微突破2 三角形中的“特征线”
（时间：30分钟，满分：45分）
一、单项选择题（每小题5分，共10分）
1.在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC＝（ ）
A.2 B.4
C.2 D.4
2.（2025·湖北武汉四调）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C＝，c＝6，△ABC面积为，D为边AB上一点，CD是∠ACB的平分线，则CD＝（ ）
A. B.1
C. D.
二、填空题（共5分）
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，c＝，BC边上的高等于a，则△ABC的面积是 ，sin A＝ .
三、解答题（共30分）
4.（15分）在△ABC中，已知tan Atan B－tan A－tan B＝，角C的平分线CD交AB于点D.
（1）求证：＝＋；
（2）若CD＝CB＝2，求△ABC的面积.
5.（15分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝tan B＋tan C.
（1）求角C；
（2）若c＝2，边AB的中点为D，求中线CD长度的取值范围.
微突破2 三角形中的“特征线”
1.B 法一 设BC＝2x，则BD＝CD＝x.在△ACD中，由余弦定理的推论可得，cos∠ADC＝＝
.在△ABD中，由余弦定理的推论可得，cos∠ADB＝＝.又∠ADC＋∠ADB＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠ADB，所以有＝－，整理可得x2＝12，解得x＝2，所以BC＝4.
法二 ＝（＋），则＝（＋＋2·），即25＝（25＋49＋2×5×7×cos∠BAC），解得cos∠BAC＝，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝25＋49－2×5×7×＝48，所以BC＝4.
2.B 因为∠ACB＝，且CD是∠ACB的平分线，所以∠ACD＝∠BCD＝，由S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，得b·CD·sin∠ACD＋a·CD·sin∠BCD＝，解得CD＝.又S△ABC＝absin∠ACB＝ab＝，所以ab＝4.因为c＝6，所以在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab，所以（a＋b）2＝c2＋3ab＝36＋12＝48，所以a＋b＝4，所以CD＝＝＝1，故选B.
3. 解析：如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则AD＝a.又B＝，c＝，在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2，即a2＋a2＝2，解得a＝3，所以S△ABC＝AB·BC·sin∠ABD＝××3×＝.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝1＋4＝5，所以b＝.由正弦定理＝，得＝，可得sin A＝.
4.解：（1）证明：∵tan Atan B－tan A－tan B＝，
∴（tan Atan B－1）＝tan A＋tan B，
∴＝－，
∴tan（A＋B）＝－，∴tan∠ACB＝，
∵0＜∠ACB＜π，∴∠ACB＝，
∵CD为角C的平分线，∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，
∴·CA·CB·sin∠ACB＝·CD·CA·sin∠ACD＋·CD·CB·sin∠BCD，
∴CA·CB＝CD·CB＋CD·CA，
即＝＋.
（2）将CD＝CB＝2代入＝＋，
可得CA＝＋1，
∴S△ABC＝×CA×CB×sin ∠ACB＝×2×（＋1）×＝.
5.解：（1）因为＝tan B＋tan C，
所以＝＋，
即＝＝＝，
又A，B∈（0，π），所以sin A≠0，所以tan C＝1.
因为C∈（0，π），所以C＝.
（2）由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝4，
又＝（＋），则＝（＋）2＝（a2＋b2＋ab）＝ab＋1.
由正弦定理可得a＝2sin A，b＝2sin B＝2sin（－A）＝2cos A＋2sin A.
则ab＝4sin2A＋4sin Acos A＝4·＋2sin 2A＝4sin（2A－）＋2，
由题意得解得＜A＜，则2A－∈（，），所以sin（2A－）∈（，1］，
所以ab∈（4，4＋2]，所以∈（5，3＋2]，
所以中线CD长度的取值范围为（，1＋].
1 / 1微突破2 三角形中的“特征线”
【备考指南】 与三角形的特征线（中线、角平分线、高线）有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中等.
1.（1）向量法：＝（＋）；（2）中线长定理：在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD2＝（AB2＋AC2）－BC2.
1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝6，b＝5，c＝4，则BC边上的中线AD的长为（ ）
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，若AD平分∠BAC：（1）内角平分线定理：＝；（2）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC.
2.在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝（ ）
A. B. C. D.
3.求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和该边长度.
3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2，b＝3，cos C＝－，则AB边上的高h＝ .
【思维建模】 三角形中“特征线”问题的解题步骤
【例】 （2025·重庆学业质量调研）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC为钝角，AB＝BC＝2，CD＝4，sin∠BCD＝.
（1）求cos∠BDC；
（2）设点E为AD的中点，求BE的长.
