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专题06 相似三角形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，在中，点D，E分别在AB，AC上，并且，，的面积为8，则的面积为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．18
3．如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，点F在DE上，CF＝CD，过点F作FG⊥FC交AD于点G．下列结论：①GF＝GD；②AG＞AE；③AF⊥DE；④DF＝3EF；⑤∠ADF＝30°正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①③④⑤
4．如图，与，直角顶点重合于点，点在上，且，连接，若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，其坐标分别为、，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形和正方形是位似图形，其中点与点对应，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小颖身高为，在阳光下影长，当她走到距离墙角（点）的处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将等边三角形纸片折叠，使点A落在边上的D处，为折痕．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12，点D为线段AB上一点，且BD=5AD，点E是线段AC上的动点，DE⊥DF交BC所在直线于点F，连接EF，则EF的最小值（ ）
A．6 B．10 C．2 D．3
10．如图所示，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，D是的中点，交于E，已知，连接交于F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形与反比例函数的图象交于，两点，矩形的顶点，在坐标轴上，，，若点的坐标为，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．点的坐标为
14．如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
15．如图，在中，，，E、F为线段AB上两动点，且，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．以下结论错误的是（ ）
A． B．当点E与点B重合时，
C． D．
二、填空题
16．如图，在中，点是的中点，连接相交于点，则的周长与的周长之比 ．
17．如图，在中，，点D是AC的中点，点E是上一点，与交于点F．若，则的长为 ．
18．如图，平行四边形中，点是边上一点，交于点，若，则的值为 ．
19．如图，在中，，点D是边上一点（点D不与点A，B重合），连接，将沿翻折得到，连接，当时，的长为 ．
20．如图，在等腰三角形中，，取的中点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，若，，则的长为 ．
21．将边长为的正方形ABCD和边长为的正方形CEFG如图摆放，点G恰好落在线段DE上，连接BE，则BE= ．
22．如图，在边长为4的正方形中，为的中点，点在射线上，过点作于点，连接．请探究下列问题：
（1） ；
（2）当时， ．
23．如图，在中，，点D在上，，作交于点E，连接，点F是的中点，则 ．
24．如图，在中，，分别是边，的中点，与的面积分别为，，则 ．
25．如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．
三、解答题
26．如图，在中，，于点，为边上的中线．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求点到的距离．
27．如图，已知：点、在边上，点边上，且，．
(1)求证：；
(2)如果，，求的值．
28．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，问FH多少里？
29．如图，已知四边形中，，点E、F分别为边延长线上的点，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，，请直接写出图2中与互余的所有角．
30．小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
(1)如图1，在中，P是边上的一点，连接，若，
求证：；
(2)如图2，已知，，，求的度数．
31．如图1，点D为内一点，联结，，以为邻边作平行四边形，与边交于点F，．
(1)求证：；
(2)延长，交边于点G，如果，且的面积与平行四边形面积相等，求的值；
(3)如图2，联结，若平分，，求线段的长．
32．已知：在中，点是边上任意一点（不与点、重合）．
(1)如图1，联结，__________；（用图中已有线段表示）
(2)如图2，是线段上任意一点（不与点、重合），联结、，试猜想与之应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
33．已知中，，平分，，．点D、E分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F．
(1)求的长；
(2)如图1，如果，求的值；
(3)如果是以为腰的等腰三角形，求长．
34．在矩形中，E是边上一点，连接，将沿翻折得到．
(1)如图1，若，，当点F在矩形对角线上时，求的长．
(2)如图2，当点F在上时，，求证：．
(3)如图3，若，延长，与的平分线交于点G，交于点，求的值．
35．【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立．
【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由．
【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由．
【能力提升】
36．如图，已知平行四边形中，，，，点在射线上，过点作，垂足为点，交射线于点，交射线于点，连接、，设．
(1)当点在边上时，
求的面积；（用含的代数式表示）
当时，求的值；
(2)当点在边的延长线上时，如果与相似，求的值．
37．如图，将矩形沿着折叠，使得点落在边上的点处（点不与C、D重合），点B对应点为点，，．
(1)当时，求的长；
(2)设，求四边形的面积与的函数表达式．（不要求写出自变量的取值范围）
38．如图1，在中，，，，点，为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转．
(1)如图1，当时，_________；，所在直线相交所成的较小夹角的度数是_________；
(2)将绕点逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)当绕点逆时针旋转过程中，请直接写出的最大值，_________．
