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专题04 全等三角形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；根据三角形的内角和定理求出，再根据全等三角形的性质求出．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：．
2．如图，，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且，则的长为（ ）
A．12 B．7 C．5 D．14
【答案】A
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵ ，，
，
．
故选：A．
3．小明在家里玩耍时，不小心把橱柜的一块三角形的玻璃碰碎成四块，如图所示，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（ ）
A．只带①去 B．带②③去 C．带①③去 D．只带④去
【答案】D
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】此题主要考查全等三角形的判定方法，已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．解题的关键是灵活运用三角形全等的判定．
【详解】解：第①块和第②③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第④块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．应带④去．
故选：．
4．如图，在中，点是边和的垂直平分线、的交点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理、线段垂直平分线的性质、同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】由题意可知点O为△ABC的外接圆圆心，由圆周角定理可求得∠A=∠BOC=50°，根据等角的余角相等得到∠EOF=∠A=50°．
【详解】解：∵点是边和的垂直平分线、的交点，
∴点O为△ABC的外接圆圆心，∠ADF=∠OEF=90°，
∴∠BOC为∠A的所对的弧对应的圆心角，
∵∠BOC=100°，
∴∠A=∠BOC=50°，
∵∠A+∠AFD=90°，∠EOF+∠EFO=90°，
∴∠EOF=∠A=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、三角形外心定义、圆周角定理、同角的余角相等，熟练掌握圆周角定理和垂直平分线的性质，熟知三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解答的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在BC上，DF平分∠ADE，DE⊥EF，则BF长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】矩形性质理解、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】依据矩形的性质以及勾股定理即可得到BE的长，设BF=x，则AF=EF=3﹣x，再根据Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即可得到方程12+x2=（3﹣x）2，解方程即可得出BF的长．
【详解】解：∵矩形ABCD中，DF平分∠ADE，DE⊥EF，
∴∠ADF=∠EDF，∠A=∠DEF=90°，
又∵DF=DF，
∴△ADF≌△EDF（AAS），
∴DE=DA=5，AF=EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠B=90°，CD=AB=3，BC=AD=5，
∴Rt△CDE中，CE==4，
∴BE=BC﹣CE=5﹣4=1，
设BF=x，则AF=EF=3﹣x，
∵Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
∴12+x2=(3﹣x)2，
解得x=，
∴BF=，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
6．如图，在中，利用尺规作得的平分线与边的垂直平分线交于点P，有如下结论：①若，则点P到点A，B的距离相等；②若，则点P到的距离相等．其中正确的结论（ ）．
A．只有① B．①②都对 C．只有② D．①②都不对
【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、三线合一
【分析】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，根据它们的性质分别证明即可得出答案．
【详解】解：①当时，如图，
∵是的平分线，
∴
∴是线段的垂直平分线，
∵点是上的一点，
∴，故①正确，
②当时，过点作垂足分别为如图，
∵是的垂直平分线，
∴
连接，则,
∴与重合，
∴是的平分线，
∴故②正确，
综上，正确的结论是①和②，
故选：B．
7．如图，在中，，两直角边，在三角形内有一点P到各边的距离相等，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】C
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，
利用等面积法求出，再判定四边形为正方形，进而利用勾股定理即可求解；
【详解】解：在中，
由勾股定理可得：,
设
则，
即：，
解得：，
即，
，且，
四边形为正方形，
在中，
，
故选：C
8．在和中， ， ， ， 若， 则 （ ）
A． B．
C． D．不只是，还有可能是其他值
【答案】D
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知可知无法判断和是否全等，进而可得的度数不只是，还有可能是其他值，据此即可求解，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：∵， ， ，
∴无法判断和是否全等，
∴的度数不只是，还有可能是其他值，
故选：．
