第1讲 三角恒等变换与平面向量
（时间：45分钟，满分：78分）
一、单项选择题（每小题5分，共35分）
1.设向量a＝（x＋1，x），b＝（x，2），则（ ）
A.x＝－3是a⊥b的必要条件
B.x＝－3是a∥b的必要条件
C.x＝0是a⊥b的充分条件
D.x＝－1＋是a∥b的充分条件
2.（2025·湖北武汉四调）若tan（α＋）＝7，则cos 2α的值为（ ）
A. B. C. D.
3.（2025·全国Ⅰ卷6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
A.轻风 B.微风
C.和风 D.劲风
4.（2025·广东深圳二模）若cos（α＋）＝，α∈（0，），则sin α＝（ ）
A. B.
C. D.
5.（2025·山东烟台一模）在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°，＝3，则｜｜＝（ ）
A. B.
C. D.2
6.（2025·广东广州一模）在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，＝4，点F是线段DE的中点，若＝λ＋μ，则μ＝（ ）
A. B.1
C. D.
7.（2025·浙江杭州一模）已知－＝4，则λ＝（ ）
A.1 B.
C. D.2
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
8.已知α∈（，π），且cos2α－cos 2α＝，则（ ）
A.tan α＝－ B.sin 2α＝
C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－
9.已知a，b是两个不共线的向量，且｜a｜＝，｜b｜＝1，则下列结论中正确的是（ ）
A.｜a－b｜的取值范围是（－1，＋1）
B.－≤a·b≤
C.a在b方向上的投影向量可能为0
D.a＋b与a－b的夹角的最大值为
10.（2025·海南海口一模）在△ABC中，若tan＝sin C，则下列结论正确的是（ ）
A.＝1
B.1＜sin A＋sin B≤
C.sin2A＋cos2B＝1
D.cos2A＋cos2B＝sin2C
三、填空题（每小题5分，共15分）
11.（2025·浙江台州二模）已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，则cos（α－β）＝ .
12.若锐角α，β满足sin 2αsin 2β＝3（1＋cos 2α）·（1－cos 2β），则tan（α－β）的最大值是 .
13.（2025·上海虹口二模）已知平面向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝4，a·b＝4，若平面向量c满足｜c－b｜＝1，则｜c－a｜的最大值为 .
☆高考新风向（每小题5分，共10分）
14.〔创新考法〕我国古代数学家一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ≤80°）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，第二次的“晷影长”是“表高”的3倍，且cos 2α＋sin 2α＝－，则tan（α－β）的值为（ ）
A.－ B.
C.4 D.13
15.〔创新交汇〕设＝（1，0），＝（0，2），O为坐标原点，对满足条件｜－－｜＝2｜－｜的点C（x，y），｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则实数m的取值范围为（ ）
A.（－∞，－7）
B.[13，＋∞）
C.（13，＋∞）
D.（－∞，－7）∪[13，＋∞）
第1讲 三角恒等变换与平面向量
1.C a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确；a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B、D错误.
2.A 由tan（α＋）＝7，可得＝7，即＝7，解得tan α＝，所以cos 2α＝＝＝＝.故选A.
3.A 真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，如图，｜｜＝2∈（1.6，3.3），故选A.
4.A 因为α∈（0，），则＜α＋＜，所以sin（α＋）＝，因此sin α＝sin［（α＋）－］＝sin（α＋）cos－cos（α＋）sin＝×－×＝.故选A.
5.C 在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°，＝3，所以＝＋，则｜｜＝
＝＝＝.故选C.
6.C 已知点F是线段DE的中点，根据向量加法的平行四边形法则，可得＝（＋），因为＝4，所以＝，在平行四边形ABCD中，＝，那么＝，因为＝＋，所以＝＋，将其代入＝（＋）中，可得＝（＋＋）＝（＋）＝＋，所以μ＝.故选C.
7.C 由－＝4，可得λ＝（－4）cos 10°
＝
＝
＝
＝＝，故选C.
