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专题07 锐角三角函数
（一）锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°。则∠A的三角函数为
定义 表达式 取值范围 关系
正弦 = =
余弦
正切 ＞0
（二）特殊角三角函数
三角函数 30° 45° 60°
1
（三）直角三角形边角关系
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
， ，
④，h为斜边上的高.
（四）解直角三角形常见类型及解法
已知条件 解法步骤
Rt△ABC 两
边 两直角边(a，b) 由=，求∠A；
∠B=90°－∠A；
斜边，一直角边(如c，a) 由=，求∠A；
∠B=90°－∠A；
一
边
一
角 一直角边
和一锐角 锐角、邻边
(如∠A，b) ∠B=90°－∠A，
锐角、对边
(如∠A，a) ∠B=90°－∠A，
斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，
（五）解直角三角形的应用举例
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
考点1：锐角三角函数定义
典例1：如图，在中，，那么边的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【变式1】如图．在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则（ ）
A． B．2 C． D．
【变式3】等腰三角形的两边长分别为10和12，则这个等腰三角形的底角的正切值为 ．
【变式4】若一个三角形三条边长的比为，则最小角的余弦值是 ．
【变式5】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为 ．
考点2：特殊角三角函数值
典例2：中，、都是锐角，且，，则的形状是（ ）．
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【变式1】估计的值在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【变式2】下列式子中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，连接，则的值为 ．
【变式4】计算： ．
【变式5】中，均为锐角，且，则的形状是 ．
考点3：锐角三角函数增减性
典例3：已知在中，，，设，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若，则 ．
【变式3】下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ．
考点4：解直角三角形——直接法
典例4：如图，在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【变式1】（1）计算：
（2）在中，，，，求的余弦值和正切值．
【变式2】如图，中，已知，点在边上，且，求的长．（结果精确到，参考数据：）
【变式3】【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．
【性质探究】
探究一：
（1）如图，在中，，，，，
在中，
探究二：
（2）在中，，，，求的面积（用、、表示）．
【性质应用】
（3）在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为 ．
考点5：解直角三角形——化斜为直
典例5：如图，在中，，，，求的长．（，）
【变式1】阅读下列材料：
(1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：；
(2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，）
【变式2】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)________．
(2)对于，的正对值的取值范围是________．
(3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值．
【变式3】已知中，．
(1)如图1，若，则________（结果保留根号）
(2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号）
考点6：同角三角函数关系
典例6：我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】同角三角函数关系： ；
【变式3】已知是锐角，且，则 ．
考点7：互余两角三角函数关系
典例7：已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：
如图1：
如图2：
如图3：
①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ；
②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
③已知：，且，求．
【变式1】如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．
(1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）；
(2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．
【变式2】若为锐角．
(1)求证：①；②；
(2)试求：的值．
【变式3】嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有．
(1)当，时，验证是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系．
考点8：解直角三角形应用——仰角俯角
典例8：在数学活动课上，老师带领学生去测量某建筑物的高度．如图，在C处用高1米的测倾器测得建筑物顶部A的仰角为，向建筑物的方向前进20米到达D处，在D处测得建筑物顶部A的仰角为，此时与建筑物的距离（的长）是12米，经计算得知建筑物的高约为17米．
(1)求线段的长度和的值；
(2)求的值．
【变式1】某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图2，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图，已知米，，起始点D处看点C，仰角，继续向前行走，在点E处看点B，仰角，且D到E走了米，作．（，，）
(1)______；______．
(2)求匾额下端距离地面的高度．
【变式2】综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：
【实地测量】
(1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度．
(2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点处，她的眼晴，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度．
(3)利用测角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），分别测得旗杆顶端的仰角，，再测得米，点，到地面的距离，均为1.5米．求旗杆的高度（参考数据：，）．
【变式3】综合与实践：
A．新增选项
项目 测量某塔的高度
方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角．
