创新交汇 三角函数、解三角形与其他知识的综合问题
（时间：45分钟，满分：68分）
一、单项选择题（每小题5分，共10分）
1.已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
A.f（x）＝sin（tan x） B.f（x）＝tan（sin x）
C.f（x）＝cos（tan x） D.f（x）＝tan（cos x）
2.（2025·广东惠州二调）已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB，AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B，C所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则sin∠BAC＝（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（6分）
3.在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点M（a，b），｜OM｜＝m（m≠0），定义f（θ）＝，g（θ）＝，则（ ）
A.f（）＋g（）＝1
B.f（θ）＋f2（θ）≥0
C.若＝2，则sin 2θ＝
D.f（θ）g（θ）是周期函数
三、填空题（5分）
4.北京故宫堪称中国古代建筑的巅峰之作，其规模宏大、布局严谨、装饰精美.其中不少建筑的窗棂设计精妙，不仅满足了实用功能，更体现了极高的美学价值.冰裂纹是故宫窗棂中的一种纹饰图案（图1），它往往包含着三角形、四边形、五边形等图形.图2为图1中冰裂纹的一部分抽象出的几何图形，其中AB＝AD，CB＝CD＝5，AB⊥BC，AD⊥DC，cos∠BCD＝－，且＝－＋.假设工作人员在日常维护过程中发现棂条AB和EF松动，需进行替换，则需替换的棂条总长度约为 .（结果保留一位小数，≈51.16）
四、解答题（共47分）
5.（15分）对平面向量m，n，定义运算：｜m×n｜＝｜m｜·｜n｜sin θ，其中｜m｜，｜n｜分别表示m，n的模，θ是m与n的夹角.在△ABC中，已知｜×｜＝4，·＝4.
（1）是否存在满足条件的△ABC，使得2｜｜＋｜｜＝6？若存在，求｜｜的值；若不存在，请说明理由；
（2）若2｜｜＋｜｜＝8，D是线段AC上一点，且BD＝AD，求.
6.（15分）（2025·山东齐鲁名校联考）已知复数z，，z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是△ABC的外心.
（1）求｜z｜；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b＋c）2＝a2＋4bcsin2.
①证明：△ABC是直角三角形；
②求△ABC的面积.
7.（17分）如果存在实数对（m，n），使函数f（x）＝msin ωx＋ncos ωx（x∈R），那么我们就称函数f（x）为实数对（m，n）的“ω型正余弦生成函数”，实数对（m，n）为函数f（x）的“ω型正余弦生成数对”.
（1）若函数y＝g（x）的“4型正余弦生成数对”为（1，－），求方程g（x）＝在区间［，］上的所有实根之和；
（2）若实数对（k，－1）的“2型正余弦生成函数”y＝h（x）在x＝x0处取得最大值，其中2＜k＜3，求tan 4x0的取值范围.
创新交汇 三角函数、解三角形与其他知识的综合问题
1.D 根据题图可知函数f（x）的图象关于y轴对称，所以函数f（x）为偶函数，且定义域为R，对于A、C，函数f（x）的定义域均为{x｜x≠＋kπ，k∈Z}，不满足题意，故排除A、C；对于B，f（－x）＝tan[sin（－x）]＝tan（－sin x）＝－tan（sin x）＝－f（x），f（x）为奇函数，不满足题意，排除B，故选D.
2.D 设优弧BC所在圆的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图.易知“水滴”的“竖直高度”为OA＋R，“水平宽度”为2R，由题意知＝，解得OA＝R.因为AB与圆弧相切于点B，所以OB⊥AB.在Rt△ABO中，sin∠BAO＝＝＝，又∠BAO∈（0，），所以cos∠BAO＝＝，易知∠BAO＝∠CAO，故∠BAC＝2∠BAO，所以sin∠BAC＝2sin∠BAOcos∠BAO＝2××＝.故选D.
