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专题04 全等三角形
（一）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边、对应角相等．
②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
③全等三角形的周长等、面积等．
（二）全等三角形的判定
①SSS（三边对应相等） ②SAS（两边和它们的夹角对应相等）
③ASA（两角和它们的夹边对应相等）④AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）
☆直角三角形全等
（1）斜边和一条直角边对应相等（HL）
（2）证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
（三）全等三角形常见辅助线
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
考点1：全等三角形的判定——直接判定
典例1：如图，，，点在上，点在上．
求证：．
【答案】证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据证明即可．
【详解】证明：在和中，
∴．
【变式1】如图，点在上，与相交与点．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，先根据等边对等角得出，然后根据等式的性质可得出，最后根据证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式2】如图，在中，，，于点E，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定．根据，，得到，，根据，得到，结合，利用即可证明结论．
【详解】证明：，，
，
，
，
在和中，
．
【变式3】如图，在中，，以为边向外作等边，过点作于点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．根据等边三角形的性质得出，证明，得出．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【变式4】如图，，，点在边上，，和相交于点．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用三角形内角和定理得出，再证明，即可得．最后利用“角边角”即可判定．
【详解】证明：∵和相交于点，
∴．
在和中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
在和中，
，
∴．
【变式5】如图，，，其中，连接，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先判定，再利用“”判定即可．
【详解】证明：，
，
即，
在和中，
，
，
.
考点2：全等三角形的判定——多次判定
典例2：如图，在四边形中，为上的一点
求证：
(1)平分；
(2)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义．
（1）利用证明，则，即可得出结论；
（2）利用证明，则．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
，
平分；
（2）在和中，
，
，
．
【变式1】与都是以点A为顶角的等腰三角形，且，，的延长线交于点F，
(1)求证：；
(2)探究线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）证明，得出，即可得出答案；
（2）在上取点N，使，根据等腰三角形性质得出，证明，，得出，即可证明，得出答案即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵与都是以点A为顶角的等腰三角形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在上取点N，使，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
即．
【变式2】如图所示，已知，，点E在上．
(1)判断点A是否在的平分线上，并说明理由；
(2)当时，求的长度．
【答案】(1)点A是否在的平分线上，理由见解析
(2)．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．
（1）利用证明，得到，即可判断点A是否在的平分线上；
（1）由得到，，，再利用证明，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点A是否在的平分线上；
（2）解：∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
【变式3】在中，，，点是上一点，，点是上一点，．
(1)如图，求证：是等腰三角形．
(2)如图，过点作于点，求证：平分．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）由，，，得，，证明，故有，从而求证；
（）过作于点，则有，故，由（）得，所以，，由等腰三角形的性质得，根据垂直的定义可得，然后证明，根据性质得，从而求证；
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：如图，过作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分．
考点3：全等三角形的判定——网格应用
典例3：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)将向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的；
(2)仅用无刻度直尺作出的高．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平移的性质求解即可；
（2）根据网格线的特点取格点G，连接交于点P，即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，为所求；
（2）解：如图所示，为所求．
取格点D，连接交于点P，即为所求；
取格点M，N，与相交于点G，
∵，，
∴
∴
∵，
∴
∴，点P即为所求
【变式1】线段的端点，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求作图．
(1)在图①中找出格点，并连接，，使；
(2)在图②中作出的高，并直接写出的长为________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）如图①，由题意知，，，，则，格点，，即为所作；
（2）如图②，作，的交点为，证明，则，可求，即为的高，由勾股定理得，，由题意知，，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图①，
由题意知，，，，
∴，
∴格点，，即为所作；
（2）解：如图②，作，的交点为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的高，
由勾股定理得，，
∴，即，
解得，．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
【变式2】图①、图②均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中按要求画图．要求：
(1)在图①中画一个使它与全等．
(2)在图②中画一个使它与全等．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了网格作图、全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
（1）在方格中找到点，使得，连接，根据“”可知与全等；
（2）在方格中找到点，使得且，易得，连接，根据“”可知与全等．
【详解】（1）解：如图①，即为所求；
（2）如图②，即为所求．
【变式3】网格画图：如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)在图中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点并连接；
