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专题05 特殊三角形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，在中，，，为的中点，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，用“倍长中线法”构造全等三角形，得 ，再利用全等三角形的性质得，，，并将求的面积转化为求的面积，最后利用含直角三角形的性质、勾股定理及三角形的面积公式即可求得结果，利用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图所示，延长到点，使，连接，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
为直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中 ，，
∴，
，
，
，
，
，
故选：．
2．如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段．若点的坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．
过C作轴于D，轴于E，根据将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，可得是等边三角形，又点的坐标为，点的坐标为，即得，可得，，从而，即可求解．
【详解】解：过C作轴于D，轴于E，如图所示：
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
故选：C．
3．如图，等边中，为边上的高，点分别在上，且，连，当最小时，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系的应用、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】如图1中，作，使得，连接，．证明，推出，由，可知，，共线时，的值最小，求出此时即可解决问题．
【详解】解：如图1中，作，使得，连接，．
是等边三角形，，，
， ，
，
，，
，
，
，
，，共线时，的值最小，
如图2中，当，，共线时，
，
，
，
，
，
当的值最小时，，
故选：．
【点睛】本题考查轴对称、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．如图，在中，，点F是边的中点，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形
【解析】略
5．如图，在等腰直角中，，点为上一点，连接，以为直角顶点作等腰直角，连接交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】如图，在MN上截取MH=NQ，由“SAS”可证△DFM≌△DEN，△DMH≌△DNQ可得∠DEN=∠DFM=45°，DH=DQ，可证△DHQ是等边三角形，由三角形内角和可求解．
【详解】如图，在MN上截取MH=NQ，
∵△DEF和△DNM是等腰直角三角形，
∴DE=DF，DM=DN，∠FDE=∠MDN=90°，
∴∠DEF=∠DFE=∠DMN=∠DNM=45°，
∵∠FDE=∠MDN=90°，
∴∠MDF=∠NDE，且DF=DE，DM=DN，
∴△DFM≌△DEN（SAS），
∴∠DFM=∠DEN=45°，
∵DM=DE，∠DMN=∠DNM，MH=NQ，
∴△DMH≌△DNQ（SAS），
∴DH=DQ，
∵MQ=DQ+NQ，且MQ=MH+HQ，
∴DQ=HQ，
∴DH=DQ=HQ，
∴△DHQ是等边三角形，
∴∠DQH=60°=∠NQE，
∴∠MNE=180°-∠QNE-∠QEN=75°，
故选：B.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
6．如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接、．若，则的长为( )
A． B． C．7 D．3
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长
【分析】根据菱形的性质和三角形中位线定理得出，进而利用勾股定理得出和即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵点E、F分别是、的中点，
∴，，
∴，
在中，
在中，，
故选D．
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线垂直解答．
7．如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转到△的位置，连接，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】如图，作辅助线；证明，得到；求出、的长，即可解决问题
【详解】解：如图，连接，延长交于点．
由题意得：，，
为等边三角形，
，；
在与中，
，
，
，
，且；
由题意得：，
，，
，
由勾股定理可求：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
8．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（ ）
A．49 B．28 C．21 D．14
【答案】C
【知识点】全等三角形综合问题、以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等，根据图形面积得到相应等式，从而进行计算．证明，得到，再证明，从而推出，化简得到，再根据，得到，结合两式可得，从而计算结果．
【详解】解：在与中，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
化简得：①，
∵，
∴②，
，得：，
∴．
故选：C．
9．如图所示，中边在数轴上，若，则以点A为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A．3 B．4 C．3或 D．4或
【答案】D
【知识点】数轴上两点之间的距离、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了数轴，勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，掌握勾股定理是解题关键．由数轴可知，，根据勾股定理得到，则点D表示的数与点A距离为5，据此即可求解．
【详解】解：由数轴可知，，
在中，，
点D表示的数与点A距离为5，
点D表示的数是或，
故选：D．
