中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 平移与轴对称
（一）图形的平移
（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．确定平移的两大要素是方向和距离．
（2）性质：
①经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．
②平移改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．
（二）图形的轴对称
（1）定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形是成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段.
②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（2）性质：
①成轴对称的两个图形全等，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
考点1：利用平移的性质求解
典例1：如图，正方形的边长为，将正方形沿对角线向右平移，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，，，，将沿着BC的方向平移得到，连接，若，则的周长为（ ）
A．24 B．20 C．36 D．16
【变式2】如图，将周长为的沿方向平移到的位置，已知四边形的周长为20cm，那么平移的距离为 cm．
【变式3】如图（图在上一页），在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中一定成立的有 ．
考点2：坐标系中的平移
典例2：若实数和是整数，，将向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则点的可能位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【变式1】如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知点将它先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到点，则点的坐标是 ．
【变式3】如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．将沿射线平移，当点A的对应点与点C重合时，点B的对应点的坐标为 ．
考点3：平移的综合
典例3：如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是，，将三角形进行平移后，点的对应点为，点的对应点是，点的对应点是．
(1)画出平移后的三角形并写出，的坐标；
(2)写出由三角形平移得到三角形的过程；
(3)求出三角形的面积．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
(3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【变式2】如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量”可平移到点．
(1)填空，点可看作点按“平移量” 平移得到；
(2)若将依次按“平移量”平移得到，请在图（1）中画出；
(3)将点按“平移量”平移得到点，使，写出所有满足条件的平移量．
【变式3】在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，点经过平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．
(1)平移后的另外两个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ）．
(2)在网格中，先画出平移后的三角形，再解决下列问题：
①若边上一点经过上述平移后的对应点为，点的坐标为______．（用含的式子表示）
②求平移过程中，三角形扫过的面积．
考点4：轴对称图形的识别
典例4：下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（ ）
A．线段 B．角 C．等腰三角形 D．正方形
【变式2】观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中．
（1）轴对称图形有 （填序号）；
（2）中心对称图形有 （填序号）；
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）；
（4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）．
【变式3】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
考点5：利用轴对称性质求解
典例5：小明用两个全等的等腰三角形与设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线对称，点E，F分别是底边的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，已知和关于直线对称，连接，与的延长线交于点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．直线垂直平分 D．直线不经过点
【变式2】如图，与关于直线l对称，连接与，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是 (填序号)．
【变式3】如图，，，与关于直线对称，则 ．
考点6：坐标系中的轴对称求解
典例6：已知，则关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，已知点，，与关于轴对称，连接，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，正方形的顶点，规定把正方形“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形的顶点C的坐标为 ．
【变式3】若点与点C关于x轴对称，则C点的坐标为 ，若点A与点B关于y轴对称，则B点的坐标为 ．则A，B两点间的距离为 ．
考点7：坐标系中的轴对称作图
典例7：如图，平面直角坐标系中，点，，．
(1)在平面直角坐标系中画出下面各图形：
①；
②关于y轴对称的；
③关于x轴对称的；
(2)求的面积．
【变式1】在平面直角坐标系中的位置如图所示，每个小正方形的边长都为1个单位长度．
(1)画出关于轴对称的图形；
(2)求的面积；
(3)在轴上找一点，使的和最小，并写出点的坐标（保留作图痕迹，不写作法）．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中作出关于轴的对称图形；
(2)请直接写出的坐标： ； ； ；
(3)在轴上找一点，使得，则点的坐标为 ．
【变式3】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．
(1)请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）；
(2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点的位置）
(3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有____________个．
考点8：利用轴对称求最值
典例8：如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，，则的周长的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式1】如图所示：的内部有一点，到顶点的距离为分别是射线上的动点．若，则周长的最小值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】如图，在 中，，，平分，，， 分别为 ， 上的动点，则 的最小值是 ．
【变式3】如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ．
考点9：轴对称的综合问题
典例9：定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”．
如图2，在、中，，，，连接、．
(1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论．
(2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接．
①先补全图形．
②求证：点为点，关于直线的“等角点”．
【变式1】如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点．
(1)连结，，求证：；
(2)连结，若，，，求的周长的最小值．
【变式2】在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．
(1)依题意补全如图；
(2)若，求；
(3)若，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明．
【变式3】如图，中，，，射线与射线关于直线对称．是上的一点，连接交于点．
(1)若，求证：是等腰三角形；
(2)若，连接，求的度数；
(3)若，求的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 平移与轴对称
（一）图形的平移
（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．确定平移的两大要素是方向和距离．
（2）性质：
①经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．
②平移改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．
（二）图形的轴对称
（1）定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形是成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段.
