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专题01 平移与轴对称（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，桌面上有一把直尺和一个透明的学具，其中，，，学具放置在直尺的一侧，边与直尺的边缘重合，点对应直尺的刻度为，现将学具沿直尺边缘平移到所在位置，点对应直尺的刻度为，连接，则边扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平移的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理的应用，平移的性质，相似三角形的判定与性质，过点作，垂足为，由勾股定理求出，再由平移的性质得，，再证明，根据性质求出，根据平行四边形面积计算方法即可得到结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，
由平移得：平行于
所以四边形是平行四边形，
在，，，
∴由勾股定理得：，
由平移的性质可知，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
2．如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称中的光线反射问题、垂线的定义理解
【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，轴对称的性质；根据已知可得，进而求得，根据对称可得，进而即可求解．
【详解】解：由题意，知，
∴．
∴．
∴，
故选：C．
3．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】根据三线合一证明、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；
A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断；
B.不一定等于，即可判断；
C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断；
D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断；
掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：A. ，
，
由对称得，
点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，
，，
，
，结论正确，故不符合题意；
B.不一定等于，结论错误，故符合题意；
C.由对称得，
∵点 E ，F分别是底边的中点，
，结论正确，故不符合题意；
D.
过作，
，
，
，由对称得，
，
同理可证，
，结论正确，故不符合题意；
故选：B．
4．点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，
故选：C．
5．如图，用平移三角尺的方法可以检验出图中平行线共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】如图，由平移的性质，找出平行线即可．
【详解】解：如图，由平移的性质得，，，，， ，共6对
故选D．
【点睛】本题考查了平移的性质．解题的关键在于熟练掌握平移的性质．
6．如图，已知，将线段向右平移d个单位长度后，点恰好同时落在反比例函数 （）的图象上，则d等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】根据反比例函数的定义求参数、由平移方式确定点的坐标
【分析】根据平移可得，再根据“点恰好同时落在反比例函数”即可建立方程求解．
【详解】解：∵将线段向右平移d个单位，
∴.
∵点在反比例函数的图象上，
∴
解得：
故选：C.
【点睛】本题考查了平移、反比例函数的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
7．如图，是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】过点A作，根据等边三角形的性质，确定点A的坐标，结合关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数计算即可．
【详解】解：如图，过点A作，
∵是以边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∴点A关于x轴的对称点的坐标为．
故选：D．
8．有以下说法：
①△ABC在平移的过程中，对应线段一定相等；
②△ABC在平移过程中，对应线段一定平行；
③△ABC在平移过程中，周长保持不变；
④△ABC在平移过程中，对应角分别相等.
正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】根据平移的性质判断即可．
【详解】解：①△ABC在平移的过程中，对应线段一定相等，正确；
②△ABC在平移过程中，对应线段平行或在一条直线上，所以原说法不正确；
③△ABC在平移过程中，周长保持不变，正确；
④△ABC在平移过程中，对应角分别相等，正确．
故选：B．
【点睛】本题考查平移的性质，关键是利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
9．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
10．如图，四边形是菱形，，，点，是对角线上的三等分点，若点是菱形边上的动点，则满足的点有（ ）
A．0个 B．4个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、线段问题(轴对称综合题)
【分析】本题作关于对称的点为，，连接、、，交于点，连接交于点，根据菱形的性质得到，推出，证明为等边三角形，得到，，求出的最小值，即为，由菱形的对称性可知，菱形的每条边上都有一个点P，使得，即可解题；
【详解】解：作关于对称的点为，，连接、、，交于点，连接交于点，
四边形是菱形，，，
，，
，
，
，，，
，
，，
为等边三角形，为中点，，
，，
，
的最小值为，
由对称性可知，每条边上都有一个点P符合条件，
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，30度所对直角边等于斜边一半，轴对称的性质．利用轴对称的性质求出的最小值为解题关键．
11．如图，在 ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（ ）
