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专题02 旋转与中心对称
（一）旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度。
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
（二）旋转的性质
旋转的 性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等 (4)旋转过后，常用等腰三角形性质
重点 解读 (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度; (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等; (3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置
（三）旋转作图
旋转作图 的依据 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点
作图步骤 (1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心. (2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角. (3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点. (4)接:按原图形顺次连接所得到的各点. 注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转
（四）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（五）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
考点1：旋转的三要素
典例1：如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键．连接、，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心．
【详解】解：将绕某个点旋转，得到，则与为对应点，则与为对应点，
连接、，分别作和的垂直平分线，如图所示交于点C，故点C为旋转中心．
故选：C．
【变式1】如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转角的求解，由旋转可知：，求出即可求解；
【详解】解：由旋转可知：，
∴，
∴，
∴，
故选：A
【变式2】如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段．
（1）旋转中心是 ，
（2）旋转角为 ．
【答案】 或
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、坐标与图形
【分析】本题考查了旋转的性质；①当点的对应点为点时，②当点的对应点为点时，根据网格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解．
【详解】解：①当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为；
根据网格可得
②当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为．
根据网格可得
综上所述：这个旋转中心的坐标为或，旋转角为
故答案为或；．
【变式3】学习了《旋转》后，在数学实践活动课上，小明在如图所示的平面直角坐标系中将绕某个点顺时针旋转一定度数后得到，A，B，C的对应点分别为，，，则该旋转中心的坐标是 ，旋转角度是 °.
【答案】
【知识点】坐标与图形、找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查了求旋转中心，正方形的性质，根据旋转中心为对应点连线的垂直平分线交点，以及正方形对角线互相垂直平分，即可解答．
【详解】解：∵绕某点旋转后得到，
∴旋转中心为垂直平分线的交点，
连接，
由图可知，垂直平分线为y轴，四边形为正方形，
∴是的垂直平分线，
∴垂直平分线的交点为点D，
∴该旋转中心的坐标是，
∵四边形为正方形，则，即旋转角为
故答案为：，．
考点2：利用的旋转的性质求解
典例2：如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．是等边三角形
【答案】A
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据旋转的性质说明线段或角相等
【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角的运用是解题的关键．根据旋转的性质和三角形外角的定义和性质，逐项分析判断即可．
【详解】解：由旋转的性质可得，，，．
∵，
∴，
∴，故选项A正确，符合题意；
无法证明，故选项B不正确，不符合题意；
∵，
又∵，
∴，故选项C不正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴是等腰三角形，但无法证明是等边三角形，
故选项D不正确，不符合题意．
故选：A
【变式1】如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，则下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等
【分析】由等腰直角 三角形的性质，可得，由旋转的性质可知，可判定①正确；根据是等腰直角三角形，不一定是等腰直角三角形，所以与不一定全等，所以与不一定相等，可判定②错误；根据，，可得，即可得，从而得出，可判断③正确；证明，，可得出，可判断④正确．
【详解】解：∵，，
∴．
由旋转的性质可知，，，故①正确；
∴是等腰直角三角形，
∵点D为斜边上一点，
∴不一定是等腰直角三角形，
∴与不一定全等，所以与不一定相等，故②错误；
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确；
故正确的有①③④共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式2】如图， 将绕点A 顺时针旋转得到， 点B 的对应点 D恰好落在边上， 则 ．
【答案】/69度
【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键；
根据旋转的性质得，，然后根据等腰三角形的性质得，即可求出答案．
【详解】解：将绕点A 顺时针旋转得到，
，，，
，
．
故答案为：．
【变式3】如图，点分别在正方形的边上，且．把绕点顺时针旋转得到．若，则的长度为 ．
【答案】5
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查三角形全等和旋转问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得到，再根据题意易证，得到，从而可得到的长度．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
