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专题04 投影与视图
（一）投影的相关概念
（1）平行投影由平行光线形成的投影．
（2）中心投影由同一点(点光源)发出的光线形成的投影．
（3）在平行投影中求影长，一般把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长．
（二）三视图的相关概念
（1）三视图
主视图：从正面看到的图形.
俯视图：从上面看到的图形.
左视图：从左面看到的图形.
（2）三视图的对应关系
长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正；
高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐；
宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行．
（3）常见几何体的三视图常见几何体的三视图
正方体：正方体的三视图都是正方形.
圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆.
圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆.
球：三视图都是圆.
考点1：判断几何体三视图
典例1：下列几何体中三个视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题主要考查简单的几何体的三视图，根据三视图的概念分析各个图形的三视图，再作出判断即可．
【详解】解：A．三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，故不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故不符合题意；
C．圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意；
D．球的三视图都是圆，故符合题意；
故选：D．
【变式1】如图所示的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟记主视图的定义是解题关键．
根据主视图的定义求解即可得．
【详解】
解：这个几何体的主视图是
故选：A．
【变式2】在如图所示的四个几何体中，主视图与俯视图相同的几何体有 ．（直接填序号）
【答案】
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是解题的关键．
根据主视图与俯视图分别是从物体正面、上面看得到的图形来解答．
【详解】解：正方体，主视图、俯视图都为正方形，即主视图和俯视图相同；
球，主视图、俯视图都为圆，即主视图和俯视图相同；
圆柱，主视图是长方形，俯视图是圆，即主视图和俯视图不相同；
圆锥，主视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，即主视图和俯视图不相同；
故答案为：．
【变式3】在如图所示的几何体中，其三视图中有三角形的是 ．（填序号）
【答案】②③
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．
【详解】①圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，
②圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，
③三棱锥的主视图、左视图是矩形，俯视图是三角形，
④球的三视图完全相同，都是圆．
∴其三视图中有三角形的是②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
考点2：判断组合体三视图
典例2：如图是一件经典款的六柱鲁班锁，它起源于中国古代建筑的榫卯结构，是用6根长短相同且有凸凹部分的长方体木条制作的一件可拼可拆的十字立方体．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
【答案】C
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可．
【详解】解：这个六柱鲁班锁的三视图为：
这个六柱鲁班锁的左视图与俯视图相同，主视图与俯视图和左视图不相同．
故选：C．
【变式1】如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体按照三种不同的方式平移后得到图②、图③、图④．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．图①和图②主视图相同 B．图①和图③主视图不相同
C．图①和图③左视图相同 D．图①和图④俯视图相同
【答案】D
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了三视图，根据三视图的相关概念解答即可，解题的关键是正确理解几何体三种视图．
【详解】
解：图①的主视图、左视图、俯视图为：；
图②的主视图为：，故错，不符合题意；
图③的主视图和左视图为：，故错，不符合题意；
图④：俯视图为：，故对，符合题意；
故选：．
【变式2】如图是由五个相同的正方体搭成的几何体．
（1）这个几何体的主视图是 （填序号）；
（2）这个几何体的左视图是 （填序号）；
（3）这个几何体的俯视图是 （填序号）．
【答案】 ③ ⑤ ②
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查三视图．根据三视图的定义判断即可．
【详解】解：这个几何体的主视图是③，左视图是⑤，俯视图是②．
故答案为：③，⑤，②．