10．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值
【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接，设小正方形边长为，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解．
【详解】解：连接，如图所示：
设小正方形边长为，
，，，
，
∴是直角三角形，
在中，，
故选：B．
11．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】连接，根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，再根据四边形的面积等于，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积是 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
12．如图，已知正方形的顶点，D是AB的中点，以顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线OG交边BC于点H，则点H的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、正方形性质理解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】延长AB交射线OG于点I，由勾股定理可得OD，由∠DOI=∠DIO可得DI，进而可得IB，由可得，再解关于CH的分式方程便可解答；
【详解】解：如图，延长AB交射线OG于点I，
由题意可知，
∵D是AB的中点，
∴，
在中，由勾股定理，得，
由作图的步骤可知OG平分，
∴，
∵，
∴，
∴，∴，，
，则，
∴， ，解得，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
故选： D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识；根据相似三角形的性质列方程是解题关键．
13．如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝4，AC＝3，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、圆周角定理
【分析】如图作PH⊥BC于H．首先证明AP=PH，设PA=PH=x，根据勾股定理构建方程即可解决问题；
【详解】如图作PH⊥BC于H．
∵弧AD=弧BD，
∴∠ACD=∠BCD，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴PA⊥AC，∵PH⊥BC，
∴PA=PH，设PA=PH=x，
∵PC=PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCH，
∴AC=CH=3，
∵BC==5，
∴BH=2，
在Rt△PBH中，∵PB2=PH2+BH2，
∴（4-x）2=x2+22，
解得x=，
∴PC= ，
故选：D．
【点睛】此题考查圆周角定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、角平分线的性质定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
14．如图，CD为⊙O的直径，弦，垂足为E，，，则CD的长为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】连接OA，设圆的半径为x，则OE=x-1，由垂径定理可得AB⊥CD，AE =5，Rt△OAE中由勾股定理建立方程求解即可；
【详解】如图，连接OA，
设圆的半径为x，则OE=x-1，
由垂径定理可得AB⊥CD，AE=BE=AB=5，
Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，
x2=25+（x-1）2，
解得：x=13，，
∴CD=26，
故选： D．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
15．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形
【分析】过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明①；③；在此基础上，再证明是等腰直角三角形，即可判断②；根据正方形的对角线平分对角的性质，在中，，在中，，在中，，从而即可得出结论．
【详解】解：过作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边是矩形，四边形是矩形，
∴ ，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确，，
∴，故③正确，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，即，
，
，
，即，故②正确，
∵在中，，
在中，，
在中，，
∴，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
二、填空题
16．如图，的直径AB与弦CD相交于点P，且，若，则的半径为 ．
【答案】4
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】过点作 连接根据垂径定理可得根据得到对式子进行变换，即可求出半径.
【详解】解：设的半径为R
过点作 连接
∴
解得：
故答案为：4
【点睛】此题考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子进行变形是解题的关键.
17．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为、与交于点．若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理；三角形全等的判定与性质，再得到相等的线段是解题关键．根据折叠的性质，证明≌，则有，由勾股定理算出，则可计算出．
【详解】解：由折叠的性质得：，，
四边形是矩形，
，
∵，
（）,
，
，，
，
，
∴，
，
故答案为：．
18．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、由平行判断成比例的线段
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、平行线分线段成比例、勾股定理，熟练掌握和应用相关的性质与定理是解题的关键．
设与交于点E，则有，，从而求得，然后求出长，再计算解题即可．