9．如图，在正方形中，若，点在上，点在上，则①；②；③，④．其中一定成立的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【知识点】根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是是解决本题的关键．
延长至点，使得，连接，过点作于点，先证明，根据性质结合正方形的性质证明，则，由得到，故①正确；设正方形边长为，即，则，故，因此②正确；证明，则，，故③正确；证明，则，故④正确．
【详解】解：延长至点，使得，连接，过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴①正确；
设正方形边长为，即，
∴，
∴，
∴②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴④正确，
∴正确的有①②③④，
故选：A．
10．如图，为等边三角形，，，于R，于S，则下列四个结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题
【分析】首先根据角平分线上点的性质，推出①正确，然后通过求证和全等，推出②正确，再根据，推出相关角相等，通过等量代换即可得，即可推出③正确，依据等边三角形的性质和外角的性质推出，便可推出结论④．
【详解】解：∵，，
∴P在的平分线上，
∴平分，故①正确；
在和中，
，
∴，
∴，，故②正确；
∵，
∴，
∴
∴，故③正确；
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故④正确
∴①②③④项四个结论都正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角，直角三角形的性质，平行线的判定，关键在于熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定定理，认真推理计算相关的等量关系．
11．如图，点P是的角平分线上一点，于点D，垂直平分，若，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】过点P作于点F，由角平分线的性质得到，即可判断A正确；由垂直平分得到．，即可判断B正确；得到．则．即可判断C正确，无法判断，则判断D错误．
【详解】解：如图，过点P作于点F，
∵点P是的角平分线上一点，于点D，
∴，．
故选项A正确，不符合题意；
∵垂直平分，
∴．，故选项B正确，不合题意；
∴．
∴．
故选项C正确，
∴．
∴．
但是无法判断，故D错误，
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识，由已知能够注意到是解决的关键．
12．如图，在中，，以为边，在的另一侧作，且，再以为边，作，点E在边 上，连接．下列结论：①；② ；③；④若，则．其中一定正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】延长至，使，连接，从而得到，进一步证明，且，利用证明，则，，即可判断①②是否正确，通过线段的等量代换运算推导出③是正确的，设，则，然后可得，所以，进而可判断④．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，设与交于点，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
②是正确的，①不正确；
，
∴，
③是正确的，
∵，
∴，
设，则，
，，
，
∴，
④是正确的；
故选C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质与判定，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径，画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边对等角、角平分线的判定定理
【分析】本题考查作图—基本作图、三角形内角和定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．由作图可知，平分，由此可证明，即可解决问题．
【详解】解：在中，，，
，
由作图可知，平分，
，
，
，
故选：B．
14．如图，点为线段上一点，和是等边三角形．下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】先利用手拉手模型证，即可得，①正确；再证，可得，②正确；再根据等边三角形的判定可得③正确；在③正确的基础上可得，得，，进而可证，，即，④不正确；即可得解．
【详解】解：和是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中
，即①正确；
，
，
即，
点C为线段上一点，
且，
，
在和中
，即②正确；
，且，
是等边三角形，即③正确；
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
即，④不正确；
综上，正确的是①②③，
故选：C．
15．如图，若同时平分 与，则可判断，最直接的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定．关键在于通过角平分线推出角相等．
利用平分线的定义得到，，再根据，即可得到结论．
【详解】解：∵同时平分 与，
∴，，
在和中，
∵，
∴．
故选：D．
二、填空题
16．如图，已知，，点，，在同一条直线上，，若，，则等于 ．
【答案】/度
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用
【分析】先根据即可证明，在中，求出，即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
即．
在和中，
∵
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常见题．
17．如图，在正方形中，将边绕点B逆时针旋转至，连接，若，则线段的长度为 ．
【答案】1
【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：过点作于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
将边绕点逆时针旋转至，
，
又，
，
，
，
（负值舍去），
故答案为：1．
18．已知，如图，点C在上，，，，若，则 ．
【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合