39．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点P沿着边AB从点A运动到点B，同时动点Q沿着边BC，CD从点B运动到点D，它们同时到达终点，BD与PQ交于点E．若记点Q的运动路程为x，线段BP的长记为y．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)如图2，当点Q在CD上时，求．
(3)将矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F，连结EF，当EF所在直线与△BCD的一边垂直时，求BP的长．
40．抛物线交轴于两点，交轴于点，点为线段下方抛物线上一动点，连接．
（1）求抛物线解析式；
（2）在点移动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）设点为上不与端点重合的一动点，过点作线段的垂线，交抛物线于点，若与相似，请直接写出点的坐标．
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专题06 相似三角形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【详解】∵是公共角，
∴再加上或都可以证明，故A，B可证明，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能证明．
∵，
若再添加，即，可证明，故D可证明．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
2．如图所示，在中，点D，E分别在AB，AC上，并且，，的面积为8，则的面积为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】由相似三角形的判定可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
3．如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，点F在DE上，CF＝CD，过点F作FG⊥FC交AD于点G．下列结论：①GF＝GD；②AG＞AE；③AF⊥DE；④DF＝3EF；⑤∠ADF＝30°正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①③④⑤
【答案】C
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）连接CG．根据“HL”可证RtΔCFG≌RtΔCDG，利用全等三角形的对应边相等，可得GF=GD，据此判断①；
（2）根据“ASA”可证ΔADE≌ΔDCG，可得AE=DG，从而可得AG=AE，据此判断②；（3）由（2）知GF=GD=GA，可证∠AFD=90°，据此判断③；
（4）根据两角分别相等的两个三角形相似，由（3）可证ΔAEF∽ΔDAF∽ΔDEA，可得， 从而可得DF=2AF=4EF，据此判断④，
（5）由（4）知DF=2AF，可得AD=AF，由此可判断⑤．
【详解】解：（1）连接CG， 如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵FG⊥FC，
∴∠GFC=90°，
在Rt△CFG与Rt△CDG中，CG＝CG，CF＝CD
∴RtΔCFG≌RtΔCDG(HL)，
∴GF=GD，
故①正确．
（2）由（1），CG垂直平分DF，
∴∠EDC+∠2=90°，
∵∠1+∠EDC=90°，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=AB，∠DAE=∠CDG=90°，
∴ΔADE≌ΔDCG(ASA)，
∴AE=DG，
∵E为AB边的中点，
∴G为AD边的中点，
∴AG=AE，
故②错误．
（3）由（2），得GF=GD=GA，
∴∠AFD=，
故③正确．
（4）由（3），可得ΔAEF∽ΔDAF∽ΔDEA，
∴，
∴DF=2AF=4EF，
故④正确．
（5）由（4）知DF=2AF，可得AD=AF，
∴，
故⑤错误．
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用全等三角形的判定和性质与相似三角形的判定与性质．
4．如图，与，直角顶点重合于点，点在上，且，连接，若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】先利用勾股定理求出，然后证，接着利用相似三角形的性质和已知条件即可求出的长．
【详解】解：，，
，
在中，，
，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．
5．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，其坐标分别为、，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、求绕原点旋转90度的点的坐标、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转的规律型，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，过点作轴于点，先根据勾股定理求得，再利用相似三角形的性质求出点的坐标，结合绕点顺时针旋转探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：如图，过点作轴于点．
矩形的顶点、分别在轴、轴上，其坐标分别为、，
，，
，
，
，，
，
∴，
，即，
，，
，
，
矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
发现规律：旋转次一个循环，
，
则第次旋转结束时，点的坐标为．
故选：B．
6．如图，正方形和正方形是位似图形，其中点与点对应，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形、根据正方形的性质求线段长、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】由点，点的坐标可知，，，，进而求得两个正方形的面积即可求得面积之比．
【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，四边形和四边形均是正方形，
∴，，，，
则正方形的面积为：
正方形的面积为：，
∴两个正方形的面积之比为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是图形与坐标，正方形的性质，位似变换，理解相关图形的性质是解决问题的关键．
7．如图，小颖身高为，在阳光下影长，当她走到距离墙角（点）的处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可．
【详解】解：如图，过E作EF⊥CG于F，
设投射在墙上的影子DE长度为x，
由题意得：△GFE∽△HAB，
∴AB：FE＝AH：（GC x），
则240：120＝160：（160 x），
解得：x＝80．