A．33° B．34° C．35° D．36°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，
由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，
∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，
∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．
12．如图，将非等腰的纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若点为边的中点，则下列结论：①是等腰三角形；②；③是的中位线，成立的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】折叠问题、与三角形中位线有关的证明
【分析】本题利用了全等三角形的性质，对应角相等，平行线的性质．根据图形可知是对折而成，所以两三角形全等，可得，而是中点，故有，那么①可证；再利用是的外角，可证，那么，即是的中位线，②得证；利用，以及和的对折，可得，即也是等腰三角形，而，那么，故②不成立．
【详解】解：由于是对折而成，故，
，
又点为边的中点，
，
，即是等腰三角形，故①正确；
由于是对折而成，故，
，
，
，
∴，点也是的中点，故③正确；
同理可得也为等腰三角形，，由于是非等腰的，
，
∵
∴，
②不成立．
故选：B．
13．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9cm，BC＝8cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处， 折痕为BD，则△ADE的周长为（ ）
A．5cm B．6cm C．9cm D．12cm
【答案】B
【知识点】全等三角形的性质、折叠问题
【分析】根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可．
【详解】∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处，
∴DE=CD，BE=BC，
∵AB=9cm，BC=8cm，
∴AE=AB-BE=AB-BC=9-8=1cm，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE，
=AD+CD+AE，
=AC+AE，
=5+1，
=6cm．
故选B．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段平移至，那么的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、由平移方式确定点的坐标
【分析】由，，，，可得线段向右平移1个单位，向上平移1个单位至，则，，然后代值求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴线段向右平移1个单位，向上平移1个单位至，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的平移，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：点坐标平移，左减右加，上加下减．
15．如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON＝50°，则∠CPD＝( )
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【知识点】等边对等角、多边形内角和问题、台球桌面上的轴对称问题
【分析】根据轴对称的性质、等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠OAB=40°．设∠COP=，∠DOP=，则．再求出∠CPA=∠CAP=∠OAP-∠OAB=．∠DPB=．根据四边形内角和定理求出∠EPF=130°，即可求解．
【详解】如图，连接OA、OB、OP，设PA与OM交于点E，PB与ON交于点F．
∵点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，
∴OA=OP=OB，CA=CP，DP=DB，∠AOC=∠COP，∠POD=∠DOB，
∴∠AOB=∠AOC+∠COP+∠POD+∠DOB=2∠COD=100°，
∴∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB)=40°，
设∠COP=，∠DOP=，则，
∵OA=OP，∠AOP=，
∴∠OPA=∠OAP=(180°)=，
∵∠OAB=40°，
∴∠CPA=∠CAP=∠OAP-∠OAB=．
同理，∠DPB=．
∵∠EPF=360°-∠EOF-∠OEP-∠OFP=360°-50°-90°-90°=130°，
∴∠CPD=∠EPF-(∠CPA+∠DPB)=130°-()=30°+()=80°．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形等边对等角的性质，三角形、四边形内角和定理．熟记各性质并确定出相等的角是解题的关键．
二、填空题
16．如图，把沿平移到的位置，，面积为36，那么它们重叠的部分的面积为 ．
【答案】4
【知识点】利用平移的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】根据平移的性质得，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，
由平移得，
，
∴，
∵，即，
∴，
∵36，
∴，即重叠的部分的面积为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
17．如图，在中，，，，于．沿折叠到，则点到边的距离为 ．
【答案】/
【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、折叠的性质，由勾股定理得出，由三角形面积公式得出，求出，，由折叠的性质可得：，，推出，设点到边的距离为，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
设点到边的距离为，则，
∴，即点到边的距离为，
故答案为：．
18．如图，在矩形中，，，点是的中点，点在线段上，点在直线上，将沿折叠，使点与点重合，连接；当时，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、矩形与折叠问题、折叠问题