测量示意图
测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量 项目 第一次 第二次 平均值
测量数据
(1)根据“方案一”的测量数据，求出塔的高度；
(2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，）
考点9：解直角三角形应用——方位角
典例9：某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道，已知点在点的正南方，点在点的东南方向，在点的北偏东方向上，点在点的正西方，在点的南偏西方向上，若．（参考数据：，）
(1)求的长度（精确到0.1m）；
(2)周末小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线慢跑到点，他的平均速度是，爸爸选择沿路线散步到点，他的平均速度为，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点．
【变式1】为满足市民需求，我市在一小岛两侧开辟了两条跑步路线：①，②．经勘测，点在点的北偏东方向6千米处，点在点的西北方向6千米处，点在点的正东方向，点在点的正南方向，点在点的南偏东方向，点在点的西南方向．（参考数据：，，）
(1)求，之间的距离（结果保留整数）；
(2)时间原因，小黎决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明她应该选择路线①还是路线②（结果保留整数）
【变式2】周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点钓鱼．如图，为同一平面内的四个景点．已知景点位于景点的正东方向，景点位于景点的正东方向，景点位于景点的西南方向3000米处，景点位于景点的南偏西方向，景点位于景点的北偏东方向．（参考数据：，）
(1)求景点到景点的距离。（结果保留根号）
(2)小宏选择路线以米/秒前往景点处，小帆选择路线以米/秒前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计。已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点．（结果保留1位小数）
【变式3】2023年7月4日四川卧龙熊猫基地D新诞生一对双胞胎熊猫宝宝，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向400米处，点D在点B的北偏东方向上，且米（参考数据：，，）
(1)求的长度（精确到1）；
(2)已知空中缆车的速度是每分钟120米，观光车的速度是每分钟220米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？（精确到）
考点10：解直角三角形应用——坡比
典例10：如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道的顶端有一个长2米的水平面．
《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：
坡度
最大高度（米） 1.50 1.00 0.75
(1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的？说明理由；
(2)相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为1.5米，那么第一层的台阶坡道建造需要规划多少面积的用地？
【变式1】“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
(1)求登山缆车上升的高度；
(2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，）
【变式2】为方便山区的山货运输，某地计划在图1所示的山上开辟一条山路，其截面示意图如图2．从山脚的点开始向山上修建坡道和，并在点与点之间设置一段与地面平行的平路，其中，，坡道，的坡角分别为，．
(1)求点到水平地面的高度；
(2)求点与点之间的水平距离．
（结果精确到1．参考数据：，，，）
【变式3】风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）．
(1)求叶片的长；
(2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数）
考点11：解直角三角形应用——实物建模
典例11：综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角的正切值 5 2.5 1.25 1
【问题解决】
(1)如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
(2)如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天15时前（包括15时）都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
【变式1】阿代的数学研学日记
课题：测量旗杆的高度 地点：青岛市山海二十六中学操场 时间：2025月3月2日 昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为_______． 今天测量时阴天就不能用昨天的方案了，如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？
请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．
（参考数据：，，；，，）
【变式2】阅读与思考
请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务．
圭表是度量日影长度的一种天文仪器．古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动． 如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天． 工人师傅尝试设计了一个圭表模型，图2是其截面示意图．其中，点A为夏至线所在的位置，点B为冬至线所在的位置，，点O，A，B，P在同一竖直平面内，点O，A，B在同一条直线上．据调查，该地冬至正午时分的太阳高度角为，夏至正午时分的太阳高度角为．（注：太阳高度角是指对地球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角）
任务：
(1)求和的长．
(2)已知该地春分正午时分的太阳高度角是，工人师傅想在图2中之间标出春分线的位置，请直接写出的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，，．）
【变式3】实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）．
(1)求试管口与铁杆的水平距离的长度：
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．
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专题07 锐角三角函数
（一）锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°。则∠A的三角函数为
定义 表达式 取值范围 关系
正弦 = =
余弦
正切 ＞0
（二）特殊角三角函数
三角函数 30° 45° 60°
1
（三）直角三角形边角关系
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
， ，
④，h为斜边上的高.