【分析】作交的延长线于点N，先根据证明，得到，设，则，根据平行线的性质可证明，得到得到，解出，从而得出，进而得出结果即可．
【详解】解：如图，作交的延长线于点N，
，，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
或（小于零舍掉），
，即，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，一元二次方程的应用，准确作出辅助线是解答本题的关键．
19．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后可拼接成矩形．若，则的面积是 ．
【答案】
【知识点】根据矩形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，由四边形是矩形，得，，从而可证，，根据面积和差得到，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
同理可证：，
∴，，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
∴，
故答案为：．
20．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20 cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 cm．
【答案】8或15/15或8
【知识点】全等三角形的性质、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】设，则，使△ACM与△BMN全等，由可知，分两种情况讨论：当BM=AC，BN=AM时，列方程解得t的值即可得到AC的长；当BM=AM，BN=AC时，列方程解得t的值，可解得AC的长．
【详解】解：设cm，则cm，
，要使得△ACM与△BMN全等，可分两种情况讨论：
当BM=AC，BN=AM时，
解得
cm；
当BM=AM，BN=AC时，
解得
cm
故答案为：8或15．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，涉及分类讨论法、列一元一次方程、解一元一次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝2，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为 ．
【答案】6
【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质
【分析】依据MN垂直平分AB，即可得出AD=BD，进而得到CD+BD=CD+AD=AC，再根据AC=4，BC=2，即可得出△BCD的周长．
【详解】解：依据作图可得，MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴CD+BD=CD+AD=AC=4，
又∵BC=2，
∴△BCD的周长为4+2=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
22．如图，在中，为中线，交于点，若，，，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】过点作于点，则，可得是等腰直角三角形，则，进而证明得出，作于点，则是等腰直角三角形，勾股定理得出，则，进而得出，即可求解．
【详解】如图所示，过点作于点，则
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵为中线，
∴
∴
∵
∴
设，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴，
作于点，则是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
23．如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②④
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、用SAS证明三角形全等（SAS）
【分析】利用同角的余角相等可得∠EDC=∠PDA，利用SAS可证明，可得①正确；②根据全等三角形的性质可得∠APD=∠CED，根据等腰直角三角形的性质可得∠DPE=∠DEP=45°，即可得出∠PEC=90°，可得②正确；过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，利用勾股定理可求出CE的长，根据△DEP是等腰直角三角形，可证△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求出CF的长，可得③错误；④由③可知EF的长，即可得出DF的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求出正方形ABCD的面积，可得④正确，综上即可得答案．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，PD⊥DE，
∴∠PDA+∠PDC=90°，∠EDC+∠PDC=90°，AD=CD，
∴∠EDC=∠PDA，
在△APD和△CED中，
∴△APD≌△CED，故①正确，
∴∠APD=∠DEC，
∵DP=DE，∠PDE=90°，
∴∠DPE=∠DEP=45°，
∴∠APD=∠DEC=135°，
∴∠PEC=∠DEC-∠DEP=90°，
∴AE⊥CE，故②正确，
如图，过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，
∵，∠PDE=90°，
∴PE=，
∵，∠PEC=90°，
∴CE==2，
∵∠DEP=45°，∠PEC=90°，
∴∠FEC=45°，
∵∠EFC=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF=EF==，
∴点到直线的距离为，故③错误，
∴DF=EF+DE=+1，
∴CD2===，
∴，故④正确，
综上所述：正确的结论有①②④，
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、正方形面积公式、勾股定理的运用等知识，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键.
