三个内角满足：，即不可能是等腰三角形，以及在中，三个内角满足：，即不可能是等腰三角形，从而得到等边三角形不存在“分割线”；画出图形，设，，列出二元一次方程组，解方程求出相应的角度，即可证明顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”；
（2）根据为钝角，可知三角形的“分割线”必经过B点，分情况讨论：第一种情况：在被分割之后，当为新等腰三角形的顶角时；第二种情况：在被分割之后，当为新等腰三角形的底角时；分别画出图形，求出相应的角的度数即可求解．
【详解】（1）解：等边三角形不存在“分割线”，理由如下：
如图，等边被直线所截，且点D在线段（不含端点B、C）上
在等边中，有，
由图可知：，
同理有：，
由图可知：，
同理有：，
即在中，三个内角满足：，
即不可能是等腰三角形；
即在中，三个内角满足：，
即不可能是等腰三角形；
即等边三角形不存在“分割线”；
顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”，理由如下：
如图，等腰的“黄金分割线”为，，为钝角，
设，，相应的角标注如图，
根据平角为180°和三角形内角和为180°可得：，
解得：，
即，则：，
∴根据方程有解，可得顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”；
（2）根据为钝角，可知三角形的“分割线”必经过B点，
分情况讨论：
第一种情况：在被分割之后，当为新等腰三角形的顶角时，
如图，相应角度标注如下，
根据图形，有：，
解得：，
则：；
第二种情况：在被分割之后，当为新等腰三角形的底角时，
如图，相应角度标注如下，
根据图形，有：，
又∵根据“分割线”的定义可知：是等腰三角形，
∴是等边三角形，
即：，
则：，
此时不为钝角，此情况舍去；
综上：的可能值为：．
【点睛】本题主要是考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，二元一次方程组的应用等知识，充分理解题目所给出的新定义是解答本题的关键．
38．在中，是角平分线．．
(1)如图（1），是高，，，求的度数；
(2)如图（2），点在上，于，试探究与、的大小关系，并证明你的结论（提示：过点作于）；
(3)如图（3），点在的延长线上．于，试探究与、的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明）
【答案】(1)
(2)，过程见解析
(3)
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明、垂直于同一直线的两直线平行、角平分线的有关计算
【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题；
（2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到；
（3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变．
【详解】（1）解：如图1所示：
平分，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：结论．
理由如下：过作于，如图2所示：
，
，
，
由（1）可得，
；
（3）解：结论仍成立．
过作于，如图3所示：
，
，
，
由（1）可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，综合性强，掌握三角形内角和定理，加大数学知识的应用意识是解题关键．
39．设的面积为．
(1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示）
(2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示）
(3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题
【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关系分别分析得出是解题关键．
（1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可；
（2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可；
（3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于，的方程求出即可．
【详解】（1）如图, 连接，
,
，，
，
同理可得出：，
，
故答案为: ；
（2）如图，连接，
，
根据等高两三角形的面积比等于底之比，
，
，
，
同理可得出：，
∴；
故答案为: ；
（3）如图，过点作于点，
，
，
，即，
同理 ，
设 ，，
，即；
，，
，
又
，
，
故答案为: ．
40．已知三点均在直线上，且．
(1)如图①，若，则线段的长为_________；
(2)如图②，判断之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若将题中的“”变为“”，其他条件不变，且，请直接写出的长．
【答案】(1)5
(2)），理由见解析
(3)3
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质．
（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，据此即可求解；
（2）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，可得答案；
（3）利用邻补角的定义得，再利用三角形的外角性质可得到，再利用证明，得，可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
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专题03 三角形及基本性质（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，，，，，，连接，点恰好在上，则（ ）
A． B． C． D．无法计算
2．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm
3．如图，点是内一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．设a、b、c是的三边，化简：（ ）
A． B． C．0 D．
5．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别是和，则应是下列哪个度数（ ）
A． B． C． D．
6．将长分别为3，4．6，8的木棍用4颗螺丝按如图所示的方式安在一起，且相邻两木根之间的夹角均可调整，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．8 B．10 C．11 D．14
7．如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，则（ ）
