2025-2026学年人教A版数学必修第二册单元测试：第七章 复数（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教A版数学必修第二册单元测试：第七章 复数（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 44.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-30 00:00:00 | ||
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文档简介
第七章 复数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝( )
A．0 B．1
C． D．2
2．(教材原题·P95复习参考题7T1(3))当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
4．已知复数z在复平面内对应的点为(2，－1)，则( )
A．z的虚部为－i B．|z|＝5
C．＝－2－i D．的虚部为1
5．已知z＋＝1，z－＝i，则＝( )
A．＋i B．－i
C．－＋i D．－－i
6．在复平面内，一个正方形的三个顶点分别对应的复数是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
7．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
8．已知复数z满足＝1，则的最大值为( )
A．2 B．＋1
C．－1 D．3
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其共轭复数为，则下列结果为实数的是( )
A．z2 B．
C．(z＋1)(＋1) D．(z－)·i2 023
10．若复数z＝1－i，为z的共轭复数，则以下正确的是( )
A．z在复平面对应的点位于第二象限
B．＝
C．|z|2＝z2
D．为纯虚数
11．设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是( )
A．若|z1＋z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2
D．若|z1|＝|z2|，则＝
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．请写出一个在复平面内对应的点位于第一象限的复数：z＝________．
13．复数z＝＝________．
2i [z＝＝＝＝2i．]
14．设z的共轭复数是 ，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝________，＝________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知复数z1＝，z2＝(2＋i)m－3(1＋2i)，m∈R，i为虚数单位．
(1)若z1＋z2是纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＋z2＞0，求z1·z2的值．
16．(本小题满分15分)已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，θ∈，z1＝z2，求λ的取值范围．
17．(本小题满分15分)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z．
(1)求复数z；
(2)若z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
18．(本小题满分17分)已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z和|z|；
(2)若z1＝＋－i在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
19．(本小题满分17分)我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对(z1，z2)(z1，z2∈C)视为一个向量，记作α＝(z1，z2)．两个复向量α＝(z1，z2)，β＝(z3，z4)的线性运算定义为：mα＋nβ＝(mz1＋nz3，mz2＋nz4)(m，n∈R)；两个复向量α＝(z1，z2)，β＝(z3，z4)的积记作α·β，定义为α·β＝z1＋z2；复向量α的模定义为|α|＝；若复向量α与β满足|α·β|＝|α||β|，则称复向量α与β平行．
(1)设α＝(3，4)，β＝(1－i，i)，求α·β以及|β|；
(2)对于实数m，判断α＝(1＋i，2－i)与β＝(i，m)能否平行，若能，求出m的值，若不能，说明理由；
(3)设α＝(1＋i，2－i)，β＝(i，z)，z∈C，且复向量α与β平行，求复数z．
参考答案
1．C [若z=-1-i，则|z|==．故选C．]
