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专题02 旋转与中心对称（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等知识．先根据旋转的性质得到，，进而求出，，从而求出，再求出，即可求出．
【详解】解：∵绕直角顶点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B
2．在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】过点P作轴于点Q，过点作轴于点，由题意可得出，，．易证，即得出，，即可求出，进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入求值即可．
【详解】解：如图，过点P作轴于点Q，过点作轴于点，
∵，且在直线上，
∴，，，
∴．
由旋转的性质可知，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵P是双曲线上的一点，
∴，即．
∴．
故选：A．
【点睛】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点B，绕O点逆时针旋转到如图的位置，旋转角记为α，将绕O点逆时针旋转，则第次旋转结束后，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与几何综合、等边三角形的判定和性质、坐标与旋转规律问题、解直角三角形的相关计算
【分析】根据一次函数的解析式确定，，，再由正切函数得出，由旋转性质得：，利用等边三角形的判定和性质得出 ，再由三角函数得出，，确定，再由旋转的性质得出6次一个循环，即可得出结果．
【详解】解：，
当时，，
当时，得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由旋转性质得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴旋转第1次点B的坐标为，
∴旋转第2次点B的坐标为，
旋转第3次点B的坐标为，
旋转第4次点B的坐标为，
旋转第5次点B的坐标为，
旋转第6次点B的坐标为，…，6次一个循环，
∵，
∴旋转第次点B的坐标为，
故选：A．
【点睛】题目主要考查旋转的性质及坐标与图形，解三角形，等边三角形的判定和性质，一次函数的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，对角线AC与OB的交点为点D，将正方形OABC绕原点O逆时针旋转，则点D的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标
【分析】根据正方形的性质结合平面直角坐标系中旋转的特点解答即可.
【详解】由正方形的性质可得：AC与OB互相垂直平分且，，，将OD绕坐标原点O逆时针旋转到，点刚好落在y轴的正半轴上，.
故选B.
【点睛】错因分析 较难题.失分原因有两点：（1）不能熟练利用正方形的性质求出OD的长；（2）没有分清楚旋转方向而出错.
此题重点考查学生对平面直角坐标系内图形旋转的理解，掌握旋转的特点是解题的关键.
5．如图，中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过作于，若，则长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】利用旋转的性质，得到，证明，得到，利用以及含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∵
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
6．如图将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据旋转的性质求解、利用矩形的性质求角度
【分析】设与交于点，根据旋转的性质和矩形的性质，分别求出的度数，利用四边形的内角和为，求出的度数，利用对顶角相等，即可得出结论．
【详解】解：设与交于点，
∵将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质．熟练掌握矩形的四个角都是直角，旋转前后的两个图形的对应角相等，对应点与旋转中心的形成的夹角是旋转角，是解题的关键．
7．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（ ）
A．5 B．5 C．5 D．
【答案】C
【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG=FG，设CE=x，则DE=7-x=BF，FG=EG=11-x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，即可得到CE的长．
【详解】解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
而
三点共线，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝7﹣x＝BF，FG＝CF﹣CG＝11﹣x，
∴EG＝11﹣x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+32＝（11﹣x）2，
解得x＝，
∴CE的长为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC＝2，则HC的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数、旋转综合题(几何变换)、根据矩形的性质求线段长
【分析】根据旋转后AF的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC＝∠DCA，利用等角对等边得到AH＝CH，根据BC、AD的长，即可得到CH的长．
【详解】解：由旋转的性质可知：AC＝AF，
∵D为AF的中点，
∴AD＝AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝30°，
∴∠EAF＝∠CAB＝30°，
∴∠EAC＝30°，
∴AH＝CH，
∴DH＝AH＝CH，
∴CH＝2DH，
∵CD＝AD＝BC＝6，
∴HC＝CD＝4．
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数等知识点，对应点到旋转中心的距离相等，利用旋转的“不变”特性是解答的关键．
9．如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，点B所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30度角的直角三角形、求绕原点旋转一定角度的点的坐标、坐标与旋转规律问题
【分析】先判断三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，可得旋转3次为一个循环．再分别求解第次，第次，第次旋转后的坐标，由规律得到第次旋转后与第1次旋转后的位置相同即可解答．
【详解】解： ，
∵三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，
∴旋转3次为一个循环．
第1次旋转，如图，过作轴于
由旋转的性质可得：
点B所在位置的坐标为；
第2次旋转，如图，过作轴于 此时与轴重合，
同理可得：
点B所在位置的坐标为；
第3次旋转，如图，三角形回到原位置，
所以点B所在位置的坐标为；
……
∵，
∴第次旋转后，与第次旋转后的位置相同，
所以点B所在位置的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查的是与旋转相关的规律探究、含的直角三角形的性质、勾股定理的应用、坐标与图形等知识点，发现每旋转3次为一个循环是解题的关键．
10．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】先由旋转性质得，，，再证明、是等边三角形，得到，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：由旋转性质得，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，则，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，即，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解答的关键．
11．如图，点是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接.若，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据旋转的性质求解、判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】连接，证明为等边三角形，再证明，结合已知条件证明为直角三角形，，可得的面积，过作于，利用等边三角形的性质与勾股定理求解，可得的面积，从而可得答案．
【详解】解：连接．
∵为等边三角形，
∴，．
∵线段绕点顺时针旋转60°得到线段，
∴，，
∴为等边三角形，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴，
∴．
在中，∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
过作于，
∴．
故选A.