24．如图，正方形中，，E点沿线段由A向D运动（到D停止运动），F点沿线段由C向B运动（到B停止运动），两点同时出发，速度相同，连接，作于P点，则在整个运动过程中P点的运动轨迹长为 ．
【答案】
【知识点】圆的基本概念辨析、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题
【分析】连接，交于点O，利用全等三角形的判定与性质得到点O为正方形的中心，利用得到整个运动过程中P点的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用圆的周长的公式解答即可．
【详解】解：如下图，连接，交于点O，
由题意得：，四边形为正方形，
，
，
，
，
，
O为正方形的中心，
正方形中，，
，
，
，
，
，
整个运动过程中P点的运动轨迹为以为直径的半圆，
整个运动过程中P点的运动轨迹：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，点的轨迹的性质，圆，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质确定出点的轨迹是解题的关键．
25．平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形
【分析】如图，取点，连接，，作，垂足为点，即，证明，则，由，可知当点三点共线时，有最小值，在中，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：当，当，
∴，
如图，取点，连接，，作，垂足为点，即，
在和中，
∵，
∴，
，
，
当点三点共线时，有最小值，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数等知识．解题的关键在于添加适当的辅助线．
三、解答题
26．如图，直角梯形中，为边上的中点，过作，交边于，是边上一点，且有，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】根据正方形的性质与判定证明、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】（1）根据，求出，证明得出，进一步得出答案即可；
（2）过点作的垂线，垂足为点，延长和交于点，首先得出四边形是正方形，证明和，结合，得出对应的角相等，整理得出结论即可．
【详解】（1）证明：如图，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
为边上的中点，
，
；
（2）证明：如图，过点作的垂线，垂足为点，延长和交于点，
，
，，
四边形是正方形，
，
为边上的中点，，
为边上的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，综合运用性质进行证明，添加适当的辅助线是解此题的关键．
27．如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、．
(1)在图①中证明；
(2)如图②，当时，连接，求的面积；
(3)在的旋转过程中，直接写出的面积S的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）根据和为等边三角形得到对应边和角相等，再利用角度的变化即可求证全等；
（2）利用得，过点A作交与点H，过点D作交与点G，再利用含的直角三角形解得的值，结合面积公式即可求得；
（3）利用第二问结论，分析出的面积最大时与在同一条直线上，且点D在外部，的面积最小时与在同一条直线上，且点D在内部，根据三角形面积公式即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵、均为等边三角形，
∴，
∵
∴，
在和中，
∴．
（2）连接，同理有成立，得，
∵，
∴，
过点A作交与点H，过点D作交与点G，如图，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
在中，
在中，，
∴，
则．
（3）过点A作交于点H，当与在同一条直线上，且点D在外部时的面积最大，如图，
∵，，
∴，
则；
当AD与AH在同一条直线上，且点D在内部时的面积最小，如图，
则，
那么，
的面积S的取值范围：．
【点睛】本题主要考查几何图形的变化，利用等边三角形的性质、勾股定理和含的直角三角形性质判定三角形的全等、求三角形面积的知识点，解题的关键为作辅助线求面积．
28．如图， 已知正方形， 点E 是边上一点， 过点B 作 交的延长线于点M， 连接， 过点A 作 交于点N． 求证：．
【答案】详见解析
【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键．先证明和，然后根据证明即可证明结论成立．
【详解】证明： 四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
29．如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)9
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．
（1）先证明，再根据证明即可；
（2）根据，依据全等三角形的性质即可得到，再由可得结论．
【详解】（1）∵，
∴，即
在和中，
，
∴；
（2）由（1）知，
∴，
∵，
∴，
故的长为9．
30．如图，已知等腰中，平分交于点．点在斜边上，于点，交于点，且满足，过点作垂直的延长线于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的长；
(3)试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
(3)，理由见详解
【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，角平分线的性质可得，根据直角三角形的性质可得，根据等角对等边即可求证；
（2）如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质定理可得，可证是等腰直角三角形，运用勾股定理可得，由即可求解；
（3）根据题意可得，，，再证明，，由此即可求证．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，即，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图所示，过点作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下，
由（1）可得，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，且平分，