②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（2）性质：
①成轴对称的两个图形全等，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
考点1：利用平移的性质求解
典例1：如图，正方形的边长为，将正方形沿对角线向右平移，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据正方形的性质求线段长、利用平移的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，平移的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据正方形的性质结合勾股定理可求出，再根据平移的性质得出，最后根据求解即可．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴．
∵将正方形沿对角线向右平移得到正方形，
∴，
∴．
故选：D．
【变式1】如图，在中，，，，将沿着BC的方向平移得到，连接，若，则的周长为（ ）
A．24 B．20 C．36 D．16
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质和判定，熟知以上知识点是解题的关键．
由的长度结合，判断的形状，得的长度，可得的周长．
【详解】解：由平移可知：，
，
，
，
∴是等边三角形
，
∴的周长为：，
故选：A．
【变式2】如图，将周长为的沿方向平移到的位置，已知四边形的周长为20cm，那么平移的距离为 cm．
【答案】
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质即可求解．
【详解】解：由平移知：；
∵四边形的周长为20cm，的周长为，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
即平移的距离为；
故答案为：2．
【变式3】如图（图在上一页），在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中一定成立的有 ．
【答案】①③④
【知识点】两直线平行同位角相等、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据平移的性质得出，，根据，结合平行线的性质得出，，即可得出．
【详解】解：∵三角形沿直线向右平移得到三角形，
，，，故①④正确，
∵，
∴，，
∴，故③正确；
无法证明，故②错误；
综上分析可知：正确的有①③④．
故答案为：①③④．
考点2：坐标系中的平移
典例2：若实数和是整数，，将向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则点的可能位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【知识点】已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标、求不等式组的解集
【分析】本题考查了点坐标平移的规律，象限内点的坐标的特点和解一元一次不等式组，先根据平移得出点B的坐标，再根据点B所在象限列出不等式组，然后结合和是整数，，即可求出答案．
【详解】解： 向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到点，
，
点位于第四象限，
，
，
又 ，和是整数，
m可能是、，n可能是、，
可能是，
故选：D．
【变式1】如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查坐标与平移，根据图形，得到是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，再根据点的平移规则，左减右加，上加下减，进行求解即可．
【详解】解：观察图形可知，是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，
∴点M的对应点的坐标为，
故选C．
【变式2】已知点将它先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到点，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了点的平移，根据平移中点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此解答即可求解，掌握平移中点的坐标变化规律是解题的关键．
【详解】解：将点向左平移个单位，横坐标变为，再向上平移个单位，纵坐标变为，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【变式3】如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．将沿射线平移，当点A的对应点与点C重合时，点B的对应点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查了平移的性质以及图形与坐标，掌握平移的性质是解题关键．
根据点A和对应点C的坐标，得到平移方式，即可求解．
【详解】解：∵点的对应点与点重合，
∴平移方式为向左平移两个单位，
∴点的对应点的坐标为，即，
故答案为：．
考点3：平移的综合
典例3：如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是，，将三角形进行平移后，点的对应点为，点的对应点是，点的对应点是．
(1)画出平移后的三角形并写出，的坐标；
(2)写出由三角形平移得到三角形的过程；
(3)求出三角形的面积．
【答案】(1)图见解析，，
(2)先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
(3)
【知识点】利用网格求三角形面积、由平移方式确定点的坐标、平移综合题(几何变换)、平移(作图)
【详解】（1）如图所示，即为所求：
∴，；
（2）先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到；
（3）如图所示：
，
答：的面积是．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
(3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)； ；
(2)点在上运动时，，点P在上运动时，
(3)存在，或.