【详解】解：设与交于点E，
根据作图可以得到，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面宽AB为8m，则输水管的半径为 m．
【答案】5
【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用
【分析】由垂径定理可知，设，则，根据勾股定理计算即可；
【详解】由图可知：，
∴，
设，则，
在Rt△AOC中，，
∴，
解得：．
∴该输水管的半径为5m．
故答案是：5．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理，准确计算是解题的关键．
20．如图所示，在中，，点D是上的一点，且，则 ．
【答案】/
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，证得并根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
如图：过D作交于H，由平行线的性质得到，由勾股定理求出，由，推出，求出得到，然后根据正切的定义即可解答．
【详解】解：如图：过D作交于H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴,
∴．
故答案为：．
21．如图，△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D为边AB上一动点（不与A、B重合），⊙D与BC切于E点，E点关于CD的对称点F在△ABC的一边上，则BD= ．
【答案】或；
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、切线的性质定理
【分析】分为当E点关于CD的对称点F在AB或者AC上进行讨论：
①当F在AB边上时，根据对称性得出CE=CF，DE=DF，作，则 ,设，则，，在直角三角形CHF中，用勾股定理解出即可得出答案；
②当F在AC边上时，根据对称性知圆与AC、BC均相切，此时D在AB的中点，从而求解．
【详解】解：①当F在AB边上时，作，连接DF、CF，如图：
根据对称性知：CE=CF，DE=DF
又∵AC=BC=4，∠ACB=90°
∴ ,△DEB是等腰直角三角形
设，则，
∴
在直角三角形CHF中：
即： 解得：
∴
②当F在AC边上时，根据对称性知圆与AC、BC均相切，此时此时D在AB的中点，如图：
∴
故答案为：或
【点睛】本题考查等腰直角三角形与圆综合的题目，转化相关线段之间的关系是解题关键，注意分类讨论．
22．如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是 ．
【答案】
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，根据勾股定理，结合正方形的面积公式得出是解题的关键．
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
∵以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，，，
∴，，，
∴，
故答案为：．
23．如图所示，四边形的对角线，相交于点，，有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，，，推出，，即可求解．
【详解】解： ，
，，，
，，
，垂直平分，
①②④正确，
无法得出，故③错误，
故答案为：①②④．
24．如图，在直角梯形中，，M为腰上一点，且为等边三角形，则 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】过点作交于点，根据三个直角三角形的斜边相等，运用勾股定理求出，的长，即可得到答案．
【详解】解：过点作交于点，
则四边形是矩形，，，
为直角三角形，为等边三角形，且，
①，
②，
③，
设，，
由①②故可得④，
①③得⑤，
由⑤得，代入④得，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了梯形，矩形，直角三角形，等边三角形的性质，把梯形分割成矩形和直角三角形，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
25．如图，在四边形中和，，，．对角线与相交于点E，若，则 ．
【答案】
【知识点】化为最简二次根式、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】过点作于点，过点作于点，连接并延长到H，使得，连接，先证明为等边三角形，得到，再由三线合一定理得到．则由勾股定理可得；证明，得到，再证明，得到，则；由，得到，则，据此得到，设在中，由勾股定理得，可推出，
在中，由勾股定理得，则，．利用勾股定理得到．则．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，连接并延长到H，使得，连接，
，，
为等边三角形，
，
，
．
；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
．
．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题
26．如图，在中，．
（1）请用尺规作图法，在边上求作一点，使（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接，若，，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
【知识点】作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形
【分析】（1）在边上求作一点，使,实际就是求作AB的垂直平分线与BC交点，尺规作图AB的垂直平分线交BC与点P即可；
（2）求出，设，根据含30°直角三角形性质构造方程求解即可．
【详解】解：（1）如答图所示，点即为所求．
（2）∵，，∴，
∵，∴，∴，
设，则，
在中，，即，解得，
∴的长度为．
【点睛】本题考查了尺规作图，含30°角直角三角形性质，熟记相关知识是解题关键．
27．如图，中，，，从开始绕点逆时针旋转角，与射线相交于点，的角平分线所在的直线交射线相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若为轴对称图形时，求；
(3)当、、的中垂线的交点落在的某一边上时，直接写出点到的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
(3)到的距离为或
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等：
（1）由旋转得：，由角平分线的定义得到，再证明，即可证明；
