2025-2026学年苏科版数学必修第二册单元测试：第九章　平面向量（含解析）

第九章　平面向量
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是．
A．3 B．2
C．1 D．0
2．已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3．如图，在△ABC中，AD⊥AB＝1，则＝(　　)
A．2 B．
C． D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为线段EF上一点，且满足则实数m＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
5．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)
A． B．
C． D．
6．已知在△ABC中，E为AC上一点，且P为BE上一点，且满足(m>0，n>0)，则的最小值为(　　)
A．12 B．9
C．5 D．3
7．如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC＝2CB，若存在实数m，n，使得则m－n的值为(　　)
A．－ B．0
C． D．
8．在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，有以下结论：①存在满足条件的△ABC，使得＝0；②存在满足条件的△ABC，使得∥．下列说法正确的是(　　)
A．①成立，②成立
B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立
D．①不成立，②不成立
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．△ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足＝3a＋b，则下列结论中正确的有(　　)
A．a为单位向量　 B．b∥
C．a⊥b　　　　　　　　　 D．⊥
10．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　)
A．若则点M是边BC的中点
B．若则点M在线段BC的延长线上
C．若则点M是△ABC的重心
D．若且x＋y＝则△MBC的面积是△ABC面积的
11．定义一种向量运算“ ”：
a b＝(a，b为任意向量)
则(　　)
A．a b0
B．a (－b)＝a b
C．(a＋b) c＝(a c)＋(b c)
D．当e是单位向量时，a e|a|＋1
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，则(a＋b)·c＝____________；a·b＝____________．
13．(2025·天津卷)在△ABC中，D为AB中点＝b，则＝________________(用a，b表示)；若＝5，AE⊥CB，则＝________________．
14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，已知平面向量a＝(2，3)，b＝(－2，4)，c＝(1，－1)．
(1)求证：(a－b)⊥(a－c)；
(2)若a＋λb与c是共线向量，求实数λ的值．
16．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足·＝0，求t的值．
17．(本小题满分15分)如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点．
(1)若求x，y的值；
(2)若＝4＝2，且与的夹角为60°时，求的值．
18．(本小题满分17分)在△ABC中，已知A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，AD⊥BC于点D．
(1)求点D的坐标；
(2)求证：AD2＝BD·DC．
19．(本小题满分17分)已知边长为1的正三角形ABC，点E，F分别是边AB，AC上的点，若其中m，n∈(0，1)，设EF的中点为M，BC的中点为N．
(1)若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
(2)若m＋n＝1，求的最小值．
参考答案
1．D　[根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．]
2．D　[因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2．
故选D．]
3．D　[设＝x，则＝x，
＝·
＝cos ∠ADB＝．]
4．A　[由题意，得，且存在实数λ使得＋(1－λ)＝λ＋(1－λ)＝＋(1－λ)．又，所以解得m＝．故选A．]
5．D　[设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x，2＋y)，a＋b＝(3，－1)，
由已知可得
解得即c＝．]
6．B　[∵，即，∴．又P为BE上一点，不妨设(0<λ<1)，
∴＋λ＝(1－λ)，即有(1－λ)．∵不共线，∴∴m＋4n＝1－λ＋λ＝1，(m＋4n)＝5＋＝9，当且仅当，即m＝时等号成立．故选B．]
