中小学教育资源及组卷应用平台
专题07 锐角三角函数（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．直角坐标系中，半径为6的同时与直线和x轴相切，则圆心M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为( )
A．2－ B．2＋ C．1＋ D．1－
4．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的同一水平线的处，测得米，沿坡度的斜坡走到点，测得塔顶仰角为37，再沿水平方向走20米到处，测得塔顶的仰角为22，则塔高为（ ）米．（结果精确到十分位）（，，，，，）
A．米 B．米 C．20米 D．米
6．如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．9 B．12 C． D．
8．如图，每个小正方形的边长均为，若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
9．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（ ）
A． B．
C． D．
10．中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，大坝的横截面是梯形坝顶宽坝高斜坡的坡度，斜坡的坡角那么坝底是（ ）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系中，，，将线段平移得到线段，点，点的对应点分别是点，点．若分别连接，得到四边形为菱形，且与轴夹角为，则点的坐标是（ ）
A． B．或
C． D．或
13．如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
14．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为，小正方形面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图，要测量河内小岛B到河岸l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得，则小岛B到河岸l的距离为 m．
17．如图，在矩形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，点D的对应点为，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其他线段．当图中存在角时，的长为 ．
18．规定：sin(﹣x)＝﹣sinx，cos(﹣x)＝cosx，cos(x+y)＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：(1)sin(﹣30°)；(2)cos2x＝cos2x﹣sin2x；(3)cos(x﹣y)＝cosxcosy+sinxsiny；(4)cos15°．其中正确的结论的个数为 ．
19．如图，在四边形中，，，于点E，，，，则 ．
20．如图，在中，，点在内，，连接．若，则的长为 ．
21．已知为锐角，且，则 ．
22．一副三角板如图所示放置，中，，等腰中，连接，则的值为
23．如图，在锐角三角形中，，线段分别是边上的高线，连接，则三角形面积的最大值是 ．
24．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比为，若迎水坡宽度AC的长为米，则堤高BC的长为 ．
25．如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为 ．
三、解答题
26．在中，，，直角边的中点为D，点E在斜边上且，若为直角三角形，求的值.
27．如图，为等边三角形，点是边上一点，点是射线上一动点，连接，将射线绕点顺时针旋转120°，与射线相交于点．
(1)若．
①如图1，当点在边上时，请直接写出线段与的数量关系：______；
②当点，点落在如图2所示位置时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
(2)如图3，，当时，直接写出的值．
28．如图是由小正方形组成的网格，的顶点都是格点．先在上画点F，使得，再在上画点G，使得．
29．汉阙，是汉代的一种纪念性建筑，渠县共有6处7尊，占全国汉阙的四分之一，因此，渠县也被命名为“中国汉阙之乡”，其中著名的沈府君阙早在1961年就被列为全国重点文物保护单位．某校数学兴趣小组周末开展综合实践活动，想测量沈府君阙的高度．如图，已知测倾器的高度为1米，在测点A处安置测倾器，测得沈府君阙的顶点M的仰角，在与点A相距1.65米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D，N在一条直线上），求汉阙的高度的长．（结果精确到0.01米，参考数据：，，）
30．如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米．
(1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由；
(2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度．
31．如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板，支撑板，底座，托板固定在支撑板顶端C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．
(1)若，，求点A到直线的距离．（精确到0.1mm）
(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点C逆时针旋转后，再将绕点D顺时针旋转，使点B落在直线上，求旋转的角度大约是多少度？
参考数据：（，，，，，，）．
