中小学教育资源及组卷应用平台
专题08 平行四边形与多边形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，的对角线相交于点的平分线与边相交于点P，点E是的中点．若，则EO的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题
【详解】在平行四边形中，．
平分，
．
．．
是的中点，O是的中点，
是的中位线．
．
故选：A．
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【答案】A
【知识点】多边形内角和与外角和综合、多边形内角和问题
【分析】先根据多边形的内角和定理及外角和定理，列出方程，再解方程，即可得答案．
【详解】解：设多边形是边形．
由题意得：
解得
∴这个多边形是六边形．
故选：A．
【点睛】本题考查内角和定理及外角和定理的计算，方程思想是解题关键．
3．如图，在 ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x变化的关系图象，通过勾股定理及可求解；
【详解】如下图，
根据图2可知，
当P到达B点时AP=AB=3，
当AP⊥BC时，AB+BP=4.8，
∴BP=BE=1.8，
∴，
当到达点C时，AP=AC=4，
∴，
∴BC=BE+EC=1.8+=5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动的规律，结合关系图解题是关键．
4．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】判断命题真假、证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据平行线判定与性质证明
【分析】根据平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理求解，再结合平行四边形的判定定理逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
即一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错误；
B、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题，符合题意，选项正确；
C、若，对角线平分对角线，
，，，
，
，即对角线、互相平分，
四边形是平行四边形，
即一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错误；
D、若，平分，平分，且，
，，，，，，
，
，，
，即对角相等，
由选项A可知，一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
即一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了真假命题，平行四边形的判定定理，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
5．在中，，点D是的中点，过点D作，交于点E，点M在上，且，当时，（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】由直角三角形的中线可得的长，再结合可得，然后结合线段的和差可得，过点E作交于点F，证明出四边形是平行四边形，得到，然后证明出，得到，最后根据三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半即可求解．
【详解】解：∵，点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点E作交于点F，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E是的中点，
∵点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线证明出四边形是平行四边形．
6．如图是一个由张直角三角形纸片和张正方形纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，则这个平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用平行四边形的性质求解、平方差公式与几何图形
【分析】设等腰直角三角形的直角边为，正方形边长为，求出用、表示，得出，，之间的关系，由此即可解决问题．
【详解】解：设等腰直角三角形的直角边为，正方形边长为，
则，
，
，
平行四边形面积．
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出，，之间的关系，属于中考常考题型．
7．顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是( )
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法判断
【答案】B
【知识点】利用菱形的性质证明、利用矩形的性质证明、与三角形中位线有关的证明
【分析】题中给出的条件是中点，所以利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
【详解】解：连接AC、BD，
在△ABD中，H是AD的中点,E是AB的中点，
∴EH=BD，
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质和菱形的判定方法，解题的关键是掌握菱形的判定方法有：有一组邻边相等的平行四边形称为菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
8．我们知道平行四边形有很多性质．如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论．
题目：在中，已知，，将沿翻折至，连接．当长为多少时，是直角三角形？
对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则下列结论正确的是（ ）
A．甲、丙答案合在一起才完整 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起也不完整
【答案】D
【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、折叠问题、解直角三角形的相关计算
【分析】根据平行四边形的性质、折叠的性质，利用证明，得到，设相交于点E，根据平行线的判定证明，分“当，时”，“当时”，“当时”，“当，时”，四种情况画出图形，解直角三角形，讨论求解即可
【详解】解：如图，设、相交于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∵将沿翻折至，
∴，，，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
如图，当，时，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵将沿翻折至，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵将沿翻折至，
∴，，，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴；
如图，当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵将沿翻折至，
∴，，，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴；
如图，当，时，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是的中点，
在中，，
∴；
∴当的长为或或或时，是直角三角形，
又∵甲答：；乙答：；丙答：，
∴三人答案合在一起也不完整，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、解直角三角形等知识，灵活运用知识点推理证明、分类讨论、数形结合是解题的关键．
9．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的是72°，那么光线与纸板左上方所成的的度数是（ ）
A．l8° B．70° C．72° D．108°
【答案】C
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】首先可证得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可求得．
【详解】解：光线平行，纸板对边平行
，
四边形ABCD是平行四边形
故选：C
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握和运用平行四边形的判定与性质是解决本题的关键．
10．已知正多边形的一个内角为 144°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】多边形内角和问题