考点3：坐标系中的旋转作图
典例3：如图，已知的顶点的坐标分别为，，将绕坐标原点逆时针旋转得到．
(1)请画出对应的；
(2)在轴上存在一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标_____．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】两点之间线段最短、画旋转图形、坐标与图形综合
【分析】本题考查了作旋转图形，坐标与图形，以及两点之间，线段最短；熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据旋转的性质分别找出A，B的对应点，的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接交轴于点，根据两点之间，线段最短，可知此时最短，进而得到点的坐标．
【详解】（1）解：所作如图所示：
（2）解：连接交轴于点，
根据两点之间，线段最短，可知此时最短，
由图知点的坐标为，
故答案为：．
【变式1】正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出绕点A逆时针旋转的，再作出关于原点O成中心对称的．
(2)点的坐标为 ，点的坐标为 ．
(3)求的面积．
【答案】(1)画图见解析，
(2)，
(3)
【知识点】坐标与图形综合、求关于原点对称的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形、画旋转图形
【分析】此题考查了旋转变换，作中心对称图形，坐标与图形面积，掌握旋转和中心对称图形的性质是解题的关键．
（）根据旋转的性质和中心对称图形的性质分别确定旋转后的对应点，再作图即可；
（）直接利用（）中所画图形写出坐标即可；
（3）利用长方形面积减去周围三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；即为所求；
（2）解：由（）图可得，，．
（3）解：的面积为．
【变式2】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系．
(1)将沿y轴向下平移4个单位得到，画出；
(2)将绕原点O逆时针旋转得到，画出；
(3)可由绕着点P旋转得到，点P的坐标是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】平移(作图)、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可．
（2）根据逆时针旋转的要求求出对应坐标，画图即可．
（3）根据旋转中心是对应线段垂直平分线的交点，解答即可．
本题考查了坐标的平移，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，向下平移4个单位后，得到新坐标为，画图如下：
则即为所求．
（2）解：根据题意，得，绕原点O逆时针旋转得到，新坐标分别为．画图如下：
则即为所求．
（3）解：根据旋转作图，得绕逆时针旋转得到，
故答案为：．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上．
(1)画出关于原点对称的图形
(2)画出绕原点顺时针旋转后得到的图形，写出点的对应点的坐标．
(3)求出（2）中点旋转到点所经过的路径长（结果保留根号和）
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析，
(3)．
【知识点】求某点的弧形运动路径长度、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题考查利用关于原点对称作图与利用旋转变换作图及求弧长．准确找出对应点的坐标位置是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质，即可得出点、的对应点分别为点、，从而画出三角形；
（2）根据旋转的性质，即可得出点、的对应点分别为点、，从而画出三角形，进而求得．
（3）根据弧长公式即可得解．
【详解】（1）解：如图，延长至，使，则点是点的对应点，延长至，使，则点是点的对应点，连接，则即为所作．
（2）解：如图， 即为所作．
由图可得．
（3）解：如图，点旋转到点所经过的路径长为以点为圆心的的长，
由题意可得，，
∴，
∴点旋转到点所经过的路径长．
考点4：旋转与尺规作图
典例4：如图，在中，将绕点A逆时针旋转，得到（点与点对应，点与点对应），点D恰好落在上．
(1)用尺规作出（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，，交于点，求的度数．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、画旋转图形、根据旋转的性质求解
【分析】（1）先以为圆心，长为半径作弧角于，再作，再截取，连接；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角定理求解．
【详解】（1）如图：即为所求；
（2），，
．
由旋转的性质可得
，
∴，，，
，
，
，
．
，
．
【点睛】本题考查了复杂作图，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角定理是解题的关键．
【变式1】如图，点为等边三角形的中心，是以为斜边的直角三角形，且．
（1）用尺规在直线的左侧作，使≌，保留必要的作图痕迹，不写作法；
（2）能否由绕点按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角（）的度数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）图见详解；（2）能，旋转角为120°，证明见详解．
【知识点】等边三角形的判定和性质、旋转综合题(几何变换)
【分析】（1）分别以点A、B为圆心，以CE、BE为半径画弧，则两弧交于一点D，进而问题可求解；
（2）连接OA、OB、OC、OD、OE，由题意易得，，由（1）可知：，则有，然后可得，进而可得OD=OE，最后问题可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：能，理由如下：
连接OA、OB、OC、OD、OE，如图所示：
∵O是等边三角形ABC的中心，是以为斜边的直角三角形，且，
∴，，
由（1）可知：，
∴，
∴，即，
∵OB=OB，
∴，
∴，
∵OA=OB=OC，∠BOC=∠AOB=120°，
∴能由绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角度为．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形及等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、等边三角形及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
【变式2】如图，在中，，将绕点顺时针旋转固定角度后得到，使得点在上，与交于点.