答：投射在墙上的影子DE长度为80cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确地构造直角三角形．
8．如图，将等边三角形纸片折叠，使点A落在边上的D处，为折痕．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，由条件可以得出 设就有设 根据相似三角形的性质就可以表示出，再根据就可以求出与的数量关系，从而求出结论，解答时运用相似三角形的性质建立方程求解是关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
由折叠可知：与关于对称，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
故选：C．
9．在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12，点D为线段AB上一点，且BD=5AD，点E是线段AC上的动点，DE⊥DF交BC所在直线于点F，连接EF，则EF的最小值（ ）
A．6 B．10 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】先根据直角三角形的性质可得BC、AC的长，过D作DG⊥AC垂足为G，DH⊥DG垂足为D,即ED//BC，然后证得△ADG∽△ABC，再根据相似三角形的性质求得DG的长，再运用勾股定理求出HG，从而得到EF的最小值．
【详解】解：∵在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12
∴BC=6,AC=6
∵AB=12，BD=5AD
∴AD=2,BD=10
如图：过D作DG⊥AC垂足为G，DH⊥DG垂足为D
∴四边形DGCH是矩形
∴DG//BC, ，CH=DG
∵DG//BC,
∴△ADG∽△ABC
∴
∴，解得：DG=1
∴DE的最小值为1，CH=DG=1
∴BH=BC-CH=6-1=5
∴DH=
∴HG=
∴由勾股定理得EF2=DE2+DF2，显然当DE和DF最短时，即E和G重合，F和H重合时，EF的最小值=GH=．
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．
10．如图所示，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．过C作，交于，根据相似三角形的判定推出，，根据相似得出比例式，根据已知条件即可得出答案．
【详解】解：过C作，交于，
∵，
∴，
，
∵，即，
，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
故选：D．
11．如图，在中，D是的中点，交于E，已知，连接交于F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、根据三线合一证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】由题意知，垂直平分，则可判断①；过A作于G，交于H，利用等腰三角形的性质、外角与内角关系可判断②；设，利用，则可得，从而证明，则可判断③；由，即可判断④．
【详解】解：是的中点，，
垂直平分，
，
故①正确；
如图，过A作于G，交于H，
，
；
，
，
，；
，，
，；
；
，，
，
故②正确；
设，
，
，
，，
，
，
即；
，
，
，
故③正确；
由，
即不成立，
故④错误．
故正确的有①②③三个；
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，通过作等腰三角形底边的垂线，利用三线合一的性质是解题的关键．
12．如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形斜中线定理，中垂线定理，连接，先证明，得出，再根据，求得与的关系式，运用这些性质和定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，点为的中点，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形与反比例函数的图象交于，两点，矩形的顶点，在坐标轴上，，，若点的坐标为，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．点的坐标为
【答案】A
【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合
【分析】先根据题意求得OA=5,AD=2,OD=，再根据条件求出DE,然后再证明△OAD∽△DBE可得，进而求得BD、BE，然后求出OC、EC，最后逐项排查即可．
【详解】解：∵四边形OABC为矩形，D(2,5)
∴OA=5，AD=2，OD=
又∵
∴DE=
∵∠ODE=90°
∴∠ODA+∠BDE=90°
又∵∠ODA+∠AOD=90°
∴∠BDE=∠AOD
∴△OAD∽△DBE
∴,即
∴BD ，BE
∴OC=AD+BD=，EC=BC-BE=
∴S△OEC=,故A错误；符合题意；
S△DEB= ，故B正确；不符合题意；
,故C正确；不符合题意；
CO=，EC=，则点E的坐标为．正确，不符合题意；
故选：
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的结合、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
14．如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】作垂直于，延长和交于点，则有，由题意易得，，设，则，，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：如图，作垂直于，延长和交于点，
∵，
∴，，
菱形的边长为4，
，，
是的中点，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，，
由，
，
∴，
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键．
15．如图，在中，，，E、F为线段AB上两动点，且，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．以下结论错误的是（ ）
A． B．当点E与点B重合时，
C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】A由题意知，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
B如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得，四边形是矩形，进一步得到FG是的中位线，从而作出判断；
C如图2所示，根据可证，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；
D易证，根据相似三角形的性质可得，由题意知四边形是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到 ，依此即可作出判断.
