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专题05 特殊三角形
（一）等腰三角形的性质与判定
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高）所在的直线就是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
（二）等边三角形的性质与判定
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线（或角平分线或中线）所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.
即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=AB.
（三）角平分线与垂直平分线的性质
（1）角平分线
①性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
②判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上，即PA=PB。
（2）垂直平分线
①性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
②判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（四）直角三角形的性质
（1）两锐角互余．即∠A＋∠B＝90°；
（2）30°角所对的直角边等于斜边的一半．即若∠B＝30°，则AC＝AB；
（3）斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB．
（4）勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2．
（五）直角三角形的判定
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形．即若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形；
（2）如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
即若AD＝BD＝CD，则△ABC是直角三角形
（3）勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
考点1：等腰三角形的性质——等边对等角
典例1：如图已知点在上， 点在上，．若， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等边对等角
【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理，并运用数形结合是解题的关键．根据全等三角形的性质，，，结合，得到，然后在中根据三角形内角和定理求解，的值，进而可得的值，然后由求解即可．
【详解】解： ，
，，，
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
，，
∴，，
∴．
故选：A．
【变式1】如图，在中，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、等边对等角
【分析】本题考查线段垂直平分线的作法及性质，角平分线的作法，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，由作图痕迹得出垂直平分，平分，进而可得，，再根据三角形内角和定理得出，根据等边对等角得出，即可求解．
【详解】解：由作图痕迹可知，垂直平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
故选A．
【变式2】如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连接，则 °．
【答案】20
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，尺规作图，
根据尺规作图可知，再根据三角形内角和定理求出，然后根据等腰三角形的性质求出，最后根据得出答案．
【详解】根据题意可知，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20．
【变式3】如图，点O是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接．当 时，是等腰三角形．
【答案】或或
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等边三角形的性质
【分析】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键；先求出，，，分三种情况讨论：①，则，②，则，③，则，分别求出α的角度即可.
【详解】解：和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，，，
当时，
，
；
当时，
，
，
，
当时，
，
，
．
故答案为：或或．
考点2：等腰三角形的性质——三线合一
典例2：已知：如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E．
(1)求证：；
(2)若的面积是2，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解题的关键．
（1）先证明，，然后根据即可证明；
（2）由中线的性质得，由全等三角形的性质得，进而可求出四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴．
在和中，
∴；
（2）解：∵是边上的中线，
∴．
∵，
∴，
∵的面积是2，
∴四边形的面积为6．
【变式1】如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【知识点】等边三角形的判定、等边三角形的性质、根据三线合一证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再结合即可证明结论；
（2）由等边三角形的性质可得，再结合可得，易证可得，再根据等边三角形的性质可得，即；最后根据四边形的周长公式以及等量代换即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵交于点，是等边三角形，
∴，即
∴四边形的周长为
．
【变式2】如图，在中，，D为的中点，，，求的度数．
【答案】
【知识点】三线合一、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形三线合一，可得，平，推出，，再根据等边对等角、三角形内角和定理，得出，即可求解．
【详解】解：∵，D为的中点，
，平分，
，．
∵，
∴，
∴．
【变式3】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，求 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【知识点】根据三线合一证明、等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质
【分析】（）连接， 由垂直平分线的性质得，可知，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可求证；
（）设，则，根据三角形的外角性质可得，根据等边对等角得，最后通过三角形的内角和定理即可求解；
本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∴由三角形的外角的性质，，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，
故答案为：．
考点3：等腰三角形判定与性质
典例3：如图，在和中，，点在上，且，过点作于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理．
（1）先证得，再由得，即可得出结论；
（2）设，由（1）可得，再由得，即可得，再由三角形内角和定理即可得解．
【详解】（1）证明：∵在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴设，由（1）可得，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴．
【变式1】在中，，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接．
(1)如图1，当时，则 ；（用含有α的式子表示）
(2)如图2，当时，作的角平分线交的延长线于点F．交于点E，连接．
①依题意在图2中补全图形，并求的度数；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)；