【知识点】由平移方式确定点的坐标、平移综合题(几何变换)、列代数式
【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标；
（2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答；
（3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可．
【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为，
由平移的性质得，
点的坐标，
；
由题意得，，，
点的运动速度为每秒2个单位长度，
出发5秒时，运动的距离为10个单位长度，
此时点在上，且，
点的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：当点在上运动时，
，
点的坐标为；
当点在上运动时，
，
点的坐标为，
点的坐标为；
（3）解：四边形的面积为，
，
当点在上运动时，边上的高为4，
即，
解得，
点的坐标为或，
【变式2】如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量”可平移到点．
(1)填空，点可看作点按“平移量” 平移得到；
(2)若将依次按“平移量”平移得到，请在图（1）中画出；
(3)将点按“平移量”平移得到点，使，写出所有满足条件的平移量．
【答案】(1)；
(2)图见解析；
(3)使，满足条件的平移量有、、、、．
【知识点】平移综合题(几何变换)、平移(作图)
【分析】本题考查作图-平移变换，正数与负数，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据“平移量”的定义判断即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可；
（3）过点作的平行线，作点关于的对称点，再过点作的平行线，取格点，使，即可得出点平移量．
【详解】（1）解：依题意可知，点在点的左侧个单位，上方个单位，
∴点可看作点按“平移量”平移得到，
故答案为：．
（2）解：点按“平移量”平移得到，点按“平移量”平移得到，点按“平移量”平移得到，依次连接、、，如图：
∴为所求的三角形．
（3）解：要使，则点到的距离等于点到的距离，所以过点作的平行线，作点关于的对称点，再过点作的平行线，如图：
在网格上取格点，则，
∴由点按“平移量”平移得到，
由点按“平移量”平移得到，
由点按“平移量”平移得到，
由点按“平移量”平移得到，
由点按“平移量”平移得到，
∴使，满足条件的平移量有、、、、．
【变式3】在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，点经过平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．
(1)平移后的另外两个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ）．
(2)在网格中，先画出平移后的三角形，再解决下列问题：
①若边上一点经过上述平移后的对应点为，点的坐标为______．（用含的式子表示）
②求平移过程中，三角形扫过的面积．
【答案】(1)
(2)图见解析；①；②30.5
【知识点】平移(作图)、平移综合题(几何变换)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】（1）根据点A平移后的坐标，得出平移方式为向右平移5个单位，向上平移3个单位，据此作答即可；
（2）先根据（1）中确定的点的坐标作出平移后的三角形；①根据平移的方式进行求解即可；②利用割补法进行计算即可．
【详解】（1）∵点经过平移后对应点为，
∴平移方式为向右平移5个单位，向上平移3个单位，
∴经过平移后的坐标分别为，
故答案为：；
（2）如图，
①点经过上述平移后的对应点的坐标为，
故答案为：；
②三角形扫过的面积．
【点睛】本题主要考查了平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方式确定对应点后，再顺次连接对应点，即可得到平移后的图形，能够根据平移前后点的坐标的变化，得出平移的方式是解题的关键．
考点4：轴对称图形的识别
典例4：下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式1】下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（ ）
A．线段 B．角 C．等腰三角形 D．正方形
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，
根据定义，对选项进行一一分析找出对称轴最多的图形即可．
【详解】解：A、线段有2条对称轴；
B、角有1条对称轴；
C、等腰三角形有1条对称轴；
D、正方形有4条对称轴；
故对称轴最多是正方形，有4条；
故选：D．
【变式2】观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中．
（1）轴对称图形有 （填序号）；
（2）中心对称图形有 （填序号）；
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）；
（4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）．
【答案】 ②④⑤⑦⑧ ①③⑥⑦ ①③⑥ ⑦
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此逐一分析判断即可．
【详解】解：①是中心对称图形，但不是轴对称图形；