【分析】根据题意，可分成两种情况进行分析，①当点N在AB的延长线上时；②当点N在线段AB上时；利用勾股定理和矩形的性质，分别求出m的值即可．
【详解】解：根据题意，在矩形中，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
①当点N在AB的延长线上时，如图，作EH⊥AB，则
∴，，
∵，
，
在Rt△EHN中，由勾股定理得
；
∴；
②当点N在线段AB上时，作EG⊥AB，则
与①同理，可求得：
，，
由勾股定理，得
；
∴；
综合上述，的值为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，以及折叠的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确确定点M、N的位置，利用分类讨论的思想进行解题．
19．如图，等边三角形ABC的顶点A、B坐标分别为(1，1)和(3，1)，规定将等边三角形ABC先沿x轴翻折，再向左平移1个单位为第一次变换，则这样连续经过2021次变换后，等边三角形ABC的顶点C的坐标为 ．
【答案】（﹣2019，﹣﹣1）．
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】据轴对称判断出点C变换后在x轴下方，然后求出点C的纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后的横坐标，由此即可解答．
【详解】∵△ABC是等边三角形，AB=3﹣1=2，
∴△ABC是等边三角形的高为，
∴点C到x轴的距离为+1，横坐标为2，
∴C（2，+1），
∵第2021次变换后的三角形在x轴下方，
∴点C的纵坐标为﹣﹣1，横坐标为2﹣2021×1=﹣2019，
∴点C的对应点C′的坐标是（﹣2019，﹣﹣1）．
故答案为：（﹣2019，﹣﹣1）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2021次这样的变换得到三角形在x轴下方是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点坐标为，点在轴上，点在轴上，点是边上的动点，连接作点关于线段的对称点． 已知一条抛物线经过三点，且点恰好是抛物线的顶点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、矩形性质理解、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】过点作E⊥OA于E，连接、，可得A的坐标为（8，0），的横坐标为4，再根据等边三角形的判定与性质得到，根据待定系数法可求b的值．
【详解】解：过点作E⊥OA于E，连接O、A，
如图． 矩形的点坐标为，
A的坐标为（8，0），的横坐标为4，
∵O（0，0），
∴c=0，
∴，
∵点恰好是抛物线的顶点，
∴ 即 ，
∴
∵点A关于线段OD的对称点是，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
解得，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求解二次函数的解析式与二次函数的性质，矩形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点C关于直线AB的对称点为点D，连接AD，DB，线段DB，AC的延长线交于点E，若DE，则CE＝ ．
【答案】＃＃-1+
【知识点】等边对等角、根据成轴对称图形的特征进行求解、解直角三角形的相关计算
【分析】过点C作CF⊥DE于F，利用三角形内角和定理得∠CBE＝30°，∠BEC＝45°，再解△CBE即可．
【详解】解：如图，过点C作CF⊥DE于F，
∵∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝ ，
∵点C关于直线AB的对称点为点D，
∴∠D＝75°，∠ABD＝75°，
∴∠CBE＝30°，
∴∠BEC＝45°，
∵∠CBF＝30°，
∴BF＝，CF＝，
∴EF＝，
∵DE＝DB+BE＝BC+BE＝BC+BF+EF＝，
∴BC+BF+EF＝BC+ ，
∴BC＝，
∴CF＝，
∵＝sin45°＝
∴CE＝CF＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，解直角三角形等知识，求出∠CBE＝30°和∠E＝45°是解题的关键．
22．在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握相反数的定义是解题的关键；
根据两个点关于轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点和点关于轴对称，
点的坐标是，
点的坐标为，
故答案为：
23．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则 ．
【答案】55
【知识点】折叠问题
【分析】本题考查了角的计算以及翻折变换，注意翻折前后不变的边和角，是解此题的关键．根据折叠的性质可得出，再根据，即可得出的度数．
【详解】解：∵把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，
∴，
∵，，
∴
，
故答案为：55．
24．点和点关于x轴对称，则 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数得出的值，进而代入代数式即可求解．
【详解】解：∵点和点关于x轴对称，
∴
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，得出的值是解题的关键．
25．如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理、线段问题(轴对称综合题)
【分析】作A关于的对称点Q，连接交于P，则根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，先求出，再求出，进而由圆周角定理得到，则．证明是等边三角形，即可得到，据此可得答案．
【详解】解：作A关于的对称点Q，连接交于P，此时，
根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，
连接，
∵点B为弧的中点，
∴，
∵A、Q关于对称，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，即的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键．
三、解答题