（四）解直角三角形常见类型及解法
已知条件 解法步骤
Rt△ABC 两
边 两直角边(a，b) 由=，求∠A；
∠B=90°－∠A；
斜边，一直角边(如c，a) 由=，求∠A；
∠B=90°－∠A；
一
边
一
角 一直角边
和一锐角 锐角、邻边
(如∠A，b) ∠B=90°－∠A，
锐角、对边
(如∠A，a) ∠B=90°－∠A，
斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，
（五）解直角三角形的应用举例
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
考点1：锐角三角函数定义
典例1：如图，在中，，那么边的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】已知正弦值求边长
【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦三角函数的定义可得．
【详解】解：∵在中，，
∴
故选：C．
【变式1】如图．在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求角的余弦值、在网格中判断直角三角形
【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．把向上平移一个单位到，连接，则，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，进而得到即可得答案．
【详解】解：如图，把向上平移一个单位到，连接，
则，
．
在中，有，，，
，
是直角三角形，且，
．
故选：D．
【变式2】如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】求角的正切值
【分析】本题考查网格中的三角函数，作于点，利用网格特点以及正切值的定义，进行求解即可．
【详解】解：作于点，设小正方形的边长为1，则：，
在中，；
故选A．
【变式3】等腰三角形的两边长分别为10和12，则这个等腰三角形的底角的正切值为 ．
【答案】或
【知识点】求角的正切值、三线合一、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是关键．分10是腰长和底边长两种情况讨论求解，再利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，然后再计算底角的正切值即可．
【详解】解：如图，，，
当腰是10时，三角形三边长为10，10，12，则，
底边上的高，
∴．
当腰是12时，三角形三边长为12，12，10，则，
底边上的高，
∴．
故答案为：或．
【变式4】若一个三角形三条边长的比为，则最小角的余弦值是 ．
【答案】
【知识点】求角的余弦值
【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边；本题首先根据三角形三边的比可以判断三角形是直角三角形，再由大边对大角，小边对小角，根据三角函数的定义求解. 该题关键是通过三边的比判断出该三角形为直角三角形．
【详解】解：三角形三边之比，，
这个三角形是直角三角形，
如下图所示，
根据大边对大角可知：最小，
故答案为： ．
【变式5】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为 ．
【答案】48
【知识点】已知正弦值求边长、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形．延长至E，使，连接，作于点F，证得，得到，，推导出．利用三角形函数求得，利用勾股定理求得，进而得到，利用面积计算公式解答即可．
【详解】解：如图，延长至E，使，连接，作于点F．
∵四边形的内角和是，，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，．
∵，
∴．
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：48．
考点2：特殊角三角函数值
典例2：中，、都是锐角，且，，则的形状是（ ）．
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【分析】根据特殊角度三角函数的性质，结合题意，分别得，；再根据三角形内角和性质计算得，即可得到答案．
【详解】∵、都是锐角，且，
∴，
∴
∴的形状是锐角三角形
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握特殊角度三角函数、三角形内角和的性质，从而完成求解．
【变式1】估计的值在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】B
【知识点】无理数的大小估算、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、无理数的估算，先求出，再估算出即可得出答案．
【详解】解：，
∵，
∴，即，
∴ 估计的值在3与4之间，
故选：B．
【变式2】下列式子中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】特殊三角形的三角函数、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案．
【详解】解：A．，，原式成立，故此选项不合题意；
B．，，原式成立，故此选项不合题意；
C．，故原式成立，故此选项不合题意；
D．，，原式不成立，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式3】如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，连接，则的值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、特殊三角形的三角函数
【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
证明是等边三角形，得出，根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：根据作图可得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式4】计算： ．
【答案】0
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：0．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键．
【变式5】中，均为锐角，且，则的形状是 ．
【答案】等边三角形
【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性可得，再根据特殊角的三角函数值求出的度数，然后根据等边三角形的判定即可得．
