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专题01 图形的初步（1）
（一）立体图形的认识
（1）立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
（2）平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等
（二）点、线、面、体的关系
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
（三）几何体展开图
（四）正方体展开图
（五）直线、线段、射线的相关概念
直线 射线 线段
图形
端点个数 无 一个 两个
表示法 直线a
直线AB（BA） 射线AB 线段a
线段AB（BA）
作法叙述 作直线a
作直线AB 作射线AB 作线段a
作线段AB（BA）
延长叙述 两端可无限延伸 延长射线AB 延长线段AB
反向延长线段BA
（六）直线与线段的性质
①经过一点有无数条直线
②经过两点有且只有一条直线
③经过不共线的三点画不出直线；经过共线的三点有且只有一条直线
④两点之间，线段最短。线段的长度表示两点之间的距离。
（七）线段的中点性质
线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点；
如图：M为线段AB的中点，则AM=BM=AB
考点1：认识立体图形
典例1：下列图形属于棱柱的有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【变式1】下列几何体中，不同类的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】将下图中的立体图形分类．
柱体 ；锥体 ；球体 ．
【变式3】如图，图中柱体的个数是 个．
考点2：立体图形展开图
典例2：下列图形中三棱柱的表面展开图可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为正方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（ ）
A．B． C． D．
【变式2】如图是三种几何体的表面展开图，则该三种几何体由左到右分别是 ．
【变式3】如图A、B、C、D四个图形，它们能折叠成的立体图形依次是 ．
A．B．C．D．
考点3：正方体展开图
典例3：下图不是正方体展开图的为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成一个正方体后，与“学”相对的是（ ）
A．祝 B．你 C．进 D．步
【变式2】如图是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，其中哪两个完全相同 ．
【变式3】如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是 ．
① ② ③ ④
考点4：点、线、面、体的联系
典例4：生活中有下列两个现象，对于这两个现象的解释正确的是（ ）
现象1：打靶瞄准
现象2：燃放的烟花在天空形成美丽的弧线
A．均用“两点之间线段最短”来解释 B．均用“两点确定一条直线”来解释
C．现象1用“两点之间线段最短”来解释，现象2用“线动成面”来解释 D．现象1用“两点确定一条直线”来解释，现象2用“点动成线”来解释
【变式1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
①经过刨平的木板上两点，能且只能弹出一条笔直的墨线；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③从到架设电线，为使材料更省总是尽可能沿线段架设；
④在墙上挂条幅时，至少要钉两个钉子才能牢固．
A．②④ B．①④ C．②③ D．③④
【变式2】（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ；
（2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ；
（3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ；
（4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ．
【变式3】用数学原理分析下列生活实例：
（1）钢笔写字 ；
（2）自行车的辐条运动形成几何图形 ；
（3）直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥体 ．
考点5：平面的旋转
典例5：如图所示，将梯形绕它的长底边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】将下列各选项中的平面图形绕虚线旋转一周可以得到如图所示的几何体的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】以如图所示的三角形的边为轴旋转一周后所得到的几何体可以是右图中的 填序号．
【变式3】如图，立体图形是由哪一个平面图形旋转得到的？请按对应序号填空．
对应 ，对应 ，对应 ．
考点6：截一个几何体
典例6：如图，一个密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，任意放置这个玻璃杯，则水面的形状不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】将下列几何体沿如图所示的方向截开，所得截面的形状与其他三个不同的是（ ）
A．B． C． D．
【变式2】将正方体切去一块后，得到如图所示的几何体有 个面，有 个顶点，有 条棱．
【变式3】写出如图所示的四个几何体的截面的形状：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
考点7：七巧板的应用
典例7：如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（ ）
A．第⑥块的面积是第①块的4倍
B．图中的等腰直角三角形一共有8个
C．第③块的面积是整个面积的
D．第②块的面积与第⑤块的面积相等
【变式1】（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它由七个板块组成，用如图所示的七巧板拼图，下列说法正确的是（ ）
A．能拼成平行四边形，不能拼成矩形
B．不能拼成平行四边形，能拼成矩形
C．既能拼成平行四边形，也能拼成矩形
D．既不能拼成平行四边形，也不能拼成矩形
【变式2】七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．
【变式3】沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
考点8：直线、射线、线段
典例8：如图，点M，P，N是直线l上从左至右的三个点，下列说法错误的是（ ）
A．点P在直线上 B．点P在线段上
C．点N在线段上 D．点N在射线上
【变式1】下列几何图形与相应语言描述相符的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点
【变式3】直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有 个点．
考点9：两点确定一条直线
典例9：下列生活中出现的现象，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）
A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B．值日时，只要定出这列最前面和最后面两张课桌的位置，就能将其余课桌按这条直线摆放
C．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程
D．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线
【变式1】要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．两点能够确定多条直线 D．点动成线
【变式2】下列四种实践方式：①木匠弹墨线；②打靶瞄准；③弯曲公路改直；④拉绳插秧．其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（填序号） ．
【变式3】下列可用“两点确定一条直线”来解释的现象有 （填写所有正确结论的序号）
①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面．
考点10：线段和与差的计算
典例10：如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从点P，B出发以，的速度沿直线向左运动（点C在线段上，点D在线段上），运动的时间为．
(1)当时，，的长为 ；
(2)若点C，D运动到任一时刻时，总有，请求出的长；