【变式3】如图是由五个相同的正方体搭成的几何体．
（1）这个几何体的主视图是 （填序号）；
（2）这个几何体的左视图是 （填序号）；
（3）这个几何体的俯视图是 （填序号）．
【答案】 ③ ⑤ ②
【知识点】判断简单组合体的三视图
【解析】略
考点3：判断非实心体的三视图
典例3：下图是一个螺母，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断非实心几何体的三视图
【分析】找出从左侧看到的图形即可．
【详解】解：该螺母为非实体，
那么左视图应该为：
故选：D．
【点睛】本题考查三视图，建立空间想象能力是解题的关键．
【变式1】如图所示几何体的俯视图是( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断非实心几何体的三视图、判断简单几何体的三视图
【分析】根据几何体三视图的判断方法，确定出俯视图即可．
【详解】解：根据题意得：几何体的俯视图为
，
故选：C．
【点睛】此题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握几何体三视图的画法是解本题的关键．
【变式2】如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ．
【答案】俯视图
【知识点】判断非实心几何体的三视图、中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】画出零件的三视图，根据该三视图，结合轴对称、中心对称的意义进行判断即可．
【详解】解：该几何体的三视图如下：
三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，
故答案为：俯视图．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提．
【变式3】有一辆小汽车如图，小红从空中往下看这辆小汽车，图 是小红看到的形状．
【答案】
【知识点】画简单组合体的三视图、判断非实心几何体的三视图
【分析】找到小汽车从上面看所得到的图形即可．
【详解】从空中往下可看到一的大长方形内有一个小长方形．
故选：（3）．
【点睛】考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
考点4：网格图中作三视图
典例4：如图是由棱长都为1cm的6块小立方块组成的简单几何体．
(1)请在方格中画出该几何体从三个方向看到的图形；
(2)如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持从正面看的图和从上面看的图不变，最多可以再添加________块小立方块．
【答案】(1)见解析
(2)1
【知识点】画简单组合体的三视图、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
【分析】本题考查从三个方向看几何体．
（1）根据从三个方向看到的图形的画法画出相应的图形即可；
（2）在从左面看的图上相应位置备注出相应摆放的数目即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体，
故答案为：1．
【变式1】在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成的一个几何体，如图所示．
(1)请画出这个几何体的三视图．
(2)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 个小正方体．
(3)如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积是 ．
【答案】(1)画图见解析
(2)6
(3)29
【知识点】由三视图，判断小立方体的个数、求小立方块堆砌图形的表面积、画简单组合体的三视图
【分析】本题考查了三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积．
（1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可；
（2）主视图和左视图不变，构成图形即可解决问题；
（3）求出这个几何体的表面积即可解决问题．
【详解】（1）这个几何体有8个立方体构成，三视图如图所示；
（2）最多可以加六个小正方体，具体放的方式，通过俯视图来展示，如下图：
故答案为：6；
（3）根据8个小正方体摆放的位置可以发现，从左看与从右看看到的面一样多为6个，从前看和从后看看到的面也一样多为6个，俯视图看到的面是5个，
∴需要喷漆的面的个数为：，
故喷漆面积为．
故答案为：．
【变式2】用若干个棱长为的小正方体搭成如图所示的几何体．
(1)这个几何体的体积为________．
(2)请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图、俯视图、左视图．
(3)在上面的实物图中，再添加一个小正方体，使得它的主视图和左视图不变，那么它的俯视图共有多少种不同结果？
【答案】(1)7
(2)见解析
(3)2种
【知识点】由三视图，判断小立方体的个数、画小立方块堆砌图形的三视图
【分析】本题主要考查三视图的画法，解决问题的关键是掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
（1）根据该组合图形由个棱长为的小正方体搭成，即可知这个几何体的体积为；
（2）根据主视图是从前面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，画出图形即可；
（3）根据题意可知，要想添加一个小正方体，使得它的左视图和俯视图不变，只能在第二列上面或第三列上面添加一个小正方体，由此即可知其主视图有两种情况．
