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专题03 位似（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式．利用位似图形的性质求得点，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵将放大为原来的2倍，得到，点，
∴点，即点，
∵点是抛物线的顶点，
∴，
将代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式是，
故选：C．
2．如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”是位似图形，且相似比为，位似中心为坐标原点，点与点为一组对应点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查关于原点位似的坐标特征，根据这个特征求解即可．
【详解】解：两个“”的相似比为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
故选B．
3．如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若，则△ADE与四边形面积之比为（ ）
A．1:2 B．1:3 C．1:8 D．1:9
【答案】C
【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解
【分析】由相似三角形面积比等于相似比的平方，可求得S△ADE：S△ABC的值，继而求得△ADE与四边形DBCE的面积比．
【详解】解：∵△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB=1：3，
∴S△ADE：S△ABC=1：9，
∴S△ADE：S四边形DBCE=1：8．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换，注意掌握相似三角形面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点是位似中心，若的面积为0.6，则的面积为（）
A．1.2 B．2.4 C．5.4 D．6
【答案】C
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】根据位似图形的性质得出的长，进而得出，求出的长即可．
【详解】解：∵与是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知点坐标为点坐标为，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出 是解题关键．
5．如图，已知△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且，则△ABC和△ADE的位似比是（ ）
A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1
【答案】D
【知识点】求两个位似图形的相似比
【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，进而求出位似比．
【详解】解：∵△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△ADE，
∵，
∴△ABC和△ADE的相似比是2：1，即△ABC和△ADE的位似比是2：1，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．如图，平面直角坐标系中，与关于原点位似，，若四边形的面积为4，则四边形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】直接利用位似图形的性质得出与的面积比，得出四边形与四边形的位似比，推出四边形与四边形的面积比，即可得出答案．
【详解】∵与关于原点位似，，
∴与的相似比为：，
∵，
∴与的相似比为：，与的相似比为：，
∵，，
∴四边形与四边形的位似比为：，
∴四边形与四边形的面积比为：，
∵四边形的面积为4，
∴四边形的面积为1
故选：B
【点睛】此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键．
7．如图，是以点O为位似中心经过位似变换得到的，若，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，先根据与是位似图形，得出，，证明，得出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵与是位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积与的面积之比，
故选：D．
8．如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求两个位似图形的相似比
【分析】本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解： 与关于点位似，位似比为，
，
，
，
则．
故选：D．
9．如图，以点O为位似中心，将缩小后得到，已知，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】根据位似变换的性质得到，，可得，从而得到与的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可．
【详解】解：是以点为位似中心经过位似变换得到的三角形，
，
,
与的相似比为，
与的面积比为．
故选：．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边也互相平行，牢固掌握位似图形的概念和性质是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】设的位似图形为，根据和与点O的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，分类求解即可．
【详解】解：设的位似图形为
若和在点O的同侧，如下图所示
∵，与的位似比为2
∴的坐标是 ；
若和在点O的异侧，如下图所示
∵，与的位似比为2
∴的坐标是 ；
综上：的坐标是或
故选D．
【点睛】此题考查的是位似图形，掌握位似图形的性质是解题关键．
11．如图，等腰与等腰是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】根据位似比为，可得，从而得：CE=DE=12，进而求得OC=6，即可求解．
【详解】∵等腰与等腰是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
∴，即：DE=3BC=12，
∴CE=DE=12，
∴，解得：OC=6，
∴OE=6+12=18，
∴点的坐标是：．
故选A．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，掌握位似图形的位似比等于相似比，是解题的关键．
12．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．50
【答案】C
【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合