【详解】解：由题意知，是等腰直角三角形，
∴ ，故A正确；
如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴，
∵，
∴，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴FG是的中位线，
∴，故B正确；
如图2所示，
∵，
∴．
将绕点C顺时针旋转至，
则；
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴（），
∴．
∵，
∴，
∴，即，故C错误；
∵，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
由题意知四边形是矩形，
∴，
∴ ，
即 ，
∴，
∴，
故D正确．
故选C．
【点睛】此题是三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
二、填空题
16．如图，在中，点是的中点，连接相交于点，则的周长与的周长之比 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．由四边形是平行四边形，点是的中点得且，再根据周长比等于相似比即可．
【详解】解：四边形是平行四边形
点是的中点
．
故答案为：．
17．如图，在中，，点D是AC的中点，点E是上一点，与交于点F．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】根据三角形外角的性质可以得出，，从而得到，根据勾股定理求出的长，从而可以求得的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，根据三角形外角和定理得出三角形相似，再根据勾股定理求出各边的长是本题解题的关键．
【详解】解：，
，
又，
，
又，
，
，
，
是中点，
，
在中，，
．
故答案为：．
18．如图，平行四边形中，点是边上一点，交于点，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质．由平行四边形的性质可得，，证明得出，代数数值进行计算即可．
【详解】解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
∴，
故答案为：．
19．如图，在中，，点D是边上一点（点D不与点A，B重合），连接，将沿翻折得到，连接，当时，的长为 ．
【答案】或
【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，分情况讨论即可．
【详解】解：①如图所示，设交于E，
在中，，，
∴，
由折叠的性质可得，，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
②如图所示，过D作，交于点E，
∴，
由于折叠，，
∵在中，，
∴，
∵是直角三角形，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：或．
20．如图，在等腰三角形中，，取的中点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】作，，垂足为点M、N．先由勾股定理求得的长，再由等腰三角形“三线合一”与三角形中位线的逆定理可求得的长，从而可知的长，最后利用可求得的长．
【详解】解：如图，过点A、点E分别作，，垂足为点M、N．则，
∵，，，
∴．
∵，，
∴，
∵E为的中点，，
∴．
∴，
设，则．
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
解得：．
即：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理的逆定理、相似三角形的性质、勾股定理等，解题的关键作出恰当的辅助线．
21．将边长为的正方形ABCD和边长为的正方形CEFG如图摆放，点G恰好落在线段DE上，连接BE，则BE= ．
【答案】
【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】连接BD，BG，设DC和BG相交于点O，利用△BOD∽△COG求出线段BO、OC、OD、OG，在RT△BGE中利用勾股定理即可求BE．
【详解】解：（1）如图，连接BD，BG，设DC和BG相交于点O，
∵四边形ABCD、四边形CGEF都是正方形，
∴BC=CD=，CG=CE=，∠BCD=∠GCE=90°，∠DEC=∠CGE=45°，∠BDC=45°，
∴BD=，GE=2，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE，
∴∠BGC=∠DEC=45°，
∴∠BGE=∠BGC+∠CGE=90°，
∵∠DOB=∠GOC，∠BDO=∠OGC，
∴△BDO∽△CGO，
∴，
设OC=k，则BO=k，
∵BO2=OC2+BC2，
∴5k2=5+k2，
∴k=，
∴OC=OD=，BO=2.5，OG=0.5，
∴BG=BO+OG=3，
在Rt△BGE中，BG=3，EG=2，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、以及勾股定理的运用，正确添加辅助线，灵活运用三角形全等或相似是解题的关键．．
22．如图，在边长为4的正方形中，为的中点，点在射线上，过点作于点，连接．请探究下列问题：
（1） ；
（2）当时， ．
【答案】（1）；（2）5
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求角的正弦值
【分析】本题考查了求一个角的正弦值以及相似三角形的性质．（1）根据可得，，据此即可求解；（2）由可得 ，据此即可求解．
【详解】解：（1）在中，．
，
，
，．
故答案为：
（2）当时，．
．
又，
．由（1）知
．
故答案为：5
23．如图，在中，，点D在上，，作交于点E，连接，点F是的中点，则 ．
【答案】