26．【操作】如图，点E是边的中点，连接，将沿着所在直线折叠得到，点A的对称点为点F，连接并延长交边于点G．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形；
【应用】连接，其他条件不变．若，，则的长为______．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；应用：
【知识点】等腰三角形的性质和判定、证明四边形是平行四边形、折叠问题、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）本题考查了等腰三角形的性质和对称的性质，要证，只要证即可，由于点E是边的中点，故，因为沿着所在直线折叠得到，可得，由此可证．
（2）本题考查了平行四边形的判定，已知，只要再找一组对边即可，因此需要找内错角或同位角．由于翻折的对称性，可得，的外角，第一问已证明，所以可证，由此问题得以解决．
【应用】本题考查了锐角三角函数解直角三角形，关键在于构造直角三角形，过点作于，，为中点，，求得的正弦值即可求得，由此可求得．
【详解】（1）解： 点E是边的中点，
，
沿着所在直线折叠得到，
，
，
．
（2）解： 沿着所在直线折叠得到，
，
，
，
，
，
又 ，
四边形是平行四边形．
【应用】设交于，过点作于．如图所示，
沿着所在直线折叠得到，
，，
，
为中点，，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
．
27．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知的顶点都在格点上，直线与网线重合．
(1)以直线为对称轴，画出关于对称的；
(2)将向右平移10个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出，并连接、，直接判断四边形的形状．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，四边形为平行四边形
【知识点】勾股定理与网格问题、证明四边形是平行四边形、平移(作图)、画轴对称图形
【分析】（1）根据轴对称的性质画图即可；
（2）根据平移的性质画出图形，再根据平行四边形的判定，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：如图所示．
根据题意得：，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查了作图轴对称和平移，平行四边形的判定，解题关键是掌握轴对称和平移的性质，平行四边形的判定定理．
28．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，直线经过两点．
(1)四边形是一个轴对称图形，其对称轴为直线，请将四边形补充完整；
(2)将缩小后得到（点均在格点上），则与的比值为______．
【答案】(1)见详解
(2)2
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、画轴对称图形
【分析】本题考查图形的轴对称及勾股定理．
（1）先在图上找到点关于直线的对称点，再连接即可；
（2）先用勾股定理分别计算出，再算比值即可．
【详解】（1）解：四边形如图所示；
（2）由网格和勾股定理得
，
．
故答案为：2．
29．如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A（8，1）．
（1）k＝ ；m＝ ；
（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；
（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标．
【答案】（1），8；（2）；（3）
【知识点】反比例函数与一次函数的综合、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】(1)将A(8,1)代入解析式中，利用待定系数法即可解决问题；
(2)设C(a，a-3)(0＜a＜8)，则D(a，)，根据四边形的面积构建方程即可求出C点坐标；
(3)根据一次函数，利用方程组求出点O’的坐标，再根据平移规律即可求出D’坐标．
【详解】解：(1)把点A（8，1）分别代入y＝kx﹣3和中，
得：1＝8k﹣3，1＝，
解得：k＝，m＝8，
故答案为，8；
(2)设C(a，a﹣3)（0＜a＜8），则D(a，)，
∴CD＝-a+3，
设A、C的横坐标分别用表示，
∴，
∵S四边形ADOC＝24，
即，
∴a2+6a-16＝0，
∴a1＝-8，a2＝2，
经检验：a1＝﹣8，a2＝2是原方程的解，
∵0＜a＜8，
∴a＝2，代回C点坐标中，
∴C(2，﹣2)，
故答案为：C(2，﹣2)；
(3)由平移可知：OO′∥AB，
∴直线OO′的解析式为y＝x，
由，解得或(舍去)，
∴O′(4，2)，
即O(0,0)通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O′(4，2)，
又由(2)中知D坐标为(2，4)，
∴D(2，4)往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D′(6，6)，
故答案为：D′(6，6)．
【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，点的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
30．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
(1)将平移得到，使得点A和点O重合；
(2)用无刻度的直尺作出边上一个点，使．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平移的性质求解、平移(作图)
【分析】（1）由题意得，是向右平移6个单位长度，向上平移2个单位长度得到的．结合平移的性质画图即可．
（2）结合相似三角形的判定与性质，取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求．
本题考查作图平移变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，是向右平移6个单位长度，向上平移2个单位长度得到的
如图，即为所求．
（2）解：如图，取格点，，使，且，连接交于点，
此时，
则，
则点即为所求．
31．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，5），B（-3,3），C（1，2），点P（m,n）是三角形ABC内任意一点，三角形经过平移后得到三角形A1B1C1，点P的对应点为P1（m+6,n-2）．