【分析】根据正多边形的一个内角是144°，则知该正多边形的一个外角为36°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是144°，
∴该正多边形的一个外角为180°-144°=36°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数=，
∴这个正多边形的边数是10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大．
11．如图，在中，过点C的直线，垂足为E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解
【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
设于相交于点，利用直角三角形两锐角互余即可求出的度数，再利用平行四边形的性质：即两对边平行即可得到内错角相等和对顶角相等，即可求出的度数．
【详解】解：∵在平行四边形中，过点的直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故选：A．
12．如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形的中点四边形，如果，，那么四边形的面积为（ ）
A．16 B．96 C．24 D．48
【答案】C
【知识点】证明四边形是矩形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】此题主要考查矩形的判定及三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据已知及三角形中位线定理可判定四边形是矩形，从而根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：是四边形的中点四边形，，，
，，，，
四边形的两条对角线、互相垂直，
四边形是矩形，
．
故选：C．
13．如图，点为正六边形的边上的一个动点，连接，则的度数不可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正多边形的内角问题
【分析】当点与点重合时，求出，当点与点重合时，求出，可以得到的度数的范围，即可得到答案．
【详解】解：六边形为正六边形，
，，
当点与点重合时，如图所示，
，
，
，
，
当点与点重合时，如图所示，
，
由正六边形的性质可得，
，
，
，
的度数不可以是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的性质，找出的度数的范围，即可得到答案．
14．如图，在中，点，分别是，边上的中点，连接，如果，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题
【分析】根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵点，分别是，边上的中点，，
∴,
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
15．如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合、根据三角形中线求面积、根据等边对等角证明
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，连接，先利用等腰三角形的性质证明点为的中点，可得为的中位线，进而得，，即得，得到，再根据已知可得，进而由中线性质得到，再由即可得到，由得到是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
，
，
，
，
，
点为的中点
∵为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题
16．如图，在中，，，以点D为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，交于点，连接，则与的面积比为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查三角形面积，角平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键；
根据题意可知平分，通过平行四边形的性质可以求得边长关系，进而根据三角形面积比值等于，进而求解；
【详解】解：根据题意作图可知，
平分，
，
，
，
在中，，
则
故答案为：
17．边数为7边形的正7边形内角和为 ．
【答案】/900度
【知识点】正多边形的内角问题
【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
【详解】解：，
即正七边形内角和为，
故答案为：．
18．如图，在中，是的平分线，，，则 ．
【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据四边形是平行四边形得到，，得到，根据角平分线得到，即可得到，得到，即可得到答案
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
19．如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】设的交点为O，的中点分别是P，Q，R，S，连接，根据直角三角形的性质可得，从而得到当点O在上时，最小，此时的最小值为的长，再由三角形中位线定理可得，，，，从而得到四边形是平行四边形，然后根据，可得到四边形是矩形，再在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，设的交点为O，的中点分别是P，Q，R，S，连接，
∵互相垂直，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∴，
∴当点O在上时，最小，此时的最小值为的长，
∵P，Q为的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：
【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键．
20．如图，的周长为，连接三边中点构成第一个，再连接的各边中点构成第二个，依此类推，则第个三角形的周长为 ．
【答案】
【知识点】图形类规律探索、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查的是图形的变化规律，三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形的中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的 一半这一规律，即可求解．
【详解】解：∵分别为的中点，
∴分别为的中位线，
∴， ， ，
∴的周长 ，
∴第二个三角形的周长是：，
同理可得，第三个三角形是，
……，
∴第2024个三角形的周长是，
故答案为：．
21．如图，在矩形中，E是边上一点，F，G分别是的中点，连接．若，则矩形的面积为 ．
【答案】48
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、利用矩形的性质证明
【解析】略
22．如图，在矩形中，，，在上，且，在的延长线上，且，则线段的长度为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算、矩形性质理解、与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】延长至，使得，连接，根据三角形中位线的性质，平行四边形的性质，证明三点共线，解直角三角形，求得，根据即可求解．
【详解】如图，延长至，使得，连接，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
中，，
，
四边形是平行四边形，
，，
三点共线，
过点作，
，
，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与的，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，解直角三角形，证明三点共线是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合
【分析】根据平行四边形的性质和点，，的坐标求出点的坐标，再把点的坐标代入即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，，
解得，，
∴，
将代入并解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
24．如图：在中，点分别是的中点，连接，如果那么的周长是 ．
【答案】30
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题
【分析】根据三角形的中位线性质，求出AC的长，再求出ΔABC的周长．
【详解】∵点 D 、 E 分别是 AB 、 BC 的中点，
∴DE是ΔABC的中位线，
∴ DE=AC ，
∵ DE=2.5 ，
∴ AC=5 ，
∵ AB=13 ， BC=12 ，
∴ C△ABC=AB+BC+AC=13+12+5=30．
故答案为：30.