【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】作交于G，根据平行线的性质和等边对等角得到，得到，，然后证明出，得到，然后求出，，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，作交于G，
，，
，
，
∴，
∵，
∴
∴
，
，点F是的中点，
∴
∴
∴
∴，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等边对等角性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
24．如图，在中，，分别是边，的中点，与的面积分别为，，则 ．
【答案】
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】根据三角形中位线定理得到 得到根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵D、E分别是边的中点，
∴
故答案为：．
25．如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．
【答案】
【知识点】求点到坐标轴的距离、相似三角形的判定与性质综合
【详解】∵点关于y轴的对称点为，
∴反射光线所在直线过点和．
设的表达式为，易得的表达式为．
∵反射后经过点，
，
．
三、解答题
26．如图，在中，，于点，为边上的中线．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求点到的距离．
【答案】(1)
(2)
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到，可得，结合，从而求出，再根据同角的余角相等，得出答案；
（2）根据正切的定义得到，设，则，证明，求出，再用勾股定理求出，最后利用面积法求解即可．
【详解】（1）解：，为边上的中线，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
设，则，
，
，
，即，
，
，
，
，
即点到的距离为．
27．如图，已知：点、在边上，点边上，且，．
(1)求证：；
(2)如果，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合
【分析】此题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，
（1）根据平行线分线段成比例得到，然后结合即可得到，进而求解即可；
（2）首先证明，然后结合得到，求出，作，垂足为点，然后得到，然后利用平行线分线段成比例得到，进而求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵//，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
作，垂足为点，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
28．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，问FH多少里？
【答案】1.05里
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．
【详解】∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，
∴△GEA∽△AFH，
∴．
∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，
∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，
∴，
∴FH＝1.05里．
【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
29．如图，已知四边形中，，点E、F分别为边延长线上的点，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，，请直接写出图2中与互余的所有角．
【答案】(1)详见解析
(2)，，，
【知识点】求一个角的余角、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，互余关系：
（1）根据，得到，进而得到，得到，即可得证；
（2）易得，再根据已知条件，和平行线的性质，进行推导即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与互余的角为：，，，．
30．小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
(1)如图1，在中，P是边上的一点，连接，若，
求证：；
(2)如图2，已知，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查相似三角形，三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
（1）根据相似三角形的判定定理求解即可；
（2）首先证明出，然后利用相似三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
31．如图1，点D为内一点，联结，，以为邻边作平行四边形，与边交于点F，．
(1)求证：；
(2)延长，交边于点G，如果，且的面积与平行四边形面积相等，求的值；
(3)如图2，联结，若平分，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据平行的性质推导出，即可证明；
（2）延长交于点H，由题意可得，，再由（1）可得，从而得到是等腰三角形，H是的中点，由，可得，则，即可求；