(3)在（2）的条件下，若Q是直线上一点，且，求的长．
【变式1】如图，，点是线段上一点，且，点C从点A出发，以的速度向点B运动．同时点D从点P出发，以的速度沿射线运动，设运动的时间为．
(1)当时，___________，__________，此时线段，，之间的数量关系是___________．
(2)当点C在线段上运动时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)当点C在线段上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系．
【变式2】如图1，已知点在线段上，且，．
(1)若，，求线段的长；
(2)若为线段上任意一点，且满足，其他条件不变，请写出线段的长，并说明理由；
(3)如图2，若为线段延长线上任意一点，且满足，，，请你猜想的长，写出你的结论，并说明理由．
【变式3】在数轴上有A、B两点，点A在点B的左边，若点A表示的数为，线段．
(1)点B表示的数为___________；
(2)在线段上有一点M满足，数轴上有一动点N从点A出发向右运动，若某一时刻，求此时的长度．
考点11：线段的中点问题
典例11：如图：A、M、N、B四点在同一直线上．
(1)若．
①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）；
②若且，则的长为 ；
(2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长．
【变式1】已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）．
(1)若M，N分别是的中点，求的长度；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度．
【变式2】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．嘉琪在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：（1）如图1，在数轴上，三个有理数从左到右依次是，m，，借助圆规，在数轴上画出原点O；
操作二：（2）折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与数2与表示的点重合，数m表示的点与数表示的点重合，求m；
操作三：（3）从数轴上（如图2）剪下9个单位长度（从到8）的部分（不考虑宽度），并把这条数轴沿数m所在点竖直折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，直接写出m的值．
【变式3】图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：_________；
（2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求的长．
考点12：线段的动点问题
典例12：如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为．
(1)当时，，请求出的长；
(2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长；
(3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长．
【变式1】已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）．
(1)若，求和的长；
(2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．
①如图，当点E为中点时，求的长；
②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长．
【变式2】如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为．
根据题意回答下列问题：
(1)当时，______；当时，______．
(2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点．
①若，求线段的长；
②若，求线段的长．
【变式3】如图1，已知线段，点、、在线段上，且．
(1)__________，__________；
(2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为．
①求为何值，线段的长为；
②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
考点13：两点之间线段最短
典例13：为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（文化情境·传统文化）过新年，剪窗花，是春节的传统习俗，寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．小铭同学在“剪纸”活动时发现一个有趣的现象：如图，将一个正方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原正方形周长．能正确解释这一现象的数学依据是 ．
【变式3】如图，点C、D在线段的同侧，，，，M是的中点，，则长的最大值是 ．
考点14：两点之间的距离
典例14：已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从点M、B出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点C在线段上，点D在线段上）
(1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空）
(2)当点C、D运动了时，求的值；
(3)若点C、D运动时，总有，则 （填空）；
(4)在（3）的条件下，N是直线上一点，且，求的值．
【变式1】【问题情境】已知A，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上．
【初步应用】（1）如图1，点是线段的中点，，求线段的长度；
【迁移应用】（2）若点是直线上的一点，且满足，，求线段的长度．
【变式2】如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长．
【变式3】数轴上有线段（点A在点B的左侧），C为线段上一点，且．
(1)求线段的长；
(2)若点M为直线上的一点，线段的中点为N，且，求线段AM的长．
考点15：最短路径问题
典例15：如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为．
(1)画出并写出点的坐标为______
(2)写出的面积为______
(3)在x轴上找出点P，使得的值最小，并写出最小值为______．（保留作图痕迹）
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中，，．
(1)在图中画出关于x轴的对称图形；
(2)分别写出对应点，，的坐标；
(3)请在图中的x轴上找一点P，使得的值最小，并直接写出点P的坐标．
【变式2】如图，在中，，．
(1)求的长；
(2)点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值．
【变式3】已知在平面直角坐标系中三点，，．请回答如下问题：
(1)在坐标系内作出关于y轴对称的，并直接写出的坐标______；
(2)直接写出的面积______；
(3)在x轴上画出点P，使最小，则最小值为______；（不用写作法，保留作图痕迹）
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专题01 图形的初步（1）
（一）立体图形的认识
（1）立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
（2）平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等
（二）点、线、面、体的关系
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
（三）几何体展开图
（四）正方体展开图
（五）直线、线段、射线的相关概念
直线 射线 线段
图形
端点个数 无 一个 两个
表示法 直线a
直线AB（BA） 射线AB 线段a
线段AB（BA）
作法叙述 作直线a
作直线AB 作射线AB 作线段a
作线段AB（BA）
延长叙述 两端可无限延伸 延长射线AB 延长线段AB
反向延长线段BA
（六）直线与线段的性质
①经过一点有无数条直线
②经过两点有且只有一条直线
③经过不共线的三点画不出直线；经过共线的三点有且只有一条直线
④两点之间，线段最短。线段的长度表示两点之间的距离。
（七）线段的中点性质