(2)①见解析，；②，见解析．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；
（2）①根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；
②由等腰三角形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①如图所示：
∵，
∴，
，
∴；
②，理由如下：
如图2，过点C作于H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式2】如图，在中，，点在边上，且．
(1)如图1，____，____．
(2)如图2，若为线段上的点，过点作直线于点，分别交直线、于点、．
①求证：是等腰三角形．
②试猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)36；72；
(2)①证明见解析；②，证明见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理与外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据等边对等角的性质，得到，，再根据三角形外角的性质，得到，进而得出，再结合三角形内角和定理求解即可；
（2）①结合（1）的结论，证明，得到，即可得出答案；
②由①可知，，再结合已知条件，得出，，进而得到，即可求解．
【详解】（1）解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：36；72；
（2）解：①由（1）可知，，，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
②，证明如下：
由①可知，，
，，
，，
，
即．
【变式3】如图，已知等腰中，，D为外一点，且，．
(1)如图1，当，求；
(2)如图2，作于E交于F，当，，，求；
(3)若，且是等腰三角形，求的值．
【答案】(1)
(2)8
(3)或或或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SSS综合（SSS）
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）由，得出，，利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角的和差关系即可求得；
（2）作于，由（1）得出，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，由直角三角形的性质得出，，在中，由勾股定理得出即可求出；
（3）分三种情况，①时，②时，③时；由全等三角形的性质，等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解∶ ，
，
，
，，
，
设，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：作于，如图2所示：
，
由（1）得：，
，，
，，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
；
（3）解∶分情况讨论∶ ①时，如图3所示∶
，
，
在和中，
，
，
，
即；
②时，如4图所示∶
同①得， ，
，
，即；
③时， 如5图所示∶
点在的垂直平分线上，
或，
即或；
综上所述，若，且是等腰三角形，则为或或或．
考点4：等边三角形性质
典例4：已知：如图，在等边三角形的边上取中点，的延长线上取一点，使．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】根据等边对等角证明、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质
【分析】（）由等边三角形的性质可得，， 由等腰三角形的性质可得，进而由三角形外角性质得到，即得，据此即可求证；
（）由等边三角形的性质可得，进而得到，据此即可求证；
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是的中点，
∴，，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，是的中点，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴．
【变式1】如图，为等边三角形，；点D是直线上一点，连接，以为边作等边，连接．
(1)如图1，当点D是线段的中点时， ， ．
(2)如图2．当点D在的延长线上时，求证：；
(3)在（2）的条件下探索三条线段的长度有何关系？并说明理由．
【答案】(1)6，
(2)见详解
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，得到，，进而得到，再根据线段中点，求出，即可得到的长；
（2）根据等边三角形的性质，即可证明；
（3）由（2）可知，，得到，由等边三角形的性质，得到，即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【详解】（1）解： 为等边三角形，，以为边作等边，
，，，
，即，
在和中，
，
，，
，
点是直线上一点，且点为线段的中点，
，
，
故答案为：6，；
（2）证明： 和是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
；
（3）解：、、三条线段的长度关系为，理由如下：
由（2）可知，
，
是等边三角形，
，
，
．
【变式2】如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F．
(1)求证：；
(2)作，垂足为G，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质以及等边三角形的性质等知识，
（1）由等边三角形的性质得，，再证出，进而即可得解；
（2）由，可得，由，可得，再由直角三角形的性质即可得解；
熟练利用全等三角形的判定得出是解题关键．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，，
在和中
，
，
；
（2）证明：，垂足为，
，
．
，
，
∴．
【变式3】在等边中，将线段绕点A逆时针旋转（）得到线段，线段与线段交于点E，射线与射线交于点F．
(1)①依题意补全图形；
②分别求和的大小（用含α的式子表示）；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)①图见解析②，
(2)，证明见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键：
（1）①根据旋转的性质，补全图形即可；②根据旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，进行求解即可；
（2）延长至点，使，连接，则：，证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换，即可得出结论．
【详解】（1）①补全图形，如图所示：
②∵等边，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，，
∴；
（2），证明如下：
延长至点，使，连接，则：，
由（1）知：，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
考点5：等边三角形判定
典例5：如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等边三角形的判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解；
（2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解．
【详解】（1）证明：∵，点是边的中点，
∴垂直平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
（2）解：由（1）得，，
∴在中，．
∵，
∴．
∵在中，是高，点是边的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【变式1】如图，在中，，E是的中点，交于点D，点F在上，，交于点G，若，．
(1)求的长．
(2)求的长．
(3)求证：为等边三角形．
【答案】(1)2
(2)8
(3)证明见解析
【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定
【分析】（1）由直角三角形两锐角互余可得出，，再根据含30度直角三角形的性质即可得出答案．
（2）连接，根据含30度直角三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，等量代换可得出，再利用等腰三角形三线合一的性质即可得出答案．