(2)利用网格在找一点，使线段，并证明你所画出的线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了格点作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质．
（1）构造平行四边形，根据平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称即可求解；
（2）连接，与格点交于点，连接，与交于点，根据平行四边形对边平行可得，根据两直线平行，同位角相等可得，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行即可证明．
【详解】（1）解：如图：
在网格中确定格点，使得，．
则四边形是平行四边形，
连接，与的交点就是点，
∴，
∴点即为所求．
（2）解：如图：
连接，与网格线交于点，连接，与交于点，即为所求．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
考点4：全等三角形的判定——尺规作图
典例4：（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹．
（2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析．
【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等．
（1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形；
（2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案．
【详解】解：（1）当时，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示：
（2），理由如下：
在上截取，
在和中，
，
，
，
，、分别是和的角平分线，与相交于点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【变式1】如图，已知中，，尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在直线上方求作一点D，使得，其中；
(2)在线段上求作一点E，使得，说明理由．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析．
【分析】本题考查了作图 复杂作图，全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质等知识点，
（1）分别以A点、B点为圆心，以和为半径画弧，两弧相交于点D，则根据“”可判断；
（2）作的垂直平分线交于E点，则，所以，然后根据三角形外角性质可得到；
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【详解】（1）如图，点D为所作；
（2）如图，作的垂直平分线交于点E，交点E为所作；
∵点E为的垂直平分线与的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
即
【变式2】如图，中，，，，，．
(1)①说明；
②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的．
(2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)图见解析，见解析
【分析】（1）由，，可得，即得，即可证明；延长，交于点，由，，可得，故，由知，可得，因，即可证明；
（2）根据作一个角等于已知角的步骤即可，由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知点，，这三个点在同一直线上．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
②理由：分别延长，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，即．
（2）解：①以E为圆心，任意长为半径画弧交于M，交于N，②以B为圆心，的长为半径画弧交于K，③以K为圆心，的长为半径画弧，交前弧于G，④作射线，则即为所求；
∵，
∴，
由（1）②知，，
∴过B的直线都与平行，
∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点，，这三个点在同一直线上．
【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质, 平行线的判定与性质，尺规作图等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
【变式3】如图，在直角三角形中，，．
(1)作边的垂直平分线，与，分别交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于长为半径画弧，使得弧有两个交点，经过两个交点的直线即为的垂直平分线；
（2）连接，根据垂直平分线的定义得到，，再根据得到，进而求得，再根据全等三角形的性质可证出结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴（HL），
∴，
∴平分．
【点睛】本题考查了尺规作图、垂直平分线的定义和全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法，灵活运用相关的几何定理．
考点5：全等三角形的判定——连接线段
典例5：如图，以为直角顶点作两个等腰直角三角形和，且点在线段上（除外），求证：
【答案】证明见解析
【分析】连接BD，证明△AOC≌△BOD（SAS），得到△CBD为直角三角形，再由勾股定理即可证明．
【详解】解：连接BD，
∵△AOB与△COD为等腰直角三角形，
∴AO=BO，CO=DO，∠AOB=∠COD=90°，∠A=∠ABO=45°，
∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴∠A=∠OBD=45°，AC=BD，
∴∠ABO+∠OBD=90°，即∠CBD=90°，
∴在Rt△CBD中，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理证明线段的关系，解题的关键是作出辅助线，通过全等证明△CBD为直角三角形．
【变式1】如图，，平分，点为中点，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长，交于点，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：延长，交于点，
，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【变式2】如图所示，中，，点D在上，交于点E，的周长为12，的周长为6，则的长．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质和勾股定理的应用．连接，证出得出，设，得出，，即可解得．
【详解】解：连接，
设，
，，
，
，
，
，
的周长为12，
，
的周长为6，
，
，
解得：，
∴．
【变式3】已知：如图，，，求证：．
小桐的证明方法如下框：
证明：连结． 在和中， ∵， ∴≌， ∴．
小桐的证明是否正确？若正确，请写出这两个三角形全等的理由；若错误，请写出你的证明过程．
【答案】不正确，过程见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据不能判定三角形全等，可知，小桐的证明是错误的，连接，等边对等角，得到，根据，得到，等角对等边，得到即可．
【详解】解：小桐的证明是利用证明三角形全等，而不能判定三角形全等，故小桐的证明不正确；
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴．
考点6：全等三角形的判定——倍长中线
典例6：（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值．
【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接．通过三角形全等把、、转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为 ．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______．
方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题解决】