8.AC cos2α－cos 2α＝cos2α－（cos2α－sin2α）＝sin2α＝，因为α∈（，π），所以sin α＝，cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝，tan 2α＝＝－.故选A、C.
9.ACD 对A，由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜以及a，b不共线可知，－1＜｜a－b｜＜＋1，故A正确；对B，由于a，b不共线，所以－1＜cos〈a，b〉＜1，又a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉，因此－＜a·b＜，故B错误；对C，当a⊥b时，a在b方向上的投影向量为·b＝0，故C正确；对D，设a＋b与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝
＝，由于－＜a·b＜，所以0≤（a·b）2＜3，∈［，1），因为θ∈[0，π]，所以θ∈（0，］，即a＋b与a－b的夹角的最大值为，故D正确.故选A、C、D.
10.BD 由tan＝sin C tan（90°－）＝＝2sincos，因为0°＜＜90°，所以cos≠0，所以1＝2sin2 1－2sin2＝0 cos C＝0 C＝90°，所以tan B＝tan（90°－A）＝，＝tan2A不一定为1，A错；因为sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin（A＋45°），0°＜A＜90° 45°＜A＋45°＜135°，所以＜sin（A＋45°）≤1 1＜sin（A＋45°） ≤，从而有1＜sin A＋sin B≤，B正确；又cos B＝cos（90°－A）＝sin A，所以sin2A＋cos2B＝2sin2A不一定等于1，C错；cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C，D正确.故选B、D.
11.－ 解析：由cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，平方可得，cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝，sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＝，两式相加得：2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝ cos（α－β）＝－.
12. 解析：因为sin 2αsin 2β＝3（1＋cos 2α）（1－cos 2β），所以4sin αcos αsin β·cos β＝12cos2αsin2β.因为α，β是锐角，所以tan α＝3tan β，所以tan（α－β）＝＝＝.因为tan β＞0，所以＋3tan β≥2，当且仅当tan β＝时取等号，所以tan（α－β）的最大值是.
13.＋1 解析：设＝a，＝b，＝c，因为｜a｜＝3，｜b｜＝4，a·b＝4，所以cos∠AOB＝＝，故sin∠AOB＝，如图，以点O为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，则B（4，0），A（1，2），设C（x，y），由｜c－b｜＝1，得（x－4）2＋y2＝1，所以点C的轨迹是以点B为圆心，1为半径的圆，｜c－a｜＝｜｜表示A，C两点间的距离，所以｜c－a｜的最大值为｜｜＋1＝＋1＝＋1.
14.B 由已知得tan β＝3，易得cos 2α＝＝，sin 2α＝＝，所以cos 2α＋sin 2α＝＝－，解得tan α＝4或tan α＝－（舍去），故tan（α－β）＝＝.故选B.
15.B 由｜－－｜＝2｜－｜得｜（x－1，y－2）｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝20，表示以（1，2）为圆心，2为半径的圆.｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则表示圆在两平行直线x－2y＋m＝0和x－2y－7＝0之间.则由题意知≥2，解得m≤－7或m≥13，结合图形（图略）知m≥13，故选B.
3 / 3第1讲 三角恒等变换与平面向量
【备考指南】 三角函数的化简与求值、平面向量的运算是高考命题的热点，三角恒等变换是利用三角恒等式（两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式）进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；平面向量主要考查向量模、夹角、数量积、参数的最值或范围，多以选择题、填空题的形式考查.
1.asin α＋bcos α＝·sin（α＋φ），其中tan φ＝.
1.已知函数f（x）＝sin x－cos x，则f（）＝（ ）
A. B.
C. D.
2.sin（α±β）＝sin αcos β±cos αsin β；
cos（α±β）＝cos αcos β sin αsin β；
tan（α±β）＝.