线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点；
如图：M为线段AB的中点，则AM=BM=AB
考点1：认识立体图形
典例1：下列图形属于棱柱的有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】B
【知识点】常见的几何体
【分析】本题考查了棱柱的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
根据棱柱的特点：上下两个面大小，形状完全相同，侧棱都相等，侧面都是平行四边形去判断．
【详解】解：根据题意，图中的第1个，第2个，第4个都是棱柱，共有3个棱柱，
故选：B．
【变式1】下列几何体中，不同类的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】立体图形的分类
【分析】本题考查几何体的分类，掌握几何体分为柱体、锥体、球体是解题的关键．
根据几何体的分类，求解即可．
【详解】
解：A、是六棱柱，C、 是圆柱，D、是三棱柱，B、是球体，
∴A、C、D是柱体，属一类，B是球体不是一类，
故选：B．
【变式2】将下图中的立体图形分类．
柱体 ；锥体 ；球体 ．
【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥/⑥④ ③
【知识点】立体图形的分类
【分析】本题主要考查立体图形的分类，解题的关键掌握立体图形的特征．据此可得答案．
【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③．
故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③．
【变式3】如图，图中柱体的个数是 个．
【答案】5
【知识点】立体图形的分类
【分析】本题主要考查了柱体的识别，一个多面体有两个面互相平行且全等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱体，柱体分为圆柱和棱柱，据此进行判断即可．
【详解】解：柱体有①③④⑤⑥，共5个．
故答案为：5．
考点2：立体图形展开图
典例2：下列图形中三棱柱的表面展开图可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何体展开图的认识
【分析】本题考查了三棱柱的展开图，关键用两个底面的位置来判断．
根据三棱柱的两个底面是三角形，并且在上下的两侧，直接判断即可．
【详解】解：三棱柱的两个底面是三角形，并且在上下的两侧，三个侧面是长方形，可判断B正确；
故选：B
【变式1】如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为正方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何体展开图的认识
【分析】本题主要考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及几何体的展开图逐一判断即可，熟练掌握几何体的展开图是解决此题的关键．
【详解】A、带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式，不符合题意；
B、能折叠成原几何体的形式，符合题意；
C、带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式，不符合题意；
D、不是这个几何体的表面展开图，不符合题意；
故选：B．
【变式2】如图是三种几何体的表面展开图，则该三种几何体由左到右分别是 ．
【答案】圆锥、圆柱、三棱柱
【知识点】几何体展开图的认识
【分析】本题考查了立体图形的展开与折叠，圆是圆锥的底面，半圆是圆锥的侧面；两个圆是圆柱的两个底面，长方形是圆柱的侧面；两个三角形是三棱柱的两个底面，三个长方形是三棱柱的侧面．
【详解】图中三种图形由左到右分别是圆锥、圆柱、三棱柱的表面展开图，
故答案为：圆锥、圆柱、三棱柱．
【变式3】如图A、B、C、D四个图形，它们能折叠成的立体图形依次是 ．
A．B．C．D．
【答案】圆柱、五棱柱、圆锥、三棱柱
【知识点】几何体展开图的认识
【分析】本题考查立体图形的折叠．根据平面图形的特点进行判断即可．熟记常见立体图形的展开图，是解题的关键．
【详解】解：A．侧面是长方形，两个底面是圆，所以叠成的立体图形是圆柱；
B． 侧面是长方形，两个底面是五边形，所以叠成的立体图形是五棱柱；
C． 侧面是扇形，底面是圆，所以叠成的立体图形是圆锥；
D． 侧面是3个长方形，两个底面是三角形，所以叠成的立体图形是三棱柱；
故答案为：圆柱，五棱柱，圆锥、三棱柱．
考点3：正方体展开图
典例3：下图不是正方体展开图的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方体几种展开图的识别
【分析】本题主要考查的是几何体的展开图，掌握正方体的展开图的特点是解题的关键．围成正方体的“一四一”，“二三一”，“三三”，“二二二”的基本形态要记牢，据此即可判断答案．
【详解】解：A．该图属于“二三一”型，是正方体展开图；
B．该图不是正方体展开图；
C．该图属于“二二二”型，是正方体展开图；
D．该图属于“三三”型，是正方体展开图．
故选B．
【变式1】如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成一个正方体后，与“学”相对的是（ ）
A．祝 B．你 C．进 D．步
【答案】C
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题主要考查正方体的平面展开图，根据正方体的平面展开图特点进行解答即可．
【详解】解：与“学”相对的是：进；
故选：C．
【变式2】如图是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，其中哪两个完全相同 ．
【答案】（2）（4）．
【知识点】含图案的正方体的展开图
【分析】首先确定每个图形的对面是谁，然后再找同一个基准图形，将其周围四个图案按照顺时针或逆时针的顺序排列，就会发现其不同，从而找到答案．
【详解】解：∵（1）菱形对面是×，正方形对面是※，+对面是○；
（2）菱形对面是×，○对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）；
（3）菱形对面是×，○对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，菱形，正方形，X）；
（4）菱形对面是×，○对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）．
∴两个完全相同的是（2）（4）．
故答案为：（2）（4）．
【点睛】本题考查立体图形的展开图．培养了学生的立体思维与空间想象能力，注意找同一个基准图形，再将其周围四个图案按照顺时针或逆时针顺序排列．
【变式3】如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是 ．
① ② ③ ④
【答案】④
【知识点】含图案的正方体的展开图
【分析】根据正方体的表面展开图进行分析解答即可．
【详解】根据正方体的表面展开图，
①选项两条黑线在一列，折叠后成对面了，故①错误；
②选项两条相邻成直角，故②错误；
③选项正视图的斜线方向相反，故③错误；
④选项符合条件；
故答案为：④．
【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
考点4：点、线、面、体的联系
典例4：生活中有下列两个现象，对于这两个现象的解释正确的是（ ）
现象1：打靶瞄准
现象2：燃放的烟花在天空形成美丽的弧线
A．均用“两点之间线段最短”来解释 B．均用“两点确定一条直线”来解释
C．现象1用“两点之间线段最短”来解释，现象2用“线动成面”来解释 D．现象1用“两点确定一条直线”来解释，现象2用“点动成线”来解释
【答案】D
【知识点】两点确定一条直线、点、线、面、体四者之间的关系
【分析】本题考查的是线段的性质、直线的性质及点、线、面、体，熟知两点确定一条直线；点动成线是解题的关键．根据线段的性质、直线的性质及点、线、面、体解答即可．
【详解】解：现象1用“两点确定一条直线”来解释，现象2用“点动成线”来解释．
故选：D．
【变式1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
①经过刨平的木板上两点，能且只能弹出一条笔直的墨线；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③从到架设电线，为使材料更省总是尽可能沿线段架设；
④在墙上挂条幅时，至少要钉两个钉子才能牢固．
A．②④ B．①④ C．②③ D．③④
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短、两点确定一条直线、点、线、面、体四者之间的关系
【分析】此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线．①④根据“两点确定一条直线”解释，③根据两点之间线段最短解释，②用点动成线解释．