（2）为轴对称图形，即为等腰三角形，先求出，由全等三角形的性质可得，再分如图，当时，当时，两种情况讨论求解即可；
（3）当、、的中垂线的交点落在的某一边上时，为直角三角形，然后分当时， 当时，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）证明：由旋转得：，
平分，
，
，
，
；
（2）解：为轴对称图形，即为等腰三角形，
，，
，
∵，
∴，
如图，当时，则，
∵，
，
；
如图，当时，，
∴
，
；
（3）解：当、、的中垂线的交点落在的某一边上时，为直角三角形，
当时，则，
∵，
∴，，
平分，
，
∴，
∴由角平分线的性质可得到的距离等于的长，即为2；
当时，则，
∴，
如图所示，过点E作于H，过点D作于T，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴到的距离为．
综上所述，到的距离为2或．
28．如图，已知中，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为t秒．
(1)为何值时，平分？
(2)求当为何值时，为等腰三角形？
(3)若出发时，同时另有一点，从点开始，按顺时针方向运动一圈回到点C，且速度为每秒．当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．是否存在某一时刻，直线将的周长分成相等的两部分？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)或或或
(3)或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）过点P作于点D，根据勾股定理逆定理得出，根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，根据，则，根据勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据题意进行分类讨论①当点P在上时；②当点P在上时：Ⅰ、当时；Ⅱ、当时，过点C作于点H；Ⅲ、当时，过点P作于点G；即可解答；
（3）根据题意进行分类讨论①当时，②当时，③当时，点P和点Q都在上，不符合题意；④当时，即可解答．
【详解】（1）解：过点P作于点D，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：；
（2）解：①当点P在上时，，
∵，
∴；
②当点P在上时，
Ⅰ、当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
Ⅱ、当时，
过点C作于点H，
∵，
∴，即，
解得：，
根据勾股定理可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
Ⅲ、当时，
过点P作于点G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴∴，
∴；
综上：或或或；
（3）解：点P运动到点B需要时间，
点P运动到点A需要时间，
点P运动到点C需要时间，
点Q运动到点A需要时间，
点Q运动到点B需要时间，
①当时，，
∵直线将的周长分成相等的两部分，
∴，即，
解得：；
②当时，，
∴，，
∵直线将的周长分成相等的两部分，
∴，即，
解得：（舍去），
③当时，点P和点Q都在上，不符合题意；
④当时，，
∴，
∴，，
∵直线将的周长分成相等的两部分，
∴，即，
解得：；
综上：或．
【点睛】本题主要考查了三角形综合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的周长和几何动点问题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质，具有分类讨论的思想．
29．如图，P是等边三角形内的一点，且，，以为边在右下侧作等边，连接．
(1)求证：；
(2)______．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．
（1）由等边三角形的性质可得，，，再求出，即可得证；
（2）由全等三角形的性质可得，，证明为等腰直角三角形，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵、是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
30．在等边中，点D，E分别是延长线上，且，连结与．
(1)求证：．
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）过点作，三线合一结合勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵为等边三角形，，
∴，
过点作，则：，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
31．如图，和是两个全等的Rt三角形，与交于，，若，请回答以下问题：
(1)求证；
(2)求的值．
【答案】(1)见详解
(2)
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）过作，根据直角三角形内各边关系，以及勾股定理求出和的关系，然后根据相似三角形的判定定理求解即可；
（2）根据（1）的结论，得到是直角三角形，为，从而可以求出．
【详解】（1）证明：过作于，
∵在中，，
∴，
，
，，，
，
，
，
在 中，，
即，
解得：或（舍去），
，
，，
，
又，
，
和是两个全等的三角形，
；
（2）由（1）知，，
，，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据勾股定理求出和的关系是本题解题的关键．
32．如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，等边三角形，顶点从点出发，沿以每秒单位的速度在射线上运动，且点不与点重合，设运动时间为，连接．
(1)如图，当时，求证：；
(2)如图，当时，此时的周长是否存在最小值？若存在，求出 的最小周长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的最小周长．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】（）根据证明三角形全等即可；
（）当时，先证明得到，于是得到周长，根据等边三角形的性质得到，由垂线段最短得到当时，的周长最小，于是得到结论；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：当时，点在上，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：存在，当时，