（1）在给出的图形上用尺规作出；（要求：尺规作图不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【知识点】旋转综合题(几何变换)
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）由旋转的性质得，再计算出，即可得到结论.
【详解】（1）如图，为所求作的三角形；
（2）证明：由旋转可得，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．
失分的原因：1．不能正确理解本题所作的三角形，实质就是作已知三角形的全等三角形；2．对平行线的判定方法掌握不熟练．
【变式3】如图1，在正方形中，是对角线，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，点E关于直线的对称点是点F，射线交线段于点G，连接．
(1)当时，依据题意用尺规补全图形，保留作图痕迹．
(2)求的大小．
【答案】(1)见详解
(2)
【知识点】根据正方形的性质求角度、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、线段问题(轴对称综合题)
【分析】（1）①根据题意，先以点A为圆心，为半径画弧，再画出线段的垂直平分线，它们的交点即为点E，再画E的对称点F（以点为圆心，为半径画弧，再以B为圆心，为半径画弧，两弧的交点，即为点F）依次连接，补全图形即可；
（2）根据正方形的性质以及等边对等角，证明，，证明，可得，再利用角的和差可得答案．
【详解】（1）解：①如图，补全图形如下：
（2）解：，证明如下：
如图，由正方形，结合旋转可得：，，，
，
，，
点关于直线的对称点是点，
，
∴；
如图2，，
∴
结合正方形与旋转可得：
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了作图旋转变换，轴对称变换，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出图形是解题的关键．
考点5：旋转的应用——规律
典例5：将按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据每次旋转可知6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵将绕原点逆时针旋转，每次旋转，
∴第一次旋转后的坐标为，
第二次旋转后的坐标为，
第三次旋转后的坐标为，
第四次旋转后的坐标为，
第五次旋转后的坐标为，
第六次旋转后的坐标为，
，
6次一个循环，
∵，
∴第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为，
故选：C．
【变式1】如图，正方形的中心与坐标原点O重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点B逆时针旋转得点，再将绕点C逆时针旋转得点，再将绕点D逆时针旋转得点，再将绕点A逆时针旋转得点 依此类推，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、坐标与旋转规律问题
【分析】根据旋转图形找到规律4个一循环再在同一条线上，且根据等腰直角三角形性质可得斜边长逐渐增加，即可得到点的坐标关系，即可得到答案
【详解】解：过点作轴于E，过点作轴于F，过点作轴于G，过点作轴于H，过点作轴于K，
∵四边形是正方形，，，
∴，
∵轴，轴，轴，轴，轴，
∴新得到的三角形都是等腰直角三角形，
可得，， ，，，，
故选B
【点睛】本题考查图形规律，正方形的性质，旋转的性质，直角等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线找到规律．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识．首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第101次旋转后点的坐标即可．
【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴，
∴，
∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，
第2次旋转结束时，点A的坐标为，
第3次旋转结束时，点A的坐标为，
第4次旋转结束时，点A的坐标为，
∴4次一个循环，
∵，
∴第101次旋转结束时，点A的坐标为．
故答案为：．
【变式3】已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、求绕原点旋转一定角度的点的坐标、坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键．
过点B和点O分别作于点C，于点D，根据是等边三角形，可得G点坐标，等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，旋转6次为一个循环，分别求出等边三角形中心G旋转后的坐标，进而可得第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标．
【详解】如图所示：
过点B和点O分别作于点C，于点D，
∵是等边三角形，
∴平分，
∴，
∵，
∴，，
∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，
∴旋转6次为一个循环，
∵等边三角形中心G坐标为，
第一次旋转后到y轴正半轴，坐标为：；
第二次旋转后到第二象限，坐标为：；
第三次旋转后到第三象限，坐标为：；
第四次旋转后到y轴负半轴，坐标为：；
第五次旋转后到第四象限，坐标为：；
第六次旋转后回到第一象限，坐标为：，
∵，
∴第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为：．
故答案为：．
考点6：旋转的几何综合
典例6：如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，．
(1)在旋转过程中，
当，，三点在同一直线上时，求的长．
当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长．
(2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图，此时，，求的长．
【答案】(1)①或；②或；
(2)．
【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、线段问题(旋转综合题)
【分析】 当，，三点在同一直线上时，分点在上和点在的延长线上，两种情况计算；当，，三点为同一直角三角形的顶点时，分为直角边和为斜边两种情况计算；
连接，根据可以求出，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得．
【详解】（1）解：当，，三点在同一直线上时，
若点在的延长线上，
则，
若点在上，
则，
综上所述的长为或；
当，，三点为同一直角三角形的顶点时，
若为直角边，
则，
若为斜边，
，
综上所述当，，三点为同一直角三角形的顶点时，的长为或；
（2）解：如图所示，连接，
，，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式1】[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，．