【详解】解：①经过刨平的木板上两点，能且只能弹出一条笔直的墨线；④在墙上挂条幅时，至少要钉两个钉子才能牢固，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“点动成线”来解释；
③从到架设电线，为使材料更省总是尽可能沿线段架设，可以用基本事实“两点这间线段最短”来解释；
故选：B
【变式2】（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ；
（2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ；
（3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ；
（4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ．
【答案】 面与面相交得到线 点动成线 线动成面 面动成体
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】题目考查了点、线、面之间的动态关系，理解生活中的点、线、面关系是解题的关键．
【详解】（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为面与面相交得到线；
故答案为：面与面相交得到线
（2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为点动成线；
故答案为：点动成线
（3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为线动成面；
故答案为：线动成面
（4）长方形绕它的一边所在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为面动成体．
故答案为：面动成体
【变式3】用数学原理分析下列生活实例：
（1）钢笔写字 ；
（2）自行车的辐条运动形成几何图形 ；
（3）直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥体 ．
【答案】 点动成线 圆形 面动成体
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体进行判断即可．
【详解】解：（1）钢笔的笔尖可以近似看作是一个点，写字的笔画可以看作线，
因此钢笔写字可以解释为：点动成线，
故答案为：点动成线；
（2）行车的辐条看成线段，线动成面，可得辐条运动形成几何图形是圆形，
故答案为：圆形；
（3）直角三角形看成面，根据面动成体，可得转动一周所得到的几何体为圆锥，
故答案为：面动成体．
【点睛】本题考查点、线、面、体，理解点动成线，线动成面，面动成体是正确判断的前提．
考点5：平面的旋转
典例5：如图所示，将梯形绕它的长底边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查平面图形旋转得到几何体；根据基本图形是梯形，绕它的长底边旋转得到的几何体是圆锥与圆柱组合体即可．
【详解】解：将梯形绕它的长底边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是圆锥下面是圆柱的组合体，
故选：D．
【变式1】将下列各选项中的平面图形绕虚线旋转一周可以得到如图所示的几何体的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了面动成体，根据面动成体即可得出结论．
【详解】解：选项D绕虚线旋转一周可以得到如图所示的几何体，
故选：D．
【变式2】以如图所示的三角形的边为轴旋转一周后所得到的几何体可以是右图中的 填序号．
【答案】（2）（3）（4）
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】根据旋转体的定义，直角三角形绕其边为轴旋转一周，形成几何图形，可得答案．
【详解】解：绕边所在的直线旋转一周所成的几何体是（2），绕边所在的直线旋转一周所成的几何体是（3），绕边所在的直线旋转一周所成的几何体是（4），
故答案为：（2）（3）（4）．
【点睛】此题主要考查了点、线、面、体，旋转体的定义，熟练掌握各种旋转体是由哪个基本图形旋转得到的是解答本题的关键．
【变式3】如图，立体图形是由哪一个平面图形旋转得到的？请按对应序号填空．
对应 ，对应 ，对应 ．
【答案】 a d e
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】根据面动成体的特点解答．
【详解】解：a旋转得到的图形为圆锥，b旋转得到的图形为圆台，c旋转得到的图形为上下两个圆锥组成的组合图形，d旋转得到的图形是上面是一个圆台，下面是一个圆柱组成的组合图形，e旋转得到的图形是上面是一个圆锥，下面是一个圆柱组成的组合图形，
∴A对应a，B对应d，c对应e，
故答案为：a，d，e．
【点睛】本题主要考查了面动成体的知识，具有良好的空间想象能力是解题的关键．
考点6：截一个几何体
典例6：如图，一个密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，任意放置这个玻璃杯，则水面的形状不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】截一个几何体
【分析】本题考查了截一个几何体．根据圆柱体的截面形状，判断即可．
【详解】解：因为圆柱的截面形状可能是圆形，椭圆形或长方形，
所以，一个密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，任意放置这个玻璃杯，则水面的形状不可能是三角形，
故选：D．
【变式1】将下列几何体沿如图所示的方向截开，所得截面的形状与其他三个不同的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【知识点】截一个几何体
【分析】本题考查截一个几何体，根据图片一一得出几何体截开后所得截面的形状即可得出答案．
【详解】解：项截开后所得截面的形状是矩形，项截开后所得截面的形状是矩形，
项截开后所得截面的形状是矩形，项截开后所得截面的形状是三角形，
故选：D．
【变式2】将正方体切去一块后，得到如图所示的几何体有 个面，有 个顶点，有 条棱．
【答案】
【知识点】截一个几何体、几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查了截一个几何体，根据几何体的特征，即可解答．
【详解】解：将正方体切去一块后，得到如图所示的几何体有个面，有个顶点，有条棱，
故答案为：；；．
【变式3】写出如图所示的四个几何体的截面的形状：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【答案】 圆 长方形 六边形 三角形
【知识点】截一个几何体
【分析】本题考查了截一个几何体，目的是培养学生的空间想象能力和动手操作能力．根据截面的方式解答即可．
【详解】解：（1）由图可知，截面是圆；
（2）由图可知，截面是长方形；
（3）由图可知，截面是六边形；
（4）由图可知，截面是三角形；
故答案为：（1）圆；（2）长方形；（3）六边形；（4）三角形．
考点7：七巧板的应用
典例7：如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（ ）
A．第⑥块的面积是第①块的4倍
B．图中的等腰直角三角形一共有8个
C．第③块的面积是整个面积的
D．第②块的面积与第⑤块的面积相等
【答案】C
【知识点】用七巧板拼图形
【分析】本题考查了三角形，解题的关键是了解七巧板，（七巧板是由五块等腰直角三角形两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形，一块正方形和一块平行四边形组成）．设①和③的面积为，计算其他几块的面积即可解答．
【详解】解：设①和③的面积为，
则②的面积为，④的面积为，⑤的面积为，⑥和⑦的面积为，
∴整个三角形的面积为，
∴第⑥块的面积是第①块的倍，选项不符合题意；
图中的等腰直角三角形一共有个，选项不符合题意；
第③块的面积是整个面积的，选项符合题意；
第②块的面积与第⑤块的面积相等，选项不符合题意，
故选∶．
【变式1】（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它由七个板块组成，用如图所示的七巧板拼图，下列说法正确的是（ ）
A．能拼成平行四边形，不能拼成矩形
B．不能拼成平行四边形，能拼成矩形
C．既能拼成平行四边形，也能拼成矩形
D．既不能拼成平行四边形，也不能拼成矩形
【答案】C
【分析】本题考查了七巧板的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．根据七巧板的拼法进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
由图可得，七巧板既能拼成长方形，也能拼成平行四边形，