2.〔多选〕下列等式成立的是（ ）
A.cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝
B.sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β
C.tan 255°＝2＋
D.若tan（α＋）＝，则sin αcos α＝
3.sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3.〔多选〕下列各式中，值为的是（ ）
A. B.tan 15°cos215° C.cos2－sin2 D.
4.已知＝λ＋μ（λ，μ为常数），则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
5.设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）：
（1）若b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0；
（2）若a≠0，b≠0，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
4.（2025·山东济宁模拟）如图，在△ABC中，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋（m∈R）.则m＝（ ）
A. B. C.1 D.2
5.（2025·全国Ⅱ卷12题）已知平面向量a＝（x，1），b＝（x－1，2x），若a⊥（a－b），则｜a｜＝ .
考点一 三角恒等变换
【通性通法】 三角恒等变换的常用技巧
“化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin2，cos2时，常逆用二倍角的余弦公式降幂.
【例1】 （1）（2025·全国Ⅱ卷8题）已知0＜α＜π，cos＝，则sin（α－）＝（ ）
A. B.
C. D.
（2）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin（α＋β）＝ .
【常用结论】 半角公式
sin＝±，
cos＝±，
tan＝＝.
【训练1】 （1）（2025·河南九师联盟二模）已知α是第三象限角，cos（α＋）＝，则＝（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
【常用结论】 常用拆角、拼角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝－＝（α＋2β）－（α＋β）等.
（2）（2025·浙江宁波一模）已知角α，β满足tan α＝，2sin β＝cos（α＋β）sin α，则tan β＝（ ）
A. B.
C. D.
【易错提醒】 注意角的范围.
（3）已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则cos＝ .
考点二 平面向量
【通性通法】 数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.
提醒 在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况.
【例2】 （1）（2022·新高考Ⅱ卷4题）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（ ）
A.－6 B.－5
C.5 D.6
（2）（2025·天津高考14题）△ABC中，D为AB中点，＝，＝a，＝b，则＝ （用a，b表示）；若｜｜＝5，AE⊥CB，则·＝ .
【训练2】 （1）已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝（ ）
A. B.
C. D.
【常用结论】 向量a在向量b上的投影向量为·.
【通性通法】 数量积的最值（范围）问题的求解思路
（1）形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值（范围）问题；
（2）数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题.
（2）（2025·浙江稽阳联谊学校二模）若非零向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜，且向量b在向量a上的投影向量是－a，则向量a与b的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
（3）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是（ ）
A.[－5，3] B.[－3，5]
C.[－6，4] D.[－4，6]
第1讲 三角恒等变换与平面向量
【基础·回扣】
1.C 2.ABC 3.AD 4.A 5.
【典例·讲解】
【例1】 （1）D cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0＜α＜π，所以sin α＝，所以sin（α－）＝（sin α－cos α）＝×＝.
（2）－ 解析：易得tan（α＋β）＝＝＝－2.又tan α＋tan β＝＋＝＝4，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得cos α＞0，cos β＜0，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β＜0.由tan（α＋β）＝－2，结合sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，得sin（α＋β）＝－.
【训练1】 （1）A 法一 因为cos（＋α）＝－sin α＝，所以sin α＝－，因为α是第三象限角，所以cos α＝－，则＝＝＝＝－2.
法二 由法一知sin α＝－，cos α＝－，则tan＝＝－3，所以＝＝－2.
（2）B 因为2sin β＝cos（α＋β）sin α，即2sin[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）sin α，所以2sin（α＋β）cos α－2cos（α＋β）sin α＝cos（α＋β）sin α，整理得2sin（α＋β）cos α＝3cos（α＋β）sin α，变形得tan（α＋β）＝tan α＝，所以tan β＝tan[（α＋β）－α]＝＝.
（3） 解析：∵α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，∴cos α＝－，cos β＝，∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝.又∵＜α＜π，0＜β＜，∴0＜α－β＜π，∴0＜＜.∴cos＝＝＝.
【例2】 （1）C 由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
（2）a＋b －15 解析：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b.
法一 ∵｜｜＝5，∴25＝（a＋b）2，即900＝a2＋16b2＋8a·b ①，易得＝b－a，∵⊥，∴·＝0，即（a＋b）·（b－a）＝0，得4b2－a2－3a·b＝0 ②，由①②得2 700＝80b2－5a2，∴16b2－a2＝540，∴·＝（a＋b）·（a－b）＝（a2－8b2＋2a·b）＝［a2－8b2＋（4b2－a2）］＝（a2－16b2）＝×（－540）＝－15.