【点睛】本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是掌握，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
25．如图，在中，平分，且于点，交于点E，，，那么的周长为 cm．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．先由等腰三角形的性质得，再证，然后由三角形中位线定理得，即可解决问题．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵于D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴的周长．
故答案为：4．
三、解答题
26．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中确定一点D，使四边形是平行四边形．
(2)在图②中，在边上确定一点E，使．
(3)在图③中确定一点F，使与关于对称．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【知识点】证明四边形是平行四边形、作垂线(尺规作图)
【分析】（1）根据全等三角形的判定，作出图形即可；（2）根据全等三角形的判定作出图形即可；
（3）根据全等三角形的判定，作出图形即可．
【详解】（1）解：过点作交格点于点，此时，，即四边形是平行四边形，如图所示：
四边形即为所求；
（2）解：为矩形的对角线，如图所示：连接矩形的对角线，则；
点即为所求；
（3）解：如（2）作的垂线，则点关于直线的对称点在上，作，再作，则与的交点为点，点即为所求，如图所示：
即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，学会利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
27．如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以为边的格点图形．
（1）在图甲中画出一个三角形，使平分该三角形的面积．
（2）在图乙中画出一个至少有一组对边平行的四边形，使平分该四边形的面积．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析．
【知识点】三角形中位线与三角形面积问题、平行四边形性质和判定的应用
【分析】（1）连接AP延长至D点，使AP=DP，再连接BD，即为所求；
（2）作EP平行且相等于AB，连接AE，四边形ABPE即为所求．
【详解】（1）作图如下，连接AP延长至D点，使AP=DP，再连接BD，
即为所求，
，
和是等底同高的两个三角形，
平分三角形的面积；
（2）作图如下，作EP平行且相等于AB，连接AE，
四边形ABPE即为所求，
AB平行且相等于EP，
四边形ABPE为平行四边形，
AP为的对角线，
平分的面积．
【点睛】本题考查学生的作图能力，涉及三角形面积以及平行四边形面积相关的知识，根据题意作出图像是解题的关键．
28．在中，，分别是，的中点，延长至点，使得，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)于点，连结，若是的中点，，．
①求的度数；
②求平行四边形的周长．
【答案】(1)见详解
(2)①；②
【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是平行四边形
【分析】（1）根据三角形中位线定理证明，，进而可以解决问题；
（2）①设与交于点，设，则，证明，得，所以，，由，得，然后证明是等腰直角三角形，再根据平行线的性质即可，②根据①中的结论，利用勾股定理求出的值，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：，分别是，的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：①设与交于点，
是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，，
设，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
②根据①中结论：，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
平行四边形的周长．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
29．如图，的边在x轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点
(1)求反比例函数的表达式．
(2)P为反比例函数图像上一动点，过点P作轴交于点N，交于点M，当点P的纵坐标为2时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用平行四边形的性质求解、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合
【分析】（1）将代入反比例函数解得k即可；
（2）根据反比例函数的性质和平行四边形的性质分别求出和的长，即可求得的值．
【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
（2）点P的纵坐标为2，
当时，，
∴点P的坐标为，
设所在直线的表达式为，
将点代入，得，
∴所在直线的表达式为，
令，则，
∴点N的坐标为，
∴，
，
，
四边形为平行四边形，轴，，
，
∴点M的坐标为，
∴，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质、一次函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
30．如图在中，点D、E分别是边的中点，过点A作交的延长线于点F，连接，过点D作于点G；
(1)求证：四边形是平行四边形
(2)若．
①当______时，四边形是矩形
②若四边形是菱形，则______
【答案】(1)见解析
(2)①6；②
【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据矩形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，即可证得四边形是平行四边形，得到，由此得到结论；
（2）①由点D、E分别是边的中点，得到，由四边形是平行四边形，得到，再根据矩形的性质，即可求解；②根据菱形的性质得到，推出，利用勾股定理求出，得到，利用面积法求出答案．