（3）由（2）得，由等边对等角可得出，．进而可得出，由三角形内角和定理可得出，，进而可得出为等边三角形．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：如图，连接．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵E是的中点，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：证明：由（2）得，
∴，．
∵，
∴，
∴．
在中，．
∵，
∴为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定， 线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键．
【变式2】已知：如图，在四边形中，，点是中点，连接、、，且．
(1)求证：．
(2)若，求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、判断三边能否构成直角三角形、等边三角形的判定、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再根据等边对等角的性质和三角形外角的性质，得出，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵是斜边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：在和中，点是中点，
∴，，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定等知识，掌握相关知识点是解题关键．
【变式3】如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上．
(1)求证： ；
(2)求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】等边三角形的判定、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定；
（1）证明即可得到；
（2）由得到，当点E在的延长线上时，即可证明，得到，，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形判定即可．
【详解】（1）证明：∵和都是顶角为的等腰三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：当点E在的延长线上时，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
考点6：等边三角形判定与性质综合
典例6：如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．
(1)求证：
(2)连接，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得到，由旋转得到，则，根据证明即可．
（2）证明是等边三角形，得到，根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
由旋转得到，
故，
在和中，
，
；
（2）解：，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
【变式1】如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求的度数；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)若，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，比较基础，难度不大．
（1）根据是等边三角形和平行线的性质，可证，再根据三角形内角和为，即可求得．
（2）根据题意易证，从而可得到，故此可证为等腰三角形．
（3）根据等边三角形的性质可得，再根据，可得，然后由进行求解即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（3）解：由（1）可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【变式2】如图1，已知在和中，，，，交于总．
(1)求证：；
(2)①如图1，当时，求的度数；
②如图2，猜想：当时，的度数为多少（直接用的式子表示）？
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、全等三角形的性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定等知识点，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）由“SAS”可证，再根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）①先证明是等边三角形，则，由(1)中全等三角形性质得∶，最后由“8字形”解答即可；②根据三角形内角和定理可得，再同理①证得可得即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
（2）解：①如图1，∵，
∴是等边三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴；
②如图2，由(1)知：，
当时，，
∴，
由①同理得∶．
【变式3】综合与实践
问题情境：
已知在等边中，是边上的一个定点．是上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接．
猜想证明：
（1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，试猜想，，之间的数量关系．并说明理由．
问题解决：
（2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．求的长．
（3）如图3，当点在的延长线上时，请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1），见解析；（2）；（3）
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键：
（1）证明是等边三角形，得到，证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论；
（2）过点作，交于，同（1）法证明，即可得出结果；
（3）过点作，交于，同（1）法，即可得出结论．
【详解】解：（1），理由如下，
和是等边三角形，
，，，
，
，，
∴，
是等边三角形，
．
．
，
，
，
；
（2）如图2，过点作，交于，
和是等边三角形．
，，．
，
，．
是等边三角形，
．
，
，
，
．
，
．
．
（3）．
如图，过点作，交于，
和是等边三角形．
，，．
．
，．
是等边三角形．
．
，
，
，
，
．
考点7：垂直平分线的性质
典例7：如图，已知等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质
【分析】①利用等边对等角，即可证得，，则，据此可以求解；②证明，且，即可证得是等边三角形；③在上截取，首先证明，，则，；④过点C作于H，根据，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图1，连接，
∵，，
∴，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴；
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
故②正确；
∴,,
如图2，
在上截取，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
故③正确；
如图3，
过点C作于H，
∵，，
∴，
∴，
，
∴；
故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
【变式1】如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接，若，的周长是．
（1）的长是 ．
（2）若P是直线上一点，则周长的最小值是 ．
【答案】 7 17
【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称——最短路线问题．解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
（1）根据垂直平分线的性质得，的周长是，，即可求的长度；
（2）当点P与点M重合时，周长的最小，即为的周长．
【详解】解：（1）∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
∵，的周长是，
∴ ．
故答案为：7；
（2）当点P与点M重合时，的周长最小．
理由：∵，，
∴当点P与点M重合时，，
此时的最小值等于的长，