（1）直接写出平移后点A1、B1、C1的坐标分别为 ．
（2）画出三角形ABC平移后的三角形A1B1C1．．
【答案】（1）(4，3)（3,1）（7，0）;（2）见解析.
【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解
【分析】（1）利用点P和点为P1坐标特征确定平移的方向与距离，然后根据此平移规律可确定点B1的坐标；
（2）利用（1）中的平移规律确定A1、B1、C1，然后描点依次连接即可.
【详解】（1）由点P（m,n）的对应点为P1（m+6,n-2）可得：A1（-2+6，5-2）=(4，3)，B1（-3+6,3-2）=（3,1），C1（1+6，2-2）=（7，0）；
（2）由（1）将A1、B1、C1三点标在坐标轴上，再依次连接，如图，△A1B1C1为所作：
【点睛】本题考查作图 平移变换，解题的关键是确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离，作图时要先找到图形的关键点．
32．如图，在中，，，，点是斜边的中点，点是边的中点，连接，点为线段上一点，作点关于直线对称点，连接、，设长为（）．
(1)A的长为________．
(2)求长度（用含的代数式表示）．
(3)当点落在直线上时，求的值．
(4)探究：直线会与的边或垂直吗？如果会，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)会，或
【知识点】解直角三角形的相关计算、折叠问题、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）根据正弦的定义解即可得到答案；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到，再由轴对称的性质可得；
（3）先求出，再证明，得到，则；由轴对称的性质可得，解可得方程，解得；
（4）当时，延长交于点G，由勾股定理得，则，由轴对称的性质可得，，则，求出则，解，得到，解得；当时，延长交于点M，则 ，则，解 得到，解中，得到，，进而得到 ，再解中得到，解得，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵在中，，， ，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵点D是斜边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴由轴对称的性质可得
（3）解：如图，当点F落在直线上时，
∵点E是边的中点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
解得；
（4）解：当时，延长交于点G，
在中，，
∴，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵在中， ，
∴，
解得；
当时，延长交于点M，则 ，
∴，
∴，
∴中，
∴
∵在中，
∴，
∴，
∴ ，
在中， ，
∴，
解得．
综上所述，x的值为1或3．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称的性质等等，熟练掌握轴对称的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
33．如图，正方形ABCD中，点E是边AD上的动点（不与点A，D重合），连接BE，CE．
(1)试问是否存在某个点E使EB平分∠AEC？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△BEC周长的最小值为4，求此时AE的长．
【答案】(1)不存在，理由见解析；
(2)
【知识点】角平分线性质的实际应用、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、线段问题(轴对称综合题)
【分析】（1）先假设EB平分∠AEC，可以得到BC＝EC，与题中条件相矛盾，由此可以得到EB不会平分∠AEC；
（2）作点C关于AD的对称点M， 连结BM交AD于N，由可以得到当B、E、M三点共线时，此时的△BEC周长最小，先求出正方形的边长，进而就可以求出AE的值．
【详解】（1）解：EB不会平分∠AEC，
理由：正方形ABCD中，
∵DC//AB，
∴∠AEB＝∠EBC，
若EB平分∠AEC，
则∠AEB＝∠BEC，
可得∠EBC＝∠BEC，
∴BC＝EC，
而BC＝CD＜EC，两者矛盾，
∴EB不会平分∠AEC；
（2）作点C关于AD的对称点M，连结BM交AD于N，
，
要使△BEC周长的最小，也就是要的和最小，
∵BC为定值，
∴只需的和最小即可，即的和最小，
，
∴当B、E、M三点共线时，（即图中点E与点N重合），
此时的和最小，
此时△BEC周长的最小值＝BM＋BC，
设BC＝x，则CM＝2x，
∵BM2＝BC2＋CM2，
∴BM＝，
∴，
∴，即正方形的边长为，
，
，
∴＝＝，
∴此时的．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，其中，正确添加辅助线，得到当B、E、M三点共线时，此时的△BEC周长最小是解题的关键．
34．如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是中的任意一点，经过平移后得到，点的对应点为．
(1)在图中画出，并写出点，，的坐标；
(2)连接，，求四边形的面积；
(3)若有一点，已知，且，则点的坐标为______．
【答案】(1)图见解析，，，
(2)
(3)或
【知识点】坐标与图形、平移(作图)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、利用网格求三角形面积
【分析】（1）根据点的对应点为，可知是向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，作图即可，可得出点，，的坐标．
（2）利用割补法，结合三角形的面积公式可得出答案．
（3）由题意可知点与点的纵坐标相等，点在点的左侧或右侧，进而可得出答案．
【详解】（1）点的对应点为，
是向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到．
如图，即为所求．
点，，．
（2）四边形的面积为．
（3），，，
点与点的纵坐标相等，
，，
点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查作图平移变换、平行四边形的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