∴，
∴，
∵，即，且，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，三角形全等的判定和性质，勾股定理求线段的长，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
31．如图，正方形的顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为
(1)求顶点B的坐标；
(2)现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线向终点C运动，速度为每秒k个单位，当运动时间为2秒时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时k的值．
(3)若正方形以每秒个单位的速度沿射线下滑，当顶点A落到原点O时停止下滑．设正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式．
【答案】(1)
(2)k的值为2或4
(3)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】
（1）过点C作轴于，过点A作轴于N，连接和交于点K，根据题意可证，即可求得点C的坐标，结合正方形的性质和中点坐标公式即可求得点B；
（2）利用勾股定理求得，由题意得，分两种情形①当点Q在上时，利用求解；②当点Q在上时，利用，求解即可；
（3）下滑过程中形成新的正方形，设交x轴于点E，作轴于点F，则有，得，根据题意得，即可求得．
【详解】（1）解：如图中，过点C作轴于，过点A作轴于N，连接和交于点K，
则，
∵四边形为正方形
∴，，
∵，，
∴，
则，
∴，，
∴
∵点K为正方形对角线交点，
∴，，解得，，
则点，
（2）根据勾股定理可得，，
当时，．
①当点Q在上时，
，
∴只存在一点Q，使．
作于点D(如图2中)，则，
∴，
∴．
②当点Q在上时，由于，所以只存在一点Q，使，
∴，则．
综上所述，k的值为2或4．
（3）正方形沿射线下滑过程中形成新的正方形，
设下滑过程中交x轴于点E，作轴于点F，如图3，
则，
∴，
∵，
∴，
．
【点睛】
考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、中点坐标求解以及分类讨论思想的应用，解题的关键是熟练正方形的性质，并应用运动的思维和分类讨论思想解决问题．
32．如图，在中，于点，，．
(1)求的长；
(2)若点是射线上的一个动点，过点作于点．
①当点在线段上时，若，求的长；
②设直线交射线于点，连接，若，求的长．
【答案】(1)
(2) 1；1或
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据平行线判定与性质求角度
【分析】（1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得；
（2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得；
②分两种情况：(ⅰ)当点在线段上时，解法一：由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；解法二：过作于点，由面积比求得，进一步证得，即可求得；(ⅱ)当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同②解法一或解法二可得，即可求得．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：；
（2）解：①在中，由勾股定理得：．
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
②分两种情况：
(ⅰ)如图，当点在线段上时．
解法一：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
解法二：如图，过作于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
(ⅱ)当在线段的延长线上时．
∵，
∴，
∵，
∴，
同②解法一(如图)或解法二(如图)可得：
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识．
33．如图，在中，为边上一点，为中点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等
【分析】（）利用证明；
（）根据，得到，求出，即可得到；
此题考查了平行线的性质，三角形全等的判定及性质，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
在和中，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
34．如图， 与是以点A为公共顶点的两个三角形，且，，且线段交于F．
(1)求证：；
(2)与有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【知识点】垂线的定义理解、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂线的定义：
（1）先证明，再利用即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理可证明，即．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
35．如图，，E是的中点，延长交于点D，与的延长线交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据题意可得，从而求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∵，
∴
∵E是的中点，
∴，
又，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形和相似三角形的判定和性质，灵活运用所学知识是解题关键．
【能力提升】
36．在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，且，连接．
(1)如图1，C为线段上一点，连接，将绕点O逆时针旋转得到，连接，求的值．
(2)如图2，当点C在x轴上，点D位于第二象限时，，且，E为的中点，连接，试探究线段是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】（1）证明，得出，可得出，然后利用勾股定理求解即可；
（2）过点D作于点M，于点N，证明，可得出点D在的平分线上，取点，连接，，则和A关于的平分线对称，由得出当点、D、E三点共线时，最小，最后利用两点间距离公式求解即可．
