数学湘教版必修1： 集合的含义与表示 教案

集合的含义与表示（1课时）
一、教学目标
1.理解集合的含义（概念和性质），体会元素与集合的从属关系。
2.初步掌握集合的表示方法，能用自然语言和集合语言描述不同的具体问题。
3.初步掌握分类讨论、数形结合等数学思想。
二、重点难点
1.正确判断对象与集合的从属关系。
2.理解集合的三个基本性质。
3.利用集合的基本性质求解元素带有参数的集合中的参数。
4.能用集合语言对具体问题进行描述。
三、教学过程
1.新课引入
教师发问：相信大家对“集合”这个词语并不陌生吧！“集合”、“全体”、“整体”这种概念在我们的日常生活中是随处可见的。现在先请一些同学来列举日常生活中一些关于“集合”的例子。
（学生思考）
教师发问：现在有哪一位同学能从我们刚才所举的众多实例中提炼出集合的共同特征（概念）呢？
（学生思考）
（教师总结，引入新课学习）
2.数学史话
集合论的诞生
集合论是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。十七世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分。在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。
前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”。因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来。数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱。因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念。但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路。他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界。对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子。“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示。”学过集合的所有人应该对这句话不会感到陌生。但在接受这句话时我们根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作。在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释。无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限。十八世纪数学王子高斯就持这种观点。用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的。所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想。由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的。然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷。他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论。这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界。最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究。他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数。他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势。由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数。这与传统观念“全体大于部分”相矛盾。而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征。在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集。又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集。后来当他又证明了代数数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集。但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集。这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已。这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结。魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物。从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次。他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次。他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”。他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系 它可以无限延长下去。就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景。可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了。毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣。他们大叫大喊地反对他的理论。有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”。作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的。当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧。公理化集合论的建立 集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品。在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症。
然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认。到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。”然而这种自得的情绪并没能持续多久。不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是1902年罗素得出的罗素悖论。罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。这样，不论何种情况都存在着矛盾。这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中。这就是数学史上的第三次数学危机。危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去。从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等。而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的。因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结。“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一。康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献。”