②是轴对称图形，但不是中心对称图形；
③是中心对称图形，但不是轴对称图形；
④是轴对称图形，但不是中心对称图形；
⑤是轴对称图形，但不是中心对称图形；
⑥是中心对称图形，但不是轴对称图形；
⑦既是中心对称图形，也是轴对称图形；
⑧是轴对称图形，但不是中心对称图形．
所以，（1）轴对称图形有②④⑤⑦⑧；
（2）中心对称图形有①③⑥⑦；
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有①③⑥；
（4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有⑦．
故答案为：（1）②④⑤⑦⑧；（2）①③⑥⑦；（3）①③⑥；（4）⑦．
【变式3】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
【答案】A或C
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以，
故答案为：A或C．
考点5：利用轴对称性质求解
典例5：小明用两个全等的等腰三角形与设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线对称，点E，F分别是底边的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等；根据轴对称图形的性质可得，从而得到，可判断A，B；过点O作，则，根据题意可得，，再由，可得，从而得到，然后根据轴对称图形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵它们关于直线对称，
∴，
∴，
∵点E，F分别是底边的中点，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∴，故选项A正确，不符合题意；
根据题意无法得到和大小关系，故选项D错误，符合题意；
如图，过点O作，则，
∵点E，F分别是底边的中点，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵它们关于直线对称，
∴，
∴，
∴，故C选项正确，不符合题意；
故选：D
【变式1】如图，已知和关于直线对称，连接，与的延长线交于点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．直线垂直平分 D．直线不经过点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的判定、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了图形轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握图形轴对称的性质是解题的关键．根据图形轴对称的性质，可判断A、B、C三个选项均正确，对于选项D，根据等腰三角形的判定与性质，及线段垂直平分线的判定，即可解答．
【详解】解：和关于直线对称，
，
A选项正确，不符合题意；
，
，
，
B选项正确，不符合题意；
和关于直线对称，
点C和点关于直线对称，
直线垂直平分，
C选项正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
，
点D在线段的垂直平分线上，
直线垂直平分，
直线经过点，
D选项不正确，符合题意．
故选D．
【变式2】如图，与关于直线l对称，连接与，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是 (填序号)．
【答案】①②③
【知识点】线段垂直平分线的判定、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．
【详解】解：解：和关于直线对称，
∴，故①正确，
和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点，
∴，故②正确；
和关于直线对称，
线段被直线垂直平分，
直线垂直平分，故③正确；
和关于直线对称，
线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误，
∴正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【变式3】如图，，，与关于直线对称，则 ．
【答案】/90度
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质及三角形内角和定理是解答此题的关键．
先根据轴对称的性质得出，由全等三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可得出的度数．
【详解】解： 与关于直线对称，
∴，
，
，
．
故答案为：．
考点6：坐标系中的轴对称求解
典例6：已知，则关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值非负性、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查点的坐标，非负数的性质和关于x轴的对称点坐标特征，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．根据非负数的性质列式求出a、b的值，结合关于x轴对称的对称点坐标特征，即可得解．
【详解】解：根据题意得，，，
解得，，
则的坐标为．
∴关于轴对称的点的坐标为，
故选A．