【详解】由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：，
解得，
在中，均为锐角，
，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
考点3：锐角三角函数增减性
典例3：已知在中，，，设，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】特殊三角形的三角函数、已知角度比较三角函数值的大小
【分析】本题考查了余弦的增减性与特殊角的余弦值，熟练掌握余弦的增减性是解题关键．先求出特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故选：B．
【变式1】已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系、三角函数综合、根据三角函数值判断锐角的取值范围
【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案
【详解】解： ，，
由可得，
在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，
，
故选：D．
【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键．
【变式2】若，则 ．
【答案】
【知识点】三角函数综合、根据三角函数值判断锐角的取值范围
【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小，然后化简计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小是解题的关键．
【变式3】下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ．
【答案】③④
【知识点】已知角度比较三角函数值的大小、利用同角三角函数关系求值
【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：①∵，，
∴不一定小于等于1，故①错误；
②若，则，
，
∴
∴，故②错误；
③当时，，
∴越大，对边越大，且越接近斜边，
∴越大，
∴当时，，故③正确；
④∵，，，
∴，故④正确．
故答案为：③④．
考点4：解直角三角形——直接法
典例4：如图，在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义．
（1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案；
（2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，即
∴；
（2）∵，，
∴
∴．
【变式1】（1）计算：
（2）在中，，，，求的余弦值和正切值．
【答案】（1）
（2），
【知识点】用勾股定理解三角形、特殊角三角函数值的混合运算、解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，勾股定理，对于（1），根据，再计算即可；
对于（2），先根据勾股定理求出，再根据余弦，正切的定义解答．
【详解】（1）原式
；
（2）根据勾股定理，得．
所以，．
【变式2】如图，中，已知，点在边上，且，求的长．（结果精确到，参考数据：）
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意找到直角三角形并根据锐角的三角函数值求解是解题关键，先求出，在中，利用三角函数求出结论即可．
【详解】解：中，已知，
，
，
在中，已知，
，
．
【变式3】【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．
【性质探究】
探究一：
（1）如图，在中，，，，，
在中，
探究二：
（2）在中，，，，求的面积（用、、表示）．
【性质应用】
（3）在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为 ．
【答案】（1）；；（2）；（3）
【知识点】利用平行四边形的性质求解、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了三角形的面积，平行四边形的面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）由三角函数的定义直接可得出结论；
（2）作高于，求出高，即可解决问题；
（3）作高于，求出高，再利用平行四边形的面积为底高，即可求出结论．
【详解】解：（1）在中，，
，
，
，
；
故答案为：；；
（2）过点作于点，
，，，
由（1）可知，，
；
（3）如图，作于点，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
考点5：解直角三角形——化斜为直
典例5：如图，在中，，，，求的长．（，）
【答案】
【知识点】解非直角三角形
【分析】过C作，交的延长线于点D．由题意易得，然后根据解直角三角形可进行求解．
【详解】解：过C作，交的延长线于点D．
∵，，
∴，
在中，，，
∴
在中，，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
【变式1】阅读下列材料：
(1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：；
(2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，）
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、解非直角三角形
【分析】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提.
（1）根据题目提供的方法进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，直接进行计算即可.
【详解】（1）证明：证明： 如图， 过点作于点，
在中， ，
在中， ，
∴，
；
（2）解：∵，
∴，
在中，
又∵，
即，
∴．
【变式2】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)________．
(2)对于，的正对值的取值范围是________．
(3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、三角函数综合、解非直角三角形
【分析】（1）如图，,，所以.
（2）如图，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的；当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的；于是．
（3）如图，在上截取，过H作于D，设，则,．解，，．
【详解】（1）解：如图，,
,
∵,
∴.