故选：C．
【变式2】七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】用七巧板拼图形、根据正方形的性质求面积
【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意，，
∴图中阴影部分的面积为
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式3】沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
【答案】
【知识点】用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形、矩形性质理解、正方形性质理解
【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
∴根据勾股定理可知，长方形的对角线长：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是所拼成的正方形的特点确定长方形的长与宽．
考点8：直线、射线、线段
典例8：如图，点M，P，N是直线l上从左至右的三个点，下列说法错误的是（ ）
A．点P在直线上 B．点P在线段上
C．点N在线段上 D．点N在射线上
【答案】C
【知识点】直线、射线、线段的联系与区别
【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键．
根据直线、射线、线段的定义进行判断即可．
【详解】解：A．点P在直线上，正确，故选项A不符合题意；
B．点P在线段上，正确，故选项B不符合题意；
C．点N在线段的延长线上，故选项C错误，符合题意；
D．点N在射线上，正确，故选项D不符合题意．
故选：C．
【变式1】下列几何图形与相应语言描述相符的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、点与线的位置关系
【分析】本题考查两直线的位置关系，射线、线段的特征，点与直线的位置关系．根据两直线的位置关系，射线、线段的特征，点与直线的位置关系逐图判断即可．
【详解】由第1个图可知，直线a、b相交于点A，正确，符合题意；
由第2个图可知，射线与线段有公共点，故原说法错误，不符合题意；
由第3个图可知，延长线段和图示相符，符合题意；
由第4个图可知，直线不经过点A，故原说法错误，不符合题意；
故几何图形与相应语言描述相符的有2个．
故选B．
【变式2】如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点
【答案】190
【知识点】图形类规律探索、直线相交的交点个数问题
【分析】根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式：．
【详解】解：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有个交点；
4条直线相交最多有个交点；
5条直线相交最多有个交点；
20条直线相交最多有．
故答案为：190．
【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有．
【变式3】直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有 个点．
【答案】16097
【知识点】图形类规律探索、直线、线段、射线的数量问题
【分析】根据题意分析，找出规律即可得解．
【详解】解：第一次：2013+（2013﹣1）=2×2013﹣1，
第二次：2×2013﹣1+2×2013﹣2=4×2013﹣3，
第三次：4×2013﹣3+4×2013﹣4=8×2013﹣7．
∴经过3次这样的操作后，直线上共有8×2013﹣7=16097个点，
故答案为160
考点9：两点确定一条直线
典例9：下列生活中出现的现象，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）
A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B．值日时，只要定出这列最前面和最后面两张课桌的位置，就能将其余课桌按这条直线摆放
C．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程
D．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短、两点确定一条直线
【分析】本题考查了两点之间线段最短，结合实际情况，掌握直线的确定方法，两点之间线段最短的知识是解题的关键．根据两点确定一条直线，及两点之间线段最短进行判定即可求解．
【详解】解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，运用的两点确定一条直线，不符合题意；
B、值日时，只要定出这列最前面和最后面两张课桌的位置，就能将其余课桌按这条直线摆放，运用的两点确定一条直线，不符合题意；
C、在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，运用的是两点之间线段最短，符合题意；
D、经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，运用的两点确定一条直线，不符合题意；
故选：C ．
【变式1】要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．两点能够确定多条直线 D．点动成线
【答案】A
【知识点】两点确定一条直线
【分析】本题考查了直线公理，根据两点确定一条直线即可求解，掌握直线公理是解题的关键．
【详解】解：要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是两点确定一条直线，
故选：．
【变式2】下列四种实践方式：①木匠弹墨线；②打靶瞄准；③弯曲公路改直；④拉绳插秧．其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（填序号） ．
【答案】①②④
【知识点】两点确定一条直线、两点之间线段最短
【分析】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案．
【详解】解：①木匠弹墨线；②打靶瞄准；④拉绳插秧，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，③弯曲公路改直，利用的是“两点之间，线段最短”的知识．
故答案为：①②④．
【变式3】下列可用“两点确定一条直线”来解释的现象有 （填写所有正确结论的序号）
①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面．
【答案】①③/③①
【知识点】两点确定一条直线
【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线，两点之间线段最短是解答本题的关键．
根据直线的性质分析即可．
【详解】①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用“两点之间，线段最短”来解释；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”来解释；
④打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，可用线动成面来解释；
故符合题意有只有①③．
故答案为：①③．
考点10：线段和与差的计算
典例10：如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从点P，B出发以，的速度沿直线向左运动（点C在线段上，点D在线段上），运动的时间为．
(1)当时，，的长为 ；
(2)若点C，D运动到任一时刻时，总有，请求出的长；
(3)在（2）的条件下，若Q是直线上一点，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】两点间的距离、线段的和与差
【分析】本题考查线段的和差，弄清线段之间的数量关系是解题的关键．
（1）（2）根据“路程＝速度×时间”分别将表示出来，根据及线段间的数量关系计算的长即可；
（3）根据的长及线段间的数量关系，分别计算点Q在线段上、点Q在延长线上两种情况下的长即可．
【详解】（1）解：当时，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：将和分别代入，得，
解得，
∴；
（3）解：当点Q在线段上时：
∵，，
∴，
∴；
当点Q在延长线上时：
∵，
∴，
∴，
综上所述：或．
【变式1】如图，，点是线段上一点，且，点C从点A出发，以的速度向点B运动．同时点D从点P出发，以的速度沿射线运动，设运动的时间为．
(1)当时，___________，__________，此时线段，，之间的数量关系是___________．