【常用结论】 如图，在△ABC中，BD＝λCD，有两个角度列式：
（1）利用cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，结合余弦定理找关系；
（2）利用＝＋，平方后找关系.
变式 〔由特殊到一般〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若点D在边BC上，且BD＝2DC，b＝3，AD＝2，A＝，求△ABC的周长.
【常用结论】 在△ABC中，若h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶.
【训练】 （1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，三角形三边上的高之比为2∶3∶4，则cos C＝ ；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan C＋＝tan B（tan C－1）.
①求角A；
②若a＝，△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC＝，且BC平分∠ABD，求△ACD面积的取值范围.
微突破2 三角形中的“特征线”
【基础·回扣】
1.C 2.D 3.
【典例·讲解】
【例】 解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝π，又∠ABC为钝角，∴∠BCD为锐角.
∵sin∠BCD＝，
∴cos∠BCD＝＝.
又BC＝2，CD＝4，∴在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝16，得BD＝4，
∴在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC＝＝.
（2）如图，在梯形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，
∴cos∠ABD
＝cos∠BDC＝.
在△ABD中，∵E为AD的中点，
∴＝＋.
由（1）知，BD＝4，即｜｜＝4，
又｜｜＝BA＝2，∴｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＋·＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜·｜｜cos∠ABD＝，
∴｜｜＝，即BE＝.
变式 解：法一 设CD＝x，则在△ABC中，cos∠BAC＝＝ ①.
在△ACD中，cos∠ADC＝＝.
在△ADB中，cos∠ADB＝.
因为cos∠ADC＋cos∠ADB＝0，
所以6x2＋18－c2＝0 ②.
由①②可解得c＝6，x＝，所以△ABC的周长为3＋9.
法二 因为BD＝2DC，所以＝＋＝＋（－）＝＋，所以＝＋·＋，即12＝c2＋×c×3×＋×9，即c2＋6c－72＝0，解得c＝6或c＝－12（舍去）.
由余弦定理得a2＝36＋9－2×6×3×＝27，所以a＝3，
所以△ABC的周长为3＋3＋6＝3＋9.
【训练1】 （1）－ 解析：由于a＜b＜c，则三边a，b，c上的高之比为ha∶hb∶hc＝4∶3∶2，即4∶3∶2＝∶∶，设a＝3x，则b＝4x，c＝6x，在△ABC中，由余弦定理得cos C＝＝＝－.
（2）解：①由tan C＋＝tan B（tan C－1），
得tan B＋tan C＝－（1－tan Btan C），
即＝－，
即tan（B＋C）＝－，所以tan（π－A）＝－，即tan A＝，
又A∈（0，π），所以A＝.
②设∠ABC＝∠CBD＝x，
在△BCD中，∠BDC＝，
故x∈（0，），
则∠ACD＝2π－－－2x＝π－2x.
在△ABC与△BCD中，由正弦定理有＝，＝，
则AC＝CD＝2sin x，
故S△ACD＝（2sin x）2sin（π－2x）＝4sin3xcos x.
令φ（x）＝4sin3xcos x，x∈（0，），
则φ'（x）＝12sin2xcos2x－4sin4x
＝4sin2x（cos x＋sin x）（cos x－sin x），
易知φ'（x）＞0，则函数φ（x）＝4sin3xcos x在（0，）上单调递增，
又φ（0）＝0，φ（）＝，
所以△ACD面积的取值范围为（0，）.
2 / 2(共35张PPT)
微突破2 三角形中的“特征线”
备考指南
与三角形的特征线（中线、角平分线、高线）有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中等.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝6，b＝
5，c＝4，则BC边上的中线AD的长为（ ）
A. B.
C. D.
√
（1）向量法： ＝ （ ＋ ）；
（2）中线长定理：在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD2＝ （AB2＋AC2）－ BC2.
解析： 法一 如图，由余弦定理可得 cos B＝
＝ ＝ .在△ABD中，有AB＝c＝4，BD＝ BC
＝ a＝3，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B＝16＋9－2×4×3× ＝ ，解得AD＝ .
法二 在△ABC中，根据中线长公式可得AD＝ ＝
＝ .
2. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD
为∠BAC的平分线，则AD＝（ ）
A. B.
C. D.
√
在△ABC中，若AD平分∠BAC：
（1）内角平分线定理： ＝ ；
（2）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC.
解析： 法一 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，得 ×2×3× sin 120°＝
×2AD× sin 60°＋ ×3AD× sin 60°，解得AD＝ .
法二 由 ＝ ，得3BD＝2DC，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－
2AB·AD cos 60°，在△ADC中，DC2＝AC2＋AD2－2AC·AD cos 60°，
即36＋9AD2－18AD＝36＋4AD2－12AD，解得AD＝ .
3. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2，b＝
3， cos C＝－ ，则AB边上的高h＝ .
求高一般采用等面积法，即求某边上的高，
需要求出面积和该边长度.
解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋9－2×2×3×（－ ）＝
16，故c＝4.∵ cos C＝－ ，C∈（0，π），∴ sin C＝ ＝
.设AB边上的高为h，则 ab sin C＝ ch，即 ×2×3× ＝ ×4h，
解得h＝ .
【思维建模】 三角形中“特征线”问题的解题步骤
典例·讲解
典例精析 强技提能
【例】 （2025·重庆学业质量调研）在梯形ABCD中，AB∥CD，
∠ABC为钝角，AB＝BC＝2，CD＝4， sin ∠BCD＝ .
（1）求 cos ∠BDC；
解： ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝π，
又∠ABC为钝角，∴∠BCD为锐角.
∵ sin ∠BCD＝ ，∴ cos ∠BCD＝ ＝ .
又BC＝2，CD＝4，∴在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－
2BC·CD cos ∠BCD＝16，得BD＝4，
∴在△BCD中，由余弦定理得 cos ∠BDC＝ ＝ .
（2）设点E为AD的中点，求BE的长.
解： 如图，在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，
∴ cos ∠ABD＝ cos ∠BDC＝ .
在△ABD中，∵E为AD的中点，∴ ＝ ＋ .
由（1）知，BD＝4，即｜ ｜＝4，
又｜ ｜＝BA＝2，∴｜ ｜2＝ ｜ ｜2＋ ｜ ｜2＋ · ＝ ｜ ｜2＋ ｜ ｜2＋ ｜ ｜·｜ ｜ cos ∠ABD＝ ，∴｜ ｜＝ ，即BE＝ .
变式 〔由特殊到一般〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若点D在边BC上，且BD＝2DC，b＝3，AD＝2 ，A＝ ，求
△ABC的周长.
【常用结论】 如图，在△ABC中，BD＝λCD，有两个角度列式：
（1）利用 cos ∠ADB＋ cos ∠ADC＝0，结合余弦定理找关系；
（2）利用 ＝ ＋ ，平方后找关系.
解：法一 设CD＝x，则在△ABC中， cos ∠BAC＝
＝ ①.
在△ACD中， cos ∠ADC＝ ＝ .
在△ADB中， cos ∠ADB＝ .
因为 cos ∠ADC＋ cos ∠ADB＝0，所以6x2＋18－c2＝0 ②.
由①②可解得c＝6，x＝ ，所以△ABC的周长为3 ＋9.
法二 因为BD＝2DC，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝
＋ ，所以 ＝ ＋ · ＋ ，即12＝ c2＋
×c×3× ＋ ×9，即c2＋6c－72＝0，解得c＝6或c＝－12（舍去）.
由余弦定理得a2＝36＋9－2×6×3× ＝27，所以a＝3 ，
所以△ABC的周长为3 ＋3＋6＝3 ＋9.
【训练】 （1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a
＜b＜c，三角形三边上的高之比为2∶3∶4，则 cos C＝ ；
－
【常用结论】 在△ABC中，若h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝ ∶ ∶ ＝ ∶ ∶ .
解析：由于a＜b＜c，则三边a，b，c上的高之比为ha∶hb∶hc＝
4∶3∶2，即4∶3∶2＝ ∶ ∶ ，设a＝3x，则b＝4x，c＝6x，在
△ABC中，由余弦定理得 cos C＝ ＝ ＝－ .
②若a＝ ，△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC＝ ，且BC平分
∠ABD，求△ACD面积的取值范围.
解：①由tan C＋ ＝tan B（ tan C－1），
得tan B＋tan C＝－ （1－tan Btan C），即 ＝－ ，
即tan（B＋C）＝－ ，所以tan（π－A）＝－ ，即tan A＝ ，
又A∈（0，π），所以A＝ .
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan C
＋ ＝tan B（ tan C－1）.
①求角A；
②设∠ABC＝∠CBD＝x，
在△BCD中，∠BDC＝ ，故x∈（0， ），
则∠ACD＝2π－ － －2x＝π－2x.
在△ABC与△BCD中，由正弦定理有 ＝ ， ＝ ，
则AC＝CD＝2 sin x，
故S△ACD＝ （2 sin x）2 sin （π－2x）＝4 sin 3x cos x.
