2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册课时练习4.1.2数列的递推公式及前n项和（含解析）

4.1.2数列的递推公式及前n项和
一．选择题
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n，则a3＋a4＋a5等于(　　)
A．12 B．15
C．18 D．21
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则an等于(　　)
A．n B．n2
C．2n＋1 D．2n－1
3．已知数列{an}对任意m，n∈N*，满足am＋n＝am·an，且a3＝8，则a1＝(　　)
A．2 B．1
C．±2 D．
4．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 024＝(　　)
A．2 B．1
C．－1 D．－2
5．(多选)符合递推关系式an＝an－1(n≥2)的数列可以是(　　)
A．1，2，3，4，…
B．1，，…
C．，4，…
D．0，，…
6．(传统文化)如图所示，九连环是中国的传统民间益智玩具．把玩九连环时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程，解开九连环共需要256步．现将第n个圆环解下最少需要的步数记为an(n≤9，n∈N*)，已知a1＝1，a2＝1，按规则有an＝an－1＋3an－2＋2(n≥3)，则解下第5个圆环最少需要的步数为(　　)
A．15 B．21
C．27 D．31
7．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n.若它的第k项满足3A．4或5 B．5或6
C．6或7 D．7或8
8．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n2＋，则a6＝(　　)
A． B．
C． D．
9．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n·2n，则{an}的通项公式为(　　)
A．an＝
B．an＝
C．an＝n
D．an＝
二、填空题
10．已知斐波那契数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an.若a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a57＋a59＝ak(k∈N*)，则k＝________
11．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列：1，3，6，10，…，则该数列的一个递推公式是________．
12．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2·an(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则an＝________．
三．解答题
13．已知数列{an}的首项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝(n∈N*)给出，试写出这个数列的前5项．
14．在数列{an}中，an＝.
(1)求数列{an}的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内；
(3)区间内有没有数列{an}中的项？若有，有几项？
15．数列{an}满足a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0.
(1)写出此数列的前5项；
(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式；
(3)实数是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？
4.1.2数列的递推公式及前n项和
一．选择题
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n，则a3＋a4＋a5等于(　　)
A．12 B．15
C．18 D．21
B　解析：因为数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n，所以a3＋a4＋a5＝S5－S2＝52－2×5－(22－2×2)＝15．故选B．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则an等于(　　)
A．n B．n2
C．2n＋1 D．2n－1
D　解析：因为Sn＝n2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
当n＝1时，S1＝a1＝1也适合上式，所以an＝2n－1．故选D．
3．已知数列{an}对任意m，n∈N*，满足am＋n＝am·an，且a3＝8，则a1＝(　　)
A．2 B．1
C．±2 D．
A　解析：令m＝n＝1，则a2＝a1·a1＝.
令m＝1，n＝2，则a3＝a1·a2＝＝8，解得a1＝2．故选A．
4．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 024＝(　　)
A．2 B．1
C．－1 D．－2
A　解析：由a1＝1，a2＝2，且an＋2＝an＋1－an，可得a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－2，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝1，a8＝a7－a6＝2，…，
所以{an}为周期数列，且周期为6，故a2 024＝a6×337＋2＝a2＝2.
故选A．
5．(多选)符合递推关系式an＝an－1(n≥2)的数列可以是(　　)
A．1，2，3，4，…
B．1，，…
C．，4，…
D．0，，…
BC　解析：对于A，从第2项起，每一项与前一项的差为1，通项公式为an＝n；对于B，C，从第2项起，每一项是前一项的倍，符合递推公式an＝；对于D，不符合递推公式．故选BC．
6．(传统文化)如图所示，九连环是中国的传统民间益智玩具．把玩九连环时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程，解开九连环共需要256步．现将第n个圆环解下最少需要的步数记为an(n≤9，n∈N*)，已知a1＝1，a2＝1，按规则有an＝an－1＋3an－2＋2(n≥3)，则解下第5个圆环最少需要的步数为(　　)
A．15 B．21
C．27 D．31
D　解析：由题意可知a3＝a2＋3a1＋2＝6，a4＝a3＋3a2＋2＝11，a5＝a4＋3a3＋2＝31．故选D．
7．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n.若它的第k项满足3A．4或5 B．5或6
C．6或7 D．7或8
B　解析：当n＝1时，S1＝－4，即a1＝－4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－5n)－[(n－1)2－5(n－1)]＝2n－6.
当n＝1时，a1＝2×1－6＝－4，上式依然成立，故an＝2n－6(n∈N*)．
令3<2k－6<7，解得又k∈N*，所以k＝5或k＝6．故选B．
8．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n2＋，则a6＝(　　)
A． B．
C． D．
A　解析：由题意得an＋1－an＝n2＋，
即a2－a1＝12＋1－，
将上面5个式子两端分别相加得a6－a1＝(12＋22＋…＋52)＋，且a1＝1，所以a6＝.
故选A．
9．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n·2n，则{an}的通项公式为(　　)
A．an＝
B．an＝
C．an＝n
D．an＝
B　解析：当n＝1时，有2a1＝1×21，所以a1＝1，
当n≥2时，2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n·2n，2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n-1an－1＝(n－1)·2n-1，
两式相减得2nan＝n·2n－(n－1)·2n-1＝(n＋1)2n-1，
此时，an＝，a1＝1也满足该式，
所以{an}的通项公式为an＝.
故选B．
二、填空题
10．已知斐波那契数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an.若a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a57＋a59＝ak(k∈N*)，则k＝________
60　解析：由an＋2＝an＋1＋an，得a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a57＋a59＝a4＋a5＋a7＋a9＋…＋a57＋a59＝a6＋a7＋a9＋…＋a57＋a59＝…＝a58＋a59＝a60，因此k＝60．
11．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列：1，3，6，10，…，则该数列的一个递推公式是________．
an＝an－1＋n(n≥2)　解析：结合题图易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，所以an＝an－1＋n(n≥2)．
12．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2·an(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则an＝________．
　解析：已知Sn＝n2·an(n≥2，n∈N*)，
当n≥3时，Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，即n2an－(n－1)2an－1＝an，进而得(n2－1)an＝(n－1)2an－1．因为n≥3，所以(n＋1)an＝ ＝(n≥3)，故(n≥3)．因为Sn＝n2·an(n≥2，n∈N*)，当n＝2时，a1＋a2＝4a2，又a1＝1，解得a2＝，所以(n≥3)．所以an＝(n≥3)．又a1＝1＝满足上式，所以an＝．
三．解答题
13．已知数列{an}的首项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝(n∈N*)给出，试写出这个数列的前5项．
解：因为a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，
所以a2＝，
a3＝，
a4＝，
a5＝.
故该数列的前5项分别为1，.
14．在数列{an}中，an＝.
(1)求数列{an}的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内；
(3)区间内有没有数列{an}中的项？若有，有几项？
(1)解：a7＝.
(2)证明：因为an＝，
所以0(3)解：区间内有数列{an}中的项．
令<<，则所以n＝1，即在区间内有且只有1项数列{an}中的项，为a1.
15．数列{an}满足a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0.
(1)写出此数列的前5项；
(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式；
(3)实数是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？
解：(1)由已知可得a1＝1，a2＝.
(2)由(1)可得数列{an}中的每一项的分子均为1，分母依次为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为an＝.
(3)实数是这个数列中的一项．令，解得n＝50，故是这个数列的第50项．