（2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积．
【答案】（1）；3（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）2
【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键．
（1）根据提示证即可求解；
（2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可；
（3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解；
【详解】（1）解：∵是的中线．
∴，
∵，，
∴，
∴
可得 ，
即：，
∴，的可能取值为3
故答案为：；3（答案不唯一）
（2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示：
由题意得：，
∵，,
∴，
∴，，
∴
∴
∵,
∴
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：
由（2）可得：，
∴
∴
∵，，
∴，
∵，
∴
∴
∴
【变式1】如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形中的倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可．
【详解】证明：如图，延长到M，使，连接
∵点E是的中点
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
即为的角平分线
【变式2】如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可求证．
【详解】证明：如图，延长到M，使，连接
∵D是边的中点
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
即
【变式3】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）求证：
证明：延长到点，使，
在和中，
（已作）
（_________）
（中点定义）
（_________）
（2）探究得出的取值范围是_________．
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，中，是的中线，，且，求的长．
【答案】（1）对顶角相等 （2）（3）12
【分析】（1）根据题干已知可得；
（2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案；
（3）延长交于点，证明 ，根据全等性质得，，利用得等腰三角形即可求得答案．
【详解】证明：（1）延长到点，使
在和中，
（已作）
（对顶角相等）
（中点定义）
（2）∵，
∴，
∴，
则，
故
（3）延长交于点，如图
∵，，
∴
在和中
∴
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线．
考点7：全等三角形的判定——截长补短
典例7：如图，在中，，平分交于点D．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解．
【详解】证明：如图，在上截取，连接．
的平分线交边于点，
，
在与中，
，
∴，
，，
，，
，
，
，
，
∵，
．
【变式1】已知，在四边形中，分别是边上的点，且．
(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．
请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为．
(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明）
【答案】(1)图见解析，
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论；
（3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．
【详解】（1）解：补全图形，如图：
解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为；
故答案为：；
（2）成立，证明如下：
延长到点，使，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：在上取一点，使，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．’
故答案为：．
【变式2】如图，在中，，，与的平分线，交于点．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法．
（1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数；
（2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵与的平分线，交于点
∴ , ，
∵是的外角，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴ ，
∴，
∵，
∴．
【变式3】如图，是AD中点，平分．
(1)若，求证：平分．
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键．
（1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论；
（2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论．
【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，
∵平分，，
∴，
又∵是中点，即，
∴，
∵，，
∴：平分．
（2）解：如图：在上截取，连接．
平分，
．
在和中，
，
，．
是的中点，
．
又，
，
，
，
在和中
．
，
，
，
∴
考点8：全等三角形的判定——作平行线
典例8：如图，点F，C分别在线段AB，BD上，且BF＝BD，AF＝CD，连接AC，DF，并相交于点E．求证：AE＝CE．
【答案】见解析
【分析】过点C作CH∥AB交FD于点H，根据平行线的性质可知∠CHD＝∠BFD，∠ECH＝∠A，根据等腰三角形的性质可以推出∠CHD＝∠D，进而可以推出CH＝AF，进而可以证明△AFE≌△CHE（AAS），此题得解．
【详解】过点C作CH∥AB交FD于点H，
∴∠CHD＝∠BFD，∠ECH＝∠A，
∵BF＝BD，
∴∠BFD＝∠D，
∵∠CHD＝∠BFD，
∴∠CHD＝∠D，
∴CH＝CD，
∵AF＝CD，
∴CH＝AF，
在△AFE与△CHE中，
，
∴△AFE≌△CHE（AAS），
∴AE＝CE．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是作出辅助线并运用平行线和等腰三角形的性质求解．
【变式1】如图：是边长为6的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动（与点不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点．
(1)若设的长为，则 ， ．
(2)当时，求的长．
(3)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)线段的长不发生变化，
【分析】（1）设的长为，由等边三角形的性质及线段的和差关系表示即可得到答案；
（2）易得，由含角的直角三角形的性质可得，解答即可求得的长，进而得到的长；
（3）过点作的平行线交于，证得，得到，进而求得．
【详解】（1）解：∵是边长为6的等边三角形，
∴，
由点向点运动（与点不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），设的长为，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：根据题意可知：，
∵是边长为6的等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
∴，解得，
∴；
（3）解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，，
理由如下：
过点作的平行线交于，如图所示：
∵是边长为6的等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