法二 ＝－＝a－b，＝－＝－＝a－b，从而＝a＋b＝（a＋4b）＝[6（a－b）－5（a－2b）]＝－，则＝（－），故·＝·（－）＝－｜｜2＝－15.
【训练2】 （1）D 因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝.
（2）D ∵b在a上的投影向量为·a＝－a，∴＝－，∴a·b＝－｜a｜2，则cos＜a，b＞＝＝＝－，由于＜a，b＞∈[0，π]，∴＜a，b＞＝.
（3）D 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系（图略），则A（3，0），B（0，4），设P（x，y），则x2＋y2＝1，＝（3－x，－y），＝（－x，4－y），所以·＝x2－3x＋y2－4y＝（x－）2＋（y－2）2－，又（x－）2＋（y－2）2表示圆x2＋y2＝1上一点到点（，2）距离的平方，圆心（0，0）到点（，2）的距离为，所以·∈［（－1）2－，（＋1）2－］，即·∈[－4，6]，故选D.
3 / 3(共56张PPT)
第1讲
三角恒等变换与平面向量
备考指南
三角函数的化简与求值、平面向量的运算是高考命题的热点，三角恒等变换是利用三角恒等式（两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式）进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；平面向量主要考查向量模、夹角、数量积、参数的最值或范围，多以选择题、填空题的形式考查.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. 已知函数f（x）＝ sin x－ cos x，则f（ ）＝（ ）
A. B.
C. D.
√
a sin α＋b cos α＝ ·
sin （α＋φ），其中tan φ＝ .
解析： ∵函数f（x）＝ sin x－ cos x＝2（ sin x－ cos x）＝2 sin
（x－ ），∴f（ ）＝2 sin （ － ）＝2 sin ＝ .
2. 〔多选〕下列等式成立的是（ ）
A. cos 57° cos 3°－ sin 57° sin 3°＝
B. sin （α＋β）＋ sin （α－β）＝2 sin α cos β
C. tan 255°＝2＋
D. 若tan（α＋ ）＝ ，则 sin α cos α＝
√
√
√
sin （α±β）＝ sin α cos β± cos α sin β；
cos （α±β）＝ cos α cos β sin α sin β；
tan（α±β）＝ .
解析： 对于A， cos 57° cos 3°－ sin 57° sin 3°＝ cos （57°＋
3°）＝ cos 60°＝ ，故A正确；对于B， sin （α＋β）＋ sin （α－
β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＋ sin α cos β－ cos α sin β＝2 sin α
cos β，故B正确；对于C，tan 255°＝tan（180°＋75°）＝tan 75°＝
＝2＋ ，故C正确；对于D，由tan（α＋ ）＝ 得
＝ ，解得tan α＝ ，所以 sin α· cos α＝ ＝
＝ ，故D错误.故选A、B、C.
3. 〔多选〕下列各式中，值为 的是（ ）
A. B. tan 15° cos 215°
C. cos 2 － sin 2 D.
√
√
sin 2α＝2 sin α cos α； cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α；tan 2α＝ .
解析： ∵ ＝ tan 45°＝ ，tan 15° cos 215°＝ sin 15°
cos 15°＝ sin 30°＝ ， cos 2 － sin 2 ＝ cos ＝ ， ＝
sin 30°＝ ，故选A、D.
4. （2025·山东济宁模拟）如图，在△ABC中， ＝2 ，P为CD上一点，且满足 ＝m ＋ （m∈R）.则m＝（ ）
A. B.
C. 1 D. 2
√
已知 ＝λ ＋μ （λ，μ为常数），则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
解析： 由 ＝2 ，可得 ＝ ，即 ＝m ＋ ＝m
＋ .因为C，P，D三点共线，所以m＋ ＝1，m＝ .