32．2023年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”．当烟花在空中点燃的那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．如图，某专业团队在水平地面上竖直架设测角仪，测量“天梯”的长度，在处测得“天梯”最低点的仰角，最高点的仰角，若，，，，共线且垂直于地面，且与，位于同一平面内．请你根据以上信息，计算出天梯的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）
33．求下列各式的值
(1)；
(2)；
(3)．
34．如图一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为多少海里？
35．我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以的速度水平飞行．在M点处测得A点的俯角为，B点的俯角为，后在N点处测得B点的俯角为，求此段沅江江面的宽度（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【能力提升】
36．如图1是一个手机支架的截面图，由底座MN、连杆和托架组成，，BC可以绕点B自由转动，CD的长度可以进行伸缩调节，已知，，．
(1)如图2，若AB，BC在同条直线上，，求点D到底座MN的距离（结果保留整数）；
(2)如图3，调节CD长度为12cm，并转动连杆BC使时，达到最佳视觉状态，求∠ABC的度数．（参考数据：，，）
37．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架和（均与水平面垂直），再将集热板安装在上.为使集热板吸热率更高，公司规定：与水平面夹角为，且在水平线上的射影为.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为，并已知，．如果安装工人确定支架高为，求支架的高（结果精确到）？
38．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的侧面简化示意图，夹子两边为AC，BD （闭合时点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
（1）当E，F两点的距离最大时，求∠EOF增加了多少度（结果精确到1°，参考数据：
tan67.4°≈2.40，tan15.5°＝0.278，tan74.5°≈3.60）：
（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，求A，B两点间的距离．
39．在课题学习《如何设计遮阳棚》中，计划在移门上方安装一个可伸缩的遮阳棚（如图1），其中为移门的高度，B为遮阳棚固定点，为遮阳棚的宽度（可变动），，．
小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查阅得到如下信息：太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳高度角a最小（约）；夏至日正午的太阳高度角a最大（约）．请你协助该小组，完成以下任务：
【任务1】如图2，在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，应该不超过多少长度（结果精确到）
【任务2】如图3，有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端E到移门的距离为，桌子高度．若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则BD应该多长？（结果精确到．参考数据：，，，，，，）．
40．如图①是某公园的一个上肢牵引器，图②是其静止状态下的简化示意图（CE、DF分别在同一水平线上），立柱AB与水平地面MN垂直，挑杆AC＝AE，手拉链CD＝EF，且始终与地面垂直．经查询，挑杆AC＝AE＝0.33m，∠CAE＝130°．当运动者做上肢牵引运动时，将牵引器由静止状态拉至如图③所示的状态，此时∠CAB＝52°，求点E上升的高度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题07 锐角三角函数（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．直角坐标系中，半径为6的同时与直线和x轴相切，则圆心M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理
【分析】本题考查了相切的性质以及一次函数的性质，解直角三角形，先根据得出，因为相切得，在中，，把，代入计算，即可作答．
【详解】解：依题意，如图：
设点P的坐标为
则，
∴，
∵半径为6的同时与直线和x轴相切
∴
即
∴在中，
∵
∴
∴圆心M的坐标为
故选：B
2．在Rt中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解．
【详解】解：∵cosA=，
∴AB=AC·＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键．
3．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为( )
A．2－ B．2＋ C．1＋ D．1－
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【详解】在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=BD=2k，∠BAD=∠BDA=15°，BC=k，
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，
在Rt△ACD中，CD=CB+BD=k+2k，
则tan75°=tan∠CAD===2+，
故选B.