A．－1 B．－1 C．1 D．
8．中，，，，，连接CD，则CD最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，D，E是内的两点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知两个等腰三角形可按如图所示方式拼接在一起，则边的长可能为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD的度数是（ ）
A．25° B．20° C．30° D．15°
13．如图，是的角平分线，点O在上，且于点E，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．如图1，中，显然直线是的关于点的二分割线．在图2的中，，若直线是的关于点的二分割线，则的度数是（ ）
A．或 B．或 C．或或 D．或或
15．已知：中，是中线，点在上，且．则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图，将绕点C顺时针旋转，得到，点恰好落在斜边上，连接，则 ．
17．如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则 ．（用含的式子表示）
18．若≌，且，，则 ．
19．如图，在中，，E是两外角平分线的交点，则 ．
20．如图，，，，，则 °．
21．如图，直线，有一个含的直角三角板的直角顶点A在直线上，若边与直线的夹角，则边与直线的夹角 ．
22．如图，在中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，交于点，则的度数是 ．
23．如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是 ．
24．如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为 ．
25．在中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．
（1）如图①，是的平分线．若，，则 ；（用含m，n的式子表示）
（2）如图②，平分，延长到点E，使得，连接．若，，，则的面积为 ．
三、解答题
26．如图，在中，．
(1)利用尺规，作边的垂直平分线交于点，交于点．（保留作图痕迹）
(2)在（1）中，连接，若，，则的周长为__________．
(3)在（1）中，连接，若，试求出的度数．
27．如图，中，，于点D，于点G．
(1)求证；
(2)若，若平分，直接写出的度数．
28．【发现】（1）如图1，在中，，，是角平分线，是高，求及的度数；
【探究】（2）如图2，在中，，是角平分线，动点在线段上（不与点，重合），，垂足为．求的度数；（用含的式子表示）
【拓展】（3）将【探究】中“动点的线段上”改为“动点在射线上”．其余条件不变，分别作平分，平分，且所在的直线与射线交于点，直接写出的度数．（用含的式子表示）
29．如图，点、分别在射线、上运动（不与点重合），、分别是和的角平分线，延长线交于点．
解决问题：
(1)若，，则________；
(2)若，求出的度数．
30．如图，在等边中，是边上一点（不含端点，），连接，作．
(1)尺规作图：作射线，交与点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）
(2)求证：．
31．如图，为内一点，过点作线段交于、．
(1)若 ，平分，平分，求的度数；
(2)若 ，且、分别在、的垂直平分线上，求的度数．
32．如图，，分别是的高和角平分线．
(1)已知，，求的度数；
(2)设，，请直接写出用，表示的关系式．
33．阅读作答：
（1）等腰三角形中两个底角为，顶角为，这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比约为；
（2）等腰三角形中两个底角为，顶角为；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比．我们把满足上述条件之一的三角形都叫做“黄金三角形”．
已知：如图，在中，D是上一点，，，该图中有黄金三角形吗？若有，有几个，请说明理由．
34．如图，在凹四边形中，，，，求的度数．
下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；
方法二：延长BC交AD于点E；
方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求的度数．
35．如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．
（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
【能力提升】
36．如图，在和中，，连接，交于点，且，A，三点共线．
【模型建立】
（1）如图①，和是等腰三角形，，
①求证：；
②判断与的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图②，和都是等边三角形，连接，求证：平分；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
37．如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”．
(1)填空：等边三角形_________（填“存在"或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形________（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”．
(2)在中，，为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出的所有可能______．
38．在中，是角平分线．．
(1)如图（1），是高，，，求的度数；
(2)如图（2），点在上，于，试探究与、的大小关系，并证明你的结论（提示：过点作于）；
(3)如图（3），点在的延长线上．于，试探究与、的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明）
39．设的面积为．
(1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示）
(2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示）
(3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________．
40．已知三点均在直线上，且．
(1)如图①，若，则线段的长为_________；
(2)如图②，判断之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若将题中的“”变为“”，其他条件不变，且，请直接写出的长．
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