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
12．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【知识点】画两个图形的对称中心
【分析】如图，连接，，根据交点的位置可得答案．
【详解】解：如图，连接，，
根据交点的位置可得：对称中心为，
故选C
【点睛】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．
13．如图，直角中，，，BC=4，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到点F，则长的最小值是( )
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解
【分析】将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，得出点的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，由直角三角形的性质及三角形中位线定理即可得出答案．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，
，，，
，
，
随着点的运动，总有，，
，即、、三点在同一直线上，
点的运动轨迹为线段，
当时，的长度最小，
在中，，，，
，
点为的中点，
，，
，为的中位线，
，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14．如图，中，，将绕着点旋转至，点的对应点点恰好落在边上．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形
【分析】先在直角三角形ABC中，求出AB，BC，然后证明△ABD为等边三角形，得出BD=AB=2，再根据CD=BC-BD即可得出结果．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC=2，∠B=60°，
∴BC=2AB，BC2=AC2+AB2，∴4AB2=AC2+AB2，
∴AB=2，BC=4，
由旋转得，AD=AB，
∵∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴CD=BC-BD=4-2=2，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定与性质，解本题的关键是综合运用基本性质．
15．如图，在的正方形网格中，有一个格点 ，其中D是线段的中点．若在网格中找到两个格点E，F，使得，则图中符合条件的有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【知识点】画旋转图形、画轴对称图形
【分析】先以线段的垂直平分线所在的直线为对称轴作的对称图形，再以D为中心点进行旋转即可得到其他三个．
【详解】解：如图所示，符合条件的有4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称，旋转作图，熟练掌握相关知识定义是解题的关键．
二、填空题
16．在平面直角坐标系中，，，点绕点旋转得到点，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】根据题意画出图形，分两种情况证△AOB≌△CDA,求出CD、OD的长即可求出点C的坐标.
【详解】由题意知：∠BAC=，AB=AC，
∴∠OAB+∠CAD=,
∵,,
∴OA=1，OB=3，
如图，当点B绕点A逆时针旋转时，过点C作CD⊥x轴于D，
∴∠ADC=∠AOB=,
∵∠ABO+∠OAB=,
∴∠ABO=∠ACD，
∴△AOB≌△CDA,
∴AD=OB=3，CD=OA=1，
∴OD=1+3=4，
∴点C的坐标为：；
如图，当点B绕点A顺时针旋转时，过点C作CD⊥x轴于D，
同理可证△AOB≌△CDA,
∴AD=OB=3，CD=OA=1，
∴OD=3-1=2，
∴点C的坐标为：
综上，点C的坐标是或.
【点睛】此题考查直角坐标系中点的坐标，旋转的性质，解题中注意分类讨论是解题思想.
17．若点关于原点的对称点B的坐标是，则 ．
【答案】1
【知识点】已知两点关于原点对称求参数
【分析】关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，据此作答即可．
【详解】解：点关于原点的对称点B的坐标是，
，，
，，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数是解答本题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，，将平行四边形绕原点O逆时针旋转，则点B的对应点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】首先由平行四边形的性质得点，再利用证明，得，，可得点的坐标．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
由平移知，点，
作轴于，作轴于，
平行四边形绕原点逆时针旋转，
，，
，
，
∴，
，，
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC=1，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形，点C的运动路径为，图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】根据旋转的性质求解、求其他不规则图形的面积
【分析】如图连接AC，AC′，过B′作B′E⊥AB于E，于是得到B′E=BC=1，根据旋转的性质得到AB′=AB= ，AC′=AC=，根据勾股定理得到 ，B′C=BE=-1，求得∠B′AB=∠C′AC=45°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图连接AC，AC′，过B′作B′E⊥AB于E，
则B′E=BC=1，
∵将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，
∴AB′=AB=，AC′=AC=，
∴，
∴B′C=BE=-1，
∵B'E=1，AE=1，
∴∠B'AB=∠AB'E=45°
∴∠B′AB=∠C′AC=45°，
∴图中阴影部分的面积=S扇形C′AC-S△AB'C′-S△AB′C== ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、扇形的面积计算等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．
20．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2+；…．按此规律继续旋转，直至得到点P2020为止，则AP2020＝ ．
【答案】1346+674．
【知识点】旋转综合题(几何变换)、数字类规律探索
【分析】由等腰直角三角形的性质和已知条件得出AP1＝，AP2＝1+，AP3＝2+，AP4＝2+2，AP5＝3+2，AP6＝4+2，每三个一组，进而找到规律即可.