【变式2】（1）如图1，在中，，请用全等三角形的知识说明；
（2）如图，在中，为三角形的角平分线，于点交于点，．
①求证：；
②若，，直接写出__________．
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②
【分析】（1）过点作于点，利用“”证明，即可证明；
（2）①首先证明，过点作交延长线于，，，可证明、为等腰三角形，进而可得，，，然后根据即可证明结论；
②首先证明，易得，结合题意可得，，，再证明，由相似三角形的性质可得，易，即可获得答案．
【详解】（1）证明：过点作于点，如下图，
则，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①证明：∵平分，，
∵，
∴，
∴，
如下图，过点作交延长线于，
则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②在和中,
，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
【变式3】如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，当点P运动到A时，点P、Q随即停止运动，若点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P自点B出发在线段BA上运动时，过点P作AC的平行交BC于点F，连接PC、FQ，判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论．
（2）如图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，请说明在点P、Q在移动的过程中，DE长度保持不变．
【答案】（1）四边形PFQC是平行四边形，见解析；（2）见解析
【分析】（1）如图①中，四边形PFQC是平行四边形．只要证明PF∥CQ，PF＝CQ即可解决问题；
（2）如图②中，过点P作PF∥AC交BC于F，首先证明BE＝EF，根据DF＝FC，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图①中，四边形PFQC是平行四边形．
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB＝∠ACB＝∠B，∠DPF＝∠DQC，
∴PB＝PF＝CQ，
∴四边形PFQC是平行四边形；
（2）如图②中，过点P作PF∥AC交BC于F，
∵△PBF为等腰三角形，
∴PB＝PF，
∵PE⊥BF，
∴BE＝EF，
由（1）可知FD＝DC，
∴ED＝EF+FD＝BF+FC＝（BF+FC）＝BC＝3，
∴ED为定值，
【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用相关知识解题．
考点9：角平分线的性质与判定
典例9：如图，在中，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为．
(1) ．
(2)求斜边上的高线长．
(3)①当P在上时，的长为 ，t的取值范围是 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在的角平分线上，则t的值为 ．
(4)在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时t的值．
【答案】(1)12
(2)
(3)①，，②
(4)或
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）过点作于点，利用面积法求解；
（3）①根据点的运动路径及速度可解；②过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用勾股定理解即可；
（4）分和两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，
；
故答案为：12；
（2）解：如图1所示，过点作于点，
，
，
斜边上的高线长为；
（3）解：①点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，
，
，即，
；
故答案为：，；
②点在的角平分线上时，过点作于，
平分，，
，
又，
∴
，则，
由（2）知，
，
，
在中，，即，
解得，
点在的角平分线上时，；
故答案为：；
（4）解：依题意，是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：
当时，
则，
；
当时，过点作于点，
由（2）知，
，
，，
，
，
，
故是以为一腰的等腰三角形时的值为或．
【点睛】本题是勾股定理在动点问题中的应用，考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握上述定理、性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
【变式1】如图，中，平分，且平分，于，于．
(1)求证：；
(2)如果，， 则的长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
（1）由垂直平分可得，由角平分线的性质可得，，从而证得，得证；
（2）易证，得到，又，因此，代入，，求出，即可解答．
【详解】（1）证明：连接，，
垂直平分，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
；
（2） 平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【变式2】如图，在中，，点是、平分线的交点．
(1)连接，求证：平分；
(2)若，，求点到边的距离．
【答案】(1)见解析；
(2)1．
【分析】（1）过作于，于，于，根据角平分线的性质得到，，继而，再根据角平分线的判定即可证明；
（2）先由勾股定理求出，再由的面积的面积的面积的面积，即可求解．
【详解】（1）证明：过作于，于，于，
点是、平分线的交点，
，，
，
，，
平分；
（2）解：，，，
，
的面积的面积的面积的面积，
，
，
，
点到边的距离是1．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及判定，勾股定理，点到直线的距离，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式3】在中，是边的点（不与点、重合），连接．
(1)如图1，当点是边上的中点且时，________，则；
(2)如图2，当是的平分线时，若，，求证：；
(3)如图3，平分，延长到，使得，连接，如果，，，求．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)．
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的角平分线的性质．
（1）如图1，过A作于E，则，根据，则，计算求解即可；
（2）如图2，过D作于E，于F，则，根据，计算求解即可；
（3）由（1）可知，，由（2）可知，，可求的值，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过A作于E，
∵点D是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3；
（2）证明：如图2，过D作于E，于F，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可知，，
由（2）可知，，
∴，
∴．
考点10：全等三角形的性质与判定
典例10：综合与实践
【问题背景】
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
（1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________．
②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________．
【变式运用】
（2）如图3，在中，，，．求的面积．
【拓展迁移】
（3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积．
【答案】（1）①；②3
（2）8
（3）16或40
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练分类讨论的思想是解题的关键．
（1）①根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案，②同理①证明即可得到答案；