（2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的；
当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的逐渐接近0，；
∴
（3）解：如图，在上截取，过H作于D，
，
设，则，,
∴．
中，，
∴．
【点睛】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．
【变式3】已知中，．
(1)如图1，若，则________（结果保留根号）
(2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【知识点】解直角三角形的相关计算、解非直角三角形
【分析】（1）解，即可求解；
（2）过点作于点，解，即可求解．
【详解】（1）解：∵，．
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：如图所示，过点作于点，
∵中，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键．
考点6：同角三角函数关系
典例6：我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用同角三角函数关系求值
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
【详解】解：∵，，
∴
即，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．
【变式1】若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用同角三角函数关系求值
【分析】对原式左右两边进行平方计算，然后结合同角三角函数关系求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，熟记并熟练运用基本结论是解题关键．
【变式2】同角三角函数关系： ；
【答案】1
【知识点】利用同角三角函数关系求值
【分析】根据三角函数值定义，结合图形，数形结合即可得到答案．
【详解】解，如图所示：
根据三角函数值定义：，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】根据三角函数值定义，作出图形，结合勾股定理数形结合是解决问题的关键．
【变式3】已知是锐角，且，则 ．
【答案】
【知识点】利用同角三角函数关系求值
【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义．
将分子和分母同时除以，化简可得 ，然后代入求解；
【详解】 ，
∴原式
故答案为：．
考点7：互余两角三角函数关系
典例7：已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：
如图1：
如图2：
如图3：
①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ；
②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
③已知：，且，求．
【答案】1，1，1①1②见解析③
【知识点】互余两角三角函数的关系
【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果；
①由上计算可想到在中，，都有；
②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明；
③利用关系式，结合已知条件，进行求解．
【详解】由图可知：
故答案为：1，1，1．
①观察上述等式，可猜想：
故答案为：1．
②在中，
∵，
∴
∵
∴
∴
③∵，
∴
【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键．
【变式1】如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．
(1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）；
(2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．
【答案】(1)②④
(2)见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、互余两角三角函数的关系
【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质．
（1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可；
（2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可．
掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角，
∴，
∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误；
②当时，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故②正确；
若是直角三角形，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，与不符；故③错误；
当，
则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故④正确；
综上：可以选择的是②④；
故答案为：②④；
（2）选择②，证明如下：
当时，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
选择④，证明如下：
当，
则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
【变式2】若为锐角．
(1)求证：①；②；
(2)试求：的值．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【知识点】互余两角三角函数的关系、三角函数综合
【分析】本题主要考查正弦、余弦的计算，理解并掌握正弦、余弦的计算方法，图形结合分析是解题的关键．
（1）①根据正弦、余弦的计算方法求解即可；②根据正弦、余弦、勾股定理计算即可；
（2）由（1）的计算可得，， ，由此变形即可求解．
【详解】（1）解：若为锐角，
建立如上图所示的直角，，，
①，，
；
②，而，，
；
（2）解：由（1）可得：，， ，
．
【变式3】嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有．
(1)当，时，验证是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系．
【答案】(1)成立，见解析
(2)成立，见解析
(3)
【知识点】互余两角三角函数的关系、求证同角三角函数关系式