点睛: 此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
4．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，过点A作AC⊥BC于C，
在Rt△ABC中，sinB=，
则AC=AB sinB=100sin65°（米），
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的同一水平线的处，测得米，沿坡度的斜坡走到点，测得塔顶仰角为37，再沿水平方向走20米到处，测得塔顶的仰角为22，则塔高为（ ）米．（结果精确到十分位）（，，，，，）
A．米 B．米 C．20米 D．米
【答案】B
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】作BG⊥DA延长线于点G，作BF⊥ED于点F，则四边形BFDG为矩形，根据坡度可设，，然后在中，表示出的长度，最后在中，运用正切值建立分式方程求解并检验即可得到x的值，从而得出结果．
【详解】如图所示，作BG⊥DA延长线于点G，作BF⊥ED于点F，四边形BFDG为矩形，
∵斜坡的坡度，
∴，
则设，，
∴，，，
在中，∠EBF=37°，
∴，，
在中，∠ECF=22°，
∴，
即：，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度、仰角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题关键．
6．如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知正切值求边长、已知图形的平移，求点的坐标、利用平移的性质求解、正方形性质理解
【分析】先画出落在上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．
【详解】解：由题意知：
四边形为正方形，
如图，当落在上时，
由
故选
【点睛】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．
7．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．9 B．12 C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的相关计算、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了解直角三角形，正确合理添加辅助线是解题的关键．
过点A作于点D，先解得出，再解，求出即可．
【详解】解：过点A作于点D．
在中，，，
∴，设，
则由勾股定理得：，解得，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：A．
8．如图，每个小正方形的边长均为，若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求角的正弦值
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理与网格问题以及勾股定理的逆定理；连接，构造出直角三角形即可解决问题．
【详解】解：连接，
∵每个小正方形的边长均为，
∴，，
∴
∴
∴是直角三角形，
∴
故选：D．
9．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴，
∴，，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
10．中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算题、求角的正切值
【分析】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可．
【详解】解：∵小正方形与每个直角三角形面积均为，
∴大正方形的面积为，
∴小正方形的边长为，大正方形的边长为，
设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中，
∴，其中，
解得：，(不符合题意，舍去)，
．
故选：B．
11．如图，大坝的横截面是梯形坝顶宽坝高斜坡的坡度，斜坡的坡角那么坝底是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、已知正切值求边长、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】过D作DF⊥BC于F，由AE⊥BC，AD∥BC，AE∥DF，与∠AEF=90°，可得四边形AEFD为矩形，AE=DE=6m，AD=EF=4m，由斜坡的坡度，可求BE=，由斜坡的坡角，可求FC=DF=6m，BC=BE+EF+CF代入计算即可．
【详解】解：过D作DF⊥BC于F，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
又∵∠AEF=90°，
∴四边形AEFD为矩形，
∴AE=DE=6m，AD=EF=4m，
∵斜坡的坡度，
∴AE：BE=，
∴BE=，
∵斜坡的坡角，
∴△DFC为等腰直角三角形，
∴FC=DF=6m，
∴BC=BE+EF+CF=+4m+6m=．
故选择：C．
【点睛】本题考查解直角三角形应用，坡度，坡角，利用辅助线将梯形问题化为三角形与矩形来解决是解题关键．
12．在平面直角坐标系中，，，将线段平移得到线段，点，点的对应点分别是点，点．若分别连接，得到四边形为菱形，且与轴夹角为，则点的坐标是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查解直角三角形，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．
先通过计算得到，然后分点C在第一象限和点C落在y轴上两种情况，利用对称性解题即可．
【详解】解：
∵是菱形，
∴，互相垂直平分，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图，当点C在第一象限时，
连接，
则是等边三角形，
∴
∴，
∴点D的坐标为；
当点C落在y轴上时，点D落在x轴上，如图，
则点D与点B关于y轴对称，
∴点D的坐标为；
故选B．
13．如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求角的正切值、矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题
【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，再根据正切函数的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，，，
∴，，
∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处，
∴，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
14．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为，小正方形面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求角的余弦值、以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为，根据正方形面积计算公式可得，则，再由勾股定理得到，解方程求出的值，进而求出的值，最后根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为，
∵大正方形面积为，小正方形面积为，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴，