（3）延长交AE于点N，交于点M，根据平行四边形的性质和角平分线的定义，可得，则，再由，可知N是的中点，M是的中点，求出，证明，则有，可求，再求，由此即可求出．
【详解】（1）解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：延长交于点H，
∵的面积与平行四边形面积相等，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴H是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延长交AE于点N，交于点M，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴N是的中点，
∵，
∴M是的中点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，中位线的性质是解题的关键．
32．已知：在中，点是边上任意一点（不与点、重合）．
(1)如图1，联结，__________；（用图中已有线段表示）
(2)如图2，是线段上任意一点（不与点、重合），联结、，试猜想与之应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查三角形的面积计算以及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）作于E点，根据三角形的面积公式表示出和的面积，即可求出；
（2）在（1）的基础之上，作于F点，分别表示和的面积，得出，然后确定，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，作于E点，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图所示，作于E点，作于F点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
33．已知中，，平分，，．点D、E分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F．
(1)求的长；
(2)如图1，如果，求的值；
(3)如果是以为腰的等腰三角形，求长．
【答案】(1)10
(2)
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据角平分线的定义，得到，进而得出，证明，得到，求出，进而得到，即可求出的长；
（2）由得到，进而得出，证明，得到，求出，，过点作交于点，得到，，求出，即可得出比值；
（3）根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出，,进而得出，证明，，得到，，先求出，再求出，即可得到长．
【详解】（1）解：平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
如图，过点作交于点，
，，
，，
，
，
；
（3）解：是以为腰的等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
34．在矩形中，E是边上一点，连接，将沿翻折得到．
(1)如图1，若，，当点F在矩形对角线上时，求的长．
(2)如图2，当点F在上时，，求证：．
(3)如图3，若，延长，与的平分线交于点G，交于点，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）设，根据折叠的性质可得、、，再根据勾股定理可得，进而得到，最后在中运用勾股定理即可解答；
（2）由矩形的性质可得、，再结合折叠的性质可得，进而说明即，最后结合即可证明结论；
（3）如图，过点H作于点M，再证可得，进而得到；设、，则、， 运用勾股定理可得；设，则，运用勾股定理可得，最后代入即可解答．
【详解】（1）解：设，根据折叠的性质可得，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，解得，即．
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
根据折叠的性质可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点H作于点M.
∵平分，，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴设，，
根据折叠的性质可得：，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
∴，解得，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
35．【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立．
【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由．
【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由．
【答案】（1）成立，理由见解析（2）四边形的面积面积，理由见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）延长交的延长线于点N，取的中点M，连接，证明，推出为的中位线，得到，证明，即可得证；
（2）连接，证明，推出，根据，得到，设，则，求出四边形的面积和的面积即可得出结果．
【详解】解：（1）成立；
理由：延长交的延长线于点N，取的中点M，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形的面积面积．
理由：连接，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等和相似三角形，是解题的关键．
【能力提升】
36．如图，已知平行四边形中，，，，点在射线上，过点作，垂足为点，交射线于点，交射线于点，连接、，设．