[问题解决]
(1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长；
(2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)四边形是正方形，理由见解析
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、证明四边形是正方形、线段问题(旋转综合题)
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．
（1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案；
（2）先证四边形是矩形，再证明是正方形；
（3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可．
【详解】（1）解：（1），，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：，，
，，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
（3）解：是固定值，点是定点，点是动点，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图：
当点、、依次共线时，最大，
此时，，
即长度的最大值为．
【变式2】如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明．
(1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
(2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长；
(3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为______．
【答案】(1)依然成立，理由见解析
(2)
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、求一点到圆上点距离的最值、线段问题(旋转综合题)
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短、二次根式的计算等知识，证明是解题的关键．
（1）利用，证明，得．
（2）证明，得，则，再利用勾股定理可得答案．
（3）连接连接、，先根据勾股定理和直角三角形的性质求得，当绕点逆时针旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，所以当点在直线上时，有最大和最小值，由图可得的最大值为，最小值为，即．
【详解】（1）解：依然成立，理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵
∴
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接、，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点在直线上时，有最大值和最小值，
∴由图可得的最大值为，最小值为，
∴，
故答案为：．
【变式3】某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上．
(1)操作与发现
如图2，将正方形绕点逆时针旋转．
①当时，求，，的度数；
②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明．
(2)类比探究
如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】(1)①；；②
(2)，理由见解析
【知识点】根据旋转的性质求解、角度问题(旋转综合题)
【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算；
（1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解；
②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解；
（2）根据旋转的性质即可求解．
【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形，
∴，
；
②∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
考点7：中心对称图形的识别
典例7：下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选不项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题考主要查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念的注意事项：①轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合成为解题的关键．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：A.是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
B. 是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形．
故选：C．
【变式2】观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中．
（1）轴对称图形有 （填序号）；
（2）中心对称图形有 （填序号）；
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）；
（4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）．
【答案】 ②④⑤⑦⑧ ①③⑥⑦ ①③⑥ ⑦
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此逐一分析判断即可．
【详解】解：①是中心对称图形，但不是轴对称图形；
②是轴对称图形，但不是中心对称图形；
③是中心对称图形，但不是轴对称图形；
④是轴对称图形，但不是中心对称图形；
⑤是轴对称图形，但不是中心对称图形；
⑥是中心对称图形，但不是轴对称图形；
⑦既是中心对称图形，也是轴对称图形；
⑧是轴对称图形，但不是中心对称图形．
所以，（1）轴对称图形有②④⑤⑦⑧；
（2）中心对称图形有①③⑥⑦；
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有①③⑥；
（4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有⑦．
故答案为：（1）②④⑤⑦⑧；（2）①③⑥⑦；（3）①③⑥；（4）⑦．
【变式3】给出下列5种图形：①平行四边形②菱形③正五边形、④正六边形、⑤等腰梯形中，既是轴对称又是中心对称的图形有 个．
【答案】2
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念和平行四边形、菱形、正五边形、正六边形、等腰梯形的性质求解．
【详解】解：①是中心对称图形；②为轴对称图形也为中心对称图形；③为轴对称图形；④为轴对称图形也为中心对称图形；⑤为轴对称图形．
故答案为：2.