∴周长的最小值 ．
故答案为：17．
【变式2】如图，在中，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，当的周长取最小值时，则 ．
【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．
连接,由于,点是边的中点,所以，再根据三角形的面积公式求出，再根据直线是线段的垂直平分线可知,点关于直线对称点为,故的长为的最小值,得,由此即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
,点是边的中点，
,
,
,
直线是线段的垂直平分线,
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值,
的最短周长,
,
,
解得:或,
故答案为：或 ．
考点8：垂直平分线的判定
典例8：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形的对角线，相交于点．
(1)请判断与之间的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)，理由见解析
(2)24
【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定、四边形的面积等知识点，掌握垂直平分线的判定方法是解题的关键．
（1）先说明点B、点D都在线段的垂直平分线上即可证明结论；
（2）根据以及三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：．理由如下：
，
点在线段的垂直平分线上．
，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
．
（2）解：由（1）得，，
．
【变式1】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点．
(1)求证：点在线段的垂直平分线上．
(2)已知，求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可；
（）先根据相等垂直平分线的性质证明， ，进而得， 由三角形的内角和得，再求得，，从而即可得解。
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，解题关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质
【详解】（1）证明：如图，连接，，．
垂直平分，垂直平分，
，，
，
点在线段的垂直平分线上，
（2）解： 垂直平分，垂直平分，
，，，
，
，，
，
，
，，
，，
【变式2】如图，中，是的平分线，于，于．求证：
(1)；
(2)垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定、等边对等角
【分析】此题考查角平分线的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质．
（1）利用角平分线的性质得到，利用等边对等角即可得到；
（2）利用即可证明，推出结合，即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：是的角平分线，，，
，
∴；
（2）证明：是的角平分线，，，
，，
在和中，
，
；
，
又∵，
垂直平分．
【变式3】如图，与相交于点O，，，．
(1)求证；
(2)求证：垂直平分．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）证明，可得结论；
（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
考点9：直角三角形——斜边中线
典例9：如图，在和中，，，，不动，绕点旋转，连接为的中点，连接．
(1)如图①，当时，求证：；
(2)当时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，证明见解析
【知识点】与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）由是直角三角形的中线，可得，然后通过即可求得．
（2）延长交于G，在上截取，证出从而证得，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得，即可求得．
【详解】（1）证明：如图①，
∵，，
∴，
在与中
∴，
∴，
∵在中，F为的中点，
∴，
∴．
（2）证明：成立，理由如下：
如图②，延长交于G，在上截取，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质等．作出正确的辅助线是解题关键．
【变式1】已知：如图，，点在上，点在上，，．求证：．
【答案】证明见解析
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据三线合一证明
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的三线合一，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．连接，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的三线合一即可得证．
【详解】证明：如图，连接，
∵，
∴点是的中点，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【变式2】如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，G为中点，连接，．
(1)求证：；
(2)已知，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据三线合一证明、等边对等角、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）连接，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
（2）利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用三角形的外角性质可得，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
点是的中点，
∴
，
，
为中点，
；
（2）解：，
，
∴ ，
，点是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
的度数为．
【变式3】已知：如图，在四边形中，，点E是的中点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当__________°时，是等边三角形．
(3)当时，若，取中点F，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)150
(3)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据等边对等角证明、等边三角形的判定、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得到；
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出，由得到，，继而，即可证明等边三角形；
（3）由，，则，由上可知，而为中点，故．
【详解】（1）证明：，点是边的中点，
，，
，
是等腰三角形；
（2）解：当时，是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴是等边三角形，
故答案为：150；
（3）解：如图：
由（2）可知，，
∵，
∴，
由上可知，
∵为中点
∴．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，直角三角形的性质，以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出是解题关键．
考点10：直角三角形——含30°角
典例10：我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【答案】(1)受影响，理由见解析
(2)6小时
【知识点】三线合一、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查勾股定理的应用、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键．
（1）如图：过A作，垂足为，若，则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线的长为千米的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，最后根据速度与距离的关系则可求时间即可．