故选：．
15．如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求角的正切值、已知两点坐标求两点距离、求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了正切函数的定义及计算，网格与勾股定理计算边长，等面积法求高等知识，过点B作于点D，根据网格特点得出，根据勾股定理求出，，根据正切定义求出结果即可．
【详解】解：过点B作于点D，如图所示：
∵，，，
，
，
∵，
又∵，
∴，
解得：，
根据勾股定理得：，
∴．
故选：D．
二、填空题
16．如图，要测量河内小岛B到河岸l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得，则小岛B到河岸l的距离为 m．
【答案】
【知识点】根据等角对等边求边长、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定；由已知角可求得，则；在中，由正弦函数即可求得的长．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴；
在中，；
故答案为：．
17．如图，在矩形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，点D的对应点为，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其他线段．当图中存在角时，的长为 ．
【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质，解题的关键是分类讨论．根据题意分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，利用锐角三角函数、勾股定理以及直角三角形的性质可求线段的长．
【详解】解：分三种情况：①当时，
在中，，即，
可得；
②当时，
在中，，即，
可得；
③当时，
如图，由折叠性质可得，
，
，
在 中，作交于点，
则，
设，则，
，
，
解得：，
，
的长为或或．
故答案为：或或
18．规定：sin(﹣x)＝﹣sinx，cos(﹣x)＝cosx，cos(x+y)＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：(1)sin(﹣30°)；(2)cos2x＝cos2x﹣sin2x；(3)cos(x﹣y)＝cosxcosy+sinxsiny；(4)cos15°．其中正确的结论的个数为 ．
【答案】
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、新定义下的实数运算
【分析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论．
【详解】解：(1)，故此结论正确；
(2)，故此结论正确；
(3)，故此结论正确；
(4)
，故此结论错误．
所以正确的结论有个，
故答案为：．
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式．
19．如图，在四边形中，，，于点E，，，，则 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形
【分析】过点作交的延长线于点，易得，则设，，其中，本题考查了勾股定理的性质，解题关键在于熟练掌握勾股定理的性质．
【详解】解：过点作交的延长线于点，
易得，
，
则设，，其中，
在，，，则，
在，，
在中，，
，
，
则，
，
，
，
，
，
故，
可得，
即，
，
，
则，
在中，，，
则．
故答案为：．
20．如图，在中，，点在内，，连接．若，则的长为 ．
【答案】或
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点作，，连接 交于点，过点作于点，则，，，可得，是等边三角形，得到，，又由可得，，即得，即可得到，据此可得，由，得，设，则，可得，在中，由勾股定理得，解得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，，连接 交于点，过点作于点，则，，，
∴，是等边三角形，
∴，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，由勾股定理得，
解得，
或，
故答案为：或．
21．已知为锐角，且，则 ．
【答案】
【知识点】求角的余弦值、利用同角三角函数关系求值
【分析】根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值．
【详解】∵，，
∴，
又∵为锐角，
∴.
故答案为：.
【点睛】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
22．一副三角板如图所示放置，中，，等腰中，连接，则的值为
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算、求角的正切值
【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值．过点A作于E，设等腰的边，则，解，得，再解，得，从而得，即可由求解．
【详解】解：过点A作于E，如图，
设等腰的边，由勾股定理，得，
在中，∵，，
∴，即，
∴，
∴等腰，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
23．如图，在锐角三角形中，，线段分别是边上的高线，连接，则三角形面积的最大值是 ．
【答案】/
【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理
【分析】利用特殊角的三角函数值求得的度数，利用三角形的高的意义求得，利用含角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质定理得到，作出的外接圆，得出当点为优的中点时，边上的高最大，即的面积最大，此时，为等边三角形，利用等边三角形的性质求得的面积最大值，则结论可求．
【详解】解：，
，
分别是、边上的高线，
，
，
，
，
，
，
，
，
当面积最大时，三角形面积有最大值，
作出的外接圆，如图，
点为优弧上的点，且，
，
当点为优的中点时，边上的高最大，即的面积最大，此时，
为等边三角形，
的最大值，
三角形面积的最大值是，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，利用三角形的性质求得的面积的最大值是解题的关键．
24．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比为，若迎水坡宽度AC的长为米，则堤高BC的长为 ．
【答案】4
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【详解】解：∵迎水坡AB的坡比为，即
∴，即
∴BC=4
故答案为：4
【点评】：本题考查了坡度坡角问题，正确理解坡度坡角的定义是解题的关键．
25．如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】已知正切值求边长、用勾股定理解三角形、等边对等角
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及解直角三角形，先作于E，再根据，求得，再证明，最后根据，求得，并在等腰直角三角形中，由勾股定理求得即可．
【详解】解：作于E，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在等腰直角三角形中，由勾股定理得，
故答案为：2．
三、解答题
26．在中，，，直角边的中点为D，点E在斜边上且，若为直角三角形，求的值.
