云南省保山市实验中学2015-2016学年高一（下）入学数学试卷（解析版）

2015-2016学年云南省保山市实验中学高一（下）入学数学试卷
　
一、选择题（每题5分，共60分）
1．全集为实数集R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（ RM）∩N=（　　）
A．{x|x＜﹣2}
B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜1}
D．{x|﹣2≤x＜1}
2．已知f（2x+1）=3x﹣2，且f（a）=4，则a的值是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．若函数f（x）=x2﹣2x，x∈[﹣2，4]，则f（x）的值域为（　　）
A．[﹣1，8]
B．[﹣1，16]
C．[﹣2，8]
D．[﹣2，4]
4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A．y=
B．y=e﹣x
C．y=﹣x2+1
D．y=lg|x|
5．三个数70.8，0.87，log0.87的大小顺序是（　　）
A．0.87＜log0.87＜70.8
B．0.87＜70.8＜log0.87
C．log0.87＜70.8＜0.87
D．log0.87＜0.87＜70.8
6．设为基底向量，已知向量=﹣k，
=2+，
=3﹣，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣10
D．10
7．设函数f（x）=则f（）的值为（　　）
A．18
B．﹣
C．
D．
8．方程log3x+x﹣3=0的零点所在区间是（　　）
A．（1，2）
B．（0，2）
C．（3，4）
D．（2，3）
9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）=sinx+1
B．f（x）=sinx+
C．f（x）=sin+1
D．f（x）=sin+
10．已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程是（　　）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=
11．在锐角△ABC中，设x=sinA sinB，y=cosA cosB．则x，y的大小关系为（　　）
A．x≤y
B．x＞y
C．x＜y
D．x≥y
12．y=cosx（cosx+sinx）的值域是（　　）
A．[﹣2，2]
B．[，2]
C．[，]
D．[﹣，]
　
二、填空题（每题5分，共20分）
13．函数y=+的定义域是　　．
14．若α、β∈（0，），且tanα=，tanβ=，则α﹣β的值是　　．
15．函数y=log0.2（x2﹣3x+2）的增区间是　　．
16．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），则下列命题：
①y=f（x）的最大值为；
②y=f（x）最小正周期是π；
③y=f（x）在区间上是减函数；
④将函数y=cos2x的图象向右平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是　　．
　
三、解答题（共70分）
17．如图，在△ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，
=3，
=2，试用表示、、．
18．已知=（cosα﹣，﹣1），=（sinα，1），与为共线向量，且α∈[﹣，0]．
（1）求sinα+cosα的值；
（2）求的值．
19．求证：
=．
20．设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．
21．已知函数f（x）=sinx+cosx
（Ⅰ）求f（x）的周期和振幅；
（Ⅱ）在给出的方格纸上用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象
（Ⅲ）写出函数f（x）的单调递减区间．
22．若函数y=f（x）对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，恒有f（x）＜0
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）若f（2）=1，解不等式f（﹣x2）+2f（x）+4＜0．
　
2015-2016学年云南省保山市实验中学高一（下）入学数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每题5分，共60分）
1．全集为实数集R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（ RM）∩N=（　　）
A．{x|x＜﹣2}
B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜1}
D．{x|﹣2≤x＜1}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由已知中全集为实数集R，M={x|﹣2≤x≤2}，我们可以确定CRM，再根据N={x|x＜1}，结合集合交集的运算法则，可以求出（CRM）∩N的值．
【解答】解：∵M={x|﹣2≤x≤2}，
∴CRM={x|x＜﹣2，或x＞2}，
又∵N={x|x＜1}，
∴（CRM）∩N={x|x＜﹣2}
故选A
　
2．已知f（2x+1）=3x﹣2，且f（a）=4，则a的值是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】函数的值．
【分析】由函数y=f（x）的图象过点（a，4）知，3x﹣2=4，a=2x+1，从而求解．
【解答】解：由题意，令3x﹣2=4，解得，x=2；
则a=2x+1=2×2+1=5，
故选：C．
　
3．若函数f（x）=x2﹣2x，x∈[﹣2，4]，则f（x）的值域为（　　）
A．[﹣1，8]
B．[﹣1，16]
C．[﹣2，8]
D．[﹣2，4]
【考点】函数的值域．
【分析】配方可得二次函数的单调性，结合对称性可得．
【解答】解：配方可得f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，
∵二次函数所对应的抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴函数在x∈[﹣2，1]单调递减，在x∈[1，4]单调递增，
∴当x=1时，函数取最小值f（1）=﹣1，
当x=4或x=﹣2时，函数取最大值f（4）=f（﹣2）=8，
∴函数的值域为：[﹣1，8]
故选：A．
　
4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A．y=
B．y=e﹣x
C．y=﹣x2+1
D．y=lg|x|
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．