【详解】解：观察图形的变化可知：
AP1＝；
AP2＝1+；
AP3＝2+；
AP4＝2+2；
AP5＝3+2；
AP6＝4+2＝2（2+）；
…．
发现规律：
AP3n＝n（2+）；
AP3n+1＝n（2+）+；
AP3n+2＝n（2+）++1．
∴AP2020＝AP673×3+1＝673（2+）+＝1346+674．
故答案为：1346+674．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等，根据题意得出规律是解题的关键.
21．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点顺时针旋转 得到点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】根据旋转的性质求解、求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】根据旋转的性质，旋转后图形大小形状未发生改变，只是位置发生改变即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，旋转后如图所示，
∵四边形是由四边形绕O旋转得到，
∴四边形≌四边形，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查旋转的性质：旋转后图形大小形状未发生改变，只是位置发生改变．
22．如图，将RtACB绕斜边AB的中点O旋转一定的角度得到RtFAE，已知AC＝6，BC＝4，则cos∠CAE＝ ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质说明线段或角相等、圆周角定理
【分析】如图，连接，，作于，于．想办法证明，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，作于，于．
由题意：，
，，，，共圆，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
由题意，易证，四边形是矩形，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
23．中，，，点D是边的中点，把点D绕点B逆时针旋转得到点E，连接，则线段的最小值是________．
【答案】/
【知识点】根据旋转的性质求解、圆周角定理、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了图形的旋转，圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系求最值，作出辅助线，构造三角形证明全等，利用三角形三边关系是解题的关键．取中点，逆时针旋转到，连接，为三角形的中位线，根据中位线性质可得，利用旋转可得和都为等边三角形，由此可证，得到，在中，，即，将看成固定点，点的轨迹是半径为，以为圆心的圆，在的运动过程中，当共线时，取得最小值，而，故点在以为直径，为圆心的圆上，根据圆周角定理，，利用勾股定理可求，由此可求得线段的最小值．
【详解】解：取中点，逆时针旋转到，连接，如图所示，
点，分别为中点，
，
旋转到，逆时针旋转到，
，，，
和都为等边三角形，
，，
，
又，，
，
，
在中，，即，
若将看成固定点，点的轨迹是半径为，以为圆心的圆，在的运动过程中，当共线时，取得最小值，如下图所示，
都为等边三角形，
，
点在以为直径，为圆心的圆上，根据圆周角定理，
，
，
此时，．
故答案为：．
24．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】旋转综合题(几何变换)、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】连接CE，设AC与BE的交点为F，由题意易得AC=AE=EC，进而可得BE⊥AC，然后根据勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接CE，设AC与BE的交点为F，如图所示：
在中，，
，
将绕点A逆时针旋转，得到，
∠EAC=60°，AE=AC，
EC=AE=AC，
BE⊥AC，AF=FC，
，
；
故答案为．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形及直角三角形的性质、勾股定理，关键是由旋转的性质得到线段的等量关系，然后利用30°角的直角三角形及勾股定理求解即可．
25．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E,F 分别在边AD,CD 上，若∠EBF 45 ，则△EDF 的周长等于 .
【答案】4
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、旋转综合题(几何变换)
【分析】根据正方形的性质得AB=BC，∠BAE=∠C=90°，根据旋转的定义，把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG，根据旋转的性质得BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠C=90°，∠EBG=∠ABC=90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着利用“SAS”证明△FBG≌△EBF，得到EF=CF+AE，然后利用三角形周长的定义得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠BCD=90°，
∴把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG，如图，
∴BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠BCG=90°，
∴点G在DC的延长线上，
∵∠EBF=45°，
∴∠FBG=∠EBG-∠EBF=45°，
∴∠FBG=∠FBE，
在△FBG和△EBF中，
，
∴△FBG≌△FBE（SAS），
∴FG=EF，
而FG=FC+CG=CF+AE，
∴EF=CF+AE，
∴△DEF的周长=DF+DE+CF+AE=CD+AD=2+2=4
故答案为4．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
三、解答题
26．如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到；
（2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，
，
由旋转的性质可得：，，
，即，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理．
27．在等腰中，，顶角度数为，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．
