2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册课时练习4.1.1数列的概念 （含解析）

4.1.1数列的概念
一．选择题
1．(多选)下列关于数列的说法正确的是(　　)
A．按一定次序排列的一列数叫做数列
B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f (n)表示数列的通项公式
C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
D．同一个数列的任意两项均不可能相同
2．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A．1，，…
B．sin π，sin π，sin π，…，sin π，…
C．－1，－，…
D．1，2，3，…
3．下列说法正确的是(　　)
A．数列是递增数列
B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为an＝n
C．数列0，0，0，1，…是常数列
D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列
4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n2－18n＋5，则数列{an}的最小项是(　　)
A．第4项
B．第5项
C．第6项
D．第4项或第5项
5．已知数列{an}满足a1>0，对一切n∈N*，，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．不确定
6．若数列{an}的通项公式是an＝，则此数列是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．不确定
7．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为(　　)
A．1，0，1，0 B．0，1，0，1
C．，0 D．2，0，0，2
8．已知数列{an}的通项公式为an＝n×，则数列{an}中的最大项为(　　)
A．第2项 B．第3项
C．第2项或第3项 D．第4项
9．已知数列{an}的通项公式为an＝则a2a3＝(　　)
A．13 B．14
C．30 D．49
10．(多选)根据下列通项公式可以判断数列{an}是递增数列的有(　　)
A．an＝n2－3n＋1 B．an＝－
C．an＝n＋ D．an＝ln
二．填空题
11．观察下列5个图形中小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图形中有______个小圆圈．
12．已知数列{an}的通项公式为an＝an＋m(a<0，n∈N*)，且满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．
13．(传统文化)大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易》传“大衍之数五十”作出的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第20项与第21项的和为________．
三．解答题
14．根据下面的通项公式，写出数列的前5项．
(1)an＝；
(2)an＝(－1)n-1·.
15．已知数列{an}的通项公式为an＝cn＋dn-1(n∈N*)，且a2＝，求an和a10.
16．已知数列{an}：25，37，49，61，73，…；
{bn}：1，4，9，16，25，….
(1)根据前5项的特征，分别求出它们的一个通项公式．
(2)根据(1)中的两个通项公式，判断这两个数列是否有序号与值都相同的项．如果没有，请说明理由；如果有，指明它们是第几项．
4.1.1数列的概念
一．选择题
1．ABC　解析：因为一个数列的每一项的值是可以相等的，如常数列，所以D项错误，A，B，C均正确．故选ABC．
2．CD　解析：选项C，D既是无穷数列又是递增数列，而选项A是递减数列，选项B是摆动数列．故选CD．
3．A　解析：对于A，设an＝，则an＋1－an＝>0对 n∈N*恒成立，所以数列是递增数列，故A正确；
对于B，当n＝1时，a1＝1与第一项为0不符，故B错误；
对于C，数列中的项并不完全相同，故C错误；
对于D，根据数列的概念，数列与顺序有关，所以数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列，故D错误．
故选A．
4．D　解析：因为an＝2n2－18n＋5，所以设f (x)＝2x2－18x＋5，其图象的对称轴为x＝－，且开口向上．又因为n∈N*，所以{an}的最小项为第4项或第5项．故选D．
5．B　解析：因为，a1>0，则an>0，所以an＋16．A　解析：因为an＝，所以an－an－1＝>0(n≥2，n∈N*)．因此数列{an}是递增数列．故选A．
7．A　解析：a1＝＝1；
a2＝＝0；
a3＝＝1；
a4＝＝0．故选A．
8．C　解析：a1＝1×；a2＝2×；a3＝3×当n≥4时，an＋1－an＝(n＋1)·<0，所以an＋1所以数列{an}中的最大项为第2项或第3项．故选C．
9．C　解析：由an＝得a2＝22－1＝3，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝30．故选C．
10．BD　解析：对于A，因为n∈N*，所以an＋1－an＝(n＋1)2－3(n＋1)＋1－n2＋3n－1＝2n－2≥0，a2－a1＝0，所以an＝n2－3n＋1时，{an}不是递增数列；
对于B，an＋1－an＝－>0，所以an＝－时，{an}是递增数列；
对于C，an＋1－an＝n＋1＋≥0，a2－a1＝0，所以an＝n＋时，{an}不是递增数列；
对于D，an＋1－an＝ln －ln ＝ln ＝ln >0，所以an＝ln 时，{an}是递增数列．故选BD．
二．填空题
11．
n2－n＋1　解析：5个图形中小圆圈的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1，…，故第n个图形中小圆圈的个数为(n－1)· n＋1＝n2－n＋1.
12． 2　解析：由题意得
所以a2－a＝2，解得a＝2或a＝－1.
又a<0，所以a＝－1.
因为a＋m＝2，所以m＝3.
所以an＝(－1)n＋3，所以a3＝(－1)3＋3＝2.
13． 420　解析：由数列的前10项可知，数列的偶数项的一个通项公式为a2n＝2n2，
所以a20＝2×102＝200.
奇数项的一个通项公式为a2n－1＝2(n－1)n，
所以a21＝a2×11－1＝2×10×11＝220.
所以a20＋a21＝200＋220＝420.
三．解答题
14．
解：(1)当n＝1时，a1＝＝2；
当n＝2时，a2＝；
当n＝3时，a3＝＝2；
当n＝4时，a4＝；
当n＝5时，a5＝.
(2)当n＝1时，a1＝(－1)1-1×；
当n＝2时，a2＝(－1)2-1×；
当n＝3时，a3＝；
当n＝4时，a4＝(－1)4-1×；
当n＝5时，a5＝(－1)5-1×.
15．解：因为a2＝，代入通项公式中，
可得解得c＝，d＝2.
所以an＝，所以a10＝.
16．
解：(1)an＝12n＋13，bn＝n2.
(2)有序号与值都相同的项．令an＝bn，即12n＋13＝n2，解得n＝13或n＝－1(舍去)，所以两个数列有序号与值都相同的项，是两个数列的第13项．