【详解】（1）证明：∵点D、E分别是边的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①∵点D、E分别是边的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
故答案为：6；
②∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的判定及性质，勾股定理，是一道较为综合的几何题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．
31．如图，在平行四边形中，，是的中点，与关于对称，与关于对称．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【知识点】解直角三角形的相关计算、根据成轴对称图形的特征进行求解、斜边的中线等于斜边的一半、利用平行四边形的性质求解
【分析】（1）已知，，得，且是的中点，可得，再有与关于对称，可证得是等边三角形．
（2）与交于点．是等边三角形，且与关于对称，可得，．与关于对称，可得，．即可求解．
【详解】（1）∵与关于对称，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，即．
∵是的中点，
∴．
∵与关于对称，
∴．
∴．
∴是等边三角形．
（2）设与交于点．
∵是等边三角形，且与关于对称，
∴，．
∵与关于对称，
∴，．
∵，
∴，，，．
∴．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、利用三角函数解直角三角形、平行四边形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
32．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，垂足为点O．求证：BM＝DN．
【答案】见解析
【知识点】利用平行四边形的性质证明、线段垂直平分线的性质
【分析】综合平行四边形的性质，以及垂直平分线的性质推出△AOM≌△CON，得出AM=CN，从而得出结论即可．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，BM和DN分别为AB和CD的延长线，
∴AM∥CN，AB=CD，
∴∠M=∠N，
∵MN为线段AC的垂直平分线，
∴∠AOM=∠CON=90°，AO=CO，
在△AOM与△CON中，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM=CN，
∵AB=CD，
∴AM-AB=CN-CD，
∴BM=DN．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及垂直平分线的性质，掌握基本性质，灵活运用全等三角形的证明进行推理是解题关键．
33．如图，将 ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF．
（2）连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求证四边形BECD是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得ABCD且AB=CD，进而证明∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD, ASA证明△BEF≌△CDF.
（2）根据等边对等角证明FD=FC，进而证明，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明
【详解】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴ABCD且AB=CD.
∵BE=AB,
∴BECD且BE=CD.
∴∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD,
∴△BEF≌△CDF.
(2)∵BECD且BE=CD.
∴四边形BECD为平行四边形,
∴DF=DE,CF=BC,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠FCD=∠A,
∵∠BFD=∠FCD+∠FDC,∠BFD=2∠A,
∴∠FDC=∠FCD,
∴FD=FC.
又DF=DE,CF=BC,
∴BC=DE,
∴ BECD是矩形.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
34．如图，D在的边上，，交于点M，．
(1)求证：；
(2)请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、添一条件使四边形是矩形
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形与矩形之间的关系是解题的关键；
（1）根据平行线的性质得，证明，根据全等三角形对应边相等得出答案；
（2）先判断四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形直接判断即可．
【详解】（1） ，
，
在和中
，
，
，
（2），理由如下：
由（1）得：
，，
四边形是平行四边形，
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
35．如图，在中，．
(1)尺规作图：作边的垂直平分线，分别交于点 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，若，求 的度数．
【答案】(1)作图见解析；
(2)．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解
【分析】（）根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（）由平行四边形的性质得，进而得，即得，再由线段垂直平分线的性质可得，得到，最后由三角形外角性质即可求解；
本题考查了线段垂直平分线的作法和性质、平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
【能力提升】
36．如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，D在BC边上、△BDE为等边三角形，连接AE，F为AE中点，连CF，DF．
(1)请直接写出CF、DF的数量关系，不必说明理由；
(2)将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转（），其它条件不变，如图2，试回答（1）中的结论是否成立？并说明理由；