3.ACD 由题意得，M（a，b）在角θ的终边上，且｜OM｜＝m，所以cos θ＝，sin θ＝，则f（θ）＝＝sin θ＋cos θ＝sin（θ＋），g（θ）＝＝sin θ－cos θ＝sin（θ－）.对于A，f（）＋g（）＝sin＋cos＋sin－cos＝1，故A正确；对于B，f（θ）＋f2（θ）＝sin θ＋cos θ＋（sin θ＋cos θ）2，令t＝sin θ＋cos θ＝sin（θ＋），t∈[－，]，所以f（θ）＋f2（θ）＝t＋t2＝（t＋）2－≥－，故B错误；对于C，＝＝＝2，解得tan θ＝3.sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝，故C正确；对于D，f（θ）g（θ）＝（sin θ＋cos θ）·（sin θ－cos θ）＝sin2θ－cos2θ＝－cos 2θ.因为y＝cos 2θ为周期函数，故D正确.故选A、C、D.
4.12.4 解析：如图，连接BD.
在△BCD中，由余弦定理可得BD＝＝8.由题意知∠ABC＝∠ADC＝，则∠BAD＋∠BCD＝π，所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理得BD＝＝8，又AB＝AD，解得AB＝AD＝，则AB≈6.7.·＝××＝，则由＝－＋可得＝（－＋）2＝×－2×××＋×＝，所以EF＝≈5.7.所以总长度约为6.7＋5.7＝12.4.
5.解：（1）不存在满足条件的△ABC.
∵｜×｜＝4，·＝4，
∴｜｜｜｜sin A＝4 ①，
｜｜｜｜cos A＝4 ②，解得tan A＝.
∵A∈（0，π），∴A＝，∴｜｜｜｜＝8.
设｜｜＝c，｜｜＝b，｜｜＝a，∴bc＝8，由2｜｜＋｜｜＝6得2c＋b＝6，
联立无解，∴不存在满足条件的△ABC.
（2）由（1）知，A＝，bc＝8 ③，
由2｜｜＋｜｜＝8，得2c＋b＝8 ④，
由③④解得
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝16＋4－2×4×2×＝12，∴a＝2.
∵a2＋c2＝b2，∴∠ABC＝，C＝.
由BD＝AD，设BD＝x，AD＝x，其中x＞0，则CD＝4－x.
在△ABD中，由余弦定理得（x）2＝4＋（x）2－2×2×x×，即x2＋2x－4＝0，得x＝－（舍负），∴AD＝2－2，CD＝6－2，
＝＝＝＝＝＝＝.
6.解：（1）∵O是△ABC的外心，即｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜，∴｜z｜＝｜｜＝｜z2｜.
只需考虑｜z｜＝｜z2｜，即｜z｜＝｜z｜2，又A在第一象限，∴｜z｜≠0，∴｜z｜＝1.
（2）①证明：∵（b＋c）2＝a2＋4bcsin2，∴b2＋c2＋2bc＝a2＋2bc（1－cos A），
∴a2＝b2＋c2＋2bccos A.
由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，两式相加可得a2＝b2＋c2，∴A＝，
∴△ABC是直角三角形.
②设z＝m＋ni，m，n∈R，则＝m－ni，z2＝m2－n2＋2mni，
可知A（m，n），B（m，－n），C（m2－n2，2mn）.
易知AB与复平面的实轴垂直，又A＝，∴AC与复平面的虚轴垂直，
∴n＝2mn，又点A在第一象限，
∴n＞0，∴m＝，
又｜z｜＝＝1，∴n＝，
∴A（，），B（，－），C（－，），
∴｜AB｜＝，｜AC｜＝1，
∴△ABC的面积为｜AB｜｜AC｜＝××1＝.
7.解：（1）由函数y＝g（x）的“4型正余弦生成数对”为（1，－），可得g（x）＝sin 4x－cos 4x＝2sin（4x－），
方程g（x）＝，即2sin（4x－）＝，
即sin（4x－）＝，
由x∈［，］，可得4x－∈［，］，
设θ＝4x－，即sin θ＝，
结合正弦函数y＝sin θ的图象，可得方程sin θ＝在区间［，］上有两个根，
设其为θ1，θ2，且θ1＝4x1－，θ2＝4x2－，由对称性可知θ1＋θ2＝3π，解得x1＋x2＝，则方程g（x）＝在区间［，］上的所有实根之和为.