【详解】（1）解：∵旋转，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵E为的中点，
∴，即
过点D作于点M，于点N
又，
∴四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴点D在的平分线上，
取点，连接，
则和A关于的平分线对称，
∴，
∴，
当点、D、E三点共线时，最小，最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的性质与判断，勾股定理等知识，根据题意添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
37．根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．
数学实验课上，小颖、小亮、小慧三位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作：
(1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论；
(2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，则___________．
(3)如图3，小慧在的延长线上取一点，连接交延长线于点，延长到，连接交延长于点，测量发现，探究线段与的数量关系；
【答案】(1)，证明见解析；
(2)
(3)见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，即可得证；
（2）设，则，根据折叠的性质，，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，列出方程，即可求解；
（3）延长至，连接，使得，证明，即可得证．
【详解】（1）证明：∵是的中线，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，则，
∵平分，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵是等腰三角形的中线，
∴，
∴，
故答案为：；
（3），证明如下，
如图所示，延长至，连接，使得
∵
∴
∴
∴，
又∵
∴，
∵，
∴
在中，
∴
∴
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，折叠问题，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
38．已知：如图，在等腰中，，，将线段绕点 顺时针旋转一定角度得到线段．连接交于点，过点作线段的垂线，垂足为点，交于点．
(1)如图1，若
①求的度数；
②求证：；
(2)如图2，若，当时，求的值
【答案】(1)①；②见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】（1）①由，，，可得，即得，而，故，可得，根据，可得，从而；
②延长交的延长线于，由，，，得，有，，继而可得，得，即得；
（2）连接，过点作于，在上取一点，使得，设，由，，得是等边三角形，而，，可得，，，，根据，有，又，知，，，， 设，可得，，故，解得，则，根据，得，从而．
【详解】（1）解：①解：∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
②证明：延长交的延长线于，
∵，，，
∴，
∴，，，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2中，连接，过点作于，在上取一点，使得，设，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
39．如图，的顶点，分别在轴，轴上，；
(1)若，且点，，
①点关于轴对称点的坐标为________；
②求点的坐标；
(2)若点与原点重合，时，存在第三象限的点和轴上的点，使，且，，，线段的长度为，求的长．
【答案】(1)①，②；
(2)6
【知识点】全等三角形综合问题、坐标与图形变化——轴对称、含30度角的直角三角形
【分析】（1）①根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案；
②过作于，如图1，证明，由全等三角形的性质可得出，，则可得出答案；
（2）作点关于轴的对称点，则，，过点作于点，过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得出，，，由全等三角形的性质可得出，得出，由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：①，
点关于轴对称点的坐标为；
故答案为；
②过作于，如图1，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
；
（2）解：作点关于轴的对称点，则，，过点作于点，过点作于点，
，，，，
，
，
，
，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
40．如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接．
(1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接，
① 证明 ：．
② 直接写出，和的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是：
(3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3)或17
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。
（1）①连接，即可证明；②根据，看图即可得出结论；
（2）连接，即同（1）可证明，根据看图即可得出结论；
（3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。
【详解】（1）证明：①如图，连接
在中，，为边的中点，
∴,,
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
在和中，
,
∴.
②∵,
∴,
根据图中所示，
,
∵为边的中点，
∴.
∴.
（2）解：如图，连接
在中，，为边的中点，
∴,,
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
∴,
即,
∵,
∴,
∵,
∴,
在和中，
,
∴.
∵,
∴,
根据图中所示，
,
∵为边的中点，
∴.
∴.
（3）如（1）中结论，
∵，，
∴,
,
∵,
∴.