(3)若将图（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转90°，其它条件不变，请完成图3，并直接给出结论，不必说明理由．
【答案】(1)；
(2)（1）的结论依然成立，见解析；
(3)，见解析
【知识点】根据旋转的性质求解、利用平行四边形的判定与性质求解、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】（1）延长DF交AC于G，由于∠EDC=∠ACB=120°，易得AC∥DE，而F是AE中点，根据平行线分线段成比例定理得DF=FG，即F是DG的中点，那么DG、AE互相平分，即四边形AGED是平行四边形，得AG=DE=DB，由此可证得AG=AD，在等腰△CDG中，F是DG的中点，根据等腰三角形三线合一的性质可知AF平分∠ACB，即∠FCD=60°，根据直角三角形的性质即可得到CF、DF的比例关系．
（2）此题解法与（1）大致相同；延长DF到G，使得DF=FG，连接CG，那么AE、DG互相平分，即四边形AGED是平行四边形，得AG=DE=BD，然后证△AGC≌△BDC，可得到GC=CD，后面的解法与（1）相同．
（3）解法与（2）完全相同．
【详解】（1）解：，
理由如下：延长DF，交AC于G；
∵∠CDE＝∠ACD＝120°，∴；
∵F是AE的中点，
∴F是GD的中点，即AE、DG互相平分，
∴四边形AGED是平行四边形，∴AG＝DE＝DB；
∵BC＝AC，∴CG＝CD，
在等腰△CGD中，F是DG的中点，则CF⊥GD，
且，故．
（2）延长DF至G，使得DF＝FG；
则DG、AE互相平分，连接AG、CG；
故四边形AGED是平行四边形；
∴AG＝DE＝BD，且；
∴∠AGM＝∠MDE＝∠3＋∠4＝∠3＋60°；
四边形AGMC中，
∠1＋120°＋∠CAG＋∠AGF＝360°，
即∠1＋120°＋∠CAG＋∠3＋60°＝360° ∠1＋∠3＋∠CAG＝180°；
△DBM中，∠CBD＋∠2＋∠3＝180°，
∵∠1＝∠2，∴∠CAG＝∠CBD＝α；
又∵AG＝BD，AC＝BC，
∴△AGC≌△BDC，得GC＝CD，∠ACG＝∠DCB；
∴∠BCD＋∠GCB＝∠ACG＋∠GCB＝∠ACB＝120°，
在等腰△GCD中，F是GD的中点，则CF⊥GD，且∠FCD＝60°，
故，所以（1）的结论依然成立．
（3），如图．（解法与（2）完全相同）．
【点睛】此题主要考查的是旋转的性质，还涉及到：等腰三角形及等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识的综合应用，正确地构造出全等三角形是解答此题的关键．
37．如图，在梯形中，，，，，，动点从点开始沿边向以秒的速度运动，动点从点开始沿边向以秒的速度运动，、分别从、同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．问：
(1)求为何值时，四边形是平行四边形？
(2)四边形可能是矩形吗？如果可能，求出的值；如果不可能，说明理由；
(3)四边形可能是菱形吗？如果可能，求出的值；如果不可能，说明理由．
【答案】(1)当秒时，四边形是平行四边形
(2)可能；当秒时，四边形是矩形
(3)不可能；理由见解析
【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、利用矩形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】（1）根据运动时间为秒，表示出，，根据平行四边形的性质得出，即可求出的值；
（2）根据运动时间为秒，表示出，，当四边形是矩形时，根据矩形的性质得出，即可求出的值；
（3）过点作，垂足为，证明四边形是矩形，求出的长，若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，由（1）得：秒时，四边形是平行四边形，求出长，若，四边形是菱形，否则不是菱形．
【详解】（1）解：∵，，动点以秒的速度运动，动点以秒的速度运动，
∴，，
∵其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，
∴最大运动时间为，
∵已知设运动时间为秒，则，，
∴，，
∵当四边形是平行四边形时，，
∴，解得，
∴当秒时，四边形是平行四边形．
（2）解：四边形可能是矩形；
当四边形是矩形时，，
∴，解得，
∴当秒时，四边形是矩形．
（3）解：四边形不可能是菱形；
过点作，垂足为，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，
由（1）得：秒时，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形不可能是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形和菱形的判定和性质及勾股定理，解一元一次方程，根据题意列出利用数形结合的思想列出方程是解答本题的关键．
38．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，在中，顶点的坐标为，点在第一象限，且．动点从点出发，沿着以每秒2个单位的速度向点运动，同时动点从点出发，沿着方向以每秒1个单位的速度运动，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动的时间为秒．
(1)当的面积为时，求的值．
(2)当点在线段上运动时，若轴上存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
(3)如图2，当点在线段上运动时，作交于点，作点关于的对称点恰好落在轴上，则的值为___________．（直接写出答案）
【答案】(1)或
(2)
(3)
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）当点P在上时，过点P作于点M,根据题意，，，根据的面积为，得到列式计算即可；当点P在上时，过点C作于点N,根据题意，，，，根据的面积为，得到列式计算即可．
（2）根据，得到,故点F是延长线与y轴的交点，且满足,才能使得以为顶点的四边形是平行四边形，计算即可．
（3）设点D的对称点为F，连接，设的交点为H，证明四边形是菱形，，求得，过点P作于点T，得到，
解得．本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）当点P在上时，过点P作于点M,
根据题意，，，∵的面积为，
∴，
解得，（舍去）；
当点P在上时，过点C作于点N,
根据题意，，，∵的面积为，
∴，
解得
故或时，的面积为．
（2）∵，