(1)如图1所示，当时，请直接写出线段与的数量关系：______；
(2)如图2所示，当时，（1）中的结论还成立吗，并说明理由；
(3)在（2）的前提下，若，，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)不成立，见解析
(3)的长为或
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、矩形性质理解、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】
（1）由旋转性质，得，，证明和都是等边三角形，由其性质，证明，即可作答．
（2）同理，证明和都是等腰直角三角形，然后根据夹角相等，两边成比例证明，再结合相似三角形的性质，即可作答．
（3）结合（1）、（2）的结论，易得四边形是矩形，根据勾股定理，得，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】（1）
解：
如图1所示，
将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，
，
和都是等边三角形
，，
（2）
解：不成立，
理由：如图2所示，
将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，
，
，
和都是等腰直角三角形
，，
，
（3）
解：过作交所在直线于
如图1所示，由（2）知，
易得四边形是矩形，
设，则
在中，，
可得方程：，解得
；
如图2所示，易得四边形是矩形，设，则
在中，，
可得方程：，解得
综上所述，的长为或
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质，矩形的性质，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，写出顶点，的坐标；
(2)若和关于原点成中心对称图形，写出的各顶点的坐标；
(3)将绕着点按顺时针方向旋转得到，写出的各顶点的坐标．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)，，
【知识点】求关于原点对称的点的坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查了平移的性质、旋转的性质、成中心对称的图形的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）由点平移后对应的点的坐标为，得出先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到，画出图形即可得出答案；
（2）由中心对称的性质即可得出答案；
（3）画出旋转后的图形，结合图形即可得出答案．
【详解】（1）解：点平移后对应的点的坐标为，
先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到，如图所示：
， ，；
（2）解： 和关于原点成中心对称图形，
，，；
（3）解：如图，即为所作，
， ，，．
29．如图，在中，，且点A的坐标是（2，0）
（1）写出点B的坐标是__________；
（2）将点B向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C，则点C的坐标为__________；
（3）点C与点D关于原点O对称，则点D的坐标为__________；
（4）将点A绕点O按逆时针方向旋转90°，得到点E，则的面积是__________．
（把答案填在相应的横线上，不用书写解答过程）
【答案】（1）（2，4）；（2）（－2，3）；（3）（2，－3）；（4）2．
【知识点】求关于原点对称的点的坐标、旋转综合题(几何变换)
【分析】（1）观察图形，直接写出点B的坐标即可；
（2）根据平面直角坐标系内平移与坐标变化的规律：给点B的横坐标减4个单位长度，纵坐标减1个单位长度，即可得出点C的坐标；
（3）根据平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标特点，给点C的横纵坐标分别乘以－1，则可得出点D的坐标；
（4）根据旋转性质找出点E的位置及坐标，确定的位置及形状，即可利用面积公式进行计算．
【详解】解：（1）点B的坐标是（2，4）；
故答案为：（2，4）；
（2）∵点B的坐标是（2，4），将点B向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，
则2－4＝－2，4－1＝3，
∴点C的坐标为（－2，3）；
故答案为：（－2，3）；
（3）∵点C的坐标为（－2，3），点C与点D关于原点O对称，
则－2×（－1）＝2，3×（－1）＝－3，
∴点D的坐标为（2，－3）；
故答案为：（2，－3）；
（4）∵点A的坐标是（2，0），将点A绕点O按逆时针方向旋转90°，得到点E，如图，
∴点E的坐标是（0，2），
∴OE＝2，
∵点D的坐标为（2，－3）
∴yD＝2，
∴S△ODE＝．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平移、旋转、对称与坐标变化，掌握平面直角坐标系内图形的平移、旋转、对称与坐标变化之间的规律及特点是解题的关键．
30．将两个全等的等腰直角三角形按如图①放置，斜边分别交于点M、N．
(1)如图②，将图①中的绕点C逆时针旋转得到，连接，求证：；
(2)如图③，将绕点C旋转，当点M在上，点N在的延长线上时，试判断之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)，理由见详解
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，再求出，从而求出，然后利用“边角边”证明和全等即可；
（2）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式即可得解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，此类题目根据相同的思路确定出全等的三角形，然后找出条件是解题的关键．
【详解】（1）解： 绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
即，
，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，把绕点逆时针旋转得到，
则，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
31．如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点．
(1)求证；
(2)连接，当与的比值为_______时，四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、根据菱形的性质与判定求角度、利用矩形的性质证明