5. （2025·全国Ⅱ卷12题）已知平面向量a＝（x，1），b＝（x－1，
2x），若a⊥（a－b），则｜a｜＝ .
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）：
（1）若b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0；
（2）若a≠0，b≠0，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
解析：a－b＝（1，1－2x），根据a⊥（a－b），得a·（a－b）＝x＋
1－2x＝1－x＝0，所以x＝1，所以｜a｜＝ .
典例·讲解
典例精析 强技提能
考点一 三角恒等变换
【例1】 （1）（2025·全国Ⅱ卷8题）已知0＜α＜π， cos ＝ ，则 sin
（α－ ）＝（ ）
A. B.
C. D.
√
【通性通法】 三角恒等变换的常用技巧“化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及 sin 2 ， cos 2 时，常逆用二倍角的余弦公式降幂.
解析： cos α＝2 cos 2 －1＝2× －1＝－ ，因为0＜α＜π，所以 sin
α＝ ，所以 sin （α－ ）＝ （ sin α－ cos α）＝ × ＝ .
（2）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，
tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝ ＋1，则 sin （α＋β）＝ － .
解析：易得tan（α＋β）＝ ＝ ＝－2 .又tan α＋tan β
＝ ＋ ＝ ＝4，所以 sin （α＋β）＝4 cos α cos
β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得 cos α＞0， cos β＜0，所以
sin （α＋β）＝4 cos α cos β＜0.由tan（α＋β）＝－2 ，结合 sin 2
（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1，得 sin （α＋β）＝－ .
－
【训练1】 （1）（2025·河南九师联盟二模）已知α是第三象限角， cos
（α＋ ）＝ ，则 ＝（ ）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
√
【常用结论】 半角公式
sin ＝± ，
cos ＝± ，
tan ＝ ＝ .
解析： 法一 因为 cos （ ＋α）＝－ sin α＝ ，所以 sin α＝－ ，
因为α是第三象限角，所以 cos α＝－ ，则 ＝ ＝
＝ ＝－2.
法二 由法一知 sin α＝－ ， cos α＝－ ，则tan ＝ ＝－3，所以
＝ ＝－2.
（2）（2025·浙江宁波一模）已知角α，β满足tan α＝ ，2 sin β＝ cos
（α＋β） sin α，则tan β＝（ ）
A. B.
C. D.
√
【常用结论】 常用拆角、拼角技巧：
2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝ － ＝（α＋2β）－（α＋β）等.
解析： 因为2 sin β＝ cos （α＋β） sin α，即2 sin [（α＋β）－
α]＝ cos （α＋β） sin α，所以2 sin （α＋β） cos α－2 cos （α＋
β） sin α＝ cos （α＋β） sin α，整理得2 sin （α＋β） cos α＝3 cos
（α＋β） sin α，变形得tan（α＋β）＝ tan α＝ ，所以tan β＝
tan[（α＋β）－α]＝ ＝ .
（3）已知α为钝角，β为锐角，且 sin α＝ ， sin β＝ ，则 cos
＝ .
【易错提醒】 注意角的范围.
解析：∵α为钝角，β为锐角， sin α＝ ， sin β＝ ，∴ cos α＝－
， cos β＝ ，∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝－
× ＋ × ＝ .又∵ ＜α＜π，0＜β＜ ，∴0＜α－β＜π，∴0＜
＜ .∴ cos ＝ ＝ ＝ .
考点二 平面向量
【例2】 （1）（2022·新高考Ⅱ卷4题）已知向量a＝（3，4），b＝
（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（ ）
A. －6 B. －5
C. 5 D. 6
√
【通性通法】 数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.
提醒 在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况.
解析： 由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）
＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜
b，c＞，所以 cos ＜a，c＞＝ cos ＜b，c＞，即 ＝ ，
即 ＝3＋t，解得t＝5，故选C.
（2）（2025·天津高考14题）△ABC中，D为AB中点， ＝ ，
＝a， ＝b，则 ＝ （用a，b表示）；若｜ ｜＝5，
AE⊥CB，则 · ＝ .