②如（2）中结论，
∵，，
∴,
,
∵,
∴
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专题04 全等三角形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且，则的长为（ ）
A．12 B．7 C．5 D．14
3．小明在家里玩耍时，不小心把橱柜的一块三角形的玻璃碰碎成四块，如图所示，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（ ）
A．只带①去 B．带②③去 C．带①③去 D．只带④去
4．如图，在中，点是边和的垂直平分线、的交点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在BC上，DF平分∠ADE，DE⊥EF，则BF长为（ ）
A． B．1 C． D．
6．如图，在中，利用尺规作得的平分线与边的垂直平分线交于点P，有如下结论：①若，则点P到点A，B的距离相等；②若，则点P到的距离相等．其中正确的结论（ ）．
A．只有① B．①②都对 C．只有② D．①②都不对
7．如图，在中，，两直角边，在三角形内有一点P到各边的距离相等，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
8．在和中， ， ， ， 若， 则 （ ）
A． B．
C． D．不只是，还有可能是其他值
9．如图，在正方形中，若，点在上，点在上，则①；②；③，④．其中一定成立的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
10．如图，为等边三角形，，，于R，于S，则下列四个结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，点P是的角平分线上一点，于点D，垂直平分，若，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，以为边，在的另一侧作，且，再以为边，作，点E在边 上，连接．下列结论：①；② ；③；④若，则．其中一定正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②④
13．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径，画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
14．如图，点为线段上一点，和是等边三角形．下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
15．如图，若同时平分 与，则可判断，最直接的依据是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图，已知，，点，，在同一条直线上，，若，，则等于 ．
17．如图，在正方形中，将边绕点B逆时针旋转至，连接，若，则线段的长度为 ．
18．已知，如图，点C在上，，，，若，则 ．
19．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后可拼接成矩形．若，则的面积是 ．
20．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20 cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 cm．
21．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝2，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为 ．
22．如图，在中，为中线，交于点，若，，，则线段的长为 ．
23．如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为 ．
24．如图，正方形中，，E点沿线段由A向D运动（到D停止运动），F点沿线段由C向B运动（到B停止运动），两点同时出发，速度相同，连接，作于P点，则在整个运动过程中P点的运动轨迹长为 ．
25．平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为 ．
三、解答题
26．如图，直角梯形中，为边上的中点，过作，交边于，是边上一点，且有，．
(1)求证：；
(2)求证：．
27．如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、．
(1)在图①中证明；
(2)如图②，当时，连接，求的面积；
(3)在的旋转过程中，直接写出的面积S的取值范围．
28．如图， 已知正方形， 点E 是边上一点， 过点B 作 交的延长线于点M， 连接， 过点A 作 交于点N． 求证：．
29．如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
30．如图，已知等腰中，平分交于点．点在斜边上，于点，交于点，且满足，过点作垂直的延长线于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的长；
(3)试探究与的数量关系，并说明理由．
31．如图，正方形的顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为
(1)求顶点B的坐标；
(2)现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线向终点C运动，速度为每秒k个单位，当运动时间为2秒时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时k的值．
(3)若正方形以每秒个单位的速度沿射线下滑，当顶点A落到原点O时停止下滑．设正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式．
32．如图，在中，于点，，．
(1)求的长；
(2)若点是射线上的一个动点，过点作于点．
①当点在线段上时，若，求的长；
②设直线交射线于点，连接，若，求的长．
33．如图，在中，为边上一点，为中点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证；
(2)若，，求的长．
34．如图， 与是以点A为公共顶点的两个三角形，且，，且线段交于F．
(1)求证：；
(2)与有怎样的位置关系？请说明理由．
35．如图，，E是的中点，延长交于点D，与的延长线交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【能力提升】
36．在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，且，连接．
(1)如图1，C为线段上一点，连接，将绕点O逆时针旋转得到，连接，求的值．
(2)如图2，当点C在x轴上，点D位于第二象限时，，且，E为的中点，连接，试探究线段是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
37．根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．
数学实验课上，小颖、小亮、小慧三位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作：
(1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论；
(2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，则___________．
(3)如图3，小慧在的延长线上取一点，连接交延长线于点，延长到，连接交延长于点，测量发现，探究线段与的数量关系；
38．已知：如图，在等腰中，，，将线段绕点 顺时针旋转一定角度得到线段．连接交于点，过点作线段的垂线，垂足为点，交于点．
(1)如图1，若
①求的度数；
②求证：；
(2)如图2，若，当时，求的值
39．如图，的顶点，分别在轴，轴上，；
(1)若，且点，，
①点关于轴对称点的坐标为________；
②求点的坐标；
(2)若点与原点重合，时，存在第三象限的点和轴上的点，使，且，，，线段的长度为，求的长．
40．如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接．
(1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接，
① 证明 ：．
② 直接写出，和的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是：
(3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积．
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