【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键．
（1）根据旋转的性质以及矩形的性质，得，，，由此得到，，，证明，即可得到；
（2）由（1）得，由旋转得，故，又，故四边形是平行四边形，若四边形是菱形，则，为等边三角形，故，，利用即可求解．
【详解】（1）证明： 将矩形绕点旋转得到矩形，根据旋转的性质以及矩形的性质，
，，，
，
，
，
，
．
（2）解：连接如图所示，
由（1），
，
由旋转得，
，又，
四边形是平行四边形，
若四边形是菱形，
则，
为等边三角形，
，
四边形为矩形，
，
，
，
．
32．如图，一个含角的纸片顶点与等边的点B重合，将该纸片绕点B旋转，使纸片角的一边交直线于点D，在另一边上截取点E，使，连接．
(1)当点D在边上时，如图①，求证：；
(2)当点D在边所在直线上，如图②、如图③时，线段之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论．
(3)在图③中，交于点K，若，则_______，______．
【答案】(1)见解析
(2)图②：；图③：
(3)10，
【知识点】线段问题(旋转综合题)、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）根据等边三角形的性质和角的和差求出，然后利用SAS证明，得出AE=CD，再根据线段的和差关系即可得出结论；
（2）如图2，当点D在CA的延长线时，根据等边三角形的性质和角的和差求出∠ABE=∠CBD，然后利用SAS证明，得出AE=CD，再根据线段的和差关系即可得出结论；
如图3，当点D在AC的延长线上时，先求出∠ABE=∠CBD，然后利用SAS证明，得出AE=CD，再根据线段的和差关系即可得出结论；
（3）由（2）得△ABE≌△CBD，则可求出CD长，和∠BAC的度数，由AE∥BC，得出△AKE∽△CKB，列比例式求出AK=CK，结合AK+CK=AC=6，求出CK长，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
即：，
∵，
∴（SAS），
∴．
∵，
∴．
（2）如图2，当点D在CA的延长线时，
∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE+∠ABD=∠ABC+∠ABD，
即∠ABE=∠CBD，
∵AB=BC，BE=BD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD=AC+AD，
∴AD=AE-AC；
如图3，当点D在AC的延长线上时，
∵∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE，
即∠ABE=∠CBD，
∵AB=BC，BD=BE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD=AD-AC，
∴AC=AD-AE；
综上，当点D在CA延长线时，AD=AE-AC；当点D在AC的延长线上时，AC=AC-AE；
（3）解：由（2）得△ABE≌△CBD，
∴CD=AE=4，∠BAE=∠BCD=180°-∠ACB=120°，
∴AD=AC+CD=6+4=10，∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°，
∴∠CAE=∠ACB，
∴AE∥BC，
∴△AKE∽△CKB，
∴ ，
∴AK=CK，
又∵AK+CK=AC=BC=6，
∴ CK=6，
∴CK= ，
∴DK=CK+CD=+4=．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及旋转的性质，解题的关键是能够综合运用各项几何知识．
33．已知：正方形中，，它的两边分别交，于点M，N．于点H，绕点A旋转．解答下列问题：
(1)如图①，当时，请你写出与的数量关系 ；
(2)如图②，当时，猜想与，的关系，并完成证明；
(3)如图③，若，于点H，，，则 ．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明、正方形折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）先证明，可得，，再证明即可得到；
（2）延长至，使，证明出，得到，，然后证明出，得到；
（3）分别沿、翻折和，得到和，然后分别延长和交于点，得正方形，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）．理由如下：
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
是等腰三角形，
又，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）数量关系成立．如图②，延长至，使．
∵四边形是正方形，
，，
在和中，
，
∴，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）如图,分别沿、翻折和，得到和，
，，．
分别延长和交于点，得正方形，
由（2）可知，．
设，则，，
在中，由勾股定理，得，
，
解得，．（不符合题意，舍去），
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识；正确作出辅助线，熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的关键．
34．已知点O是内一点，连接，将绕点B顺时针旋转如图，若是等边三角形，，，旋转后得到，连接，已知．
(1)求的长；
(2)求的大小．
【答案】(1)12
(2)
【知识点】根据旋转的性质求解、利用勾股定理的逆定理求解、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）根据旋转的性质，推出为等边三角形，得到，即可得解；
（2）根据旋转的性质，得到，由（1）为等边三角形，得到，利用勾股定理逆定理得到，进而得到，即可得解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵旋转后得到，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
（2）解：由（1）知：为等边三角形，，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
35．两张矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB=CE，AD＞AB．
操作发现：
（1）如图1，点D在GC上，连接AC、CF、CG、AG，则AC和CF有何数量关系和位置关系？并说明理由．
实践探究：
（2）如图2，将图1中的纸片CEFG以点C为旋转中心逆时针旋转，当点D落在GE上时停止旋转，则AG和GF在同一条直线上吗？请判断，并说明理由．
【答案】(1)；(2)，理由见解析.