2．(教材原题·P95复习参考题7T1(3)) D
3．A [因为a，b∈R，+2ai=2i，所以a+b=0，2a=2，解得a=1，b=-1．
故选A．]
4．D [因为复数z在复平面内对应的点为(2，-1)，所以z=2-i．对于A，复数z的虚部为-1，故A错误；
对于B，|z|==，故B错误；
对于C，=2+i，故C错误；
对于D，=2+i，的虚部为1，故D正确．
故选D．]
5．B [z+=1，z-=i，则2=1-i，
所以==-i．故选B．]
6．D [在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为-1+3i．故选D．]
7．C [因为==1+=1+i，所以z=1+=1-i．
故选C．]
8．B [设z=a+bi，其中a，b∈R，
则z-1+i=+i，∵=1，
∴a2+b2=1，即点为圆心，1为半径的圆，
∴=的距离，
∴+1=+1．
故选B．]
9．BCD [对于A，z2=a2-b2+2abi，不一定为实数；
对于B， =a2+b2∈R；
对于C，(z+1)(+1)=z·+z++1=a2+b2+2a+1∈R；
对于D，(z-)·i2 023=2bi2 024=2b=2b∈R．
故选BCD．]
10．BD [对于A项，∵z=1-i，复数z在复平面内对应的点为，∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故A错误；
对于B项，根据复数模的公式，==，故B正确；
对于C项，z2==-2i，而=2，故C错误；
对于D项，∵=1+i，∴====i，故D正确．
故选BD．]
11．BC [对于A，若|z1+z2|=0，则z1+z2=0，z1=-z2，所以=不正确；对于B，若z1=，则z1和z2互为共轭复数，所以=z2；对于C，设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|=|z2|，则=，z1=+，z2=+，所以z1=z2；对于D，若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|，而=1，=-1，所以=不正确．故选BC．]
12.1+i(答案不唯一) [根据复数的几何意义可知，复数a+bi在复平面内所对应的点的坐标为，
所以第一象限的点的坐标需满足a>0，b>0，
那么满足条件的其中一个复数z=1+i．]
13.2i [z====2i．]
14.2 ±i [设z=x+yi(x，y∈R)，则=x-yi，由z+=4，z·=8得，
∴|z|=2，∴===±i．]
15．解：(1)z1==m2+m2i，z2=2m-3+(m-6)i，
所以z1+z2=m2+2m-3+(m2+m-6)i，
因为z1+z2是纯虚数，所以解得m=1．
(2)由(1)知，z1+z2=m2+2m-3+(m2+m-6)i，
因为z1+z2>0，所以解得m=2，
所以z1=4+4i，z2=1-4i，
所以z1·z2=(4+4i)(1-4i)=20-12i．
16．解：由z1=z2，λ，m∈R，可得
整理，得λ=4sin2θ-3sin θ=4sin θ-2-．
∵θ∈0，，∴sin θ∈[0，1]，∴λ∈-，1．
17．解：(1)由题意，复平面内A，B，C三点的坐标分别为(1，3)，(0，2)，(2，1)，
设D的坐标为(x，y)，由于=，
∴(x-1，y-3)=(2，-1)，∴x-1=2，y-3=-1，
解得x=3，y=2，故D(3，2)，
则点D对应的复数z=3+2i．
(2)∵3+2i是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根，
∴3-2i是关于x的方程2x2-px+q=0的另一个根，
则3+2i+3-2i=，(3+2i)·(3-2i)=，
即p=12，q=26．
18．解：(1)设z=a+bi，则z+2i=a+i，
由z+2i为实数，得b+2=0，则b=-2，
由===+i为实数，得=0，则a=4，
∴z=4-2i，则==2．
(2)z1=+-i=4++i=+i，
由z1在复平面内对应的点在第四象限，得
解得-2故实数m的取值范围为∪．
19．解：(1)α·β=3×(1+i)+4×(-i)=3-i，
|β|===．
(2)α·β=(1+i)×(-i)+(2-i)×m=2m+1-(m+1)i，
得|α·β|=
=，
|α|===，
|β|===，
若α与β平行，则|α·β|=|α||β|，得=×，
得2m2-6m+5=0，而Δ=36-4×2×5=-4<0，则此方程无实数根，
故不存在实数m，使得α与β平行．
(3)设z=a+bi(a，b∈R)，
α·β=(1+i)×(-i)+(2-i)×(a-bi)=(2a-b+1)-(a+2b+1)i，
得|α·β|=，
由(2)得|α|=，
|β|==
=，
若α与β平行，则|α·β|=|α||β|，
得=×，
得a2+b2-3a-b+=0，
得a-2+b-2=0，
得a=，b=，故复数z=+i．
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝( )
A．0 B．1