∴,故点F是延长线与y轴的交点，且满足,才能使得以为顶点的四边形是平行四边形，
根据题意，，
根据题意，，
故，
，
解得．
（3）设点D的对称点为F，连接，设的交点为H，
根据题意，;；
∵，
∴
∴
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
根据题意，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点P作于点T，
∵，
∴,
∴,
∴,
∴，
解得．
39．在平行四边形中，对角线交于点，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接，过点作，设运动时间为，解答下列问题：
(1)当为何值时，是等腰三角形？
(2)设五边形面积为，试确定与的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)当的值为或或秒时，是等腰三角形
(2)
(3)存在为2秒时，使
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、判断三边能否构成直角三角形、因式分解法解一元二次方程
【分析】1）证明出为直角三角形，分三种情况：当时；当；当时；利用等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，分别进行求解即可；
（2）证明得出，进而得出，最后根据进行计算即可；
（3）由（2）的结论可得出的方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，对角线交于点，，
，
在中，，
为直角三角形，且，
为等腰三角形，
当时，
点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，
；
当，如图，作于，
，
则，，
，，
，
，即，
，
，
点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，
；
当时，作于，
，
则，，
，，
，
，即，
，
点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，
；
综上所述，当的值为或或秒时，是等腰三角形；
（2）解：由（1）可得：，
四边形是平行四边形，对角线交于点，，，
，，，
，
，
点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，
，，
如图，作于，
，
则，
，，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，即；
（3）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
存在为2秒时，使．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、勾股定理逆定理、图形面积的计算等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想，是解此题的关键．
40．问题提出
（1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在符合设计要求的四边形面积的最小值为，这时，点N到点A的距离为．
【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、平行四边形性质和判定的应用、y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】（1）在中，设边上的高为h，根据题意求出h的值，，计算即可；
（2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形．
设，则， ， ，，在根据列出关于x的一元二次方程，根据二次函数最值得方法求解即可．
【详解】解：（1）在中，设边上的高为h．
∵，，∴
∵，∴点到的距离为．
∴
．
（2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形．
设，则
， ， ，．
由题意，易知，
∴
．
∴当时，．
，．
∴符合设计要求的四边形面积的最小值为，
这时，点N到点A的距离为．
【点睛】本题主要考查平行四边形性质，运用锐角三角函数求边长，根据二次函数图像求最值问题，正确列出所求图形面积的式子是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题08 平行四边形与多边形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，的对角线相交于点的平分线与边相交于点P，点E是的中点．若，则EO的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
3．如图，在 ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．10
4．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形
5．在中，，点D是的中点，过点D作，交于点E，点M在上，且，当时，（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图是一个由张直角三角形纸片和张正方形纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，则这个平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是( )
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法判断
8．我们知道平行四边形有很多性质．如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论．
题目：在中，已知，，将沿翻折至，连接．当长为多少时，是直角三角形？
对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则下列结论正确的是（ ）
A．甲、丙答案合在一起才完整 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起也不完整
9．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的是72°，那么光线与纸板左上方所成的的度数是（ ）
A．l8° B．70° C．72° D．108°