【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解： 和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
13．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为6，则的周长是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵与是位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长的周长，
∵的周长为6，
∴的周长为18，
故选：C．
14．如图，线段AB两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则点B的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比，进而得出D点坐标．
【详解】解：∵线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，
∴
即点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，
∴点D的坐标为：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
15．如图，线段相交于点O，点E、F分别在线段上，则图中与位似的三角形是（ ）．
A． B． C． D．与
【答案】D
【知识点】位似图形的识别
【分析】本题考查位似图形．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，（对应边互相平行(或共线)），那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义，判定即可．
【详解】解：∵
∴，
∵
∴，
∵相交于点O，点E、F分别在线段上，
∴与位似的三角形有和．
故选：D．
二、填空题
16．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】或
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵与位似，以原点O为位似中心，且相似比为，，
∴点B的对应点的坐标是或，
即或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
17．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，，点的上方为点，以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段扩大后得到线段，则点的坐标为 ．
【答案】（6，3）
【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点A的坐标．
【详解】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴，
又∵，
∴OD=2，CD=1，
∴OB=6，AB=3，
∴点A的坐标为：（6，3），
故答案为：（6，3）．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
18．如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形位似比为，设点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】求位似图形的对应坐标、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查的是位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质求解坐标即可，熟记位似图形的性质是解本题的关键．
【详解】解：过点B作轴于点D，轴于点E，
则，
∴，
∴，
∵点C的坐标是，
∴，
∵点B的坐标是，
∴，，
∴，，
∴，
∴点的．
故答案为：．
19．平面坐标系中，点P（3，4）是线段AB上一点，以原点为位似中心把△AOB扩大到原来的2倍，则点P对应的点的坐标是 ．
【答案】（6，8）或（﹣6，﹣8）．
【知识点】求位似图形的对应坐标、坐标与图形
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【详解】点P（3，4）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（3×2，4×2）或（3×（﹣2），4×（﹣2）），即（6，8）或（﹣6，﹣8），
故答案为（6，8）或（﹣6，﹣8）．
【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
20．如图，与是以点为位似中心的位似图形，且，若的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】此题考查了位似变换，由位似比得到相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∵位似比，
∴相似比，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
21．如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，是关于点的位似图形，且的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，B′作B′F⊥x轴于点F，根据位似性质可知OA：OA′=AB：AB′=3：4，根据平行线分线段成比例性质可知AE：AF=BE：FB′=AB：AB′=3：4，即可求出AF和FB′的长，进而求出OF的长即可知B′的坐标.
【详解】如图，过点B作BE⊥x轴于点E，B′作B′F⊥x轴于点F，
∵点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），
∴AE=1，EO=2，BE=3，
∵△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），
∴△AOB∽△AO′B′，
∴OA：OA′=AB：AB′=3：4，
∵BE//FB′，
∴AE：AF=BE：FB′=AB：AB′=3：4，
即：1：AF=3：4； 3：FB′=3：4
∴AF=；FB′=4，
∴OF=3-=，
∵B′在第四象限，
∴B′点的坐标为：（，-4）
【点睛】本题考查位似图形的性质及平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求出AF和FB′的长是解题关键.
22．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是 ．
【答案】
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：，
，
和是以点O为位似中心的位似图形，
，，
，
，
，
与的面积比为：，
故答案为：．
23．如图，正方形和正方形中．点C和点F的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 ．