C． D．2
2．(教材原题·P95复习参考题7T1(3))当
C．第三象限 D．第四象限
3．设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
4．已知复数z在复平面内对应的点为(2，－1)，则( )
A．z的虚部为－i B．|z|＝5
C．＝－2－i D．的虚部为1
5．已知z＋＝1，z－＝i，则＝( )
A．＋i B．－i
C．－＋i D．－－i
6．在复平面内，一个正方形的三个顶点分别对应的复数是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
7．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
8．已知复数z满足＝1，则的最大值为( )
A．2 B．＋1
C．－1 D．3
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其共轭复数为，则下列结果为实数的是( )
A．z2 B．
C．(z＋1)(＋1) D．(z－)·i2 023
10．若复数z＝1－i，为z的共轭复数，则以下正确的是( )
A．z在复平面对应的点位于第二象限
B．＝
C．|z|2＝z2
D．为纯虚数
11．设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是( )
A．若|z1＋z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2
D．若|z1|＝|z2|，则＝
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．请写出一个在复平面内对应的点位于第一象限的复数：z＝________．
13．复数z＝＝________．
2i [z＝＝＝＝2i．]
14．设z的共轭复数是 ，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝________，＝________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知复数z1＝，z2＝(2＋i)m－3(1＋2i)，m∈R，i为虚数单位．
(1)若z1＋z2是纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＋z2＞0，求z1·z2的值．
16．(本小题满分15分)已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，θ∈，z1＝z2，求λ的取值范围．
17．(本小题满分15分)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z．
(1)求复数z；
(2)若z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
18．(本小题满分17分)已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z和|z|；
(2)若z1＝＋－i在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
19．(本小题满分17分)我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对(z1，z2)(z1，z2∈C)视为一个向量，记作α＝(z1，z2)．两个复向量α＝(z1，z2)，β＝(z3，z4)的线性运算定义为：mα＋nβ＝(mz1＋nz3，mz2＋nz4)(m，n∈R)；两个复向量α＝(z1，z2)，β＝(z3，z4)的积记作α·β，定义为α·β＝z1＋z2；复向量α的模定义为|α|＝；若复向量α与β满足|α·β|＝|α||β|，则称复向量α与β平行．
(1)设α＝(3，4)，β＝(1－i，i)，求α·β以及|β|；
(2)对于实数m，判断α＝(1＋i，2－i)与β＝(i，m)能否平行，若能，求出m的值，若不能，说明理由；
(3)设α＝(1＋i，2－i)，β＝(i，z)，z∈C，且复向量α与β平行，求复数z．
参考答案
1．C [若z=-1-i，则|z|==．故选C．]
2．(教材原题·P95复习参考题7T1(3)) D
3．A [因为a，b∈R，+2ai=2i，所以a+b=0，2a=2，解得a=1，b=-1．
故选A．]
4．D [因为复数z在复平面内对应的点为(2，-1)，所以z=2-i．对于A，复数z的虚部为-1，故A错误；
对于B，|z|==，故B错误；
对于C，=2+i，故C错误；
对于D，=2+i，的虚部为1，故D正确．
故选D．]
5．B [z+=1，z-=i，则2=1-i，
所以==-i．故选B．]
6．D [在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为-1+3i．故选D．]
7．C [因为==1+=1+i，所以z=1+=1-i．
故选C．]
8．B [设z=a+bi，其中a，b∈R，