(2)当点C在线段上运动时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)当点C在线段上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】(1)，，
(2)，见解析
(3)
【知识点】线段的和与差、整式的加减运算
【分析】本题考查整式的加减，射线，线段的和差，熟练掌握整式的加减法则是解题的关键．
（1）根据题意分别求得，长度，找数量关系即可求解；
（2）根据题意可知，根据，即可求解；
（3）当点C在线段上运动时，分别求出，，的长度，找数量关系即可求解．
【详解】（1）解：当时，
；
，
此时，；
故答案为：，，
（2）解：猜想：；
证明：当点C在线段上运动时，
根据题意可知：，，
，
，
即；
（3）解：猜想；
证明：点C在线段上运动时，
，
，
，
，
则．
【变式2】如图1，已知点在线段上，且，．
(1)若，，求线段的长；
(2)若为线段上任意一点，且满足，其他条件不变，请写出线段的长，并说明理由；
(3)如图2，若为线段延长线上任意一点，且满足，，，请你猜想的长，写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【知识点】线段的和与差
【分析】本题考查线段的和差倍分，正确表示出各线段的数量关系是解题关键．
（1）由，设，，则，再由可得，进而可得，再根据，得出，进而可得，然后根据可得的长；
（2）由设，，则，再由，设，，可得，，再根据可得，进而根据可得的长；
（3）先由设，，则，再由可设，，则，，再根据得，然后由可得的长．
【详解】（1）解：∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：猜想：，理由如下：
∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴．
【变式3】在数轴上有A、B两点，点A在点B的左边，若点A表示的数为，线段．
(1)点B表示的数为___________；
(2)在线段上有一点M满足，数轴上有一动点N从点A出发向右运动，若某一时刻，求此时的长度．
【答案】(1)5
(2)4或8
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、线段的和与差
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，线段的和差，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据两点间的距离公式计算即可得解；
（2）分两种情况：当点N在线段上时，当点N在线段的延长线上时，分别根据线段的和差计算即可得解．
【详解】（1）解：∵点A在点B的左边，点A表示的数为，线段，
∴点B表示的数为．
（2）解：当点N在线段上时，如答图①，
∵，，
∴，
∴；
当点N在线段的延长线上时，如答图②，
∵，，
∴．
综上所述，的长度为4或8．
考点11：线段的中点问题
典例11：如图：A、M、N、B四点在同一直线上．
(1)若．
①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）；
②若且，则的长为 ；
(2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长．
【答案】(1)①=；②21
(2)
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键．
（1）①根据等式的性质，得出答案；②求出的值，在求出的长，进而求出的长即可；
（2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
即：，
故答案为：=；
②∵，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：21；
（2）解：如图1所示，
设每份为x，则，，，
∵P是的中点，点Q是的中点，
∴，
又∵，
∴，
解得，，
∴．
【变式1】已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）．
(1)若M，N分别是的中点，求的长度；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键．
（1）由中点的定义可得，，然后根据求解即可；
（2）由，可得，，然后根据求解即可；
（3）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可．
【详解】（1）∵M，N分别是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
当点G在线段上时，；
当点G在线段的延长线上时，．
综上可知，的长度为或．
【变式2】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．嘉琪在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：（1）如图1，在数轴上，三个有理数从左到右依次是，m，，借助圆规，在数轴上画出原点O；
操作二：（2）折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与数2与表示的点重合，数m表示的点与数表示的点重合，求m；
操作三：（3）从数轴上（如图2）剪下9个单位长度（从到8）的部分（不考虑宽度），并把这条数轴沿数m所在点竖直折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，直接写出m的值．
【答案】操作一：；操作二：2024；操作三：，，
【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、线段之间的数量关系
【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，
（1）根据，相距一个单位，故原点在右边一个单位处，利用刻度尺测量即可得出答案；
（2）根据对称性可列出方程计算即可；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是，由题意可得：，
根据三条线段的长度之比为，设每一份为，可列，解得：，
如图1，当时，设，，，得出、、的值，计算得的值，同理可得出如图2、3对应的的值．
【详解】解：（1），相距一个单位，故原点在右边一个单位处，
如图：原点即为所求；
（2）由折叠可知：
，
解得：；
故答案为：2024；
（3）设折痕处对应的点所表示的数是，
如图1，
由题意可得：，
三条线段的长度之比为，
设每一份为，
，
解得：，
当时，
则，，，
，，，
，
如图2，
当时，
则，，，
，，，
，
如图3，
当时，
则，，，
，，
，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
【变式3】图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：_________；
（2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求的长．
【答案】（1）；（2），；（3）
【知识点】线段之间的数量关系、用勾股定理解三角形、平行四边形性质和判定的应用、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）；
（2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果；
（3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果．
【详解】解：（1），
，
故答案为：；
（2）、、、均与所在直线平行，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3）如图，
作于，
，
，，
，
设，则，，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识．
考点12：线段的动点问题
典例12：如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为．
(1)当时，，请求出的长；
(2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长；
(3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题
【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键．
（1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解；
（2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解；
（3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可．