【答案】或
【知识点】求位似图形的对应坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式
【分析】根据正方形的性质求得，，，，①直线和直线的交点即为位似中心，利用待定系数法求得直线和直线的解析式，再建立二元一次方程组进行求解，②当位似中心在正方形右侧，连接并延长，连接并延长，过点M作轴，由位似比为可得是的中线，从而证明，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，点C和点F的坐标分别为，，
∴，，，，
设直线的解析式为：，
把、代入得，
，解得：，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
把 ，代入得，
，解得：，
∴直线的解析式为：，
①直线和直线的交点即为位似中心，
∴建立方程组得，，解得：，
∴位似中心的坐标为：，
②当位似中心在正方形右侧，连接并延长，连接并延长，过点M作轴，
∵、，
∴位似比为：，
∴，即是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴点M的坐标为：
故答案为：或．
【点睛】本题考查正方形的性质、位似变换、一次函数与二元一次方程组、三角形全等的判定与性质，熟练掌握位似变换，确定位似中心的位置是解题的关键．
24．已知与是位似图形，位似比是，则与的面积比 ．
【答案】/
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】根据位似图形的性质可得，然后再利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到答案．
【详解】解： 与是位似图形，位似比是，
，且相似比为，
与的面积比为：；
故答案为：．
【点睛】此题考查位似变换的性质，熟练掌握位似图形的性质与相似三角形的性质是解答此题的关键．
25．如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点为位似中心，将线段放大得到线段，若点B的坐标为，则点A的坐标为 ．
【答案】(，3)
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系即可得出A点坐标．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为：1：3，
∵C(，1)，
∴点A的坐标为：(，3)．
故答案为 (，3) ．
【点睛】此题主要考查了位似图形以及坐标与图形的性质，正确得出位似比是解题关键．
三、解答题
26．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的的网格中，已知的顶点均为网格线的交点．
在给定的网格中，画出关于直线对称的．
将绕着点旋转后能与重合，请在网格中画出点的位置．
在给定的网格中，画出以点为位似中心，将放大为原来的倍后得到的．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、画旋转图形、画轴对称图形
【分析】（1）根据轴对称的性质，找到点C关于AB的对称点C1，即可得到，
（2）根据图形旋转变换的性质，可知：对应点的连线的交点，即为旋转中心O，
（3）根据图形位似变换的性质，找出B，C的对应点，即可．
【详解】（1）如图所示的即为所求；
（2）点的位置如图所示；
（3）如图所示的即为所求．
【点睛】本题主要考查图形的轴对称变换，旋转变换以及位似变换，掌握轴对称变换，旋转变换以及位似变换的性质，是解题的关键．
27．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC（顶点是网格线的交点）的坐标分别是A（﹣2，2）、B（﹣3，1）、C（﹣1，0）．
（1）将△ABC先向右平移2个单位长度，向下平移7个单位长度，得到△DEF，画出△DEF；
（2）以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格内画出放大后的△A1B1C1，若P（x，y）为△ABC中的任意一点，其对应点P1的坐标为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，（﹣2x，﹣2y）
【知识点】在坐标系中画位似图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、平移(作图)
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：△DEF即为所求；
（2）如图所示：△A1B1C1即为所求，若P（x，y）为△ABC中的任意一点，
其对应点P1的坐标为：（﹣2x，﹣2y）．
【点睛】此题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、．
（1）请作出绕点逆时针旋转后的；
（2）以点为位似中心，将扩大为原来的2倍，在轴的左侧得到，请画出．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以-2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
【点睛】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．也考查了旋转变换和解直角三角形．
29．每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形在平面直角坐标系的位置如图所示．
(1)以为位似中心，在第一象限内将菱形放大为原来的2倍得到菱形，请画出菱形，并直接写出点的坐标；
(2)将菱形绕原点顺时针旋转菱形，请画出菱形，并求出点旋转到点的路径长．
【答案】(1)图形见解析，
(2)图形见解析，点旋转到点的路径长为
【知识点】求某点的弧形运动路径长度、画旋转图形、在坐标系中画位似图形
【分析】（1）将菱形的边长均扩大为原来的两倍即可得到菱形，直接根据点在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（2）根据图形旋转的性质画出菱形，由弧长公式即可求出的弧长．
【详解】（1）解：如图所示：
由点在坐标系中的位置可知，；
（2）如图所示：
∵，
∴的弧长．
答：点旋转到点的路径长为．
【点睛】本题考查的是旋转变换、相似变换及弧长公式，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
30．在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似中心，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，其中△A′B′C′与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
【答案】（1）画图见解析；（2）A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．
【知识点】在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标
【分析】（1）延长MA到A′使AA′=MA，则点A′为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）利用（1）所画图形可得到△A′B′C′的各顶点坐标．