【详解】（1）解：A城会受到这次台风的影响，理由如下：
如图：过A作，垂足为，则，
在中，，
∴，
∵，
∴A城会受台风影响．
（2）解：设上点，使千米，
是等腰三角形，
，
是的垂直平分线，
，
在中，千米，千米，
∴（千米），
∴千米，
∴遭受台风影响的时间是：（小时）．
【变式1】已知，如图，在中，，，，交于点，，求线段的长．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．首先根据，，可以求出，根据可以求出，根据等角对等边可以求出，再根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出，从而可得的长为．
【详解】解：如下图所示，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
【变式2】如图，已知：在中，，．
(1)作的平分线，交于点，作的垂直平分线，分别交、于点、．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)求证：点是中点；
(3)连接，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图：
（1）根据线段垂直平分线和角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先求出，则由直角三角形的性质得到，再证明，则，进而得到，则，即E是中点．
（3）证明，又，连接，由等腰三角形的性质可知，又，从而求得
【详解】（1）如图所示，
即为所求；
（2）∵在中，，
∵垂直平分，
即是的中点
（3）平分，
，
又，
连接，
则，
即
【变式3】如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交的延长线于点．
(1)证明：是等腰三角形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)13
【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
（1）由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，据此即可求证；
（2）由可得，进而由直角三角形的性质可得，又可得是等边三角形，得到，据此即可求解；
【详解】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
考点11：直角三角形——含45°角
典例11：如图，等腰直角三角尺△ABC与30°三角尺△ABD斜边AB重合，O为AB的中点，连接DC．
（1）判断△OCD的形状；
（2）求∠COD的度数；
（3）若CO＝2，求△OCD的面积．
【答案】（1）△OCD为等腰三角形；（2）∠COD=150°；（3）△OCD的面积为．
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质即可判断△OCD的形状；
（2）可证明△AOD是等边三角形，且CO⊥AB，即可求解；
（3）过点C作CG⊥DO并交DO延长线于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及三角形面积公式即可求解．
【详解】解：（1）∵△ABC和△ABD都是直角三角形且斜边AB重合，O为AB的中点，
∴OC=OD=AB，
∴△OCD为等腰三角形；
（2）等腰直角△ABC中，AC=BC，O为AB的中点，
∴CO⊥AB，即∠AOC=90°，
直角△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=60°，
由（1）OD=AB=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=90°+60°=150°；
（3）过点C作CG⊥DO并交DO延长线于点G，
则∠COG=180°-∠COD=30°，OC=OD=2，
∴CG=OC =1，
∴△OCD的面积=ODCG=．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
【变式1】如图所示，将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上，与边交于点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，，请你仔细观察图形，找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
【答案】，证明见解析
【知识点】等腰三角形的定义、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余、同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，，进而求得，可证明．
【详解】解：
证明：在等腰直角三角形中，，，
∴，
∵于D，于E，
∴，
∴，则，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、垂直定义、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
【变式2】如图所示，等腰直角中，，平面内有两点D、F，连接，满足．
(1)如图1，连接，若点F恰好在上，且，求的面积．
(2)如图2，连接，若恰好过的中点E，求证：．
【答案】(1)8
(2)见详解
【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由等腰三角形的性质得因为，所以则，则，又因为，则的面积为，即可作答．
（2）先在上截取，因为点E是的中点，证明，结合等腰直角三角形的性质，证明，则，故，因为，所以，即可作答．
【详解】（1）解：等腰直角中，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则的面积．
（2）解：如图：在上截取，
∵点E是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式3】生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图，三幅图都是由一副三角板拼凑得到的：
(1)图1中的的度数为 ；
(2)图2中已知，则的度数为 ；
(3)若等腰直角三角板的斜边与含角的直角三角板的长直角边相等．如图3，当两个直角三角板的顶点A与F重合，斜边、重合在一起时，连接．
①求证：是等腰三角形；
②若，请直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；②
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）根据三角板的各角度数以及三角形的内角和定理求解即可；
（2）根据平行性的性质和三角形的外角性质，结合三角板各角度数求解即可；
（3）①根据等腰三角形的性质求得，再根据三角形的外角和性质得到，则，根据等腰三角形的判定可证得结论；
②利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，，，
∴；
（2）解：由题意，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①证明：由题意，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
②∵，，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及外角性质、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角板各角度数有关的计算等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
考点12：直角三角形——勾股定理
典例12：【发现结论】
一元二次方程的几何解法最早可以追溯到古希腊，小聪同学在了解到英格兰著名文学家卡莱尔给出的几何解法后，也有了他自己的新发现：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若与轴交于点、，则为关于的方程的两个实数根．
【探究思考】
（1）由题意得：，，，．
在中，由得：．
化简得：______．同理可得：______．
所以为方程的两个实数根．
【灵活运用】
（2）如图2，为方程______的两个实数根．
（3）在图3中所给网格图的轴上画出以方程两根为横坐标的点．
（4）已知点、，以为直径作．根据小聪的发现判断与轴的位置关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）见详解；（4）与轴相切
【知识点】用勾股定理解三角形、判断直线和圆的位置关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据正方形的性质证明
【分析】（1）仿照已知中的推理过程即可得到，从而问题解决；