则z-1+i=+i，∵=1，
∴a2+b2=1，即点为圆心，1为半径的圆，
∴=的距离，
∴+1=+1．
故选B．]
9．BCD [对于A，z2=a2-b2+2abi，不一定为实数；
对于B， =a2+b2∈R；
对于C，(z+1)(+1)=z·+z++1=a2+b2+2a+1∈R；
对于D，(z-)·i2 023=2bi2 024=2b=2b∈R．
故选BCD．]
10．BD [对于A项，∵z=1-i，复数z在复平面内对应的点为，∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故A错误；
对于B项，根据复数模的公式，==，故B正确；
对于C项，z2==-2i，而=2，故C错误；
对于D项，∵=1+i，∴====i，故D正确．
故选BD．]
11．BC [对于A，若|z1+z2|=0，则z1+z2=0，z1=-z2，所以=不正确；对于B，若z1=，则z1和z2互为共轭复数，所以=z2；对于C，设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|=|z2|，则=，z1=+，z2=+，所以z1=z2；对于D，若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|，而=1，=-1，所以=不正确．故选BC．]
12.1+i(答案不唯一) [根据复数的几何意义可知，复数a+bi在复平面内所对应的点的坐标为，
所以第一象限的点的坐标需满足a>0，b>0，
那么满足条件的其中一个复数z=1+i．]
13.2i [z====2i．]
14.2 ±i [设z=x+yi(x，y∈R)，则=x-yi，由z+=4，z·=8得，
∴|z|=2，∴===±i．]
15．解：(1)z1==m2+m2i，z2=2m-3+(m-6)i，
所以z1+z2=m2+2m-3+(m2+m-6)i，
因为z1+z2是纯虚数，所以解得m=1．
(2)由(1)知，z1+z2=m2+2m-3+(m2+m-6)i，
因为z1+z2>0，所以解得m=2，
所以z1=4+4i，z2=1-4i，
所以z1·z2=(4+4i)(1-4i)=20-12i．
16．解：由z1=z2，λ，m∈R，可得
整理，得λ=4sin2θ-3sin θ=4sin θ-2-．
∵θ∈0，，∴sin θ∈[0，1]，∴λ∈-，1．
17．解：(1)由题意，复平面内A，B，C三点的坐标分别为(1，3)，(0，2)，(2，1)，
设D的坐标为(x，y)，由于=，
∴(x-1，y-3)=(2，-1)，∴x-1=2，y-3=-1，
解得x=3，y=2，故D(3，2)，
则点D对应的复数z=3+2i．
(2)∵3+2i是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根，
∴3-2i是关于x的方程2x2-px+q=0的另一个根，
则3+2i+3-2i=，(3+2i)·(3-2i)=，
即p=12，q=26．
18．解：(1)设z=a+bi，则z+2i=a+i，
由z+2i为实数，得b+2=0，则b=-2，
由===+i为实数，得=0，则a=4，
∴z=4-2i，则==2．
(2)z1=+-i=4++i=+i，
由z1在复平面内对应的点在第四象限，得
解得-2
19．解：(1)α·β=3×(1+i)+4×(-i)=3-i，
|β|===．
(2)α·β=(1+i)×(-i)+(2-i)×m=2m+1-(m+1)i，
得|α·β|=
=，
|α|===，
|β|===，
若α与β平行，则|α·β|=|α||β|，得=×，
得2m2-6m+5=0，而Δ=36-4×2×5=-4<0，则此方程无实数根，
故不存在实数m，使得α与β平行．
(3)设z=a+bi(a，b∈R)，
α·β=(1+i)×(-i)+(2-i)×(a-bi)=(2a-b+1)-(a+2b+1)i，
得|α·β|=，
由(2)得|α|=，
|β|==
=，
若α与β平行，则|α·β|=|α||β|，
得=×，
得a2+b2-3a-b+=0，
得a-2+b-2=0，
得a=，b=，故复数z=+i．
同课章节目录
- 第六章 平面向量及其应用
- 6.1 平面向量的概念
- 6.2 平面向量的运算
- 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
- 6.4 平面向量的应用
- 第七章 复数
- 7.1 复数的概念
- 7.2 复数的四则运算
- 7.3 * 复数的三角表示
- 第八章 立体几何初步
- 8.1 基本立体图形
- 8.2 立体图形的直观图
- 8.3 简单几何体的表面积与体积
- 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 8.5 空间直线、平面的平行
- 8.6 空间直线、平面的垂直
- 第九章 统计
- 9.1 随机抽样
- 9.2 用样本估计总体
- 9.3 统计分析案例 公司员工
- 第十章 概率
- 10.1 随机事件与概率
- 10.2 事件的相互独立性
- 10.3 频率与概率