【详解】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）；
【点睛】本题考查作图-位似变换．
31．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出格点（网格线的交点）及点．
（1）画出关于点的中心对称图形；
（2）以点为位似中心，画出将缩小为原来的后得到的（任意画出一个即可）．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、成中心对称
【分析】（1）根据中心对称图形的性质作图，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据位似的性质作图，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，作图如下：
（2）根据结合（1）的结论，结合题意，作图如下：
【点睛】本题考查了中心对称图形、位似的知识；解题的关键是熟练掌握中心对称、位似的性质，从而完成求解．
32．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2，-1) ，B(1，-2) ，C(3，-3)
(1)以 O为位似中心，将△ABC在第二象限内放大2倍得到△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并求出点C经过的路径长．
【答案】(1)答案见解析；
(2)△A2B2C2见解析，点C经过的路径长为：
【知识点】用勾股定理解三角形、求某点的弧形运动路径长度、画旋转图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【分析】（1）连接AO并延长到A1，使OA1=2OA，同理得B1、C1，连接A1B1C1，即可得到△A1B1C1；
（2）连接AO，作∠AOA2=90°，作OA2=AO，得到点A2，同理得到点B2、C2，即可得到△A2B2C2，然后利用弧长公式计算点C经过的路径长．
【详解】（1）解：如下图，连接AO并延长到A1，使OA1=2OA，同理得B1、C1，连接A1B1C1，即可得到△A1B1C1；
（2）连接AO，作∠AOA2=90°，作OA2=AO，得到点A2，同理得到点B2、C2，即可得到△A2B2C2，
∵ ，
∴点C经过的路径长= ．
【点睛】本题考查了位似作图、旋转作图、弧长的求法，解题的关键是掌握作图方法，找到对应点．
33．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2∶1，请在给定的网格内画出△A1B1C1．
（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，请直接写出依上述变换后点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 ．
【答案】（1）见解析；（2）
【知识点】在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标
【分析】（1）根据题意和给定的网格，则位似图形与原图形位于点的两侧，即可位似比为，将点的横纵坐标都乘以，即得到的坐标，进而顺次连接，则△A1B1C1即为所求；
（2）根据（1）的变换可知，将 的横纵坐标都乘以，即
【详解】（1）如图，将点的横纵坐标都乘以，即得到的坐标，进而顺次连接，则△A1B1C1即为所求；
（2）根据（1）的变换可知，将 的横纵坐标都乘以，即
故答案为：
【点睛】本题考查了画位似图形，求位似图形对应的坐标，掌握位似的性质是解题的关键．
34．如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．
(1)画出绕O点逆时针旋转的；
(2)以为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】画旋转图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点．
（1）根据旋转的性质作出点A、B、C的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）以为位似中心，作出点A、B、C的位似点，然后顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形．
；
（2）解：如图，与即为所求作的三角形．
35．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)以原点O为位似中心，在网格中y轴右侧作出的位似图形，使与的相似比为；
(2)作出绕点C顺时针旋转后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】画旋转图形、在坐标系中画位似图形
【分析】本题考查了位似作图，旋转作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．
（1）根据位似中心，位似比，位似位置，画图即可；
（2）根据旋转性质，画图即可．
【详解】（1）根据位似中心，位似比，位似位置，画图如下：
则即为所求．
（2）
根据旋转性质，画图如下：．
则即为所求．
【能力提升】
36．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中有格点△ABC．（注：顶点在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）
（1）图中AC边上的高为_________个单位长度；
（2）只用没有刻度的直尺，按如下要求画图：
①以点C为位似中心，作△DEC∽△ABC，且相似比为1∶2；
②以AB为一边，作矩形ABMN，使得它的面积恰好为△ABC的面积的2倍．
【答案】（1）；（2）作图见解析．
【知识点】在坐标系中画位似图形
【详解】试题分析：（1）利用三角形面积公式求出AC边上的高即可；
（2）①利用位似图形的性质得出对应点位置得出即可；
②利用矩形的判定方法得出即可．
试题解析：（1）由三角形面积公式可得：×3×4=x× ，解的x= ．故答案为 ． 2分
（2）①如图所示，D1，D2即为所求．（点D不是用交轨法得到扣2分） 6分
②如图所示，矩形ABMN即为所求．（ 每条线1分 ） 9分
考点：作图-位似变换．
37．在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1)将向下平移4个单位长度得到的，则点的坐标是____________；
(2)以点B为位似中心，在网格上画出，使与位似，且位似比为2：1，求点的坐标；
(3)若是外接圆，求的半径．
【答案】(1)（2，-2）
(2)图见解析，（1，0）
(3)
【知识点】在坐标系中画位似图形、求特殊三角形外接圆的半径、坐标与图形
【分析】（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）证明是直角三角形，根据直角三角形外切圆半径公式计算即可．
【详解】（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为（1，0）；
（3）由图可知: ∵，，
∴
∴是直角三角形，
∴能盖住的最小圆即为外接圆，设其半径为R；
则