（2）根据题干即可求得．
（3）以及两点为端点的线段为对角线画正方形，连接交于，再以为圆心，为半径画圆，圆与轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点、即为所求的点；
（4）由题意得有两个相等的实数根，从而可得与轴只有一个交点，即与轴相切；
【详解】解：（1）由题意得：，，，．
在中，由得：．
化简得：，
同理可得：．
所以为方程的两个实数根．
（2）解：从图2可得点、，
∴，
∴为方程的两个实数根．
（3）解：以及两点为端点的线段为对角线画正方形，连接交于，再以为圆心，为半径画圆，圆与轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点、即为所画的点，如图所示；
（4）解：与轴相切；
理由如下：
∵点、，
结合题意可得与轴两个交点的横坐标为方程的两个根，
，
∴方程有两个相等的实数根，
对应地，与轴只有一个交点，即与轴相切．
【点睛】本题是材料问题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念、正方形的性质、直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想．
【变式1】在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是．
(1)如图①，如果点和顶点重合，求的长；
(2)如图②，如果点落在的中点处，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键．
（1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案；
（2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：，
设，则，
∵，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
；
（2）解：∵点落在的中点，
∴；
设，则，
∵，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
即的长为：．
【变式2】如图，一个长为15m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为，
(1)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端也向后滑动吗？请通过计算解答．
(2)梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？若有可能，请求出这个距离，没有可能请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)有可能，当梯子的顶端从处沿墙下滑时，点向外移动
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题是勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出、的长，即可求解；
（2）设梯子顶端从处沿墙下滑的距离为，则，，
在，根据勾股定理列出方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端不是向后滑动，理由如下：
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端不是向后滑动；
（2）解：梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等，理由如下：
由（1）可知，，
设梯子顶端从处沿墙下滑的距离为， 则，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，（不符合题意，舍去），
所以，当梯子的顶端从处沿墙下滑的距离是时，与点向外移动的距离有可能相等．
【变式3】如图，在中，，，．动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回．点，运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时停止运动，点也同时停止．连接，设运动时间为秒．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)记的面积为，请用含有的代数式来表示；
(3)伴随着，两点的运动，线段的垂直平分线为直线．当直线经过点时，求的长．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)当时，；当时，
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、列代数式、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、线段垂直平分线的性质、列代数式等知识，正确分两种情况讨论是解题关键．
（1）根据勾股定理的逆定理求解即可得；
（2）分两种情况：①和②，先求出的长，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（3）分两种情况：①和②，先求出的长，从而可得的长，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵在中，，，，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：由题意可知，动点从点出发沿运动到终点所需时间为秒，动点从点出发沿运动到点所需时间为秒，
①当时，，
则的面积；
②当时，，
则的面积；
综上，当时，；当时，．
（3）解：如图，连接，
①当时，，，
∴，
∵线段的垂直平分线为直线，
∴，
在中，，即，
解得，符合题设，
此时；
②当时，，，
同理可得：，
在中，，即，
解得（不符合题设，舍去），
综上，的长为．
考点13：直角三角形——两角互余
典例13：如图，中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B．25° C．30° D．35°
【答案】A
【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．首先根据垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合易得，然后根据求解即可．
【详解】解：∵垂直平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【变式1】如图，的高线相交于点F，连接，下列说法不一定正确的是（ ）
A．为的高线 B．
C． D．
【答案】C
【知识点】画三角形的高、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，理解相关性质成为解题的关键．
运用三角形的高、角平分线的性质、直角三角形的性质逐项判定即可解答．
【详解】解：A． 为边上的高线，故A选项正确，不符合题意；
B．由三角形三条边上的高线交于一点，则为边上的高线的一部分，即，故B选项正确，不符合题意；
C．当为的角平分线时，；故C选项错误，符合题意；
D．由题意可知：，由和对顶角，即可得，故D选项正确，不符合题意．
故选C．
【变式2】如图，将绕点A顺时针旋转得到，点恰好落在上，连接，若，则 ．
【答案】
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解答本题的关键．由旋转的性质得出，得出，再根据直角三角形的性质推出的度数，即可得出的度数．
【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为∶．
【变式3】如图，，，，垂足分别为、、，若，，则 ．
【答案】1
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据直角三角形的性质、勾股定理求出，，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：，，，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：1．
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专题05 特殊三角形
（一）等腰三角形的性质与判定
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高）所在的直线就是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
（二）等边三角形的性质与判定
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线（或角平分线或中线）所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.