（2）过作于E，证明即可得到答案；
（3）分，两种情况讨论，根据直角等腰三角形结合（1）的结论求解即可得到答案．
【详解】（1）①解：，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴ ，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴ ，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）解：当作直角边，时，如图4-1所示，作高线，过作于F，
∵，，，
∴，，
由（1）得，，
∴，
∴；
当作直角边，时，如图4-2所示，作高线，过作于
F，
∵，，，
∴，，
由（1）得，，
∴，
∴；
综上所述：的面积是或．
【变式1】（1）如图1，在四边形中，，，．求证：．
（2）如图2，在四边形中，，，．试判断（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请写出线段、、之间关系，并证明．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）（1）中的结论不成立，，证明见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是解题的关键．
（1）如图所示，延长至点，使得，连接，可证，得到，，根据，可得，则有，再证，得到，由此即可求解；
（2）如图所示，在上取，连接，可证，，，由此可得，再证，得到，由此即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，延长至点，使得，连接，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：（1）中的结论不成立，，理由如下：
如图所示，在上取，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式2】如图，在和中，，，．
(1)求证：；
(2)如图1，延长、交于点，试探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，当时，连接、，延长与交于点，试探究与的数量关系．并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)．理由见解析
【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等边对等角得出，，根据三角形内角和定理推得，即可求得，根据证明，根据全等三角形的对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出，根据三角形的外角性质得出，等量代换得出，即可得出；
（3）作交的延长线于，作交的延长线于，根据三角形内角和定理推得，根据三角形的外角性质可推得，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，同理得出，，推得，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，作交的延长线于，作交的延长线于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
同理，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴是的中点，
∴．
【变式3】如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，．
(1)如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长．
(2)如图②，当时，求证：内接直角三角形的斜边满足：；
(3)拓展延伸：如图③，当时，若、分别在、的延长线上，与，还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与，满足的数量关系式，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）过点作的垂线交的延长线于点，连接，根据平行线的性质，则，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则，得，，根据勾股定理的应用，即可；
（2）过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，，根据勾股定理，则，即可；
（3）过点作的垂线交的延长线于点，连接，根据平行线的性质，则，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则，根据勾股定理，则，进行解答，即可．
【详解】（1）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
在 中，由勾股定理得：．
（2）如图，过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，
∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，，，
∴，，
∴，
在中，，
即．
（3）如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
【点睛】本题考查等腰三角形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，进行解答，即可．
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专题04 全等三角形
（一）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边、对应角相等．
②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
③全等三角形的周长等、面积等．
（二）全等三角形的判定
①SSS（三边对应相等） ②SAS（两边和它们的夹角对应相等）
③ASA（两角和它们的夹边对应相等）④AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）
☆直角三角形全等
（1）斜边和一条直角边对应相等（HL）
（2）证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
（三）全等三角形常见辅助线
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
考点1：全等三角形的判定——直接判定
典例1：如图，，，点在上，点在上．
求证：．
【变式1】如图，点在上，与相交与点．求证：．
【变式2】如图，在中，，，于点E，且．求证：．
【变式3】如图，在中，，以为边向外作等边，过点作于点，且．求证：．
【变式4】如图，，，点在边上，，和相交于点．求证：．
【变式5】如图，，，其中，连接，，求证：．
考点2：全等三角形的判定——多次判定
典例2：如图，在四边形中，为上的一点
求证：
(1)平分；
(2)
【变式1】与都是以点A为顶角的等腰三角形，且，，的延长线交于点F，
(1)求证：；
(2)探究线段与的数量关系，并说明理由．
【变式2】如图所示，已知，，点E在上．
(1)判断点A是否在的平分线上，并说明理由；
(2)当时，求的长度．
【变式3】在中，，，点是上一点，，点是上一点，．
(1)如图，求证：是等腰三角形．
(2)如图，过点作于点，求证：平分．
考点3：全等三角形的判定——网格应用
典例3：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)将向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的；
(2)仅用无刻度直尺作出的高．
【变式1】线段的端点，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求作图．
(1)在图①中找出格点，并连接，，使；
(2)在图②中作出的高，并直接写出的长为________．
【变式2】图①、图②均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中按要求画图．要求：
(1)在图①中画一个使它与全等．
(2)在图②中画一个使它与全等．
【变式3】网格画图：如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)在图中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点并连接；