(1)当点在边上时，
求的面积；（用含的代数式表示）
当时，求的值；
(2)当点在边的延长线上时，如果与相似，求的值．
【答案】(1) ； 的值为；
(2)的值为 或 ．
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（）先证明，，，即，则，再用勾股定理表示出，再判断出，得出比例式表示出，即可得出结论；
先表示出，再用，建立方程求出，即可得出结论；
（）分两种情况：当 时，得出，进而得出 ，，再根据勾股定理得，进而得出，最后判断出，得出比例式建立方程求解即可得出结论；当时，先判断出，进而得出，再根据勾股定理得，求出，得出，同理，再判断出，得出比例式建立方程求解即可得出结论；
此题主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
根据勾股定理得，，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
由知，，
∴
∴，
∴，
∴，
∵时，
∴，
∴（舍去）或 ，
∴，
∴，
∴的值为；
（2）∵四边形是平行四边形,
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵与相似，
∴当时，如图，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵由（）得，
∴，
在中， ，
根据勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
根据勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
在中，同理：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：如果与相似，的值为 或 ．
37．如图，将矩形沿着折叠，使得点落在边上的点处（点不与C、D重合），点B对应点为点，，．
(1)当时，求的长；
(2)设，求四边形的面积与的函数表达式．（不要求写出自变量的取值范围）
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）设，，根据矩形性质、勾股定理、轴对称性质，得；根据相似三角形性质，通过证明，得；再通过证明，得；求得，即，作于，根据勾股定理计算即可得到答案；
（2）设，，根据矩形性质、勾股定理、轴对称性质，得；根据相似三角形性质，通过证明，得；再通过证明，得；求得，根据梯形面积公式计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
设，，
根据题意，得，，
∵，
∴，
∵矩形纸片，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
作于，
∵矩形纸片，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设，，
根据题意，得，，
∵，
∴，
∵矩形纸片，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形、勾股定理、相似三角形的判定和性质、轴对称、梯形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、相似三角形、轴对称的性质，从而完成求解．
38．如图1，在中，，，，点，为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转．
(1)如图1，当时，_________；，所在直线相交所成的较小夹角的度数是_________；
(2)将绕点逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)当绕点逆时针旋转过程中，请直接写出的最大值，_________．
【答案】(1)2，60°；
(2)成立，证明见解析；
(3)．
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）先求出BC，AA1=A1C，再求出B1C，进而求出BB1，即可得出结论；
（2）先判断出，得出，∠CAA1=∠CBB1，进而求出∠ABD+∠BAD=120°，即可得出结论；
（3）当点A1落在AC的延长线上时，的面积最大，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：在中，AC=1，
∴∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2AC=2，
∵点A1为边AC的中点，
∴AA1=A1C=AC=，
∵点A1，B1为边AC，BC的中点，
∴A1B1是ABC的中位线，
∴A1B1AB，
∴∠B1A1C=∠BAC=90°，∠A1B1C=∠ABC=30°，
在RtA1B1C中，
B1C=2A1C=1，
∴,
∴，
∵∠ACB=60°，
∴BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB=60°，
故答案为：2，60°；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2，
由旋转知，∠ACA1=∠BCB1，
A1C=，B1C=1，
∵AC=1，BC=2，
∴=2，=2，
∴=，
∴，
∴，∠CAA1=∠CBB1，
∴，
∴
（3）解：由题意得：AC=1，AB=，CA1=，
当点A1落在AC的延长线上时，ABA1的面积最大，
最大值．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题．
39．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点P沿着边AB从点A运动到点B，同时动点Q沿着边BC，CD从点B运动到点D，它们同时到达终点，BD与PQ交于点E．若记点Q的运动路程为x，线段BP的长记为y．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)如图2，当点Q在CD上时，求．