即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=AB.
（三）角平分线与垂直平分线的性质
（1）角平分线
①性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
②判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上，即PA=PB。
（2）垂直平分线
①性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
②判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（四）直角三角形的性质
（1）两锐角互余．即∠A＋∠B＝90°；
（2）30°角所对的直角边等于斜边的一半．即若∠B＝30°，则AC＝AB；
（3）斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB．
（4）勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2．
（五）直角三角形的判定
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形．即若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形；
（2）如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
即若AD＝BD＝CD，则△ABC是直角三角形
（3）勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
考点1：等腰三角形的性质——等边对等角
典例1：如图已知点在上， 点在上，．若， 则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连接，则 °．
【变式3】如图，点O是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接．当 时，是等腰三角形．
考点2：等腰三角形的性质——三线合一
典例2：已知：如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E．
(1)求证：；
(2)若的面积是2，求四边形的面积．
【变式1】如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，，求四边形的周长．
【变式2】如图，在中，，D为的中点，，，求的度数．
【变式3】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，求 ．
考点3：等腰三角形判定与性质
典例3：如图，在和中，，点在上，且，过点作于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式1】在中，，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接．
(1)如图1，当时，则 ；（用含有α的式子表示）
(2)如图2，当时，作的角平分线交的延长线于点F．交于点E，连接．
①依题意在图2中补全图形，并求的度数；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【变式2】如图，在中，，点在边上，且．
(1)如图1，____，____．
(2)如图2，若为线段上的点，过点作直线于点，分别交直线、于点、．
①求证：是等腰三角形．
②试猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明．
【变式3】如图，已知等腰中，，D为外一点，且，．
(1)如图1，当，求；
(2)如图2，作于E交于F，当，，，求；
(3)若，且是等腰三角形，求的值．
考点4：等边三角形性质
典例4：已知：如图，在等边三角形的边上取中点，的延长线上取一点，使．求证：
(1)；
(2)．
【变式1】如图，为等边三角形，；点D是直线上一点，连接，以为边作等边，连接．
(1)如图1，当点D是线段的中点时， ， ．
(2)如图2．当点D在的延长线上时，求证：；
(3)在（2）的条件下探索三条线段的长度有何关系？并说明理由．
【变式2】如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F．
(1)求证：；
(2)作，垂足为G，求证：．
【变式3】在等边中，将线段绕点A逆时针旋转（）得到线段，线段与线段交于点E，射线与射线交于点F．
(1)①依题意补全图形；
②分别求和的大小（用含α的式子表示）；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
考点5：等边三角形判定
典例5：如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求长．
【变式1】如图，在中，，E是的中点，交于点D，点F在上，，交于点G，若，．
(1)求的长．
(2)求的长．
(3)求证：为等边三角形．
【变式2】已知：如图，在四边形中，，点是中点，连接、、，且．
(1)求证：．
(2)若，求证：是等边三角形．
【变式3】如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上．
(1)求证： ；
(2)求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形．
考点6：等边三角形判定与性质综合
典例6：如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．
(1)求证：
(2)连接，若，求的度数．
【变式1】如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求的度数；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)若，求的长．
【变式2】如图1，已知在和中，，，，交于总．
(1)求证：；
(2)①如图1，当时，求的度数；
②如图2，猜想：当时，的度数为多少（直接用的式子表示）？
【变式3】综合与实践
问题情境：
已知在等边中，是边上的一个定点．是上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接．
猜想证明：
（1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，试猜想，，之间的数量关系．并说明理由．
问题解决：
（2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．求的长．
（3）如图3，当点在的延长线上时，请直接写出，，之间的数量关系．