【点睛】此题考查轴对称图形，中心对称图形．解题关键在于掌握当轴对称图形的对称轴是偶数条时，一定也是中心对称图形；偶数边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形；奇数边的正多边形只是轴对称图形．
考点8：利用中心对称性质求解
典例8：如图，和关于点成中心对称，点、、的对应的分别是点、、．
(1)在图中找出对称中心（保留画图痕迹）；
(2)若，，，求周长．
【答案】(1)图见解析
(2)18
【知识点】全等三角形的性质、画两个图形的对称中心、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题考查成中心对称，熟练掌握成中心对称的性质，是解题的关键：
（1）根据成中心对称的性质，对应点连线的交点即为对称中心作图即可；
（2）根据成中心对称的两个图形全等，求出的周长即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）∵，，，
∴的周长为：，
∵和关于点成中心对称，
∴，
∴周长为18．
【变式1】如图，与关于点中心对称，若点，分别在、上，且，求证：．
【答案】见详解
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】因为与关于点中心对称，所以，，因为，
所以，即，结合，得证，即可作答．
【详解】证明：因为与关于点中心对称，
所以
所以，，
因为，
则
所以，
因为
所以
即，
因为，
所以，
则
【点睛】本题考查了成中心对称的图形特征以及全等三角形的判定与性质，成中心对称的两个图形必定能重合，难度较小．
【变式2】如图，和关于点成中心对称．
(1)找出它们的对称中心；
(2)若，，，求的周长；
(3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)四边形是平行四边形，理由见解析
【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定方法是解答本题的关键．
（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段、上，则连接和，它们的交点即为对称中心；
（2）根据中心对称的两个三角形全等可得到各边的长，然后计算的周长；
（3）根据中心对称的性质得，，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：如图，连接，点为所求：
（2）解： 和关于点成中心对称
，
，，，
的周长为；
（3）解：四边形是平行四边形，理由如下：
连接，如图所示：
和关于点成中心对称，
，，
四边形为平行四边形．
【变式3】如图，与关于点O成中心对称．
(1)画出对称中心O；（保留作图痕迹）
(2)若 ，，，则的面积= ．
【答案】(1)见解析
(2)6
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、画两个图形的对称中心、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】（1）连接，，与的交点就是对称中心．
（2）根据成中心对称的两个图形全等，求出的面积，即为的面积，利用勾股定理逆定理，得到为直角三角形，进而利用直角三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：连接，，与的交点就是对称中心，如图所示：
（2）解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∵与关于点O成中心对称，
∴．
【点睛】本题考查两个图形成中心对称．熟练掌握对称中心的确定方法，以及成中心对称的两个图形全等，是解题的关键．
考点9：坐标系中的中心对称
典例9：在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则a，b的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】构造二元一次方程组求解、已知两点关于原点对称求参数
【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，列出方程组求解即可．
【详解】解：∵点，关于原点对称，
∴，
解得：，
故选：A．
【变式1】点与点关于原点对称，则（ ）
A．1 B．-1 C．-5 D．5
【答案】B
【知识点】已知两点关于原点对称求参数
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴,
∴,
∴;
故选：B．
【点睛】本题考查了关于原点 对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
【变式2】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为 ．
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．根据题意得到，，求出的值即可得到答案．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，
，
．
故答案为：．
【变式3】若点与点关于原点中心对称，则 ．
【答案】
【知识点】已知两点关于原点对称求参数
【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”列方程求出的值，然后代入计算即可得解．
【详解】解：∵点与点关于原点中心对称，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出的值是解题的关键．
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专题02 旋转与中心对称
（一）旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度。
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
（二）旋转的性质
旋转的 性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等 (4)旋转过后，常用等腰三角形性质
重点 解读 (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度; (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等; (3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置
（三）旋转作图
旋转作图 的依据 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点
作图步骤 (1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心. (2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角. (3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点. (4)接:按原图形顺次连接所得到的各点. 注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转
（四）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（五）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
考点1：旋转的三要素
典例1：如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式1】如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段．
（1）旋转中心是 ，
（2）旋转角为 ．
【变式3】学习了《旋转》后，在数学实践活动课上，小明在如图所示的平面直角坐标系中将绕某个点顺时针旋转一定度数后得到，A，B，C的对应点分别为，，，则该旋转中心的坐标是 ，旋转角度是 °.