【详解】（1）解：当时，，，
则，
∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
则；
（2）解：设运动时间为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
则；
（3）解：当点在线段上时，
∵，
∴,
∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴；
当点在的延长线上时，
．
综上所述，或．
【变式1】已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）．
(1)若，求和的长；
(2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．
①如图，当点E为中点时，求的长；
②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长．
【答案】(1)，
(2)①6.5；②或．
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、与线段有关的动点问题
【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键．
（1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长；
（2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，，根据点E是的中点，可得出，由，再根据计算即可得出结果；
②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，．
∵，，，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：①如图所示．
∵，，
∴，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
②分两种情况：
（i）如图1所示，当点F在点C右侧时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（ii）如图2所示，当点F在点C左侧时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【变式2】如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为．
根据题意回答下列问题：
(1)当时，______；当时，______．
(2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点．
①若，求线段的长；
②若，求线段的长．
【答案】(1)，
(2)①，②线段的长为或
【知识点】线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)、线段之间的数量关系、与线段有关的动点问题
【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键；
（1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解；
（2）①由题意，得，，根据相遇关系列方程，求得的值，求出的值，进而求解；
②根据题意，求得的长度，进而分情况讨论，即可求解；
【详解】（1）解：当时，，
，
当时，，，
，
故答案为：，
（2））①由题意，得，，
当点，相遇时，，，
则，
所以，
因为，
所以，
所以；
②由①可得，，
因为，
所以，
当点C在点D左侧时，，
当点C在点D右侧时，，
故线段的长为或．
【变式3】如图1，已知线段，点、、在线段上，且．
(1)__________，__________；
(2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为．
①求为何值，线段的长为；
②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)16，8
(2)①或或；②存在，
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段n等分点的有关计算、与线段有关的动点问题
【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形．
（1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果；
（2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在上，N在上），此时即可列出方程求得，当M点返回时，点M在上，点N在上，此时，列出方程求得，
【详解】（1）解：，，
故答案是：16，8；
（2）①当M、N第一次相遇时，，
当M到达E点时，，
如图1，
当时，，
∴，
如图2，
当时，，
∴，
如图3，
当时，，
∴，
综上所述：或或；
②如图4，
当时，
由得，，
∴，
如图5，
当时，，
∴，此时不构成四边形，舍去
综上所述：．
考点13：两点之间线段最短
典例13：为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短．熟练掌握轴对称的性质，两点之间线段最短是解题的关键．
由轴对称的性质可知，，由两点之间线段最短可知，是最小的，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，C到A，B两小区的距离之和为，
由轴对称的性质可知，，
由两点之间线段最短可知，是最小的，
故选：D．
【变式1】如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把长方体按照三种方式展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理分别求出的长度即可求解，正确画出长方体的展开图是解题的关键．
【详解】解：将长方体按如图所示展开，连接，根据两点之间线段最短，线段为点到点的最短路线，此时；
将长方体按如图所示展开，得；
将长方体按如图所示展开，得；
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路线的长是，
故选：．
【变式2】（文化情境·传统文化）过新年，剪窗花，是春节的传统习俗，寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．小铭同学在“剪纸”活动时发现一个有趣的现象：如图，将一个正方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原正方形周长．能正确解释这一现象的数学依据是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【分析】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
根据两点之间，线段最短进行解答．
【详解】解：把一个长方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原长方形周长．能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短
【变式3】如图，点C、D在线段的同侧，，，，M是的中点，，则长的最大值是 ．
【答案】13
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质、两点之间线段最短
【分析】本题主要考查了翻折变换的运用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．作点关于的对称点，作点关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：∵M是的中点，，
∴，
如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，
则，，
∴,
，
，
，
，
，
∴为等边三角形，
∴
，
的最大值为13，
故答案为：13．
考点14：两点之间的距离
典例14：已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从点M、B出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点C在线段上，点D在线段上）
(1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空）
(2)当点C、D运动了时，求的值；
(3)若点C、D运动时，总有，则 （填空）；
(4)在（3）的条件下，N是直线上一点，且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)或1
【知识点】线段的和与差、两点间的距离