【变式1】如图，已知点，，与关于轴对称，连接，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转问题，坐标与图形．过点作轴于点C，证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵点，A与关于y轴对称，
∴，
如图，过点作轴于点C，
∵将线段以点为中心顺时针旋转得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点 B的对应点的坐标为．
故选：C
【变式2】如图，正方形的顶点，规定把正方形“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形的顶点C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了坐标与图形变化对称、规律型点的坐标、坐标与图形变化平移，解决本题的关键是掌握对称性质和平移旋转的性质．根据正方形的顶点，，可得，，先求出前几次变换后点的坐标，一次变换即点的横坐标向左移一个单位，又翻折次数为奇数时点的纵坐标为，翻折次数为偶数时点的纵坐标为3，再求出点的横坐标即可．
【详解】解：正方形的顶点，，
，
，
一次变换后，点的坐标为，
二次变换后，点的坐标为，
三次变换后，点的坐标为，
，
通过观察得：翻折次数为奇数时点的纵坐标为，翻折次数为偶数时点的纵坐标为3，
是偶数，
点的纵坐标为，其横坐标为．
经过2024次变换后，正方形的顶点的坐标为．
故答案为：．
【变式3】若点与点C关于x轴对称，则C点的坐标为 ，若点A与点B关于y轴对称，则B点的坐标为 ．则A，B两点间的距离为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查的是平面直角坐标系内点的对称规律，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，然后根据两点间的距离公式计算即可．
【详解】解：∵点与点C关于x轴对称，
∴点C的坐标为，
∵点A与点B关于y轴对称，
∴B点的坐标为，
∴A，B两点间的距离为，
故答案为：，，．
考点7：坐标系中的轴对称作图
典例7：如图，平面直角坐标系中，点，，．
(1)在平面直角坐标系中画出下面各图形：
①；
②关于y轴对称的；
③关于x轴对称的；
(2)求的面积．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析
(2)
【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键
（1）①先描点，再顺次连接即可得出；②根据轴对称的性质作图即可；③根据轴对称的性质作图即可；
（2）利用割补法求三角形的面积即可
【详解】（1）解：①如图所示；
②如图所示；
③如图所示；
（2）解：
【变式1】在平面直角坐标系中的位置如图所示，每个小正方形的边长都为1个单位长度．
(1)画出关于轴对称的图形；
(2)求的面积；
(3)在轴上找一点，使的和最小，并写出点的坐标（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)图见解析，
【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形；
（2）根据网格利用割补法即可求出的面积；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即可使的和最小．
【详解】（1）解：作出关于轴对称的图形，如图所示；
（2）解：的面积；
（3）解：轴上点如图所示，
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中作出关于轴的对称图形；
(2)请直接写出的坐标： ； ； ；
(3)在轴上找一点，使得，则点的坐标为 ．
【答案】(1)作图见解析
(2)；；
(3)
【知识点】正方形性质理解、画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标、线段垂直平分线的性质
【分析】（）根据轴对称图形的性质作图即可；
（）根据（）所作图形写出坐标即可；
（）利用正方形对角线互相垂直平分画出的垂直平分线，交轴于点，则有，再根据图形写出点坐标即可；
本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，正方形的性质，掌握轴对称图形和正方形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由图可得，，，，
故答案为：；；；
（3）解：如图，利用正方形对角线互相垂直平分画出的垂直平分线，交轴于点，则有，由图可得点的坐标为，
故答案为：．
【变式3】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．
(1)请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）；
(2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点的位置）
(3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有____________个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、两点之间线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键．
（1）由点的对称性，作出图形即可；
（2）作点B关于x轴的对称点，连接点B的对称点和点A交轴于点P，点P即为所作；
（3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解.