【答案】3或4
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查了解直角三角形，分两种情况讨论：当时，时，分别解直角三角形，可得答案．
【详解】当时，如图所示．
∵，
∴．
∵直角边的中点为点D，
∴．
∵，
∴；
当时，如图所示．
∵，
∴．
∵直角边的中点为点D，
∴．
∵，
∴．
综上所述，的长为3或4．
27．如图，为等边三角形，点是边上一点，点是射线上一动点，连接，将射线绕点顺时针旋转120°，与射线相交于点．
(1)若．
①如图1，当点在边上时，请直接写出线段与的数量关系：______；
②当点，点落在如图2所示位置时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
(2)如图3，，当时，直接写出的值．
【答案】(1)①；②成立，见解析
(2)或
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）①过点作交于点，根据等边三角形的性质可得，求得，根据平行线的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，求得，根据全等三角形的判定的和性质即可证明；
②过点作交于点，根据等边三角形的性质可得，根据平行线的性质可求得，根据等边三角形的判定和性质可得，，推得，，根据旋转的性质可得，根据全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）分两种情形：当点是的中点时，设，则，，过点作于点，于点，根据特殊角的锐角三角函数可得，，，，根据旋转的性质和相似三角形的判定和性质可求得，，即可求解；当点在的延长线上时，设，则，过点作于点，于点，根据特殊角的锐角三角函数可得，，，，根据旋转的性质和相似三角形的判定和性质可求得，，即可求解．
【详解】（1）解：①；理由如下：
理由：过点作交于点，如图：
∵为等边三角形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
②成立，，理由如下：
过点作交于点，如图：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又由旋转可知，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：当点是的中点时，如图：
∵是等边三角形，
∴，，
设，则，，
过点作于点，于点．
∵，
∴，，
，，
∵，，
∴，
由旋转可知，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
则，，
∴；
当点在的延长线上时，如图：
∵是等边三角形，
∴，，
设，则，，，
过点作于点，于点．
∵，
∴，，
，，
∵，，
∴，
由旋转可知，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
则，，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
28．如图是由小正方形组成的网格，的顶点都是格点．先在上画点F，使得，再在上画点G，使得．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、线段垂直平分线的判定、求角的正切值
【分析】本题考查了复杂作图，涉及了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角函数．取格点，连接交于点，点即为所求．取格点，连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求．
【详解】解：如图，取格点，连接交于点，点即为所求．
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，∴，
∴；
取格点，连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求．设交于点，
同理，
∴，
∴，又，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴．
29．汉阙，是汉代的一种纪念性建筑，渠县共有6处7尊，占全国汉阙的四分之一，因此，渠县也被命名为“中国汉阙之乡”，其中著名的沈府君阙早在1961年就被列为全国重点文物保护单位．某校数学兴趣小组周末开展综合实践活动，想测量沈府君阙的高度．如图，已知测倾器的高度为1米，在测点A处安置测倾器，测得沈府君阙的顶点M的仰角，在与点A相距1.65米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D，N在一条直线上），求汉阙的高度的长．（结果精确到0.01米，参考数据：，，）
【答案】汉阙的高度的长约为米．
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．延长交于点F，设米，先说明四边形，四边形，四边形均为矩形，得出米，，米，根据，得出（米），（米）利用锐角三角函数得出，即求解即可．
【详解】解：延长交于点F，如图，
设米，
∵，，，，
∴，
∴四边形，四边形，四边形均为矩形，
∴米，，米，
∵，，
∴（米），（米），
在中，，即，
解得（米），
∴（米），
即汉阙的高度的长约为米．
30．如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米．
(1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由；
(2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度．
【答案】(1)两楼的间距符合规定，理由见解析
(2)37.5米
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角的问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
（1）过点作于点，在中，由得到，比较与即可；
（2）延长，交于，由，可得，由正切函数可求得，设，则，，列方程可求得结论．
【详解】（1）解：过点作于点，
在中，
，
，，米，米，
∴，
两楼的间距符合规定；
（2）解：延长，交于，
则，（米），
，
，
（米），
设，则，
，
，
解得，即米，
（米，
楼的高度为37.5米．
31．如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板，支撑板，底座，托板固定在支撑板顶端C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．