∵由（）得：，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴周长，
∵是等边三角形，
∴，
∴周长，
由垂线段最短可知，当时，的周长最小，
此时由勾股定理得：，
∴的最小周长．
33．如图，在中，，，为上一点，且到，两点的距离相等．
(1)用直尺和圆规作出点的位置；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连结，若，，求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)4
【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理：
（1）根据题意，得到点在线段的中垂线上，尺规作出线段的中垂线即可；
（2）设，则，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图点即为所求；
（2）如图，
∵点在线段的中垂线上，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴．
34．如图：已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点P是边边上一动点，联结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、B的对应点分别为点E、F，边与边的交点为点G．
(1)当P坐标为时，求G点坐标，和直线的解析式．
(2)过G作交于H，若；，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)联结并延长与线段交于点M，当时以为腰的等腰三角形时求P点坐标．
【答案】(1)G（，2），y= x+12
(2)（0≤x≤3）
(3)P（，2）或（1，2）．
【知识点】求一次函数解析式、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、（特殊）平行四边形的动点问题
【分析】（1）设PG=a，先求出GD=3a，再根据勾股定理求出点G的坐标，由点C的坐标可求出直线CF的解析式；
（2）由折叠的性质得出DG=5-（5-y）-x=y-x，利用勾股定理得出；
（3）分两种情况解答：①当MG=MP时，得到△APO≌△DGC，由AP=DG，得到，求解即可；②当MG=PG时，先得出△AOP，△DPC，△OPC均为直角三角形，利用勾股定理得到AP2+AO2+DP2+CD2=BC2，列出关于x的方程，得出结果．
【详解】（1）解：（1）设PG=a，
∵四边形OADC是矩形，
∴AD∥OC，
∴∠GPC=∠PCO，
由折叠得：∠PCO=∠PCG，
∴∠PCG=∠GPC，
∴PG=GC=a，
∵OA=2，OC=5，P（2，2），
∴PD=5-2=3，
∴GD=3-a，
在Rt△GDC中，GD2+DC2=CG2，
∴22+（3-a）=a2，
∴a=PG=，
∴AG=2+=，
∴G（，2），
∵C（5，0），
设直线CF为：y=kx+b，则
，解得：，
∴直线CF为：y= x+12，
∴G（，2）．
（2）解：∵P（x,2），H（y，0），
由对称性可知：∠OCP=∠FCP，OC=CF，
∵GH⊥PC，
∴CG=CH，
∴FG=OH=y,AP=x,
∴CG=CF-FG=5-y,
∴PG=5-y，
∴DG=5-（5-y）-x=y-x，
在Rt△DGC中，CD2+DG2=CG2，
∴（y-x）2+22=（5-y）2，
∴，
当CF与CD重叠时，G与D重合，此时AP=5-2=3，
∴（0≤x≤3）．
（3）解：∵△PGM时以MG为腰的等腰三角形，MG=MP或MG=PG，
①当MG=MP时，∠MPG=∠MGP，∠APO=∠MPG，∠MGP=∠DGC，
∴∠APO=∠DGC，
在△APO与△DGC中，
，
∴△APO≌△DGC（AAS），
∴AP=DG，
∴y=2x，
∴
∴3x2-20x+21=0，
∴，
∵（舍去），
∴；
②当MG=PG时，∠MPG=∠PMG，∠MOC=∠MPG，
∴CM=CO，
∵∠OCP=∠MCP，
∴∠OPC=∠MPC=90°，
∴CP⊥OP，
∴△AOP，△DPC，△OPC均为直角三角形，
∴AP2+AO2=OP2，PD2+CD2=CP2，OP2+CP2=OC2，
∴AP2+AO2+DP2+CD2=BC2，
∴x2+22+（5-x）2+22=52，
∴x2-5x+4=0，解得：x=1或x=4＞3（舍去），
综上，AP为或1，
∴P（，2）或（1，2）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数的应用，勾股定理等知识点，分类讨论是解题的关键．
35．如图，在等边中，点D、点E分别在、上，且，连接、相交于点F．
(1)求的度数；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；三条边相等．
（1）因为为等边三角形，所以，，又，所以用“”可判定，根据全等三角形的性质得出，利用三角形外角性质解答即可；
（2）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进而解答即可．
【详解】（1）为等边三角形，
，，
在和中，
，
；
，
，
；
（2）延长至，使，连接、，
由（1）知，，
是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，，，
，
，；
又，，
，
即，
，
，
，，
，，
，
，
即的长为6
【能力提升】
36．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？
【答案】(1)A城受到这次台风的影响，理由见解析；(2)受台风影响的时间有6小时．
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BO作垂线，垂足为H，若AH>150则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BO的长为150千米的点有两点，分别设为R、T，则△ART是等腰三角形，由于AH⊥BO，则H是RT的中点，
在Rt△ARH中，解出RH的长，则可求RT长，在RT长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【详解】(1)如图，作AH⊥OB于H．
在Rt△AOH中，∵∠AHO＝90°，OA＝240km，∠AOH＝30°，
∴AH＝OA＝120km，
∵120＜150，
∴A城受到这次台风的影响．
(2)如图，设AR＝AT＝150km，
则易知：RH＝HT＝＝90(km)，
∴RT＝180km，
∴受台风影响的时间有180÷30＝6小时．
【点睛】熟练掌握点到直线的距离垂线段最短，在和勾股定理结合可以得到结果.