考点7：垂直平分线的性质
典例7：如图，已知等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【变式1】如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接，若，的周长是．
（1）的长是 ．
（2）若P是直线上一点，则周长的最小值是 ．
【变式2】如图，在中，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，当的周长取最小值时，则 ．
考点8：垂直平分线的判定
典例8：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形的对角线，相交于点．
(1)请判断与之间的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
【变式1】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点．
(1)求证：点在线段的垂直平分线上．
(2)已知，求的度数．
【变式2】如图，中，是的平分线，于，于．求证：
(1)；
(2)垂直平分．
【变式3】如图，与相交于点O，，，．
(1)求证；
(2)求证：垂直平分．
考点9：直角三角形——斜边中线
典例9：如图，在和中，，，，不动，绕点旋转，连接为的中点，连接．
(1)如图①，当时，求证：；
(2)当时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
【变式1】已知：如图，，点在上，点在上，，．求证：．
【变式2】如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，G为中点，连接，．
(1)求证：；
(2)已知，求的度数．
【变式3】已知：如图，在四边形中，，点E是的中点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当__________°时，是等边三角形．
(3)当时，若，取中点F，求的长．
考点10：直角三角形——含30°角
典例10：我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【变式1】已知，如图，在中，，，，交于点，，求线段的长．
【变式2】如图，已知：在中，，．
(1)作的平分线，交于点，作的垂直平分线，分别交、于点、．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)求证：点是中点；
(3)连接，求的度数．
【变式3】如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交的延长线于点．
(1)证明：是等腰三角形；
(2)若，，，求的长．
考点11：直角三角形——含45°角
典例11：如图，等腰直角三角尺△ABC与30°三角尺△ABD斜边AB重合，O为AB的中点，连接DC．
（1）判断△OCD的形状；
（2）求∠COD的度数；
（3）若CO＝2，求△OCD的面积．
【变式1】如图所示，将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上，与边交于点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，，请你仔细观察图形，找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
【变式2】如图所示，等腰直角中，，平面内有两点D、F，连接，满足．
(1)如图1，连接，若点F恰好在上，且，求的面积．
(2)如图2，连接，若恰好过的中点E，求证：．
【变式3】生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图，三幅图都是由一副三角板拼凑得到的：
(1)图1中的的度数为 ；
(2)图2中已知，则的度数为 ；
(3)若等腰直角三角板的斜边与含角的直角三角板的长直角边相等．如图3，当两个直角三角板的顶点A与F重合，斜边、重合在一起时，连接．
①求证：是等腰三角形；
②若，请直接写出线段的长．
考点12：直角三角形——勾股定理
典例12：【发现结论】
一元二次方程的几何解法最早可以追溯到古希腊，小聪同学在了解到英格兰著名文学家卡莱尔给出的几何解法后，也有了他自己的新发现：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若与轴交于点、，则为关于的方程的两个实数根．
【探究思考】
（1）由题意得：，，，．
在中，由得：．
化简得：______．同理可得：______．
所以为方程的两个实数根．
【灵活运用】
（2）如图2，为方程______的两个实数根．
（3）在图3中所给网格图的轴上画出以方程两根为横坐标的点．
（4）已知点、，以为直径作．根据小聪的发现判断与轴的位置关系，并说明理由．
【变式1】在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是．
(1)如图①，如果点和顶点重合，求的长；
(2)如图②，如果点落在的中点处，求的长．
【变式2】如图，一个长为15m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为，
(1)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端也向后滑动吗？请通过计算解答．
(2)梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？若有可能，请求出这个距离，没有可能请说明理由．
【变式3】如图，在中，，，．动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回．点，运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时停止运动，点也同时停止．连接，设运动时间为秒．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)记的面积为，请用含有的代数式来表示；
(3)伴随着，两点的运动，线段的垂直平分线为直线．当直线经过点时，求的长．
考点13：直角三角形——两角互余
典例13：如图，中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B．25° C．30° D．35°
【变式1】如图，的高线相交于点F，连接，下列说法不一定正确的是（ ）
A．为的高线 B．
C． D．
【变式2】如图，将绕点A顺时针旋转得到，点恰好落在上，连接，若，则 ．
【变式3】如图，，，，垂足分别为、、，若，，则 ．
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