(3)将矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F，连结EF，当EF所在直线与△BCD的一边垂直时，求BP的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、（特殊）平行四边形的动点问题、相似三角形——动点问题
【分析】（1）设点P的速度为a，点Q的速度为b，根据题意可得，再设两点的运动时间为t，则，从而得到，即可求解；
（2）证得△BPE~△DQE，可得，再由，即可求解；
（3）分四种情况讨论：当点Q在BC上，EF⊥CD时；当点Q在CD上，EF⊥BC时； 当点Q在CD上，EF⊥BD时； 当点Q在CD上，EF⊥CD时，即可求解．
【详解】（1）解：设点P的速度为a，点Q的速度为b，根据题意：
，解得：，
设两点的运动时间为t，则，
∴， ，
∴；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，∠DQP=∠BPQ，
∵∠BEP=∠DEQ，
∴△BPE~△DQE，
∴，
∵DQ=14-x，BP=y，
∴，
∴；
（3）解：如图，当点Q在BC上，EF⊥CD时，过点E作EG⊥BC于点G，
在矩形ABCD中，BC⊥CD，
∴EF∥BQ，
∴∠BQE=∠FEQ，
∵∠BEQ=∠FEQ，
∴∠BEQ=∠BQE，
∴BE=BQ，
∵AB＝8，AD＝6，
∴BD=10，
设BE=BQ=m，
∵EF⊥BC，
∴EG∥CD，
∴△BCD∽△BGE，
∴，
∴
∴，
∴，
∵EG∥BP，
∴，即，
解得：，
当时，，
∴；
当点Q在CD上，EF⊥BC时，如图，
∵EF∥AB，
∴∠BPE=∠FEP，
∵∠BEP=∠FEP，
∴∠BPE=∠BEP，
∴BP=BE=y，
∵AB∥CD，
∴∠BPE=∠DQE，
∵∠DEQ=∠DQE，
∴∠DEQ=∠DQE，
∴DE=DQ=14-x，
∴14-x+y=10，即x=4+y，
∴，解得：，即；
当点Q在CD上，EF⊥BD时，过点P作PM⊥BD于点M，如图，则∠FEP=∠BEP=45°，
∴∠PEM=∠EPM=45°，
∴PM=EM，
∵AB∥CD，
∴△BPE∽△DQE，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
设PM=3n，则BM=4n，EM=3n，
∴BP=5n，
∴BE=EM+BM=7n，
∴，解得：，
∴；
当点Q在CD上，EF⊥CD时，如图，
∵AB∥CD，
∴△BPE∽△DQE，
∴ ，
∴，，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∵EF=BE=，PB=PF，
设PB=PF=s，
∵EF∥AD，
∴△BME∽△BAD，
∴，
∴BM=，，
∴，
在Rt△FMP中，
，解得：，
即，
综上所述，BP的长为或或或
【点睛】本题考查了矩形和折叠问题和三角形的全等，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的综合运用，解题的关键熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
40．抛物线交轴于两点，交轴于点，点为线段下方抛物线上一动点，连接．
（1）求抛物线解析式；
（2）在点移动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）设点为上不与端点重合的一动点，过点作线段的垂线，交抛物线于点，若与相似，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）；（2）存在，；（3），，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、相似三角形的判定综合、利用相似三角形的性质求解
【分析】（1）由题意设，结合抛物线，从而可得答案；
（2）过作轴，交于 设点的坐标为，表示的坐标，求解长度，利用可得答案；
（3）分情况讨论：当时，过作交于，求解的坐标，利用函数的交点求解的坐标，当过点作，则有，利用二次函数的对称性可得答案，当作的垂直平分线，交抛物线于点，则有，利用函数的交点求得的坐标．
【详解】解：（1） 点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为
，
抛物线解析式为：
（2）存在，理由如下：过作轴，交于
设点的坐标为，
抛物线解析式为：
点的坐标为，
设直线的解析式为：
解得：
直线的解析式为
故点的坐标为
故当时，有最大值为
此时点的坐标为
（3）点的坐标为；；；
理由如下：如图4，，可得；
同上可知线段的解析式为，
过作交于，
直线，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得
解得点的坐标为，
故点关于的对称点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的解析式为：，
解得：
直线的解析式为
将与联立方程可得：
，解得（舍），，
故点的坐标为；
如图5，过点作，
，
此时点关于抛物线的对称轴对称，
点的坐标为，故此时点的坐标为
如图6，作的垂直平分线，交抛物线于点，
点的坐标为，点的坐标为，
中点的坐标为，
直线，并经过点，
设直线的解析式为:
直线的解析式为，
将与
联立方程组可得
，
解得，（舍）
故点的坐标为
综上可得点的坐标为：；；
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数解析式，列二次函数解析式，利用二次函数的性质求面积的最大值，三角形相似的判定与性质，同时考查求解一次函数的解析式及函数的交点坐标，是典型的压轴题，掌握以上知识是解题的关键．
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