37．如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到，由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可；
（2）根据含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可．
【详解】（1）∵的垂直平分
∴
∴．
又∵平分，
∴，而，
又∵，
∴．
（2）∵，，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
38．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．
(1)当时，点 （填“在”或“不在”）线段的垂直平分线上；
(2)若，，判断点是否在的平分线上，并说明理由．
【答案】(1)在
(2)点不在的平分线上，理由见解析
【知识点】角平分线的判定定理、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据题意可得，连接，根据三角形内角和定理可得，根据直角三角形的性质得出，推得，根据等边三角形的判定和性质得出，推得，根据垂直平分线的判定即可求解；
（2）连接，过点作交于点，根据勾股定理求出，求得，，根据三角形的面积求出，根据角平分线的判定即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得，，
如图，连接，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故点在线段的垂直平分线上；
故答案为：在．
（2）解：点不在的平分线上，理由如下：
连接，过点作交于点，如图：
在中，，
根据题意可得，，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∵，，，
故点不在的平分线上．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定定理，勾股定理，三角形的面积，角平分线的判定定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．
39．如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一动点，边与相交，．求证：
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)在点D的运动过程中，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)13
(3)
【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可证明，进而可证；
（2）证明，根据勾股定理，进而求出的值．
（3）由勾股定理得，则最小时，最小，当时即可，再根据直角三角形的性质得到，即可求解．
【详解】（1）证明：与都是等腰直角三角形，
，，
，
与都是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
（负值舍去）；
（3）解：如图：
∵是等腰直角三角形，，
∴
当时，最小，则最小，
∵，
∴
∵
∴和均是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，能够灵活运动勾股定理是解本题的关键，综合性较强．
40．如图①，是平分线上一点，点、分别在射线和射线上．
(1)若与互补，求证：．
(2)反过来，如果，那么和一定互补吗？如果是，简述理由；如果不是，请在图②中画出反例．
(3)若，，．点的个数随着点的位置变化而变化．请直接写出点的个数及对应的的长的取值范围．填空：当____________时，点有个；当____________________时，点有个．
【答案】(1)见解析
(2)不一定互补，图见解析
(3)或，或
【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】（1）过点作于点，于点，结合平分可得，，根据，可推出，证明，即可解答；
（2）不一定成立，作出图形即可；
（3）当时，点只有个，此时可根据勾股定理求出，结合题意以及图形分析即可求解．
【详解】（1）证明：如图①，过点作于点，于点，
平分，，，
，，
，
，
，即，
，
在和中，
，
，
；
（2）当时， 和不一定互补，如图②，当时，；
（3） ，平分，
，
当时，点只有个，此时，，
当或时，点有个，
当时，点只有个，
综上所述，当或时，点只有个，当或时，点有个，
故答案为：或，或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．
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专题05 特殊三角形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，在中，，，为的中点，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段．若点的坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，等边中，为边上的高，点分别在上，且，连，当最小时，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点F是边的中点，则（ ）
A． B． C．2 D．1
5．如图，在等腰直角中，，点为上一点，连接，以为直角顶点作等腰直角，连接交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接、．若，则的长为( )
A． B． C．7 D．3
7．如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转到△的位置，连接，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（ ）
A．49 B．28 C．21 D．14
9．如图所示，中边在数轴上，若，则以点A为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A．3 B．4 C．3或 D．4或
10．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
11．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