【详解】（1）解：根据图形可知，该组合体由个棱长为的小正方体搭成，
∵一个小正方体的体积为，
∴这个几何体的体积为 ．
故答案为：；
（2）解：如图所示：
（3）解：如图，要想添加一个小正方体，使得它的左视图和主视图不变，那么只能在或处添加一个小正方体．
如图所示，它的俯视图共有种不同结果．
综上可知，它的主视图共有种不同结果．
故答案为：．
【变式3】在平整的地面上，有一个由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，如图所示．
(1)请画出这个几何体的三视图；
(2)在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变．
①添加小正方体的方法共有__________种．
②请在图中画出一种添加小正方体后，新得到的几何体的左视图．
【答案】(1)见解析
(2)①2；②见解析
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图
【分析】本题考查了几何体的三视图画法，由立体图形，可知主视图、左视图、俯视图，并能得出有几列即每一列上的数字．
（1）根据题目中图形可知：主视图共3列，从左到右，第一列有3个小正方形，第二列有1个小正方形，第三列有2个小正方形，左视图共3列，从左到右，第一列有3个小正方形，第二列有2个小正方形， 第三列有1个小正方形，俯视图共3列，从左到右，第一列有3个小正方形，第二列有2个小正方形，第三列有1个小正方形．
（2）①根据三视图投影间的关系确定即可；
②根据①中添加的正方体的图形画出左视图即可．
【详解】（1）解：如图，
；
（2）解：①在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，
则添加在第一列最前面的正方体上，也可以添加在第一列中间的正方体上．
故有2种方法，
故答案是：2．
②如图，
（答案不唯一）
考点5：由一个视图作其它视图
典例5：如图，这是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数．
(1)请在方格图中，画出该几何体的主视图和左视图．
(2)若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加个________小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
【分析】本题考查三视图的画法；
（1）根据三视图的画法，画出图形即可求解；
（2）从俯视图的角度出发，同时考虑左视图的情况，即可求解．
【详解】（1）如图所示：
（2）解：如图所示：保持主视图和左视图不变，则最多可以添加1个小正方体．
【变式1】用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示，完成下列问题：
(1)搭成满足如图的几何体最多需要__________个小正方体，最少需要__________个小正方体：
(2)请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体的左视图．
【答案】(1)10，7
(2)见解析
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
【分析】本题主要考查了小正方体的三视图：
（1）以俯视图为基础，结合主视图确定答案；
（2）结合（1）画出左视图即可．
【详解】（1）解：如图所示，结合主视图可知几何体最多的需要10个小正方体；
如图所示，结合主视图可知几何体最少的需要7个小正方体．
故答案为：10，7；
（2）解：左视图为：
【变式2】一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面看和从正面看到的形状如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．
(1) ， ， ；
(2)这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成；
(3)当时，画出从左面看到的这个几何体的形状图．
【答案】(1)1，1，2
(2)8，10
(3)见解析
【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数、画小立方块堆砌图形的三视图
【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，作图﹣三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．
（1）结合俯视图和主视图判断即可；
（2）结合图形，判断左视图左边一列小正方形的个数即可；
（3）根据题意，画出图形即可．
【详解】（1）解：由俯视图和主视图可知，；
故答案为：1，1，2；
（2）解：由俯视图可知底层有5个，由主视图可知，左边一列最少有4个正方形，最多有6个正方体，中间一列有2个，右边一列有2个正方形，
所以这个几何体最少由8个小立方块搭成，最多由10个小立方块搭成；
故答案为：8，10；
（3）解：当时，如图：
【变式3】用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：
(1) __________，__________，__________；
(2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成；
(3)请在网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．
【答案】(1)3，1，1
(2)9
(3)见解析
【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数、由三视图，判断小立方体的个数、画小立方块堆砌图形的三视图