（2）由题意得h（x）＝ksin 2x－cos 2x＝·sin（2x－φ），其中tan φ＝，
由h（x）在x＝x0处取得最大值，可得2x0－φ＝2nπ＋（n∈Z），所以2x0＝2nπ＋＋φ（n∈Z），
即tan 2x0＝tan（2nπ＋＋φ）＝tan（＋φ）＝－＝－k（n∈Z），
可得tan 4x0＝＝＝，
又2＜k＜3，且y＝k－在（0，＋∞）上单调递增，所以＜＜，即tan 4x0的取值范围为（，）.
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【备考指南】 随着高考改革的不断深入，各地的模拟题呈现的考查方向百花齐放，以三角形为背景，其考查的知识内容和范围，涉及平面几何、立体几何、不等式、向量、新定义等学科分支，对综合运用各种知识解题的灵活性要求有所加强，应予以重视.
类型一 三角函数、解三角形与其他知识的交汇问题
【通性通法】 三角函数、解三角形与其他知识的交汇问题，通常将已知条件转化为三角函数问题，或利用正、余弦定理进行边角互化，可以考查几何体中的线段长度或几何体角度之间的关系，或者构造长度、角度的函数求最值.
【例1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn}是首项为1，公比为2的等比数列，记∠PnAPn＋1＝θn，n∈N*.
（1）若tan θ3＝，求点A的坐标；
（2）若点A的坐标为（0，8），求tan θn的最大值及相应n的值.
【训练1】 （2025·山东潍坊二模）在△ABC中，AC＝AB，D为边BC上一点，满足BD＝2DC，以A，D为焦点作一个椭圆G，若G经过B，C两点，则G的离心率为（ ）
A. B. C. D.
类型二 三角函数、解三角形的新定义问题
【通性通法】 解决三角函数、解三角形新定义问题的思路
（1）找出新定义的几个要素及其所代表的意义；
（2）把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中；
（3）利用三角函数的公式、性质及正、余弦定理等解答问题.
【例2】 （2025·江西景德镇模拟）A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记（P，Q；M）＝；若点M在线段PQ外，（P，Q；M）＝－.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上.
（1）若AD是角A的平分线，且b＝3c，由A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值；
（2）若A＝60°，a＝4，AB⊥AD，由A点对BC施以视角运算，（B，C；D）＝－4，求△ABC的周长；
（3）若A＝120°，AD＝4，由A点对BC施以视角运算，（B，C；D）＝，求b＋4c的最小值.
【瓶颈突破】 cos 3θ＝cos（θ＋2θ）＝cos θcos 2θ－sin θsin 2θ.
【训练2】 （2025·江西萍乡二模）已知x∈R，n为正整数，对于函数fn（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，若对任意的θ，都有fn（cos θ）＝cos nθ，则称fn（x）为n次切比雪夫函数.例如：因为cos 2x＝2cos2x－1，所以f2（x）＝2x2－1为二次切比雪夫函数.
（1）求f3（x）；
（2）证明：对任意正整数n，都有fn＋2（x）＝2xfn＋1（x）－fn（x）；
（3）若函数g（x）＝[f6（x）＋1]＋k有一个绝对值不大于1的零点，证明：g（x）所有零点的绝对值都不大于1.
创新交汇 三角函数、解三角形与其他知识的综合问题
【典例·讲解】
【例1】 解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意得xn＝2n－1.由tan θ3＝，得tan θ3＝tan（∠OAP4－∠OAP3）＝＝＝，解得t＝4或t＝8，故点A的坐标为（0，4）或（0，8）.
（2）由题意，点Pn的坐标为（2n－1，0），tan∠OAPn＝，所以tan θn＝tan（∠OAPn＋1－∠OAPn）＝＝.
因为＋≥2，所以tan θn≤＝，当且仅当＝，即n＝4时等号成立.故当n＝4时，tan θn最大，其最大值为.