【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；
（2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论；
（3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，结论成立；
（2）解：成立．理由如下：
在中，，且，
∴，故结论成立；
（3）解：，理由如下：
在中，，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键．
考点8：解直角三角形应用——仰角俯角
典例8：在数学活动课上，老师带领学生去测量某建筑物的高度．如图，在C处用高1米的测倾器测得建筑物顶部A的仰角为，向建筑物的方向前进20米到达D处，在D处测得建筑物顶部A的仰角为，此时与建筑物的距离（的长）是12米，经计算得知建筑物的高约为17米．
(1)求线段的长度和的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理．
（1）在中，利用勾股定理即可求得，在中，利用三角函数的定义即可求得；
（2）作于点，在中，利用勾股定理求得，利用等积法求得，再利用三角函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：由题意得四边形，都是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
在中，；
（2）解：作于点，
在中，，
∵，即，
∴，
∴．
【变式1】某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图2，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图，已知米，，起始点D处看点C，仰角，继续向前行走，在点E处看点B，仰角，且D到E走了米，作．（，，）
(1)______；______．
(2)求匾额下端距离地面的高度．
【答案】(1)米，米
(2)4米
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，掌握锐角三角函数是解题的关键．
（1）根据锐角三角函数即可解答；
（2）先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质可知，，设，再利用锐角三角函数即可解答．
【详解】（1）解：，
，
在中，，，
米，米，
故答案为：米，米；
（2）解：过点C作，垂足为F，
，，
，
∴四边形是矩形，
米，
由题意知：米，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
，
，
在中，米，
，
，
解得：，
米，
匾额下端距离地面的高度约为4米．
【变式2】综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：
【实地测量】
(1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度．
(2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点处，她的眼晴，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度．
(3)利用测角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），分别测得旗杆顶端的仰角，，再测得米，点，到地面的距离，均为1.5米．求旗杆的高度（参考数据：，）．
【答案】(1)旗杆的高度为米
(2)旗杆的高度为米
(3)旗杆的高度为米
【知识点】相似三角形实际应用、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形．解决本题的关键是利用相似三角形对应边成比例找到边之间的关系．
（1）首先根据、，可以证明，根据相似三角形对应边成比例可求旗杆的高度；
（2）根据，，均垂直于地面，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，解方程可求的高度，加上小英的眼睛到地面的高度就是旗杆的高度；
（3）利用、，可得，解方程求出的高度，用加上即可求出旗杆的高度．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
．
答：旗杆的高度为米；
（2）解：，，均垂直于地面，
，
，
，
，
，，，
，
解得：，
，
答：旗杆的高度为米；
（3）解：由题意可得，，
由题意得：，，
，，
，，
，
，
解得：，
．
答：旗杆的高度为米．
【变式3】综合与实践：
A．新增选项
项目 测量某塔的高度
方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角．
测量示意图
测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量 项目 第一次 第二次 平均值
测量数据
(1)根据“方案一”的测量数据，求出塔的高度；
(2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)
(2)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用．
（1）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可；
（2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，
由题意可知，
∴，即，
解得，
∴塔的高度为米；
（2）解：如图，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，即．
∴米，
∴塔的高度为米．
考点9：解直角三角形应用——方位角
典例9：某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道，已知点在点的正南方，点在点的东南方向，在点的北偏东方向上，点在点的正西方，在点的南偏西方向上，若．（参考数据：，）
(1)求的长度（精确到0.1m）；
(2)周末小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线慢跑到点，他的平均速度是，爸爸选择沿路线散步到点，他的平均速度为，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点．
【答案】(1)
(2)爸爸先到达点
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，数形结合、正确计算是解题的关键．
（1）连接，过点作于点，利用解直角三角形，求出再通过解直角三角形求出即可．
（2）先求出两人路程，再求出需要的时间即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，