【点睛】本题考查作图—平移变换，作图—位似变换、三角形外接圆，正确理解位似变换的定义，会进行位似变换的作图是解题的关键．
38．图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点、、均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出中边上的中线；
（2）在图②中确定一点，使得点在边上，且满足；
（3）在图③中画出，使得与是位似图形，且点为位似中心，点、分别在、边上，位似比为．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【分析】（1）根据中线的定义，取BC中点D，连接AD即可；
（2）将AC所在的2×4的长方形逆时针旋转90°即可确定点E；
（3）将AC向左平移4个单位后，分别与BC、AB交于点M、N即可得出答案．
【详解】解：（1）如图①所示，AD即为所求；
（2）如图②所示，点E即为所求；
（3）如图③所示，△BMN即为所求．
【点睛】本题主要考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质及平行线分线段成比例定理．
39．在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)连接AC、BC，以点C为位似中心，将△ABC扩大到原来的2倍得到△A1B1C，其中点A1、B1分别是点A、B的对应点，如何平移抛物线L才能使其同时经过点A1、B1，求出所有的平移方式．
【答案】(1)A（-1，0），B（2，0），C（0，2）
(2)向左移动个单位，向上移动个单位位或向左移动个单位，向上移动个单位
【知识点】求位似图形的对应坐标、求抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）分别令y=0和x=0求解即可；
（2）判断出A1，B1，A2，B2的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，再根据平移的性质判断即可；
【详解】（1）解：在y=-x2+x+2中，令y=0，即0=-x2+x+2，
解得：x1=2，x2=-1，
∴A（-1，0），B（2，0），
令x=0，即y=2，
∴C（0，2）；
（2）解：y=-x2+x+2=-(x-)2+，
∴顶点坐标为：（，），
∵以点C为位似中心，将△ABC扩大到原来的2倍得到△A1B1C，
∴分别延长AC、BC，使A1C=2AC，B1C=2BC，可得A1（2，6），B1（-4，6），
分别延长CA、CB，使A2C=2CA，B2C=2CB，可得A2（-2，-2），B2（4，-2）时，
如图，当抛物线经过A1（2，6），B1（-4，6）时，设抛物线的解析式，y=-x2+bx+c，
则有，
解得，，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+14=-(x+1)2+15，
∴顶点坐标为：（-1，15），
∴把抛物线y=-x2+x+2向左移动个单位，向上移动个单位可同时经过点A1、B1；
当抛物线经过A2（-2，-2），B2（4，-2）时，同法可得抛物线的解析式为：=，
∴顶点坐标为：（-，），
∴把抛物线y=-x2+x+2向左移动个单位，向上移动个单位可同时经过点A2、B2；
综上所述，把抛物线y=-x2+x+2向左移动个单位，向上移动个单位或把抛物线y=-x2+x+2向左移动个单位，向上移动个单位可同时经过点A1、B1；．
【点睛】本题考查位似变换，二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
40．在的正方形网格中，的顶点坐标为、、．
(1)以为位似中心，相似比在位似中心的同侧将放大为，放大后点、的对应点分别为、，画出；
(2)写出点的坐标___________；点的坐标___________；
(3)在（）中，若为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标___________．
【答案】(1)见解析图；
(2)，；
(3)．
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【分析】（）根据题目的叙述，相似比在位似中心的同侧将放大为得到对应点坐标，正确地作出图形即可；
（）根据图象确定各点的坐标即可；
（）根据（）中变换的规律，即可写出变化后点的对应点的坐标．
【详解】（1）根据相似比为：进行放大后如图，
∵相似比在位似中心的同侧将放大为，
∴，
∴即为所求；
（2）由题意得：
，；
故答案为：，；
（3）设变化后点的对应点的坐标为， 由相似比为，
∴， ，
解得：， ，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了作图-位似变换，正确理解位似变换的定义，会进行位似变换的作图是解题的关键．
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专题03 位似（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”是位似图形，且相似比为，位似中心为坐标原点，点与点为一组对应点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若，则△ADE与四边形面积之比为（ ）
A．1:2 B．1:3 C．1:8 D．1:9
4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点是位似中心，若的面积为0.6，则的面积为（）
A．1.2 B．2.4 C．5.4 D．6
5．如图，已知△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且，则△ABC和△ADE的位似比是（ ）
A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1
6．如图，平面直角坐标系中，与关于原点位似，，若四边形的面积为4，则四边形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．如图，是以点O为位似中心经过位似变换得到的，若，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（ ）
A． B． C． D．
9．如图，以点O为位似中心，将缩小后得到，已知，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
11．如图，等腰与等腰是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．50
13．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为6，则的周长是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
14．如图，线段AB两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则点B的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，线段相交于点O，点E、F分别在线段上，则图中与位似的三角形是（ ）．
A． B． C． D．与
二、填空题