【知识点】旋转综合题(几何变换)
【分析】（1）先根据条件判定△ABC≌△CEF，进而得到AC=CF，∠ACB=∠CFE，再根据∠CFE+∠ECF=90°，得出∠ACF=90°，即可得到AC⊥CF；
（2）先根据条件判定△ACD≌△GEC，即可得出∠ACD=∠GEC，DC=EC，AC=GE，进而判定四边形ACEG是平行四边形，得出AG∥CE，再根据矩形CEFG中，GF∥CE，即可得到AG和GF在同一条直线上．
【详解】（1）AC=CF，AC⊥CF．理由如下：
如图1，
∵矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB=CE，
∴BC=EF，∠B=∠CEF=90°，
在△ABC和△CEF中，
，
∴△ABC≌△CEF（SAS），
∴AC=CF，∠ACB=∠CFE，
∵Rt△CEF中，∠CFE+∠ECF=90°，
∴∠ACB+∠ECF=90°，
∴∠ACF=∠BCD+∠ECG-（∠ACB+∠ECF）=90°+90°-90°=90°，
∴AC⊥CF；
（2）AG和GF在同一条直线上．理由如下：
如图2，
∵矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB=CE，
∴AD=GC，CD=CE，∠ADC=∠GCE=90°，
在△ACD和△GEC中，
，
∴△ACD≌△GEC（SAS），
∴∠ACD=∠GEC，DC=EC，AC=GE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴∠ACD=∠CDE，
∴GE∥AC，
∴四边形ACEG是平行四边形，
∴AG∥CE，
又∵矩形CEFG中，GF∥CE，
∴AG和GF在同一条直线上．（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：旋转前、后的图形全等．解题时注意：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．解第（2）题时方法不唯一，也可以通过判定△ACG≌△CAD得到∠AGC=90°，进而根据∠AGF=180°得出AG和GF在同一条直线上．
【能力提升】
36．【问题探究】
（1）如图1，已知中，，，，点D是的中点，连接，则的长为________．
（2）如图2，已知中，，P为内一点，且，，请求出的长度；
【问题解决】
（3）如图3，四边形中，，，，，，点P为四边形内一点，且始终有，连接，请问是否存在一点P，使得的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）5；（2）；（3）存在，的最小值为
【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案；
（2）将绕点B顺时针旋转90度得到，由旋转的性质可得，，证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，再利用勾股定理求解即可；
（3）如图所示，取中点O，连接，将绕点C逆时针旋转60度得到，连接，则；由旋转的性质可得，证明是等边三角形，得到，则当四点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长；如图所示，过点D作于H，则四边形是矩形，则，解直角三角形得到，则，证明， 推出，在中，；设，则，由勾股定理得，解得，则，，，如图所示，过点作于E，交于F，同理可证明四边形和四边形是矩形，则，，得到，则，即可得到的最小值为．
【详解】解：（1）∵在中，，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
故答案为：5；
（2）如图所示，将绕点B顺时针旋转90度得到，
由旋转的性质可得，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴在中，由勾股定理得；
（3）如图所示，取中点O，连接，将绕点C逆时针旋转60度得到，连接，
∵，， 点O为的中点，
∴；
由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当四点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长；
如图所示，过点D作于H，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，；
设，则，
由勾股定理得
∴，
解得，
∴，，
∴，
同理可证明四边形和四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
37．对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点的“垂直图形”．
(1)线段关于点的“垂直图形”为线段．
①若点的坐标为，则点的坐标为____．
②若点的坐标为，则点的坐标为_____．
(2)，，，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点F的对应点为．
①求点的坐标（用含的式子表示）；
②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)①；②
【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、已知两点坐标求两点距离、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）①②根据“垂直图形”定义，结合旋转性质、坐标与图形即可求解；
（2）①过点作轴于，轴于，证明得到，，进而可求得点的坐标；②根据旋转性质和“垂直图形”的定义可知，满足条件的点在第一象限的上时取得最大值，与原点重合时取得最小值，进而根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）①如图：
点的坐标为，点坐标为
故答案为：；
②当时，如图，，
故答案为：；
（2）①作轴于，轴于则，则
点关于点的“垂直图形”为
，
在和中，
，
，
，，
点的坐标为
②如图，观察图象可知，满足条件的如图中阴影部分，
当点在第一象限的上，取得最大值，则
，
解得：
的最大值为
当与原点重合时，取得最小值，此时
的最小值为
综上所述，的取值范围为
【点睛】本题考查了垂直图形的定义，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形变换、勾股定理，两点距离公式等知识，理解题意并作出相应辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键．
38．如图，在四边形中，已知，，点分别在上，．
(1)①如图①，若都是直角，把绕点逆时针旋转至，使与重合，则线段和之间的数量关系为______；
②如图②，若都不是直角，但满足，线段和之间的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(2)如图③，在中，，，点均在边边上，且，若，请直接写出的长．
【答案】(1)①，②成立，见解析
(2)
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】（1）①根据若都是直角，，可得四边形是正方形，根据旋转可得，求出，可证，由此即可求解；②如图所示，延长，并取，连接，可证，可得，由此可证即可求解；
（2）根据题意，将绕点顺时针旋转后得，可得，再证，可得，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，设，则，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：在四边形中，，，，
∴，
①，理由如下，
若都是直角，则，且，
∴四边形是正方形，
把绕点逆时针旋转至，使与重合，
∴，
∴，，，，
∴，则点三点共线，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴；
②成立，理由如下，
如图所示，延长，并取，连接，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴将绕点顺时针旋转后，与重合，得，如图所示，
∴，
∴，，，
∵，
∴，则，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，垂足为点，
∴是直角三角形，
设，则，
∴，即，
解得，，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角的性质，直角三角形的判定，勾股定理求线段长等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是解题的关键．
39．如图1，在矩形ABCD中，E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接DF、EF，H为DF中点，连接GH，将绕点B旋转．
(1)当旋转到如图2的位置，连接AF、CE，若，且，则__________，__________；
(2)已知．