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：由图可知，点P即为所作；
（3）如图：以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点，
以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点，
作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点，
是等腰三角形时，点坐标有个，
故答案为．
考点8：利用轴对称求最值
典例8：如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，，则的周长的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆心角，圆周角，弧和圆心角等知识点，作点A关于的对称点，连接，，交于点P，连接，，，由轴对称性可得，则，故当、P、B三点共线时，最小，最小值为，由圆周角定理，弧和圆心角的关系可求，，进而求出，由勾股定理可求，即可求解．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，，交于点P，连接，，，
∵点A与点关于对称，
∴，，
∴，
则当、P、B三点共线时，最小，最小值为，
∵是的直径，，点B是的中点，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴的最小值为2，
∵，
∴的周长的最小值是，
故选：A．
【变式1】如图所示：的内部有一点，到顶点的距离为分别是射线上的动点．若，则周长的最小值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】此题主要考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定和性质问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在上时，的周长最小．
【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、．
∵点关于的对称点为，
∴，
∵点关于的对称点为，
∴，
∴，
，
∴是等边三角形，
∴．
∵的周长，
∴当点共线时，
∴的周长取得最小值，最小值．
故选：C．
【变式2】如图，在 中，，，平分，，， 分别为 ， 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、垂线段最短、三角形三边关系的应用
【分析】作关于的对称点，连接，根据角平分线的性质以及轴对称的性质，垂线段最短，进而根据含角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，
∵平分，
∴在上，
∴，
∴，
则当、、三点共线，且时，最小，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
即：最小值为8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了角平分线的定义，轴对称的性质求最短距离，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
【变式3】如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ．
【答案】/
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定
【分析】本题主要考查了轴对称的性质和两点之间选段最短．作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，利用两点之间，线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，
∴，，，，，
∵点为的中点，，
∴
，
，
，
，
为等边三角形，
∴
，
的最大值为，
故答案为：．
考点9：轴对称的综合问题
典例9：定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”．
如图2，在、中，，，，连接、．
(1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论．
(2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接．
①先补全图形．
②求证：点为点，关于直线的“等角点”．
【答案】(1)，证明见解析
(2)①图见解析；②证明见解析
【知识点】角度问题(轴对称综合题)、同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角点”的概念是解题的关键．
（1）根据题意，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等即可证明；
（2）①根据题意，作图即可求解；
②根据全等三角形的对应角相等得出，根据等角的补角相等得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，全等三角形的对应角相等得出，推得，即，过点作关于的对称点，连接，根据对称的性质可得出，推得、、三点共线，在结合“等角点”的定义即可证明．
【详解】（1）解：，
证明如下：
∵，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）①解：如图：
②证明：由（1）得：，
∴，
∵，，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作关于的对称点，连接，如图：
则，
∵，
∴，
∴、、三点共线，
即交直线于点，
∴点为点，关于直线的“等角点”．
【变式1】如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点．
(1)连结，，求证：；
(2)连结，若，，，求的周长的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)周长的最小值是．
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，即可求解．
【详解】（1）证明：∵m是的垂直平分线，P是直线m上的一动点，
∴；
（2）解：∵直线m垂直平分，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交于D，如图：
∵，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
周长的最小值是：
．
【变式2】在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．
(1)依题意补全如图；
(2)若，求；
(3)若，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【知识点】角度问题(轴对称综合题)、全等三角形综合问题、等边三角形的性质、画轴对称图形
【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等知识点，灵活运用这些知识点是解题的关键．
（1）依题意补全图形；
（2）由等腰三角形的性质和外角性质即可求解；
（3）连接交于点，证明，过点作于点，设，，则，，根据勾股定理求出，在中，由勾股定理得出，代入相关数据得出 ，由，可得出结论．
【详解】（1）解：过点作直线的垂线，交于点，取点，使得，连接，交于点，连接，则点为点关于直线的对称点，图1为所求的图：
（2）如图2：连接，
∵点与点关于直线对称，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，连接交于点，
∵点与点关于直线对称，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在与中，
∴
∵是等边三角形
∴
∴，
过点作于点，
设，，则，，
在中，，
在中，，
∴
，
∵，，
∴
【变式3】如图，中，，，射线与射线关于直线对称．是上的一点，连接交于点．
(1)若，求证：是等腰三角形；
(2)若，连接，求的度数；
(3)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【知识点】角度问题(轴对称综合题)、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）证明，推出，求出即可解决问题；
（3）过点分别作和的垂线，垂足分别为，，证明，推出，，分两种情形：①当点在，之间时，如图中的点，连接，②当点在，之间时，如图中的，连接，分别求解即可．
【详解】（1）证明： ，
，
射线与射线关于直线对称，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）如图2中，在和中，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）如图3中，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，
，，，
，
，，
①当点在，之间时，如图中的点，连接，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
②当点在，之间时，如图中的，连接，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称变换，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