12．如图，已知正方形的顶点，D是AB的中点，以顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线OG交边BC于点H，则点H的坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝4，AC＝3，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，CD为⊙O的直径，弦，垂足为E，，，则CD的长为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
15．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边是矩形，四边形是矩形，
∴ ，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确，，
∴，故③正确，
二、填空题
16．如图，的直径AB与弦CD相交于点P，且，若，则的半径为 ．
17．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为、与交于点．若，，则的长为 ．
18．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，则的面积为 ．
19．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面宽AB为8m，则输水管的半径为 m．
20．如图所示，在中，，点D是上的一点，且，则 ．
21．如图，△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D为边AB上一动点（不与A、B重合），⊙D与BC切于E点，E点关于CD的对称点F在△ABC的一边上，则BD= ．
22．如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是 ．
23．如图所示，四边形的对角线，相交于点，，有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是 ．
24．如图，在直角梯形中，，M为腰上一点，且为等边三角形，则 ．
25．如图，在四边形中和，，，．对角线与相交于点E，若，则 ．
三、解答题
26．如图，在中，．
（1）请用尺规作图法，在边上求作一点，使（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接，若，，求的长度．
27．如图，中，，，从开始绕点逆时针旋转角，与射线相交于点，的角平分线所在的直线交射线相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若为轴对称图形时，求；
(3)当、、的中垂线的交点落在的某一边上时，直接写出点到的距离．
28．如图，已知中，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为t秒．
(1)为何值时，平分？
(2)求当为何值时，为等腰三角形？
(3)若出发时，同时另有一点，从点开始，按顺时针方向运动一圈回到点C，且速度为每秒．当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．是否存在某一时刻，直线将的周长分成相等的两部分？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
29．如图，P是等边三角形内的一点，且，，以为边在右下侧作等边，连接．
(1)求证：；
(2)______．
30．在等边中，点D，E分别是延长线上，且，连结与．
(1)求证：．
(2)当，时，求的长．
31．如图，和是两个全等的Rt三角形，与交于，，若，请回答以下问题：
(1)求证；
(2)求的值．
32．如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，等边三角形，顶点从点出发，沿以每秒单位的速度在射线上运动，且点不与点重合，设运动时间为，连接．
(1)如图，当时，求证：；
(2)如图，当时，此时的周长是否存在最小值？若存在，求出 的最小周长，若不存在，请说明理由．
33．如图，在中，，，为上一点，且到，两点的距离相等．
(1)用直尺和圆规作出点的位置；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连结，若，，求的长．
34．如图：已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点P是边边上一动点，联结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、B的对应点分别为点E、F，边与边的交点为点G．
(1)当P坐标为时，求G点坐标，和直线的解析式．
(2)过G作交于H，若；，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)联结并延长与线段交于点M，当时以为腰的等腰三角形时求P点坐标．
35．如图，在等边中，点D、点E分别在、上，且，连接、相交于点F．
(1)求的度数；
(2)连接，若，，求的长．
【能力提升】
36．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？
37．如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
38．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．
(1)当时，点 （填“在”或“不在”）线段的垂直平分线上；
(2)若，，判断点是否在的平分线上，并说明理由．
39．如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一动点，边与相交，．求证：
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)在点D的运动过程中，求的最小值．
40．如图①，是平分线上一点，点、分别在射线和射线上．
(1)若与互补，求证：．
(2)反过来，如果，那么和一定互补吗？如果是，简述理由；如果不是，请在图②中画出反例．
(3)若，，．点的个数随着点的位置变化而变化．请直接写出点的个数及对应的的长的取值范围．填空：当____________时，点有个；当____________________时，点有个．
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