7．A　[，所以m－n＝－．故选A．]
8．B　[如图，以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．不妨设A(2x，2y)(y≠0)，B(－1，0)，C(1，0)，则D(0，0)，E(x，y)，＝(－1－2x，－2y)，＝(x－1，y)，若＝0，则(－1－2x)(x－1)－2y2＝0，∴(－2x－1)(x－1)＝2y2，满足条件的x，y明显存在，∴①成立；记AB的中点为F，则，记CF与AD的交点为G，则G为△ABC的重心，∴G为AD的三等分点，又E为AD的中点，与不平行，故②不成立．故选B．
]
9．ABD　[对于A，∵＝3a，∴a＝，则＝1，A正确；
对于B，∵＋b，∴b＝，∴b，B正确；
对于C，a·b＝×32×cos ≠0，∴a与b不垂直，C错误；对于D，·＝＝0，∴(6a＋b)⊥，D正确．故选ABD．]
10．ACD　[A项， ，即，则点M是边BC的中点，所以A正确；
B项， ，即，则点M在线段CB的延长线上，所以B错误；
C项，如图，设BC的中点为D，
则，由重心性质可知C正确；
D项，，且x＋y＝ 2，2x＋2y＝1，设，所以，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，
所以△MBC的面积是△ABC面积的，所以D正确．]
11．AD　[当a，b共线时，a b＝|a－b|0；当0<〈a，b〉时，a b＝a·b0；当〈a，b〉为钝角时，a b＝－a·b0，故A正确．当a，b均为非零向量且共线时，a (－b)＝|a＋b|≠a b＝|a－b|，故B错误．当a＝b＝c≠0时，(a＋b) c＝2c c＝|c|≠0，(a c)＋(b c)＝0，故C错误．若e是单位向量，当a与e不共线时，则a e＜|a|×1<|a|＋1；当a与e共线时，则a e＝|a－e||a|＋|e|＝|a|＋1，故D正确．故选AD．]
12．0　3　[计算可得(a＋b)·c＝(4，0)·(0，1)＝0，a·b＝4－1＝3．]
13．　－15　[＝．
法一：∵＝5，∴25＝，即900＝a2＋16b2＋8a·b　①，易得＝b－a，∵AE⊥CB，∴＝0，即·(b－a)＝0，得4b2－a2－3a·b＝0　②，由①②得2 700＝80b2－5a2，∴16b2－a2＝540，
∴(a2－8b2＋2a·b)＝(a2－16b2)＝×(－540)＝－15．
法二：如图，延长AE交BC于点O，则AO⊥BC，以OC，OA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设E(0，h)，B(n，0)，C(m，0)，则A(0，h＋5)，D，∴＝(－m，h)，∵，∴＝3h，即n＝－4m，h＝1，
∴＝(－3m，3)，又＝(0，1)－(0，6)＝(0，－5)，∴＝－15．
法三：－b，从而(a＋4b)＝[6(a－b)－5(a－2b)]＝，则，故·＝－2＝－15．]
14．8　[∵ab，
∴2×(－2)－(－1)x＝0，解得x＝4，
∴b＝(4，－2)，
∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4，
∴＝(y－x，x－y)＝(－8，8)，
∴＝8．]
15．解：(1)证明：因为a＝(2，3)，b＝(－2，4)，c＝(1，－1)，
所以a－b＝(4，－1)，a－c＝(1，4)．
从而(a－b)·(a－c)＝4×1＋(－1)×4＝0，
且(a－b)与(a－c)均为非零向量，
所以(a－b)⊥(a－c)．
(2)因为a＝(2，3)，b＝(－2，4)，
所以a＋λb＝(2－2λ，3＋4λ)，
又c＝(1，－1)，且a＋λb与c是共线向量，
所以(2－2λ)×(－1)－(3＋4λ)×1＝0，
解得λ＝－．
16．解：(1)由题设，知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＝(2，6)，＝(4，4)．
所以＝2＝4．故所求的两条对角线长分别为4．
(2)由题设，知＝(－2，－1)，＝(3＋2t，5＋t)．
由·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－．
17．解：(1)∵，∴，即2，∴，即x＝．
(2)∵，
∴，即4，
∴，∴x＝．
∴·
＝
＝
＝－9．
18．解：(1)设D点坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y－4)，＝(5，5)，＝(x＋1，y＋2)．
因为AD⊥BC，所以＝0，
即5(x－2)＋5(y－4)＝0．
所以x＋y＝6．①
又因为B，D，C三点共线，
所以，
所以5(x＋1)－5(y＋2)＝0，
所以x－y＝1．②
联立①②，解得
所以点D的坐标为．
(2)证明：因为，
，
所以2＝，
＝，
＝，
从而＝．
故2＝，即AD2＝BD·DC．
19．解：(1)证明：由A，M，N三点共线，得共线，所以存在λ∈R，使得，
即＝λ，
所以m，
根据平面向量基本定理可得m＝n＝λ，
所以m＝n．
(2)因为－＝(1－m)(1－n)，m＋n＝1，
所以(1－m)．
因为△ABC是边长为1的正三角形，
所以＝＝1，
＝，
所以2＝(1－m)2(1－m)m(1－m)2＋m＝，
因为m∈(0，1)，
所以当m＝时，．
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