【分析】本题考查简单组合体的三视图
（1）根据主视图，俯视图可直接得出a、b、c的值；
（2）在各个位置上摆放相应的小正方体，直至最少即可；
（3）在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，即可画出数量最多时的左视图．
【详解】（1）解：由主视图和俯视图可知，，
故答案为：3，1，1；
（2）解：最少时，即，而e所在的“列”最少有一处为2即可，
因此，最少需要（个），
故答案为：9；
（3）解：在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，数量最多时的左视图如下：
．
考点6：有三视图还原几何体
典例6：如图是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)画出这个几何体的表面展开图；
(3)根据图中的数据，求这个几何体的侧面积．
【答案】(1)三棱柱
(2)见详解
(3)
【知识点】已知三视图求侧面积或表面积、由三视图还原几何体、几何体展开图的认识
【分析】本题考查三视图、几何体的侧面展开图等知识，解题的关键是理解三视图、看懂三视图．
（1）根据三视图，即可解决问题；
（2）画出正三棱柱的表面展开图即可；
（3）侧面展开图是矩形，求出矩形的面积即可．
【详解】（1）解：根据三视图可知这个几何体的名称是三棱柱．
（2）这个几何体的表面展开图如下：（答案不唯一）
（3）这个几何体的侧面积是．
如图是一个几何体的三视图（单位：）．
(1)这个几何体的名称是 ；
(2)求这个几何体的所有侧面的面积之和．
【答案】(1)三棱柱
(2)这个几何体的所有侧面的面积之和为
【知识点】已知三视图求侧面积或表面积、由三视图还原几何体
【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，熟练掌握基本几何体的三视图及其计算是解题的关键．
（1）根据三棱柱的三视图即可得出答案；
（2）根据侧面积公式进行解答即可．
【详解】（1）解：由三视图知该几何体为三棱柱；
故答案为：三棱柱．
（2）解：该圆柱体的表面积为：．
答：这个几何体的所有侧面的面积之和为．
【变式1】如图所示的分别是从三个方向看某几何体得到的图形．
(1)判断这个几何体的形状；
(2)根据图中数据（单位：），求它的表面积（结果保留）．
【答案】(1)圆柱体
(2)
【知识点】已知三视图求侧面积或表面积、由三视图还原几何体
【分析】（1）根据圆柱体三视图的特征直接判断即可；
（2）从题中读出该圆柱体底面圆的直径为2，高为3，由此计算表面积即可．
【详解】（1）解：由主视图和左视图可知，该图形只有一个面，且为柱状体，由俯视图可知该图形为圆柱体；
（2）解：由题意，该圆柱体底面圆的直径为2，高为3，
∴侧面积=，底面积=，
∴表面积．
【点睛】本题考查圆柱体的三视图识别，以及表面积计算，计算表面积时要注意上下两个底面，不要漏算是解题关键．
【变式2】已知图为一几何体从不同方向看的图形．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)任意画出这个几何体的一种表面展开图；
(3)若长方形的高为10厘米，三角形的边长为4厘米，求这个几何体的侧面积．
【答案】(1)直三棱柱
(2)见解析
(3)这个几何体的侧面积为120cm2
【知识点】已知三视图求侧面积或表面积、由三视图还原几何体、几何体展开图的认识
【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三棱柱；
（2）画出三个长方形，两个三角形；
（3）侧面积为长方形，计算出3个长方形的面积求和即可．
【详解】（1）解：由主视图和左视图都是长方形，且俯视图是三角形，故该立体图形是直三棱柱；
（2）解：展开图如图所示：
；
（3）解：这个几何体的侧面积．
【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体、几何体的展开图、棱柱的侧面积等知识点，根据题意得到该几何体是直三棱柱是解答本题的关键．
【变式3】把边长为1个单位的9个相同小正方体摆成简单几何体．
(1)从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图；
(2)直接写出该几何体的表面积为________．
【答案】(1)作图见解析
(2)36
【知识点】从不同方向看几何体、画小立方块堆砌图形的三视图、求小立方块堆砌图形的表面积
【分析】本题考查了从不同方向看几何体、几何体的表面积，熟练掌握从不同方向看几何体、几何体的表面积是解题的关键．
（1）根据从不同方向看几何体画图即可；
（2）根据从各个方向看到的小正方形的个数，再乘以每个小正方形的面积即可；
【详解】（1）解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如下：
；
（2）解：因为小正方体的边长为1个单位，
所以，每个小正方形的面积为，
该几何体的表面积为：．
故答案为：36．
考点7：由三视图确定小立方体个数
典例7：一张水平故置的桌子上摆故着若干个盘子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有盘子为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】由三视图，判断小立方体的个数
【分析】本题考查了三视图的基本知识以及在现实生活中的应用从俯视图看只有三列碟子，主视图中可知左侧碟子有个，右侧有个，根据三视图的思路可解答该题，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子，
主视图可知左侧碟子有个，右侧有个，