16．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，，点的上方为点，以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段扩大后得到线段，则点的坐标为 ．
18．如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形位似比为，设点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是 ．
19．平面坐标系中，点P（3，4）是线段AB上一点，以原点为位似中心把△AOB扩大到原来的2倍，则点P对应的点的坐标是 ．
20．如图，与是以点为位似中心的位似图形，且，若的面积为，则的面积为 ．
21．如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，是关于点的位似图形，且的坐标为，则点的坐标为 ．
22．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是 ．
23．如图，正方形和正方形中．点C和点F的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 ．
24．已知与是位似图形，位似比是，则与的面积比 ．
25．如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点为位似中心，将线段放大得到线段，若点B的坐标为，则点A的坐标为 ．
三、解答题
26．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的的网格中，已知的顶点均为网格线的交点．
在给定的网格中，画出关于直线对称的．
将绕着点旋转后能与重合，请在网格中画出点的位置．
在给定的网格中，画出以点为位似中心，将放大为原来的倍后得到的．
27．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC（顶点是网格线的交点）的坐标分别是A（﹣2，2）、B（﹣3，1）、C（﹣1，0）．
（1）将△ABC先向右平移2个单位长度，向下平移7个单位长度，得到△DEF，画出△DEF；
（2）以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格内画出放大后的△A1B1C1，若P（x，y）为△ABC中的任意一点，其对应点P1的坐标为 ．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、．
（1）请作出绕点逆时针旋转后的；
（2）以点为位似中心，将扩大为原来的2倍，在轴的左侧得到，请画出．
29．每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形在平面直角坐标系的位置如图所示．
(1)以为位似中心，在第一象限内将菱形放大为原来的2倍得到菱形，请画出菱形，并直接写出点的坐标；
(2)将菱形绕原点顺时针旋转菱形，请画出菱形，并求出点旋转到点的路径长．
30．在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似中心，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，其中△A′B′C′与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
31．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出格点（网格线的交点）及点．
（1）画出关于点的中心对称图形；
（2）以点为位似中心，画出将缩小为原来的后得到的（任意画出一个即可）．
32．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2，-1) ，B(1，-2) ，C(3，-3)
(1)以 O为位似中心，将△ABC在第二象限内放大2倍得到△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并求出点C经过的路径长．
33．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2∶1，请在给定的网格内画出△A1B1C1．
（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，请直接写出依上述变换后点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 ．
34．如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．
(1)画出绕O点逆时针旋转的；
(2)以为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为．
35．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)以原点O为位似中心，在网格中y轴右侧作出的位似图形，使与的相似比为；
(2)作出绕点C顺时针旋转后的图形．
【能力提升】
36．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中有格点△ABC．（注：顶点在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）
（1）图中AC边上的高为_________个单位长度；
（2）只用没有刻度的直尺，按如下要求画图：
①以点C为位似中心，作△DEC∽△ABC，且相似比为1∶2；
②以AB为一边，作矩形ABMN，使得它的面积恰好为△ABC的面积的2倍．
37．在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1)将向下平移4个单位长度得到的，则点的坐标是____________；
(2)以点B为位似中心，在网格上画出，使与位似，且位似比为2：1，求点的坐标；
(3)若是外接圆，求的半径．
38．图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点、、均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出中边上的中线；
（2）在图②中确定一点，使得点在边上，且满足；
（3）在图③中画出，使得与是位似图形，且点为位似中心，点、分别在、边上，位似比为．
39．在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)连接AC、BC，以点C为位似中心，将△ABC扩大到原来的2倍得到△A1B1C，其中点A1、B1分别是点A、B的对应点，如何平移抛物线L才能使其同时经过点A1、B1，求出所有的平移方式．
40．在的正方形网格中，的顶点坐标为、、．
(1)以为位似中心，相似比在位似中心的同侧将放大为，放大后点、的对应点分别为、，画出；
(2)写出点的坐标___________；点的坐标___________；
(3)在（）中，若为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标___________．
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