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋
＝ a＋ b.
a＋ b
－15
法一 ∵｜ ｜＝5，∴25＝（ a＋ b）2，即900＝a2＋16b2＋8a·b
①，易得 ＝b－a，∵ ⊥ ，∴ · ＝0，即（ a＋ b）·（b
－a）＝0，得4b2－a2－3a·b＝0 ②，由①②得2 700＝80b2－5a2，
∴16b2－a2＝540，∴ · ＝（ a＋ b）·（ a－b）＝ （a2－8b2
＋2a·b）＝ ［a2－8b2＋ （4b2－a2）］＝ （a2－16b2）＝ ×（－
540）＝－15.
法二 ＝ － ＝a－b， ＝ － ＝ － ＝ a－b，
从而 ＝ a＋ b＝ （a＋4b）＝ [6（a－b）－5（a－2b）]＝
－ ，则 ＝ （ － ），故 · ＝ ·（ － ）＝－
｜ ｜2＝－15.
【训练2】 （1）已知向量a，b满足｜a－b｜＝ ，｜a＋b｜＝｜2a
－b｜，则｜b｜＝（ ）
A. B.
C. D.
√
解析： 因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b
＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝ ，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，
所以｜b｜＝ .
（2）（2025·浙江稽阳联谊学校二模）若非零向量a，b满足｜a｜＝2｜
b｜，且向量b在向量a上的投影向量是－ a，则向量a与b的夹角为
（ ）
A. B.
C. D.
√
【常用结论】 向量a在向量b上的投影
向量为 · .
解析： ∵b在a上的投影向量为 ·a＝－ a，∴ ＝－
，∴a·b＝－ ｜a｜2，则 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝
－ ，由于＜a，b＞∈[0，π]，∴＜a，b＞＝ .
（3）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，C＝90°.P为△ABC所在平面内的
动点，且PC＝1，则 · 的取值范围是（ ）
A. [－5，3] B. [－3，5]
C. [－6，4] D. [－4，6]
√
【通性通法】 数量积的最值（范围）问题的求解思路
（1）形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值（范围）问题；
（2）数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题.
解析： 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面
直角坐标系（图略），则A（3，0），B（0，4），设P（x，y），则x2
＋y2＝1， ＝（3－x，－y）， ＝（－x，4－y），所以 · ＝
x2－3x＋y2－4y＝（x－ ）2＋（y－2）2－ ，又（x－ ）2＋（y－2）
2表示圆x2＋y2＝1上一点到点（ ，2）距离的平方，圆心（0，0）到点
（ ，2）的距离为 ，所以 · ∈［（ －1）2－ ，（ ＋1）2－
］，即 · ∈[－4，6]，故选D.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：45分钟，满分：78分）
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一、单项选择题（每小题5分，共35分）
1. 设向量a＝（x＋1，x），b＝（x，2），则（ ）
A. x＝－3是a⊥b的必要条件
B. x＝－3是a∥b的必要条件
C. x＝0是a⊥b的充分条件
D. x＝－1＋ 是a∥b的充分条件
√
解析： a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b
的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确；a∥b 2x＋2
＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1± ，故B、D错误.
2. （2025·湖北武汉四调）若tan（α＋ ）＝7，则 cos 2α的值为（ ）
A. B.
C. D.
√
解析： 由tan（α＋ ）＝7，可得 ＝7，即 ＝7，解得
tan α＝ ，所以 cos 2α＝ ＝ ＝ ＝ .故选A.
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3. （2025·全国Ⅰ卷6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小
与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真
风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的
向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名
称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对
应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：
m/s），则该时刻的真风为（ ）
A. 轻风 B. 微风
C. 和风 D. 劲风
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解析： 真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝ ，如图，｜ ｜＝2 ∈（1.6，3.3），故选A.