考点2：利用的旋转的性质求解
典例2：如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．是等边三角形
【变式1】如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，则下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】如图， 将绕点A 顺时针旋转得到， 点B 的对应点 D恰好落在边上， 则 ．
【变式3】如图，点分别在正方形的边上，且．把绕点顺时针旋转得到．若，则的长度为 ．
考点3：坐标系中的旋转作图
典例3：如图，已知的顶点的坐标分别为，，将绕坐标原点逆时针旋转得到．
(1)请画出对应的；
(2)在轴上存在一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标_____．
【变式1】正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出绕点A逆时针旋转的，再作出关于原点O成中心对称的．
(2)点的坐标为 ，点的坐标为 ．
(3)求的面积．
【变式2】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系．
(1)将沿y轴向下平移4个单位得到，画出；
(2)将绕原点O逆时针旋转得到，画出；
(3)可由绕着点P旋转得到，点P的坐标是______．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上．
(1)画出关于原点对称的图形
(2)画出绕原点顺时针旋转后得到的图形，写出点的对应点的坐标．
(3)求出（2）中点旋转到点所经过的路径长（结果保留根号和）
考点4：旋转与尺规作图
典例4：如图，在中，将绕点A逆时针旋转，得到（点与点对应，点与点对应），点D恰好落在上．
(1)用尺规作出（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，，交于点，求的度数．
【变式1】如图，点为等边三角形的中心，是以为斜边的直角三角形，且．
（1）用尺规在直线的左侧作，使≌，保留必要的作图痕迹，不写作法；
（2）能否由绕点按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角（）的度数；若不能，请说明理由．
【变式2】如图，在中，，将绕点顺时针旋转固定角度后得到，使得点在上，与交于点.
（1）在给出的图形上用尺规作出；（要求：尺规作图不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：.
【变式3】如图1，在正方形中，是对角线，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，点E关于直线的对称点是点F，射线交线段于点G，连接．
(1)当时，依据题意用尺规补全图形，保留作图痕迹．
(2)求的大小．
考点5：旋转的应用——规律
典例5：将按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，正方形的中心与坐标原点O重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点B逆时针旋转得点，再将绕点C逆时针旋转得点，再将绕点D逆时针旋转得点，再将绕点A逆时针旋转得点 依此类推，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为 ．
【变式3】已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为 ．
考点6：旋转的几何综合
典例6：如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，．
(1)在旋转过程中，
当，，三点在同一直线上时，求的长．
当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长．
(2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图，此时，，求的长．
【变式1】[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，．
[问题解决]
(1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长；
(2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值．
【变式2】如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明．
(1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
(2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长；
(3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为______．
【变式3】某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上．
(1)操作与发现
如图2，将正方形绕点逆时针旋转．
①当时，求，，的度数；
②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明．
(2)类比探究
如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由．
考点7：中心对称图形的识别
典例7：下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中．
（1）轴对称图形有 （填序号）；
（2）中心对称图形有 （填序号）；
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）；
（4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）．
【变式3】给出下列5种图形：①平行四边形②菱形③正五边形、④正六边形、⑤等腰梯形中，既是轴对称又是中心对称的图形有 个．
考点8：利用中心对称性质求解
典例8：如图，和关于点成中心对称，点、、的对应的分别是点、、．
(1)在图中找出对称中心（保留画图痕迹）；
(2)若，，，求周长．
【变式1】如图，与关于点中心对称，若点，分别在、上，且，求证：．
【变式2】如图，和关于点成中心对称．
(1)找出它们的对称中心；
(2)若，，，求的周长；
(3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由．
【变式3】如图，与关于点O成中心对称．
(1)画出对称中心O；（保留作图痕迹）
(2)若 ，，，则的面积= ．
考点9：坐标系中的中心对称
典例9：在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则a，b的值是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】点与点关于原点对称，则（ ）
A．1 B．-1 C．-5 D．5
【变式2】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为 ．
【变式3】若点与点关于原点中心对称，则 ．
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