而左视图可知左侧有个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计个，
故选：．
【变式1】如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要（ ）个小立方块．
A．36 B．52 C．54 D．55
【答案】C
【知识点】由三视图，判断小立方体的个数
【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图判断小立方块的数量，再求出搭成一个大正方体需要的最少数量，即可得到答案．
【详解】解：由三视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小立方体，那么共有个几何体组成．
若要搭成一个大正方体，共需个小立方体，
所以还需个小立方体，
故选：C．
【变式2】小颖将几个粉笔盒整齐地摞在讲台桌面上，同学们发现这摞粉笔盒组成的几何体的主视图、左视图、俯视图都相同（如图所示），那么这摞粉笔盒一共有 个．
【答案】4
【知识点】由三视图，判断小立方体的个数
【分析】本题考查了根据三视图判断小正方体的个数，根据主视图可知，这摞粉笔由两层，根据俯视图可知，第一层粉笔有3个，根据左视图可知，第二层有1个，即可得出答案．
【详解】根据主视图可知，这摞粉笔由两层，根据俯视图可知，第一层粉笔有3个，根据左视图可知，第二层有1个，
所以，共有4个，
故答案为：4．
【变式3】在一个仓库里堆积若干个大小相同的小正方体货箱，由此搭成的一个几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的货箱个数是 个．
【答案】8
【知识点】由三视图，判断小立方体的个数
【分析】本题意在考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】解：综合三视图可知长方体的个数为：
∴这个几何体的底层应该有个小正方体，第二层应该有个小正方体，共有（个），
∴搭成这个几何体的货箱个数是8个．
故答案为：8．
考点8：三视图的相关计算
典例8：如图，用10个棱长都为的小立方块堆成一个几何体．
(1)画出该几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图；
(2)求这个几何体的表面积；
(3)如果现在还有一些棱长都为的小立方块，要求从上面看和从左面看到的形状图都保持不变，最多可以再添加______个小立方块．
【答案】(1)见解析
(2)168平方厘米
(3)5
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、求小立方块堆砌图形的表面积、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体、几何体的表面积等知识，正确的作图是解题的关键．
（1）根据从正面看到的是主视图，从左面看到的是左视图，从上面看到的是俯视图作图即可；
（2）分别求出从正面、左面、上面三个方向看到的形状图的表面积，然后求出其2倍即可解答；
（3）作从上面看到的俯视图，然后根据题意确定最多添加的小正方体的数量即可．
【详解】（1）解：这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示．
（2）解：由（1）得，从正面看到的形状图的面积为，
从左面看到的形状图的面积为，
从上面看到的形状图的面积为，
所以该几何体的表面积为．
（3）解：如图：在从上面看到的形状图的相应位置增加相应数量的小立方块，使其从上面看和从左面看到的形状图都不变，所以最多可以再添加5个小立方块．
【变式1】图中的几何体是由9个棱长为1cm的小正方体搭成的，如图所示．
(1)这个几何体得体积为______．
(2)请在方格纸中用实线画出该几何体从正面、左面、上面观察到的图形；
(3)求这个几何体的表面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】从不同方向看几何体、求小立方块堆砌图形的表面积、已知三视图求体积
【分析】本题考查了几何体的体积及表面积求解，以及三视图作图．
（1）根据组成几何体的小正方体的个数即可求解；
（2）由几何体的组成即可作图；
（3）根据三视图即可求解．
【详解】（1）解：这个几何体是由个正方体组成的，
∴体积为，
故答案为：；
（2）如图：
（3）解：这个几何体的表面积为：．
【变式2】用小立方块搭一个几何体，使从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，试回答下列问题：
(1)从上面看到的形状图中______，_____；
(2)这个几何体最少由______个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成；
(3)请在图2所给的网格图中，画出小立方块最多时从左面看到的该几何体的形状图
（为便于观察，请将形状图中的小方格用2B铅笔进行阴影标注，示例：）
【答案】(1)，
(2)，
(3)见解析
【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数、画小立方块堆砌图形的三视图、从不同方向看几何体
【分析】本题主要考查了从不同的角度观察几何体，根据主视图、左视图、俯视图的定义即可解决问题．
根据主视图中各位置小立方块的个数确定、；
结合从正面看到的图形和从上面看到的图形，在俯视图中标注出当所用的小立方块最少和最多时各位置小立方块的个数，计算即可求出最少和最多是多少个小立方块；
根据用小立方块最多时各位置小立方块的个数画出从左面看到的形状．
【详解】（1）解：由主视图和俯视图可知：，，
故答案为，；
（2）解：结合从正面看到的图形和从上面看到的图形，