10．已知正多边形的一个内角为 144°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
11．如图，在中，过点C的直线，垂足为E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形的中点四边形，如果，，那么四边形的面积为（ ）
A．16 B．96 C．24 D．48
13．如图，点为正六边形的边上的一个动点，连接，则的度数不可以是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在中，点，分别是，边上的中点，连接，如果，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
16．如图，在中，，，以点D为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，交于点，连接，则与的面积比为 ．
17．边数为7边形的正7边形内角和为 ．
18．如图，在中，是的平分线，，，则 ．
19．如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则的最小值是 ．
20．如图，的周长为，连接三边中点构成第一个，再连接的各边中点构成第二个，依此类推，则第个三角形的周长为 ．
21．如图，在矩形中，E是边上一点，F，G分别是的中点，连接．若，则矩形的面积为 ．
22．如图，在矩形中，，，在上，且，在的延长线上，且，则线段的长度为 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为 ．
24．如图：在中，点分别是的中点，连接，如果那么的周长是 ．
25．如图，在中，平分，且于点，交于点E，，，那么的周长为 cm．
三、解答题
26．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中确定一点D，使四边形是平行四边形．
(2)在图②中，在边上确定一点E，使．
(3)在图③中确定一点F，使与关于对称．
27．如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以为边的格点图形．
（1）在图甲中画出一个三角形，使平分该三角形的面积．
（2）在图乙中画出一个至少有一组对边平行的四边形，使平分该四边形的面积．
28．在中，，分别是，的中点，延长至点，使得，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)于点，连结，若是的中点，，．
①求的度数；
②求平行四边形的周长．
29．如图，的边在x轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点
(1)求反比例函数的表达式．
(2)P为反比例函数图像上一动点，过点P作轴交于点N，交于点M，当点P的纵坐标为2时，求的值．
30．如图在中，点D、E分别是边的中点，过点A作交的延长线于点F，连接，过点D作于点G；
(1)求证：四边形是平行四边形
(2)若．
①当______时，四边形是矩形
②若四边形是菱形，则______
31．如图，在平行四边形中，，是的中点，与关于对称，与关于对称．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求四边形的面积．
32．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，垂足为点O．求证：BM＝DN．
33．如图，将 ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF．
（2）连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求证四边形BECD是矩形．
34．如图，D在的边上，，交于点M，．
(1)求证：；
(2)请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由）
35．如图，在中，．
(1)尺规作图：作边的垂直平分线，分别交于点 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，若，求 的度数．
【能力提升】
36．如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，D在BC边上、△BDE为等边三角形，连接AE，F为AE中点，连CF，DF．
(1)请直接写出CF、DF的数量关系，不必说明理由；
(2)将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转（），其它条件不变，如图2，试回答（1）中的结论是否成立？并说明理由；
(3)若将图（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转90°，其它条件不变，请完成图3，并直接给出结论，不必说明理由．
37．如图，在梯形中，，，，，，动点从点开始沿边向以秒的速度运动，动点从点开始沿边向以秒的速度运动，、分别从、同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．问：
(1)求为何值时，四边形是平行四边形？
(2)四边形可能是矩形吗？如果可能，求出的值；如果不可能，说明理由；
(3)四边形可能是菱形吗？如果可能，求出的值；如果不可能，说明理由．
38．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，在中，顶点的坐标为，点在第一象限，且．动点从点出发，沿着以每秒2个单位的速度向点运动，同时动点从点出发，沿着方向以每秒1个单位的速度运动，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动的时间为秒．
(1)当的面积为时，求的值．
(2)当点在线段上运动时，若轴上存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
(3)如图2，当点在线段上运动时，作交于点，作点关于的对称点恰好落在轴上，则的值为___________．（直接写出答案）
39．在平行四边形中，对角线交于点，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接，过点作，设运动时间为，解答下列问题：
(1)当为何值时，是等腰三角形？
(2)设五边形面积为，试确定与的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
40．问题提出
（1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