韦恩图的历史
1880年，韦恩（）在《论命题和推理的图表化和机械化表现》一文中首次采用固定位置的交叉环形式再加上阴影来表示逻辑问题（如图1所示），这一表示方法，不仅让逻辑学家无比激动——以致于19世纪后期、整个20世纪直到今天，还有许许多多的逻辑学家都对此潜心钻研，在大量逻辑学著作中图占据着十分重要的位置，而且，维恩图还被应用于数学学科中，尤其是被应用于集合论当中。
图1
3.内容组织
（1）集合与元素
具有某种共同属性（或性质）的对象（或个体）的全体，我们称为集合，简称集；构成集合的对象（或个体），我们称为集合的元素，简称元。
（2）集合的性质
①确定性：给定的集合的元素是确定的。
教师解说：对于一个给定的集合，它的元素我们也就可以完全确定下来。集合的确定性这个性质，我们可以从两方面上理解：（ⅰ）对任意给定的对象，相对于某个既定的集合来说，要么它是这个集合的元素，要么它不是这个集合的元素，二者必居其一，绝对不存在模棱两可的概念；（ⅱ）无法确定其对象的全体（或整体）不能构成集合，如：海拔较高的山、绝对值较小的数、聪明的人、成绩较为优秀的同学等皆不能构成集合，因为这些整体中构成全体的对象我们并不明确。
思考题（学生思考）：判断下列元素是否构成集合
ⅰ.大于3小于11的偶数；
ⅱ.我国的小河流；
ⅲ.面积较大的农田；
ⅳ.所有自然数；
ⅴ.接近5的数。
②互异性：给定的集合中的元素是互异的。
教师解说：对于一个给定的集合，里面的所有元素都是不相同的。也就是说，一个集合中任意两个元素都是不同的对象，不存在重复的元素。相同的对象归入任何一个集合时，只能作为这个集合的一个元素。
③无序性：集合中的元素是不分顺序的。
教师解说：集合与其中元素的排列次序无关，对集合中的元素相同而排列次序不同的集合我们仍然认为它们是相同的集合，如集合{a，b}和集合{b，a}表示的只是一个集合而并非两个集合。为了更加清晰地表示集合中元素的构成规律，我们一般将元素按一定的顺序写出。然而这仅仅是为了使研究更加方便，并非说明集合元素是有序的。
（3）集合的记法
我们通常用大写的拉丁字母(如、、等)来表示集合，而用小写的拉丁字母（如、、等）来表示元素。
数学中一些常用的数集及其记法：
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作（或或或）；
全体整数组成的集合称为整数集，记作；
全体负整数组成的集合称为负整数集，记作（或）；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作；
全体实数组成的集合称为实数集，记作；
全体正实数组成的集合称为正实数集，记作（或）；
全体负实数组成的集合称为负实数集，记作（或）；
全体复数组成的集合称为复数集，记作。
（板书补充）
教师解说：常用数集的记号一般可以直接使用，而无需加以定义说明。
（4）集合与元素的从属关系
如果是集合的元素，我们就说属于集合，记作；如果不是集合的元素，我们就说不属于集合，记作。
教师解说：我们在判断给定元素与集合的从属关系的时候首先应该保证一个大前提，就是给定的元素与指定的集合的对象应该是同类型的。例如某个数就不能是某个点集的元素，其次才是判断给定的元素是否具有集合指定的公共属性。
（5）集合的分类
按集合元素的可列性，我们可以将集合分为有限集和无限集；按集合中元素的个数，我们可将集合分为空集（不含任何元素的集合）、单元集（一元集）、二元集、三元集、四元集等，其中二元以上的集合我们称为多元集。
（板书补充）
（6）集合的表示方法
①列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法。
教师解说：列举法一般适用于表示元素较少的有限集，当集合的元素数量较多的时候，我们如果再用这种方法来表示集合就显得有些冗繁、累赘。
②描述法
教师提问：请问同学们能用列举法把下列集合表示出来吗？
（ⅰ）小于10的质数；
（ⅱ）方程x+y=50的所有正整数解；
（ⅲ）不等式x-2>5的解集。
用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法。
教师解说：当集合是无限集或者其元素数量较多而不便于无一遗漏地列举出来的时候，我们就应当使用描述法进行表示了，如果我们再用列举法来表示集合就显得不够简洁明了。而当集合虽然元素数量较多、甚至无限，但如果我们都能把它归结到一个共同的特征时，那么用描述法来表示集合就显得相当的精炼简便。
③图示法
图示法，就是用平面上封闭曲线的内部表示集合的一种方法，又称韦恩图法（图法）或韦氏图法或文氏图法。
教师解说：用图示法表示集合的时候我们往往能形象直观地感知到集合和集合关系，当研究抽象集合的时候，图示法对我们研究集合与集合间的关系起到关键性的辅助作用，通过数形结合，往往大显化难为易、化抽象为直观之功。
4.例题讲解
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合；
（3）由以内的所有质数组成的集合。
解：（1）小于10的自然数有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，设小于10的所有自然数组成的集合为，那么
；
（2）方程的两个实根为、，设方程的所有实数根组成的集合为，那么
；
（3）以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，设由以内的所有质数组成的集合为，那么
。
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
解：（1）设方程的实数根为，并且满足，因此，用描述法表示为
，
方程的两个实根为、，因此，用列举法表示为
；
（2）设大于10小于20的整数为，它满足条件且，因此，用描述法表示为
，
大于10小于20的整数有11、12、13、14、15、16、17、18、19，因此，用列举法表示为
。
点评：由上下文的关系看来，x∈R、x∈Z已经十分明确，此时我们就可以把，x∈R、x∈Z略去。
例3 设集合，，若，求的值及集合、。
解：∵且，∴。
（1）若或，则，从而，与集合中元素的互异性矛盾，∴且；
（2）若，则或。
当时，，与集合中元素的互异性矛盾，∴；
当时，，，
由得 ① 或 ②
由①得，由②得，
∴或，此时。
点评：若对于元素带有参数的集合A={a，b，c}和集合B={d，e，f}有A=B，我们有时也可以利用a+b+c=d+e+f,abc=def来就行求解，这样反而会简化我们的计算。但此法并不是对所有情况都能奏效，应熟悉基本解题思路，灵活运用。
5.随堂练习
（1）用符号“”或“”填空：
6 0
（2）用列举法表示下列集合：
①绝对值小于5的奇数；
②；
③。
（3）用描述法表示下列集合：
①平面直角坐标系中第二、四象限的角平分线；
②所有非零偶数；
③所有被7除余2的数。
（4）设集合，，若，求、的值和集合、。
四、课后练习
1. 课本练习第、题。
2. 课本习题组第、题。
五、作业布置
1.课本习题组第、题。
2. 已知集合，，,且,求的值。