(2)利用网格在找一点，使线段，并证明你所画出的线段．
考点4：全等三角形的判定——尺规作图
典例4：（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹．
（2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论．
【变式1】如图，已知中，，尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在直线上方求作一点D，使得，其中；
(2)在线段上求作一点E，使得，说明理由．
【变式2】如图，中，，，，，．
(1)①说明；
②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的．
(2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上．
【变式3】如图，在直角三角形中，，．
(1)作边的垂直平分线，与，分别交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：平分．
考点5：全等三角形的判定——连接线段
典例5：如图，以为直角顶点作两个等腰直角三角形和，且点在线段上（除外），求证：
【变式1】如图，，平分，点为中点，求证：．
【变式2】如图所示，中，，点D在上，交于点E，的周长为12，的周长为6，则的长．
【变式3】已知：如图，，，求证：．
小桐的证明方法如下框：
证明：连结． 在和中， ∵， ∴≌， ∴．
小桐的证明是否正确？若正确，请写出这两个三角形全等的理由；若错误，请写出你的证明过程．
考点6：全等三角形的判定——倍长中线
典例6：（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值．
【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接．通过三角形全等把、、转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为 ．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______．
方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题解决】
（2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积．
【变式1】如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线．
【变式2】如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：．
【变式3】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）求证：
证明：延长到点，使，
在和中，
（已作）
（_________）
（中点定义）
（_________）
（2）探究得出的取值范围是_________．
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，中，是的中线，，且，求的长．
考点7：全等三角形的判定——截长补短
典例7：如图，在中，，平分交于点D．求证：．
【变式1】已知，在四边形中，分别是边上的点，且．
(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．
请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为．
(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明）
【变式2】如图，在中，，，与的平分线，交于点．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【变式3】如图，是AD中点，平分．
(1)若，求证：平分．
(2)若，求证：．
考点8：全等三角形的判定——作平行线
典例8：如图，点F，C分别在线段AB，BD上，且BF＝BD，AF＝CD，连接AC，DF，并相交于点E．求证：AE＝CE．
【变式1】如图：是边长为6的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动（与点不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点．
(1)若设的长为，则 ， ．
(2)当时，求的长．
(3)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由．
【变式2】（1）如图1，在中，，请用全等三角形的知识说明；
（2）如图，在中，为三角形的角平分线，于点交于点，．
①求证：；
②若，，直接写出__________．
【变式3】如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，当点P运动到A时，点P、Q随即停止运动，若点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P自点B出发在线段BA上运动时，过点P作AC的平行交BC于点F，连接PC、FQ，判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论．
（2）如图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，请说明在点P、Q在移动的过程中，DE长度保持不变．
考点9：角平分线的性质与判定
典例9：如图，在中，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为．
(1) ．
(2)求斜边上的高线长．
(3)①当P在上时，的长为 ，t的取值范围是 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在的角平分线上，则t的值为 ．
(4)在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时t的值．
【变式1】如图，中，平分，且平分，于，于．
(1)求证：；
(2)如果，， 则的长为 ．
【变式2】如图，在中，，点是、平分线的交点．
(1)连接，求证：平分；
(2)若，，求点到边的距离．
【变式3】在中，是边的点（不与点、重合），连接．
(1)如图1，当点是边上的中点且时，________，则；
(2)如图2，当是的平分线时，若，，求证：；
(3)如图3，平分，延长到，使得，连接，如果，，，求．
考点10：全等三角形的性质与判定
典例10：综合与实践
【问题背景】
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
（1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________．
②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________．
【变式运用】
（2）如图3，在中，，，．求的面积．
【拓展迁移】
（3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积．
【变式1】（1）如图1，在四边形中，，，．求证：．
（2）如图2，在四边形中，，，．试判断（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请写出线段、、之间关系，并证明．
【变式2】如图，在和中，，，．
(1)求证：；
(2)如图1，延长、交于点，试探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，当时，连接、，延长与交于点，试探究与的数量关系．并说明理由．
【变式3】如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，．
(1)如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长．
(2)如图②，当时，求证：内接直角三角形的斜边满足：；
(3)拓展延伸：如图③，当时，若、分别在、的延长线上，与，还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与，满足的数量关系式，并证明你的结论．
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