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4. （2025·广东深圳二模）若 cos （α＋ ）＝ ，α∈（0， ），则 sin
α＝（ ）
A. B.
C. D.
√
解析： 因为α∈（0， ），则 ＜α＋ ＜ ，所以 sin （α＋ ）＝
，因此 sin α＝ sin ［（α＋ ）－ ］＝ sin （α＋ ） cos － cos （α
＋ ） sin ＝ × － × ＝ .故选A.
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5. （2025·山东烟台一模）在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°，
＝3 ，则｜ ｜＝（ ）
A. B.
C. D. 2
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解析： 在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°， ＝3 ，所
以 ＝ ＋ ，则｜ ｜＝ ＝
＝
＝ .故选C.
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6. （2025·广东广州一模）在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，
＝4 ，点F是线段DE的中点，若 ＝λ ＋μ ，则μ＝
（ ）
A. B. 1
C. D.
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解析： 已知点F是线段DE的中点，根据向量加法的平行四边形法则，
可得 ＝ （ ＋ ），因为 ＝4 ，所以 ＝ ，在平行四
边形ABCD中， ＝ ，那么 ＝ ，因为 ＝ ＋ ，所以
＝ ＋ ，将其代入 ＝ （ ＋ ）中，可得 ＝ （
＋ ＋ ）＝ （ ＋ ）＝ ＋ ，所以μ＝ .故选C.
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7. （2025·浙江杭州一模）已知 － ＝4，则λ＝（ ）
A. 1 B.
C. D. 2
√
解析： 由 － ＝4，可得λ＝（ －4） cos 10°＝
＝ ＝
＝ ＝ ，故选C.
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二、多项选择题（每小题6分，共18分）
8. 已知α∈（ ，π），且 cos 2α－ cos 2α＝ ，则（ ）
A. tan α＝－ B. sin 2α＝
C. cos 2α＝ D. tan 2α＝－
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解析： cos 2α－ cos 2α＝ cos 2α－（ cos 2α－ sin 2α）＝ sin 2α＝
，因为α∈（ ，π），所以 sin α＝ ， cos α＝－ ＝－
，所以tan α＝ ＝－ ， sin 2α＝2 sin α cos α＝－ ， cos 2α＝1
－2 sin 2α＝ ，tan 2α＝ ＝－ .故选A、C.
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9. 已知a，b是两个不共线的向量，且｜a｜＝ ，｜b｜＝1，则下列结
论中正确的是（ ）
A. ｜a－b｜的取值范围是（ －1， ＋1）
B. － ≤a·b≤
C. a在b方向上的投影向量可能为0
D. a＋b与a－b的夹角的最大值为
√
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解析： 对A，由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜以
及a，b不共线可知， －1＜｜a－b｜＜ ＋1，故A正确；对B，由
于a，b不共线，所以－1＜ cos 〈a，b〉＜1，又a·b＝｜a｜｜b｜ cos
〈a，b〉＝ cos 〈a，b〉，因此－ ＜a·b＜ ，故B错误；对C，
当a⊥b时，a在b方向上的投影向量为 ·b＝0，故C正确；对D，设a＋b与a－b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝
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＝ ＝ ，由于－ ＜a·b＜ ，所以0≤（a·b）2＜3， ∈［ ，1），因为θ∈[0，π]，所以θ∈（0， ］，即a＋b与a－b的夹角的最大值为 ，故D正确.故选A、C、D.
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10. （2025·海南海口一模）在△ABC中，若tan ＝ sin C，则下列结论
正确的是（ ）
A. ＝1 B. 1＜ sin A＋ sin B≤
C. sin 2A＋ cos 2B＝1 D. cos 2A＋ cos 2B＝ sin 2C
√
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解析： 由tan ＝ sin C tan（90°－ ）＝ ＝2 sin cos ，因
为0°＜ ＜90°，所以 cos ≠0，所以1＝2 sin 2 1－2 sin 2 ＝0 cos C
＝0 C＝90°，所以tan B＝tan（90°－A）＝ ， ＝tan2A不一定
为1，A错；因为 sin A＋ sin B＝ sin A＋ cos A＝ sin （A＋45°），0°
＜A＜90° 45°＜A＋45°＜135°，所以 ＜ sin （A＋45°）≤1 1
＜ sin （A＋45°） ≤ ，从而有1＜ sin A＋ sin B≤ ，B正确；
又 cos B＝ cos （90°－A）＝ sin A，所以 sin 2A＋ cos 2B＝2 sin 2A不一
定等于1，C错； cos 2A＋ cos 2B＝ cos 2A＋ sin 2A＝1＝ sin 2C，D正确.