35．综合实践课上，老师让同学们准备矩形纸片，开展数学活动．
(1)折一折，画一画：
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：为上一点，沿折叠，使点落在上的点处，连接并延长交于点．
①______(填数字结果)；
②的形状是______；
(2)剪一剪，移一移：
操作三：把纸片展平，沿，剪开；
操作四：将沿方向平移得到，若交于点，交于点．连接，若，平移距离为，
①求；
②当为直角三角形时，请直接写出的值．
【答案】(1)①；②等边三角形
(2)①；②或
【知识点】等边三角形的判定和性质、矩形与折叠问题、利用平移的性质求解、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）先判断出，由操作一的折叠知，，，，
由操作二的折叠知，，，，进而得出，求出，最后用直角三角形的两锐角互余即可得出结论；
（2）①分别求得两个三角形的面积，即可求解；
②先求出 ，进而得出，再分两种情况：
、当时，先判断出，再判断出，即可得出答案；
、当时，先判断出，再求出， ，即可求出答案．
【详解】（1）解：①四边形是矩形，
，
由操作一的折叠知，，，，
由操作二的折叠知，，，，
，
在中，，
，
故答案为：．
② ，
，
，
，
在中，，
由操作二的折叠知，，
，
，
，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）①由（1）知，是等边三角形，
根据平移可得，
，
是等边三角形，
，，
平移距离为，则，
，
，
，
，
，
故答案为：．
②在中，，，
，
由操作四的平移知，，
由（）知，，
是直角三角形，
或，
、当时，如图，则，
由平移知，，，，
，
，
，
，
由操作二折叠知，，
，
，
，
，
，，
，
，
由操作四的平移知，，
，
即平移的距离；
、当时，如图，则，
由平移知，，，
，
是等边三角形，
在中，，
在中，，
，
，
，即平移的距离 或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，平移的性质，用分类讨论的思想是解决最后一问的关键．
【能力提升】
36．在平面直角坐标系中，对于任意线段，给出如下定义；线段上各点到y轴距离的最大值叫做线段的“轴距”，记作，例如，图，，则线段的“轴距”为3，记作．
(1)若，，则线段的“轴距”___________；
(2)把过点且垂直于x轴的直线记作直线，点、关于直线的对称点分别为点E、F，连接和
①若，则m的值为___________；
②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，以的值总不变，请直接写出此时m的取值范围．
【答案】(1)2
(2)①或；②当或，的值不变，为4
【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离、坐标与图形变化——轴对称
【分析】（1）根据“轴距”的定义进行求解即可；
（2）①根据，可以分两种情况进行讨论：当到y轴的距离为3时，当到y轴的距离为3时；②先根据对称的性质求出，进而求出当，即时，，当时，，同理当时，，当时，，由此讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，，
故答案为：2；
（2）解：∵，
∴分两种情况进行讨论：当到y轴的距离为3时，当到y轴的距离为3时，
当E的横坐标为3时，
∵E与关于直线对称，
∴，
∴此时，
∵F与关于直线对称，
∴，
∴此时，满足题意；
当E的横坐标为时，
∵E与关于直线对称，
∴，
∴此时，
∵F与关于直线对称，
∴，
∴此时，不满足题意；
当F的横坐标为3时，
∵F与关于直线对称，
∴，
∴，
∴此时，
∵E与关于直线对称，
∴，
∴此时，不满足题意；
当F的横坐标为时，
∵F与关于直线对称，
∴，
∴，
∴此时，
∵E与关于直线对称，
∴，
∴此时，满足题意；
综上所述，或；
②∵点、关于直线的对称点分别为点E、F，
∴，
∴当，即时，，
∴当时，，
同理当时，，当时，，
∴当时，，符合题意；
当时，不是定值，不符合题意；
当时， ，符合题意；
综上所述，当或，的值不变，为4．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，点到坐标轴的距离，正确理解“轴距”的定义是解题的关键．
37．在中，，给出如下定义：作直线分别交边于点，，点关于直线的对称点为，则称为等腰直角关于直线的“直角对称点”．（点可与点重合，点可与点重合）
(1)在平面直角坐标系中，点，直线，为等腰直角关于直线的“直角对称点”．
①当时，写出点的坐标__________；
②连接，求长度的取值范围；
(2)的半径为，点是上一点，以点为直角顶点作等腰直角，其中，直线与分别交于、两点，同时为等腰直角关于直线的“直角对称点”，连接．当点在上运动时，直接写出长度的最大值与最小值．
【答案】(1)①；②
(2)的最小值为，最大值为
【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、求一点到圆上点距离的最值、坐标与图形变化——轴对称
【分析】（1）①根据题意得出直线与轴分别交于点 ， ，进而得出四边形是正方形，即可求得的坐标；
②过定点，根据为等腰直角关于直线的“直角对称点”，得出在为圆心，为半径的圆上运动，根据圆外一点到圆上的距离求得范围即可求解；
（2）分在外和在内求出临界值即可．
【详解】（1）解：①当时，
当时，，当时，，则直线与轴分别交于点 ， ，如图所示，
∴，则是等腰直角三角形，
∵为等腰直角关于直线的“直角对称点”．
∴，
即，
∴四边形是菱形
又，
∴四边形是正方形
∴，
②解：∵过定点，
∵为等腰直角关于直线的“直角对称点”．
∴，
∴在为圆心，为半径的圆上运动，
连接，
∴ ，
则，
∴，
∵直线与有交点，
∴只在第一象限的弧上，如图实线部分，
∴
∴
（2）如图，分别以P，Q为圆心，以为半径作圆，连接，，交于点N，
则当O，M，共线时，最大．
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图，分别以P，Q为圆心，以为半径作圆，连接，，交于点N，
则当O，M，共线时，最小．
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的最小值为，最大值为
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，正方形的性质与判定，点到圆上一点的距离，勾股定理，坐标与图形，旋转的性质，轴对称的性质，理解新定义是解题的关键．