当所用的小立方块最少时，各位置小立方块的个数如下图所示，
几何体最少由10个小立方块搭成，
结合从正面看到的图形和从上面看到的图形，
当所用的小立方块最多时，各位置小立方块的个数如下图所示，
几何体最多由15个小立方块搭成，
故答案为:，；
（3）小立方块最多时，从左面看到的该几何体的形状图如图所示：
【变式3】如图，点C是线段的中点，点D在直线上，已知线段，．
(1)尺规作图：在点A的左边找出点E，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、作线段(尺规作图)、线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查做已知线段的倍数和差，代数式的计算，
（1）以点D为圆心长为半径画弧交直线于点F，则，再以点F为圆心以为半径画弧交于点E，那么即为所求；
（2）按照题意已知代入分别求得和，利用即可．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：，
∵点C是线段的中点，
∴，
∴．
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专题05 尺规作图
（一）作线段
已知：线段，作一条线段，？
作法：①用直尺画射线
②用圆规在射线上截取
∴线段AB即为所求
（二）作角
已知：
求作：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA与点D，交OB于点E；
②作射线
③以为圆心,OD长为半径画弧,交于点
④以为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与
⑤过作射线,为所求
（三）作角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
（四）作垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
考点1：尺规作图——作线段
典例1：如图，已知是的中线．
(1)尺规作图：作，使其与关于点中心对称；
(2)若，，，判断四边形的形状？并求点到的距离？
【变式1】如图，已知，点，在射线上，请按要求完成下列作图保留作图痕迹及证明．
(1)在射线上分别截取，．
(2)连接，，两边相交于点．
(3)作射线．
(4)求证：平分．
【变式2】尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
如图，已知，点在射线上，
(1)在上取一点，使；
(2)作．
考点2：尺规作图——作角
典例2：如图，在中，点为边上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式1】如图，已知三角形，点是上一点．
(1)尺规作图：在上找到一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，已知，，，求的长度．
【变式2】如图，在中，，是斜边上的中线，且，，交的延长线于点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作，交线段于点，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求（1）中得到的四边形的周长．
【变式3】如图，在中，点在边的延长线上，过点作，点是射线上一个点，满足．
(1)使用尺规在射线的左侧作，与射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：．
考点3：尺规作图——作角平分线
典例3：如图，已知：在中，，．
(1)作的平分线，交于点，作的垂直平分线，分别交、于点、．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)求证：点是中点；
(3)连接，求的度数．
【变式1】如图，已知在中，
(1)尺规作图：①作的高；②作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)判断点E是否在线段的垂直平分线上，并说明理由．
【变式2】如图，在中，，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点，过点作于点．若，，求的长．
【变式3】如图，在中，，，垂足为．
(1)在上求作一点，使点到射线，距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）中，设与相交于点，求证；
(3)在（2）条件下，若，，求的长．
考点4：尺规作图——作三角形
典例4：如图，在中，D是上一点（），按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）
(1)连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得；
(2)作图依据______．
【变式1】如图，绕点逆时针旋转得到，点的对应点为．
(1)尺规作图，画出旋转后的．（保留痕迹，不写作法）
(2)设直线与相交于，求的大小．
【变式2】尺规作图（不写作法，但要保留作图痕迹）
(1)如图1，作的角平分线．
(2)如图1，点E为边上一点，在上找一点，使点到点A、E距离相等．
(3)如图2，连接，用尺规求作，使，，．
【变式3】如图，线段，点C在线段上．
(1)在线段同侧，作等边和等边；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）条件下，连结和，分别交于点M，N．
①求证：；
②若，求．
考点5：尺规作图——作垂直平分线
典例5：如图，在中，．