(1)若，，求点A到直线的距离．（精确到0.1mm）
(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点C逆时针旋转后，再将绕点D顺时针旋转，使点B落在直线上，求旋转的角度大约是多少度？
参考数据：（，，，，，，）．
【答案】(1)点A到直线的距离是
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；
（1）过点C作于点F，过点A作于点G，由题意易得，则有，然后问题可求解；
（2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解
【详解】（1）解：过点C作于点F，过点A作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∵平行线间的距离处处相等，
∴点A到直线的距离是．
（2）解：旋转后如图所示，
，
在中，
，
∴，
∴，
∴旋转40°．
32．2023年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”．当烟花在空中点燃的那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．如图，某专业团队在水平地面上竖直架设测角仪，测量“天梯”的长度，在处测得“天梯”最低点的仰角，最高点的仰角，若，，，，共线且垂直于地面，且与，位于同一平面内．请你根据以上信息，计算出天梯的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】“天梯”的长度约为
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，由题意得，，在中，根据三角函数的定义得到，在中，根据三角函数的定义得到，于是可得到结论．
【详解】解：由题意得，，
在中，，
，
解得，
在中，，
解得，
，
答：“天梯”的长度约为．
33．求下列各式的值
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了特殊三角函数值的运算，熟悉掌握特殊角的三角函数值的大小是解题的关键．
（1）根据，代入运算即可；
（2）根据，，代入运算即可；
（3）根据，代入运算即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2），
，
，
；
（3），
，
．
34．如图一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为多少海里？
【答案】海里
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】先在中，解直角三角形分别求出的长，再在中，解直角三角形求出的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】解：由题意得：海里，，
在中，（海里），
（海里），
在中，（海里），
则海里，
答：海轮行驶的路程为海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
35．我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以的速度水平飞行．在M点处测得A点的俯角为，B点的俯角为，后在N点处测得B点的俯角为，求此段沅江江面的宽度（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【答案】
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定
【分析】如图所示，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D两点，则四边形是矩形，则，求出，证明得到，解得到，，再解得到，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D两点，则四边形是矩形，
∴，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴此段沅江江面的宽度约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【能力提升】
36．如图1是一个手机支架的截面图，由底座MN、连杆和托架组成，，BC可以绕点B自由转动，CD的长度可以进行伸缩调节，已知，，．
(1)如图2，若AB，BC在同条直线上，，求点D到底座MN的距离（结果保留整数）；
(2)如图3，调节CD长度为12cm，并转动连杆BC使时，达到最佳视觉状态，求∠ABC的度数．（参考数据：，，）
【答案】(1)26cm
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、矩形的判定定理理解、根据平行线判定与性质证明
【分析】（1）过点D作DE⊥MN于E，点C作CF⊥DE于F，证明出四边形AEFC是矩形，在中，得出，根据即可求解；
（2）作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，在中，，，算出，证明四边形是矩形，得出，在中求解即可．
【详解】（1）解：如图2，过点D作DE⊥MN于E，点C作CF⊥DE于F，
则，
∴四边形AEFC是矩形，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴点D到底座MN的距离为26cm．
（2）解：如图3，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，
在中，，，
∴，
∵，
，
四边形是矩形，
∴，
在中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、锐角三角函数、平行线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线、熟练利用锐角三角函数的知识点求解．
37．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架和（均与水平面垂直），再将集热板安装在上.为使集热板吸热率更高，公司规定：与水平面夹角为，且在水平线上的射影为.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为，并已知，．如果安装工人确定支架高为，求支架的高（结果精确到）？
【答案】支架DC的高应为119cm．
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可．