①当旋转到如图3位置时，连接CE，猜想GH与CE之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
②在旋转过程中，射线GH，CE相交于点Q，连接AQ，AQ有最小值吗？若有，请直接写出AQ的最小值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)①；见解析；②有，最小值为
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、圆周角定理
【分析】（1）根据角的和差关系求出∠CBE=∠ABF，然后根据中点的定义求出BF=BE，利用SAS证明△ABF≌△CBE，得出AF=CE=2，再根据三角形中位线定理求GH长即可；
（2）①连接AF，延长CE交AF于N，交AB于M，证明，得出，设，然后根据三角形中位线定理求出，则可求出GH与CE的比值，再根据余角的性质求出CN⊥AF，结合GH∥AF，则可得出GH⊥CE；
②延长和交于点，连接，取的中点，求出，则点在以为直径的圆上，从而得到当、、三点共线时，最短，然后作于，然后利用三角形中位线定理、勾股定理等求出长，从而求出，即的最小值．
【详解】（1）解：∵∠CBE+∠CBF=∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠CBE=∠ABF，
∵AB=BC，E、F分别是BC、AC的中点，
∴BF=BE，
在△ABF和△CBE中， ，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE=2，
∵G、H分别是AD和DF的中点，
∴GH是△ADF的中点，
∴，
故答案为：2，1．
（2）解：①猜想，理由如下，
如图，连接AF，延长CE交AF于N，交AB于M，
，E，F分别为边BC，AB的中点，
，
由旋转可知：，
，
又，
；
，
设，
点G是AD的中点，点H是DF的中点，
，
，
，
，
，
即，
，
；
②有最小值，理由如下：
如图，延长GH和CE交于点Q，连接CG，取CG的中点O，
由①知CE⊥GH，即∠CEG=90°，
则Q点在以CG为直径的圆上，
当A、Q、O三点共线时，AQ最短，
作于，
∴，
∴OP是△CGD的中位线，
∴ ， ，
∴AP=AG+GP=2+1=3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，以及三角形三边的关系，解题的关键是根据条件添加适当的辅助线，构造全等三角形．
40．如图，在中，，，，点、分别是边、的中点，连接，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现
①当时，______；②当时，______．
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明．
(3)问题解决
绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，如图3-1，图3-2，求线段的长．
①如图3-1中，当点E在AB的延长线上时， ②如图3-2中，当点E在线段AB上时，
【答案】(1)①，②
(2)没有变化，证明见解析
(3)或
【知识点】线段问题(旋转综合题)、相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值、用勾股定理解三角形
【分析】（1）①当时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，求出AE、BD的大小，即可求出的值．②时，可得ABDE，然后根据＝，即可求出的值．
（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据＝＝，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，利用勾股定理及上一问结论，分别求解即可．
【详解】（1）解：①当时，
∵Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，
∴＝．
②如图1中，
当时，
可得ABDE，
∵＝，
∴＝＝．
故答案为：①，②．
（2）解：如图2，
当时，的大小没有变化．理由如下：
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵＝＝，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝＝，即当时，的大小没有变化．
（3）解：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，
在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，
∴BE＝＝＝1，
∴AE＝AB+BE＝5，
∵＝，
∴BD＝＝．
②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，
∵BE＝＝＝1，
∴AE＝AB－BE =4﹣1＝3，
∵＝，
∴BD＝，
综上所述，满足条件的BD的长为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
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专题02 旋转与中心对称（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点B，绕O点逆时针旋转到如图的位置，旋转角记为α，将绕O点逆时针旋转，则第次旋转结束后，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，对角线AC与OB的交点为点D，将正方形OABC绕原点O逆时针旋转，则点D的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过作于，若，则长为（ ）
A． B． C． D．2
6．如图将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（ ）
A．5 B．5 C．5 D．
8．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC＝2，则HC的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
9．如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，点B所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A． B． C．4 D．2
11．如图，点是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接.若，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
13．如图，直角中，，，BC=4，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到点F，则长的最小值是( )
A． B．2 C． D．
14．如图，中，，将绕着点旋转至，点的对应点点恰好落在边上．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在的正方形网格中，有一个格点 ，其中D是线段的中点．若在网格中找到两个格点E，F，使得，则图中符合条件的有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
二、填空题
16．在平面直角坐标系中，，，点绕点旋转得到点，则点的坐标为 ．
17．若点关于原点的对称点B的坐标是，则 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，，将平行四边形绕原点O逆时针旋转，则点B的对应点的坐标是 ．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC=1，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形，点C的运动路径为，图中阴影部分的面积为 ．
20．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2+；…．按此规律继续旋转，直至得到点P2020为止，则AP2020＝ ．
21．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点顺时针旋转 得到点，则的值为 ．
22．如图，将RtACB绕斜边AB的中点O旋转一定的角度得到RtFAE，已知AC＝6，BC＝4，则cos∠CAE＝ ．
23．中，，，点D是边的中点，把点D绕点B逆时针旋转得到点E，连接，则线段的最小值是________．
24．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的长为 ．
25．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E,F 分别在边AD,CD 上，若∠EBF 45 ，则△EDF 的周长等于 .