故选B、D.
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三、填空题（每小题5分，共15分）
11. （2025·浙江台州二模）已知 cos α＋ cos β＝ ， sin α＋ sin β＝ ，
则 cos （α－β）＝ .
解析：由 cos α＋ cos β＝ ， sin α＋ sin β＝ ，平方可得， cos 2α＋2
cos α cos β＋ cos 2β＝ ， sin 2α＋2 sin α sin β＋ sin 2β＝ ，两式相
加得：2＋2 cos α cos β＋2 sin α sin β＝ cos （α－β）＝－ .
－
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12. 若锐角α，β满足 sin 2α sin 2β＝3（1＋ cos 2α）·（1－ cos
2β），则tan（α－β）的最大值是 .
解析：因为 sin 2α sin 2β＝3（1＋ cos 2α）（1－ cos 2β），所以4 sin
α cos α sin β cos β＝12 cos 2α sin 2β.因为α，β是锐角，所以tan α＝
3tan β，所以tan（α－β）＝ ＝ ＝ .因为tan
β＞0，所以 ＋3tan β≥2 ，当且仅当tan β＝ 时取等号，所以tan
（α－β）的最大值是 .
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13. （2025·上海虹口二模）已知平面向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝
4，a·b＝4，若平面向量c满足｜c－b｜＝1，则｜c－a｜的最大值
为 .
＋1
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解析：设 ＝a， ＝b， ＝c，因为｜a｜＝
3，｜b｜＝4，a·b＝4，所以 cos ∠AOB＝ ＝ ，故
sin ∠AOB＝ ，如图，以点O为原点， 为x轴的正
方向建立平面直角坐标系，则B（4，0），A（1，2 ），设C（x，y），由｜c－b｜＝1，得（x－4）2＋y2＝1，所以点C的轨迹是以点B为圆心，1为半径的圆，｜c－a｜＝｜ ｜表示A，C两点间的距离，所
以｜c－a｜的最大值为｜ ｜＋1＝ ＋1＝ ＋1.
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【高考新风向】（每小题5分，共10分）
14. 〔创新考法〕我国古代数学家一行应用“九服晷影算法”在《大衍
历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ≤80°）的对应数表，这
是世界数学史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表
高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”测量两
次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，第二次的“晷影长”是
“表高”的3倍，且 cos 2α＋ sin 2α＝－ ，则tan（α－β）的值为
（ ）
A. － B. C. 4 D. 13
√
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解析： 由已知得tan β＝3，易得 cos 2α＝ ＝ ， sin
2α＝ ＝ ，所以 cos 2α＋ sin 2α＝ ＝－
，解得tan α＝4或tan α＝－ （舍去），故tan（α－β）＝
＝ .故选B.
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15. 〔创新交汇〕设 ＝（1，0）， ＝（0，2），O为坐标原点，对
满足条件｜ － － ｜＝2｜ － ｜的点C（x，y），｜x－
2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则实数m的取值范围为
（ ）
A. （－∞，－7） B. [13，＋∞）
C. （13，＋∞） D. （－∞，－7）∪[13，＋∞）
√
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解析： 由｜ － － ｜＝2｜ － ｜得｜（x－1，y－
2）｜＝2 ，即（x－1）2＋（y－2）2＝20，表示以（1，2）为圆心，
2 为半径的圆.｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则表
示圆在两平行直线x－2y＋m＝0和x－2y－7＝0之间.则由题意知
≥2 ，解得m≤－7或m≥13，结合图形（图略）知
m≥13，故选B.
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演示完毕 感谢观看