【详解】解：如图所示，过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，
EC=AB=25cm
∵Rt△DAF中：∠DAF=θ1，DF=AFtanθ1，
Rt△EAF中：∠EAF=θ2，EF=AFtanθ2，
∴DE=DF-EF=AF（tanθ1-tanθ2）
又∵AF=140cm，tanθ1=1.082，tanθ2=0.412，
∴DE=140×（1.082-0.412）=93.8，
∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8 cm≈119cm．
答：支架DC的高应为119cm．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义进行解答是解答此题的关键．
38．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的侧面简化示意图，夹子两边为AC，BD （闭合时点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
（1）当E，F两点的距离最大时，求∠EOF增加了多少度（结果精确到1°，参考数据：
tan67.4°≈2.40，tan15.5°＝0.278，tan74.5°≈3.60）：
（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，求A，B两点间的距离．
【答案】（1）∠EOF增加了31度；（2）．
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题
【分析】（1）连接OA，由题意易得，则有，进而可得，然后可得，最后问题可求解；
（2）如图，连接EF交OC于点H，由题意易得，则有OC垂直平分线段EF，然后由等积法可得，，进而根据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：（1）连接OA，如图所示：
∵AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3，
∴，
∵OE⊥AC，OF⊥BD，，
∴，
∴，，
∵OE＝OF＝1cm，
∴，
∴,
∴，
∴，
当点E、O、F三点共线时，E，F两点的距离最大，
∴增大的度数为180°-149°=31°；
答：∠EOF增加了31度．
（2）如图，连接EF交OC于点H，
由题意得：，
∵OE＝OF＝1cm，
∴OC垂直平分线段EF，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
答：A，B两点间的距离为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及勾股定理是解题的关键．
39．在课题学习《如何设计遮阳棚》中，计划在移门上方安装一个可伸缩的遮阳棚（如图1），其中为移门的高度，B为遮阳棚固定点，为遮阳棚的宽度（可变动），，．
小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查阅得到如下信息：太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳高度角a最小（约）；夏至日正午的太阳高度角a最大（约）．请你协助该小组，完成以下任务：
【任务1】如图2，在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，应该不超过多少长度（结果精确到）
【任务2】如图3，有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端E到移门的距离为，桌子高度．若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则BD应该多长？（结果精确到．参考数据：，，，，，，）．
【答案】任务1：应该不超过；任务2：BD长约为．
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】任务1：设，过点Ｄ作于点E，在中，求得，，在中，得到，根据，列式计算即可求解；
任务2：先求得，作于点F，连接，过点D作于点G，设，同理求得，，，根据，列式计算即可求解．
【详解】解：任务1：在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，，设，过点Ｄ作于点E，如图，
∵，∴，在中，，，∴，，又∵，∴，在中，，∴，又∵，∴，解得，
答：应该不超过；
任务2：如图，作于点F，连接，过点D作于点G，设，
则，，，∴是等腰直角三角形，则，，∵，则，∴，，，，在中，，，∴，，在中，，∴，又∵，∴，解得，
答：BD长约为．
【点睛】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
40．如图①是某公园的一个上肢牵引器，图②是其静止状态下的简化示意图（CE、DF分别在同一水平线上），立柱AB与水平地面MN垂直，挑杆AC＝AE，手拉链CD＝EF，且始终与地面垂直．经查询，挑杆AC＝AE＝0.33m，∠CAE＝130°．当运动者做上肢牵引运动时，将牵引器由静止状态拉至如图③所示的状态，此时∠CAB＝52°，求点E上升的高度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）
【答案】0.07m
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】先在图2中，设AB与CE相交于点Q利用等腰三角形的三线合一性质求出∠CAQ＝65°，然后在Rt△ACQ中，求出AQ，再在图3中，过点E作EP⊥AB，垂足为P，先求出∠EAP＝78°，然后在Rt△APE中，求出AP，然后进行计算即可解答．
【详解】解：设AB与CE相交于点Q，如图：
∵CE∥MN，AB⊥MN，
∴AQ⊥CE，
∵AC＝AE，
∴∠CAQ∠CAE130°＝65°，
在Rt△ACQ中，AQ＝ACcos65°＝0.33×0.42＝0.1386m，
过点E作EP⊥AB，垂足为P，
∵∠CAB＝52°，∠CAE＝130°，
∴∠EAP＝∠CAE﹣∠CAB＝130°﹣52°＝78°，
在Rt△APE中，AP＝AEcos78°＝0.33×0.21＝0.0693m，
∴AQ﹣AP＝0.1386﹣0.0693≈0.07（m），
∴点E上升的高度为0.07m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系的解题关键，难点在于如何添加辅助线将问题转化为解直角三角形问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