依题意得，，，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
答：的长度约为；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
， ，
小聪所需要的时间为：
，
爸爸所需要的时间为：
，
，
爸爸先到达点．
【变式1】为满足市民需求，我市在一小岛两侧开辟了两条跑步路线：①，②．经勘测，点在点的北偏东方向6千米处，点在点的西北方向6千米处，点在点的正东方向，点在点的正南方向，点在点的南偏东方向，点在点的西南方向．（参考数据：，，）
(1)求，之间的距离（结果保留整数）；
(2)时间原因，小黎决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明她应该选择路线①还是路线②（结果保留整数）
【答案】(1)1千米
(2)路线①
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质：
（1）作于点E，于点F，用三角函数解和，求出，再证四边形为矩形，可得；
（2）先解和求出，再作于点G，得等腰直角三角形，再解求出和，进而求出路线①和线②的长度，即可求解．
【详解】（1）解：如图，作于点H，于点F，则，，
由题意知，，
，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，
即，之间的距离为1千米；
（2）解：，
，
四边形为矩形，
，
；
如图，作于点G，则，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
路线①的长度为：（千米），
路线②的长度为：
（千米），
路线②的长度大于路线①的长度，
应选择路线①．
【变式2】周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点钓鱼．如图，为同一平面内的四个景点．已知景点位于景点的正东方向，景点位于景点的正东方向，景点位于景点的西南方向3000米处，景点位于景点的南偏西方向，景点位于景点的北偏东方向．（参考数据：，）
(1)求景点到景点的距离。（结果保留根号）
(2)小宏选择路线以米/秒前往景点处，小帆选择路线以米/秒前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计。已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点．（结果保留1位小数）
【答案】(1)米
(2)小宏
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形，方位角的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
（1）过作于，过作于，根据，求出结果即可；
（2）分别求出小宏所用时间（秒），小帆所用时间（秒），然后进行比较即可．
【详解】（1）解：过作于，过作于，如图所示：
由题意得：，
在中，，
，
在中，，
，
答：景点D到景点的距离为米．
（2）解：由（1）知：四边形为矩形
，
在中，，
，
，
∴，
在中，，
，
∴，
，
小宏：（秒），
小帆：（秒），
，
小宏先到达景点．
答：小宏先到达景点．
【变式3】2023年7月4日四川卧龙熊猫基地D新诞生一对双胞胎熊猫宝宝，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向400米处，点D在点B的北偏东方向上，且米（参考数据：，，）
(1)求的长度（精确到1）；
(2)已知空中缆车的速度是每分钟120米，观光车的速度是每分钟220米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？（精确到）
【答案】(1)620米
(2)应选择乘坐观光车
【知识点】用勾股定理解三角形、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后根据求解即可得；
（2）先利用勾股定理求出的长，再根据时间等于路程除以速度求解即可得．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，
由题意可知，，
则四边形是矩形，
∴，
∵，米，
∴米，米，
∴米，
∵，
∴米，
∵米，
∴米，
∴（米），
答：的长度为620米．
（2）解：∵，米，米，
∴米，
∵空中缆车的速度是每分钟120米，观光车的速度是每分钟220米，
∴乘坐空中缆车所需时间为（分钟），
乘坐观光车所需时间为（分钟），
∵，
∴应选择乘坐观光车．
考点10：解直角三角形应用——坡比
典例10：如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道的顶端有一个长2米的水平面．
《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：
坡度
最大高度（米） 1.50 1.00 0.75
(1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的？说明理由；
(2)相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为1.5米，那么第一层的台阶坡道建造需要规划多少面积的用地？
【答案】(1)建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度，理由见解析
(2)45平方米
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—坡度问题：
（1）计算最大高度为：（米），由表格查对应的坡度为：；
（2）作，求出的长度即可得解．
【详解】（1）解：选择坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的，理由如下：
∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，
∴最大高度为（米），
由表知建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度是；
（2）解：如图，过B作于点G，
由1可知米，坡度是，
∴，即，
∴（米），
∴（平方米）．
即第一层的台阶坡道建造需要规划45平方米的用地．
【变式1】“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
(1)求登山缆车上升的高度；
(2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
（1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可；
（2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点B作于点M，
由题意可知，，，，，
在中，，，
，
答：登山缆车上升的高度为；
（2）解：在中，，，
需要的时间
答：从山底A处到达山顶D处大约需要.