【分析】本题主要考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
（1）依据题意，根据运动速度和时间分别求得的长，根据线段的和差计算可得；
（2）依据题意，当点C、D运动了时，有，从而由可得答案；
（3）根据C、D的运动速度知，再由已知条件求得，所以；
（4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上分别求解可得．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，．
故答案为：，；
（2）解：由题意，当点C、D运动了时，有，
∵，
∴；
（3）解：由题意，根据C、D的运动速度知：，
∵，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（4）解：①当点N在线段上时，如图1，
，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
②当点N在线段的延长线上时，如图2，
∵，
又∵，
∴，
∴．
综上所述或1．
【变式1】【问题情境】已知A，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上．
【初步应用】（1）如图1，点是线段的中点，，求线段的长度；
【迁移应用】（2）若点是直线上的一点，且满足，，求线段的长度．
【答案】（1）10；（2）或
【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差
【分析】本题主要考查线段中点的定义、两点间的距离，学会利用数形结合和分类讨论思想是解题关键．
（1）由线段中点的定义可得，再由求得，于是；
（2）分三种情况讨论：点在线段上，分别求得，，则；点在点的右侧，分别求得，，则；点在点的左侧，此种情况不满足题意．
【详解】解：（1）因为，点是线段的中点，
所以．
又因为，，
所以，，所以．
（2）①如图，当点在线段上时，
因为，，所以，
所以；
②如图，当点在点的右侧时，
因为，，
所以，所以，
所以；
③当点在点的左侧时，此时不存在符合题意的点，舍去．
综上所述，线段的长度为或．
【变式2】如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离
【分析】本题考查两点间的距离．
（1）根据线段的比，可设，则，，由求出的值即可；
（2）根据线段的比，可设，则，，再根据线段中点的定义得出，由列方程求出的值，再根据进行计算即可．
【详解】（1）解：由于，可设，则，，
，
，
，，，
是线段的中点，
，
；
（2）解：由于，可设，则，，
是线段的中点，
，
，
，即，
解得，
．
【变式3】数轴上有线段（点A在点B的左侧），C为线段上一点，且．
(1)求线段的长；
(2)若点M为直线上的一点，线段的中点为N，且，求线段AM的长．
【答案】(1)20，10
(2)或160
【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查的是线段的和差问题、数轴上线段的中点对应的数、两点之间的距离、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．
（1）先画出图形，再由可得，再结合求解即可；
（2）以A为原点画数轴，分三种情况讨论，当M在A的左侧，当M在线段上，当M在B的右侧，利用数轴与数轴上线段的中点知识，结合数轴上两点之间的距离分别表示，再利用建立方程求解即可解答．
【详解】（1）解：如图：∵，
①，
又∵，
∴得：，解得：，
∴．
（2）解：如图，以A为原点画数轴，设M对应的数为m，
当M在A的左侧时，，则，不符题意舍去；
，
当M在上时，
∵线段的中点为N，
∴N对应的数为：，
∴此时N在上，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴；
当M在B的右侧时，如图:
同理：，
∵，
∴，
∴，
∴，
或，
解得：（舍去）或，
∴．
综上：的长为或．
考点15：最短路径问题
典例15：如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为．
(1)画出并写出点的坐标为______
(2)写出的面积为______
(3)在x轴上找出点P，使得的值最小，并写出最小值为______．（保留作图痕迹）
【答案】(1)图见解析，
(2)3.5
(3)图见解析，
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、最短路径问题、勾股定理与网格问题、画轴对称图形
【分析】（1）根据网格结构找出点、关于轴的对称点、的位置，再与顺次连接即可，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标；
（2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解；
（3）找出点关于轴的对称点位置，连接，根据轴对称确定最短路线问题与轴的交点即为所求的点，再由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所作，；
由图可得：．
（2）解：的面积
；
（3）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，
∵点A关于x轴的对称点，
∴，
∴
根据两点之间线段最短，此时，值最小，最小值等于的长，
∵，
∴最小值等于．
【点睛】本题考查了作轴对称图形，三角形的面积，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，点的坐标，熟练掌握轴对称图形的性质，网格结构，准确作出图形是解题的关键．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中，，．
(1)在图中画出关于x轴的对称图形；
(2)分别写出对应点，，的坐标；
(3)请在图中的x轴上找一点P，使得的值最小，并直接写出点P的坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)，，
(3)图见解析，
【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到；
（2）根据（1）中图象读出点的坐标即可；
（3）连接，与x轴交于点P，即为所求，然后读出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，关于轴的对称图形，
（2），，．
（3）解：连接，与x轴交于点P，即为所求，
∴，则，
由图得点P的坐标为．
【变式2】如图，在中，，．
(1)求的长；
(2)点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值．
【答案】(1)8
(2)
【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、最短路径问题
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质解决最短路径问题是解答的关键．
（1）证明是等边三角形即可求解；
（2）作点E关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，则当三点共线且时，最小，即此时最小，利用等边三角形的性质得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，作点E关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴当三点共线且时，最小，即此时最小，
∵，
∴三点共线，
∵在等边三角形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式3】已知在平面直角坐标系中三点，，．请回答如下问题：
(1)在坐标系内作出关于y轴对称的，并直接写出的坐标______；
(2)直接写出的面积______；
(3)在x轴上画出点P，使最小，则最小值为______；（不用写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)作图详见解析；
(2)
(3)作图详见解析，
【知识点】利用网格求三角形面积、画轴对称图形、勾股定理与网格问题、最短路径问题
【分析】本题主要考查轴对称变化，最短问题，找出对应点是解题的关键．
（1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到对应点即可得到答案；
（2）根据分割法求解即可；
（3）作关于轴的对称点，连接交x轴与点P，则点P即为所求，此时．
【详解】（1）解：如图，为所求．
点；
（2）解：；
（3）解：如图，点为所求，
作关于轴的对称点，连接交x轴与点P，则点P即为所求，此时使最小，即．
∴，
∴则最小值为．
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