38．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、E、F都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面直角坐标系，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)如图1，画出线段绕点逆时针旋转后的图形与对应）；
(2)如图1，点是线段上一点，在（1）中的线段上找到一点，使得；
(3)如图1，线段是由线段绕点顺时针旋转得到的与对应），请直接写出的坐标________；
(4)如图2，点为格点，点是线段上一点，在线段上找到一点，使得最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)见解析
【知识点】垂径定理的推论、画旋转图形、根据旋转的性质求解、线段问题(轴对称综合题)
【分析】本题考查作图旋转变换、垂径定理、轴对称最短路线问题；
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）连接并延长，交线段于点，则点即为所求．
（3）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，即可得出答案．
（4）延长至点，使，过点作，且，再过点作的垂线，交于点，则点是点关于直线的对称点，连接，交于点，则点即为所求．
熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图1，线段即为所求．
（2）如图1，连接并延长，交线段于点，
则，
即点为所求．
（3）如图2，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，
线段是由线段绕点顺时针旋转得到的，
点的坐标为．
故答案为：．
（4）如图3，延长至点，使，过点作，且，再过点作的垂线，交于点，
点是点关于直线的对称点，
连接，交于点，连接，
此时满足最小，最小值为的长，
则点即为所求．
39．如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在y轴和x轴上，已知 ， ．
(1)求直线的解析式；
(2)若射线上有一点，面积为S，求S与x的函数关系式，并求 时，点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在x轴上找一点Q，使最小，求出最小值和点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)关于的函数关系式为．当时，点的坐标为
(3)最小值为，
【知识点】一次函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、线段问题(轴对称综合题)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质，解决本题的关键是掌握待定系数法．
（1）根据矩形性质求出长，可得点坐标，即可求直线的解析式；
（2）根据（1）中直线解析式即可得三角形的面积与的关系式，进而求得点坐标．
（3）作出点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点Q，连接，此时最小，据此求解即可．
【详解】（1）四边形是矩形，
，，，
根据勾股定理，得，
，
设直线的解析式为，把代入，得，
∴直线的解析式为．
（2），
当时，，
∴关于的函数关系式为，当时，点的坐标为．
（3）如图，作出点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点Q，连接，此时最小，
可得，，
∴，
∴最小值为，
设直线函数关系式为：，
可得，解得：，
∴直线函数关系式为：，
令得，
解得：，
∴．
40．如图，已知的面积，，M为边上一动点（M与点A、B不重合），过点M作，交于点N，设．
(1)的边的高______；的面积______（用含x的代数式表示）
(2)把沿折叠，设折叠后点A的对应点为，与四边形重叠部分的面积为y．
①求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的范围；
②当x为何值时重叠部分的面积y最大，最大值是多少？
【答案】(1)5，
(2)① ； ；②当时y有最大值，最大值是
【知识点】y=ax +bx+c的最值、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)
【分析】（1）第一空代入三角形面积公式即可；第二问用相似三角形的性质即可；
（2）①利用全等即可求出时的函数解析式；②利用相似时的函数解析式，再利用二次函数最大值求法求解即可
【详解】（1）∵，
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：①∵，
∴点在四边形BCNM内（如图2），
即时，有；
②当点在四边形MBCN外部或BC边上（如图3），即时，
设、与BC分别相交于E、F两点，的BC边上的高为h，的MN边上的高为，的EF边上的高为，则有，．
∴，∴．
∴．
∵，∴，
∴，即．
∴．
∴．即．
当时，；
∴当时y有最大值，最大值是．
【点睛】本题考查三角形折叠问题与二次函数的性质的综合应用，数形结合思想的应用是解题的关键．
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专题01 平移与轴对称（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，桌面上有一把直尺和一个透明的学具，其中，，，学具放置在直尺的一侧，边与直尺的边缘重合，点对应直尺的刻度为，现将学具沿直尺边缘平移到所在位置，点对应直尺的刻度为，连接，则边扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（ ）
A． B． C． D．
3．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，用平移三角尺的方法可以检验出图中平行线共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
6．如图，已知，将线段向右平移d个单位长度后，点恰好同时落在反比例函数 （）的图象上，则d等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
8．有以下说法：
①△ABC在平移的过程中，对应线段一定相等；
②△ABC在平移过程中，对应线段一定平行；
③△ABC在平移过程中，周长保持不变；
④△ABC在平移过程中，对应角分别相等.