【变式2】为方便山区的山货运输，某地计划在图1所示的山上开辟一条山路，其截面示意图如图2．从山脚的点开始向山上修建坡道和，并在点与点之间设置一段与地面平行的平路，其中，，坡道，的坡角分别为，．
(1)求点到水平地面的高度；
(2)求点与点之间的水平距离．
（结果精确到1．参考数据：，，，）
【答案】(1)点到水平地面的高度是150米．
(2)点与点之间的水平距离1049米．
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，准确识图，正确地作出辅助线构造直角三角形，灵活运用锐角三角形函数的定义进行计算是解决问题的关键．
（1）过点作 于，过点作 于，交延长线于，解得米，米，由此可得出答案；
（2）解得米，再根据即可得出答案．
【详解】（1）解：过点作于，过点作于，交延长线于，如图所示：
在中，，，
，，，，
（米），（米），
答：点到水平地面的高度是150米．
（2）解：在中，，米，，
，
（米），
又米，
（米），
答：点与点之间的水平距离1049米．
【变式3】风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）．
(1)求叶片的长；
(2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数）
【答案】(1)
(2)叶片顶端C离水平地面的距离为
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
（1）利用坡比可求出、的长，在或中，利用和的正切值分别求出、的长即可得答案；
（2）过点作于点，于，可得四边形是矩形，根据旋转的性质得出，利用的余弦值可求出的长，进而可得答案．
【详解】（1）解：∵垂直于水平地面，
∴，
∵坡比，
∴，
设，则，
∵坡面长，
∴，
解得：，（负值舍去）
∴，，
∵，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，
∴．
由题意得：，
∴，
∴．
（2）如图，过点作于点，于，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵叶片绕点顺时针转动，
∴，
∵，
∴，
由题意得：，
∴，
∴．
∴叶片顶端离水平地面的距离为．
考点11：解直角三角形应用——实物建模
典例11：综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角的正切值 5 2.5 1.25 1
【问题解决】
(1)如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
(2)如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天15时前（包括15时）都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
【答案】(1)绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2m.
(2)绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是
【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识点，
(1)过作于，在中，解直角三角形求出，进而解答即可；
(2)过作于，过作于，在中，解直角三角形求出，进而解答即可；
解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形解决问题．
【详解】（1）解：如图1，过B作于，
，，
在中，，即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2m.；
（2）解：如图，过作于，过作于，则，
,
,
由表格可知，在15时前（包括15时）时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当15时时，点最靠近墙角，此时的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
在中，即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是．
【变式1】阿代的数学研学日记
课题：测量旗杆的高度 地点：青岛市山海二十六中学操场 时间：2025月3月2日 昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为_______． 今天测量时阴天就不能用昨天的方案了，如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？
请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．
（参考数据：，，；，，）
【答案】；旗杆高度可求，为米
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形实际应用
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解决本题的关键是要熟练掌握解直角三角形的方法．
（1）首先证明出，得到，然后代入即可求出；
（2）如图所示，过点H，作于N，设米，解直角三角形得到的长，进而求解即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以；
（2）如图所示，过点H，作于N，
设米，
米，
在中，，
，
在中，，，
，
，
，
解得：，
答：旗杆高度可求，为米．
【变式2】阅读与思考
请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务．
圭表是度量日影长度的一种天文仪器．古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动． 如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天． 工人师傅尝试设计了一个圭表模型，图2是其截面示意图．其中，点A为夏至线所在的位置，点B为冬至线所在的位置，，点O，A，B，P在同一竖直平面内，点O，A，B在同一条直线上．据调查，该地冬至正午时分的太阳高度角为，夏至正午时分的太阳高度角为．（注：太阳高度角是指对地球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角）
任务：
(1)求和的长．
(2)已知该地春分正午时分的太阳高度角是，工人师傅想在图2中之间标出春分线的位置，请直接写出的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，，．）
【答案】(1)的长为，的长．
(2)．
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算
【分析】此题考查了解直角三角形的应用．
（1）先求出，，再利用正切函数的定义求出和的长即即可；
（2）连接，由题意得：，根据正切的定义即可求出的长．
【详解】（1）解：
由题中太阳高度角的定义可知：，，
，
，
，是直角三角形，
∵，
∴，
∴，
即的长为，的长．
（2）如图，连接，由题意得：，
，
是直角三角形，
，
即的长度是．
【变式3】实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）．
(1)求试管口与铁杆的水平距离的长度：
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键；
（1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长；
（2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：，
，
延长，交于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
答：线段的长度为．
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