(1)作出边，的垂直平分线，，并分别与边交于点，．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)连接，．
①若，则的周长为______．
②若，求的度数．
【变式1】已知中，，平分交于点D，其中．
(1)将绕点D逆时针旋转至，其中点B的对应点E落在边上，请作出（要求：用无刻度直尺与圆规作图，保留作图痕迹）；
(2)若，求的长．
【变式2】如图，在外有一点D，满足且．
(1)过点B作直线的垂线，交于点F，并在射线上取，连接交于点G；（尺规作图，保留作图痕迹）
(2)求的大小．
【变式3】如图，在中，，是的外角的平分线．
(1)用直尺和圆规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）
过点作，垂足为点；
作的平分线，与交于点；
(2)在的条件下，试判断与的关系，并说明理由．
考点6：尺规作图——作垂线
典例6：如图，，点P是上一点，点Q与点P关于对称．
(1)对称轴是线段的 线；
(2)用无刻度的直尺和圆规作图：过点Q作交于点M；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)连接，若，求线段的长．
【变式1】如图，在中，平分，于点E，点F在上，．
(1)过点D作，垂足为E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【变式2】已知中，为钝角，请用圆规和无刻度的直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)作的高；
(2)在上作一点P，使得点P到的距离等于．
【变式3】如图，在中，请用尺规作图法，在上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
考点7：尺规作图——作等腰、等边三角形
典例7：已知：中，边上一点D．
求作：等腰，使为等腰的底边，且点P到、两边的距离相等．（保留作图痕迹，不必写作法）
【变式1】阅读下列材料，完成相应任务．
已知：如图，直线，点在直线上．
求作：等边三角形，使其点，分别落在直线，上．
作法：①在直线上取点，连接，向右作等边三角形，使点落在直线，之间；
②在直线上取点（点在点左侧），作交直线于点；
③在射线上截取；
④连接，，．
就是所求作的等边三角形．
(1)使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)请你根据上述作法，证明所求作的等边三角形．
【变式2】在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线．
【变式3】如图，在中，是的平分线．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）
(1)在图（1）中，以为腰作一个等腰三角形；
(2)在图（2）中，以为边作．
考点8：尺规作图——作圆的切线
典例8：如图，已知是的直径，C是半圆上一点（不与点A，B重合）．
(1)用尺规过点C作的切线，交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的直径．
【变式1】
(1)尺规作图：已知及圆外一点P，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A、点B；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接并延长，交于点D，连接，求的度数．
【变式2】如图1，在外取一点P，作直线分别交于B、A两点，先以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点O为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点C，连接．完成下列任务：
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，继续作点C关于直线的对称点D，连接，交于点E，连接．
①若，则______；
②若的半径为13，，求的长．
【变式3】（1）如图1，在中，是边上的中线，，以为圆心，为半径作，求证：是的切线；
（）如图，已知是外一点，过点作的一条切线．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）
考点9：无刻度直尺作图
典例9：如图，已知点、、都是方格纸中的格点（图中每1个小方格都是边长为1的正方形），请用直尺画图．
(1)在网格中找一个格点，连结，使；
(2)在网格中找一个格点，作直线，使；
(3)连接，，则的面积为________．
【变式1】如图，在的方格纸中，有，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图：
(1)在图1中，找到一格点，使与全等；
(2)在图2中，在上找一点，使得．
【变式2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不写画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中的上确定一点，连结，是的高线．
(2)在图②中的上确定一点，连结，使得．
(3)在图③中的上确定一点，连结，使与面积比为 ．
【变式3】只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，已知．点E在OB边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线．
(2)如图2．已知E是菱形中边上的中点，请作出边上的中点F．
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