【训练1】 C 设｜DC｜＝m，｜AC｜＝n，则｜BD｜＝2m，｜AB｜＝n，设该椭圆长半轴长为a，由椭圆的定义可知：解得所以｜BD｜＝a，｜DC｜＝a，｜AC｜＝a，｜AB｜＝a，在△ABC中，显然有∠ADC＝π－∠ADB，所以cos∠ADC＝－cos∠ADB，设｜AD｜＝x，由余弦定理可知：
＝－，
即＝－，解得x＝a，因此椭圆的焦距为2c＝｜AD｜＝a，所以椭圆的离心率为e＝＝＝.故选C.
【例2】 解：（1）因为AD是角A的平分线，所以∠BAD＝∠DAC且D在线段BC上，
所以（B，C；D）＝＝，
又b＝3c，所以（B，C；D）＝＝.
（2）因为点D在射线BC上，∠BAC＝60°，且AB⊥AD，所以D在线段BC外，且∠DAC＝30°，
所以（B，C；D）＝－＝－＝－＝－4，
所以c＝2b，
在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以42＝b2＋4b2－4b2cos 60°，即3b2＝16，
解得b＝或b＝－（舍去），
所以△ABC的周长为C△ABC＝a＋b＋c＝4＋4.
（3）因为（B，C；D）＝＞0，所以＝，则∠BAD＝∠DAC，因为A＝120°，所以∠BAD＝∠DAC＝60°，
又S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以bcsin 120°＝b·ADsin 60°＋c·ADsin 60°，
又AD＝4，所以bc＝4（b＋c），所以＋＝1，
所以b＋4c＝（b＋4c）（＋）＝＋＋20≥2＋20＝36，
当且仅当＝，即b＝12，c＝6时等号成立，
所以b＋4c的最小值为36.
【训练2】 解：（1）因为cos 3θ＝cos θcos 2θ－sin θsin 2θ＝cos θ（2cos2θ－1）－2sin2θcos θ＝4cos3θ－3cos θ，
所以f3（x）＝4x3－3x.
（2）证明：因为cos[（n＋2）x]＝cos[（n＋1）x＋x]＝cos[（n＋1）x]·cos x－sin[（n＋1）x]·sin x，cos nx＝cos[（n＋1）x－x]＝cos[（n＋1）x]·cos x＋sin[（n＋1）x]·sin x，两式相加得cos[（n＋2）x]＋cos nx＝2cos x·cos[（n＋1）x]，
即fn＋2（x）＝2xfn＋1（x）－fn（x）.
（3）证明：因为f3（cos θ）＝cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ，
所以f6（cos θ）＝cos 6θ＝2cos23θ－1＝2（4cos3θ－3cos θ）2－1＝32cos6θ－48cos4θ＋18cos2θ－1，
即f6（x）＝32x6－48x4＋18x2－1，g（x）＝16x6－24x4＋9x2＋k，
f6（cos θ）＝cos 6θ，当x∈[－1，1]时，f6（x）∈[－1，1]，g（x）＝[f6（x）＋1]＋k∈[k，k＋1]，
因为g（x）有一个绝对值不大于1的零点，则解得－1≤k≤0，
令t＝x2≥0，得h（t）＝16t3－24t2＋9t＋k，则h'（t）＝48t2－48t＋9，
①当x＞1时，即t＞1时，h'（t）＞h'（1）＝9＞0，则h（t）在（1，＋∞）上单调递增，g（x）在（1，＋∞）上单调递增，
即x＞1时，g（x）＞g（1）＝1＋k≥0，即g（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，＋∞）上无零点；
②当x＜－1时，t＞1，h'（t）＞0，则h（t）在（1，＋∞）上单调递增，则g（x）在（－∞，－1）上单调递减，
即x＜－1时，g（x）＞g（－1）＝1＋k≥0，即g（x）＞0恒成立，即g（x）在（－∞，－1）上无零点.
综合①②可知，g（x）所有零点的绝对值都不大于1.
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