令φ（x）＝4 sin 3x cos x，x∈（0， ），
则φ'（x）＝12 sin 2x cos 2x－4 sin 4x
＝4 sin 2x（ cos x＋ sin x）（ cos x－ sin x），
易知φ'（x）＞0，则函数φ（x）＝4 sin 3x cos x在（0， ）上单调递增，
又φ（0）＝0，φ（ ）＝ ，
所以△ACD面积的取值范围为（0， ）.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：30分钟，满分：45分）
一、单项选择题（每小题5分，共10分）
1. 在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC＝
（ ）
A. 2 B. 4
C. 2 D. 4
1
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√
解析： 法一 设BC＝2x，则BD＝CD＝x.在△ACD
中，由余弦定理的推论可得， cos ∠ADC＝
＝ .在△ABD中，由余弦定理的推论可得， cos
∠ADB＝ ＝ .又∠ADC＋∠ADB＝π，所以 cos ∠ADC＝－ cos ∠ADB，所以有 ＝－ ，整理可得x2＝12，解得x＝2 ，所以BC＝4 .
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法二 ＝ （ ＋ ），则 ＝ （ ＋ ＋2 · ），即
25＝ （25＋49＋2×5×7× cos ∠BAC），解得 cos ∠BAC＝ ，所以
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos ∠BAC＝25＋49－2×5×7× ＝48，所
以BC＝4 .
1
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A. B. 1
C. D.
2. （2025·湖北武汉四调）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，
b，c，且C＝ ，c＝6，△ABC面积为 ，D为边AB上一点，CD是
∠ACB的平分线，则CD＝（ ）
√
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解析： 因为∠ACB＝ ，且CD是∠ACB的平分线，所以∠ACD＝
∠BCD＝ ，由S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，得 b·CD· sin ∠ACD＋
a·CD· sin ∠BCD＝ ，解得CD＝ .又S△ABC＝ ab sin ∠ACB＝
ab＝ ，所以ab＝4.因为c＝6，所以在△ABC中，由余弦定理得，c2＝
a2＋b2－2ab cos ∠ACB＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab，所以（a＋
b）2＝c2＋3ab＝36＋12＝48，所以a＋b＝4 ，所以CD＝ ＝
＝1，故选B.
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二、填空题（共5分）
3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝ ，c＝ ，
BC边上的高等于 a，则△ABC的面积是 ， sin A＝ .
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解析：如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为
D，则AD＝ a.又B＝ ，c＝ ，在Rt△ABD中，AB2
＝AD2＋BD2，即 a2＋ a2＝2，解得a＝3，所以S△ABC＝ AB·BC· sin ∠ABD＝ × ×3× ＝ .在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝1＋4＝5，所以b＝ .由正弦定理 ＝ ，得 ＝ ，可得 sin A＝ .
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三、解答题（共30分）
4. （15分）在△ABC中，已知 tan Atan B－tan A－tan B＝ ，角C的
平分线CD交AB于点D.
（1）求证： ＝ ＋ ；
1
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5
解： 证明：∵ tan Atan B－tan A－tan B＝ ，
∴ （tan Atan B－1）＝tan A＋tan B，
∴ ＝－ ，
∴tan（A＋B）＝－ ，∴tan∠ACB＝ ，
∵0＜∠ACB＜π，∴∠ACB＝ ，
∵CD为角C的平分线，∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，
∴ ·CA·CB· sin ∠ACB＝ ·CD·CA· sin ∠ACD＋ ·CD·CB· sin
∠BCD，
∴ CA·CB＝CD·CB＋CD·CA，
即 ＝ ＋ .
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（2）若CD＝CB＝2，求△ABC的面积.
解： 将CD＝CB＝2代入 ＝ ＋ ，
可得CA＝ ＋1，
∴S△ABC＝ ×CA×CB× sin ∠ACB＝ ×2×（ ＋1）× ＝ .
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5. （15分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且 ＝tan B＋tan C.
（1）求角C；
解： 因为 ＝tan B＋tan C，所以 ＝ ＋ ，
即 ＝ ＝ ＝ ，
又A，B∈（0，π），所以 sin A≠0，所以tan C＝1.
因为C∈（0，π），所以C＝ .
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（2）若c＝2，边AB的中点为D，求中线CD长度的取值范围.
解： 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ ab＝4，
又 ＝ （ ＋ ），则 ＝ （ ＋ ）2＝ （a2＋b2＋
ab）＝ ab＋1.
由正弦定理可得a＝2 sin A，b＝2 sin B＝
2 sin （ －A）＝2 cos A＋2 sin A.
则ab＝4 sin 2A＋4 sin A cos A＝4 · ＋2 sin 2A＝4 sin
（2A－ ）＋2 ，
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由题意得 解得 ＜A＜ ，则2A－ ∈（ ， ），所
以 sin （2A－ ）∈（ ，1］，
所以ab∈（4 ，4＋2 ]，所以 ∈（5，3＋2 ]，
所以中线CD长度的取值范围为（ ，1＋ ].
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