三、解答题
26．如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
27．在等腰中，，顶角度数为，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．
(1)如图1所示，当时，请直接写出线段与的数量关系：______；
(2)如图2所示，当时，（1）中的结论还成立吗，并说明理由；
(3)在（2）的前提下，若，，，请直接写出线段的长．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，写出顶点，的坐标；
(2)若和关于原点成中心对称图形，写出的各顶点的坐标；
(3)将绕着点按顺时针方向旋转得到，写出的各顶点的坐标．
29．如图，在中，，且点A的坐标是（2，0）
（1）写出点B的坐标是__________；
（2）将点B向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C，则点C的坐标为__________；
（3）点C与点D关于原点O对称，则点D的坐标为__________；
（4）将点A绕点O按逆时针方向旋转90°，得到点E，则的面积是__________．
（把答案填在相应的横线上，不用书写解答过程）
30．将两个全等的等腰直角三角形按如图①放置，斜边分别交于点M、N．
(1)如图②，将图①中的绕点C逆时针旋转得到，连接，求证：；
(2)如图③，将绕点C旋转，当点M在上，点N在的延长线上时，试判断之间的数量关系，并说明理由．
31．如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点．
(1)求证；
(2)连接，当与的比值为_______时，四边形是菱形．
32．如图，一个含角的纸片顶点与等边的点B重合，将该纸片绕点B旋转，使纸片角的一边交直线于点D，在另一边上截取点E，使，连接．
(1)当点D在边上时，如图①，求证：；
(2)当点D在边所在直线上，如图②、如图③时，线段之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论．
(3)在图③中，交于点K，若，则_______，______．
33．已知：正方形中，，它的两边分别交，于点M，N．于点H，绕点A旋转．解答下列问题：
(1)如图①，当时，请你写出与的数量关系 ；
(2)如图②，当时，猜想与，的关系，并完成证明；
(3)如图③，若，于点H，，，则 ．
34．已知点O是内一点，连接，将绕点B顺时针旋转如图，若是等边三角形，，，旋转后得到，连接，已知．
(1)求的长；
(2)求的大小．
35．两张矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB=CE，AD＞AB．
操作发现：
（1）如图1，点D在GC上，连接AC、CF、CG、AG，则AC和CF有何数量关系和位置关系？并说明理由．
实践探究：
（2）如图2，将图1中的纸片CEFG以点C为旋转中心逆时针旋转，当点D落在GE上时停止旋转，则AG和GF在同一条直线上吗？请判断，并说明理由．
【能力提升】
36．【问题探究】
（1）如图1，已知中，，，，点D是的中点，连接，则的长为________．
（2）如图2，已知中，，P为内一点，且，，请求出的长度；
【问题解决】
（3）如图3，四边形中，，，，，，点P为四边形内一点，且始终有，连接，请问是否存在一点P，使得的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由．
37．对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点的“垂直图形”．
(1)线段关于点的“垂直图形”为线段．
①若点的坐标为，则点的坐标为____．
②若点的坐标为，则点的坐标为_____．
(2)，，，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点F的对应点为．
①求点的坐标（用含的式子表示）；
②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围．
38．如图，在四边形中，已知，，点分别在上，．
(1)①如图①，若都是直角，把绕点逆时针旋转至，使与重合，则线段和之间的数量关系为______；
②如图②，若都不是直角，但满足，线段和之间的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(2)如图③，在中，，，点均在边边上，且，若，请直接写出的长．
39．如图1，在矩形ABCD中，E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接DF、EF，H为DF中点，连接GH，将绕点B旋转．
(1)当旋转到如图2的位置，连接AF、CE，若，且，则__________，__________；
(2)已知．
①当旋转到如图3位置时，连接CE，猜想GH与CE之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
②在旋转过程中，射线GH，CE相交于点Q，连接AQ，AQ有最小值吗？若有，请直接写出AQ的最小值；若没有，请说明理由．
40．如图，在中，，，，点、分别是边、的中点，连接，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现
①当时，______；②当时，______．
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明．
(3)问题解决
绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，如图3-1，图3-2，求线段的长．
①如图3-1中，当点E在AB的延长线上时， ②如图3-2中，当点E在线段AB上时，
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