正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
9．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形是菱形，，，点，是对角线上的三等分点，若点是菱形边上的动点，则满足的点有（ ）
A．0个 B．4个 C．个 D．个
11．如图，在 ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（ ）
A．33° B．34° C．35° D．36°
12．如图，将非等腰的纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若点为边的中点，则下列结论：①是等腰三角形；②；③是的中位线，成立的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
13．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9cm，BC＝8cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处， 折痕为BD，则△ADE的周长为（ ）
A．5cm B．6cm C．9cm D．12cm
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段平移至，那么的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON＝50°，则∠CPD＝( )
A．70° B．80° C．90° D．100°
二、填空题
16．如图，把沿平移到的位置，，面积为36，那么它们重叠的部分的面积为 ．
17．如图，在中，，，，于．沿折叠到，则点到边的距离为 ．
18．如图，在矩形中，，，点是的中点，点在线段上，点在直线上，将沿折叠，使点与点重合，连接；当时，则的值为 ．
19．如图，等边三角形ABC的顶点A、B坐标分别为(1，1)和(3，1)，规定将等边三角形ABC先沿x轴翻折，再向左平移1个单位为第一次变换，则这样连续经过2021次变换后，等边三角形ABC的顶点C的坐标为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点坐标为，点在轴上，点在轴上，点是边上的动点，连接作点关于线段的对称点． 已知一条抛物线经过三点，且点恰好是抛物线的顶点，则的值为 ．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点C关于直线AB的对称点为点D，连接AD，DB，线段DB，AC的延长线交于点E，若DE，则CE＝ ．
22．在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标是 ．
23．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则 ．
24．点和点关于x轴对称，则 ．
25．如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ．
三、解答题
26．【操作】如图，点E是边的中点，连接，将沿着所在直线折叠得到，点A的对称点为点F，连接并延长交边于点G．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形；
【应用】连接，其他条件不变．若，，则的长为______．
27．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知的顶点都在格点上，直线与网线重合．
(1)以直线为对称轴，画出关于对称的；
(2)将向右平移10个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出，并连接、，直接判断四边形的形状．
28．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，直线经过两点．
(1)四边形是一个轴对称图形，其对称轴为直线，请将四边形补充完整；
(2)将缩小后得到（点均在格点上），则与的比值为______．
29．如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A（8，1）．
（1）k＝ ；m＝ ；
（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；
（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标．
30．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
(1)将平移得到，使得点A和点O重合；
(2)用无刻度的直尺作出边上一个点，使．
31．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，5），B（-3,3），C（1，2），点P（m,n）是三角形ABC内任意一点，三角形经过平移后得到三角形A1B1C1，点P的对应点为P1（m+6,n-2）．
（1）直接写出平移后点A1、B1、C1的坐标分别为 ．
（2）画出三角形ABC平移后的三角形A1B1C1．．
32．如图，在中，，，，点是斜边的中点，点是边的中点，连接，点为线段上一点，作点关于直线对称点，连接、，设长为（）．
(1)A的长为________．
(2)求长度（用含的代数式表示）．
(3)当点落在直线上时，求的值．
(4)探究：直线会与的边或垂直吗？如果会，请直接写出的值．
33．如图，正方形ABCD中，点E是边AD上的动点（不与点A，D重合），连接BE，CE．
(1)试问是否存在某个点E使EB平分∠AEC？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△BEC周长的最小值为4，求此时AE的长．
34．如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是中的任意一点，经过平移后得到，点的对应点为．
(1)在图中画出，并写出点，，的坐标；
(2)连接，，求四边形的面积；
(3)若有一点，已知，且，则点的坐标为______．
35．综合实践课上，老师让同学们准备矩形纸片，开展数学活动．
(1)折一折，画一画：
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：为上一点，沿折叠，使点落在上的点处，连接并延长交于点．
①______(填数字结果)；
②的形状是______；
(2)剪一剪，移一移：
操作三：把纸片展平，沿，剪开；
操作四：将沿方向平移得到，若交于点，交于点．连接，若，平移距离为，
①求；
②当为直角三角形时，请直接写出的值．
【能力提升】
36．在平面直角坐标系中，对于任意线段，给出如下定义；线段上各点到y轴距离的最大值叫做线段的“轴距”，记作，例如，图，，则线段的“轴距”为3，记作．
(1)若，，则线段的“轴距”___________；
(2)把过点且垂直于x轴的直线记作直线，点、关于直线的对称点分别为点E、F，连接和
①若，则m的值为___________；
②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，以的值总不变，请直接写出此时m的取值范围．
37．在中，，给出如下定义：作直线分别交边于点，，点关于直线的对称点为，则称为等腰直角关于直线的“直角对称点”．（点可与点重合，点可与点重合）
(1)在平面直角坐标系中，点，直线，为等腰直角关于直线的“直角对称点”．
①当时，写出点的坐标__________；
②连接，求长度的取值范围；
(2)的半径为，点是上一点，以点为直角顶点作等腰直角，其中，直线与分别交于、两点，同时为等腰直角关于直线的“直角对称点”，连接．当点在上运动时，直接写出长度的最大值与最小值．
38．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、E、F都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面直角坐标系，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)如图1，画出线段绕点逆时针旋转后的图形与对应）；
(2)如图1，点是线段上一点，在（1）中的线段上找到一点，使得；
(3)如图1，线段是由线段绕点顺时针旋转得到的与对应），请直接写出的坐标________；
(4)如图2，点为格点，点是线段上一点，在线段上找到一点，使得最小．
39．如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在y轴和x轴上，已知 ， ．
(1)求直线的解析式；
(2)若射线上有一点，面积为S，求S与x的函数关系式，并求 时，点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在x轴上找一点Q，使最小，求出最小值和点Q的坐标．
40．如图，已知的面积，，M为边上一动点（M与点A、B不重合），过点M作，交于点N，设．
(1)的边的高______；的面积______（用含x的代数式表示）
(2)把沿折叠，设折叠后点A的对应点为，与四边形重叠部分的面积为y．
①求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的范围；
②当x为何值时重叠部分的面积y最大，最大值是多少？
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