【解答】解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，
故选：C．
　
5．三个数70.8，0.87，log0.87的大小顺序是（　　）
A．0.87＜log0.87＜70.8
B．0.87＜70.8＜log0.87
C．log0.87＜70.8＜0.87
D．log0.87＜0.87＜70.8
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵70.8＞70=1，
0＜0.87＜0.80=1，
log0.87＜log0.81=0，
∴log0.87＜0.87＜70.8．．
故选：D．
　
6．设为基底向量，已知向量=﹣k，
=2+，
=3﹣，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣10
D．10
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】由题意先求出，再由A，B，D三点共线得=λ，根据方程两边对应向量的系数相等求出k的值．
【解答】解：由题意得，
=﹣=（3﹣）﹣（2+）=﹣2，
∵A，B，D三点共线，∴=λ，则﹣k=λ（﹣2），
解得λ=1，k=2．
故选B．
　
7．设函数f（x）=则f（）的值为（　　）
A．18
B．﹣
C．
D．
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【分析】直接利用分段函数，逐步求解函数值即可．
【解答】解：函数f（x）=，
f（2）=22+2﹣2=4，
则f（）=f（）=1﹣=．
故选：D．
　
8．方程log3x+x﹣3=0的零点所在区间是（　　）
A．（1，2）
B．（0，2）
C．（3，4）
D．（2，3）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由题意，根据函数零点的判定定理求选项中区间的端点函数值，从而得到．
【解答】解：令f（x）=log3x+x﹣3，
f（1）=1﹣3＜0，
f（2）=log32﹣1＜0，
f（3）=1＞0，
故所在区间是（2，3），
故选D．
　
9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）=sinx+1
B．f（x）=sinx+
C．f（x）=sin+1
D．f（x）=sin+
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象可求得A，最小正周期T=4可求得ω，再由0× +φ=0可求得φ，
=b可求得b，从而可求得f（x）的解析式．
【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象可知，A==，
b==1，
又最小正周期T=4=，
∴ω=；
又0× +φ=0，
∴φ=0．
∴f（x）的解析式为：f（x）=sin+1．
故选C．
　
10．已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程是（　　）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=
【考点】正弦函数的对称性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】通过函数的周期，求出ω，然后求出函数的对称轴方程，即可得到选项．
【解答】解：函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，所以ω=1，函数f（x）=sin（2x﹣），
它的对称轴为：2x﹣=kπ
k∈Z，x=
k∈Z，显然C正确．
故选C
　
11．在锐角△ABC中，设x=sinA sinB，y=cosA cosB．则x，y的大小关系为（　　）
A．x≤y
B．x＞y
C．x＜y
D．x≥y
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】运用特殊值法，令A=60°，B=45°代入x和y的表达式，可分别求得x和y的值，则二者的大小可知．
【解答】解：令A=60°，B=45°
x=sinA sinB=×=，y=cosA cosB=×=，∴x＞y．
故选：B．
　
12．y=cosx（cosx+sinx）的值域是（　　）
A．[﹣2，2]
B．[，2]
C．[，]
D．[﹣，]
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．
【分析】先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，根据正弦函数的性质求得函数的最大和最小值，则函数的值域可得．
【解答】解：y=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx=cos2x+sin2x+=sin（2x+）+，
∴ymax=，ymin=，
∴函数的值域为：[，]，
故选：C．
　
二、填空题（每题5分，共20分）
13．函数y=+的定义域是　[﹣1，1）∪（1，2）　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，且0指数幂的底数不等于0，且分式的分母不为0，且对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得﹣1≤x＜2且x≠1．
∴函数y=+的定义域是[﹣1，1）∪（1，2）．
故答案为：[﹣1，1）∪（1，2）．
　
14．若α、β∈（0，），且tanα=，tanβ=，则α﹣β的值是　　．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】根据α、β的取值范围，求出α﹣β的取值范围，再由tanα、tanβ的值求出tan（α﹣β），即得α﹣β的值．
【解答】解：∵α、β∈（0，），
∴﹣＜α﹣β＜；
又∵tanα=，tanβ=，
∴tan（α﹣β）=
=
=1；
∴α﹣β=．
故答案为：．
　
15．函数y=log0.2（x2﹣3x+2）的增区间是　（﹣∞，1）　．
【考点】复合函数的单调性．
【分析】先求出函数y=log0.2（x2﹣3x+2）的定义域，再由抛物线t=x2﹣3x+2开口向上，对称轴方程为x=，由复合函数的单调性的性质求函数y=log0.2（x2﹣3x+2）的增区间．
【解答】解：∵函数，
∴∴x2﹣3x+2＞0，
解得x＜1，或x＞2．
∵抛物线t=x2﹣3x+2开口向上，对称轴方程为x=，
∴由复合函数的单调性的性质，知：
函数y=log0.2（x2﹣3x+2）的增区间是（﹣∞，1）．
故答案为：（﹣∞，1）．
　
16．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），则下列命题：
①y=f（x）的最大值为；
②y=f（x）最小正周期是π；
③y=f（x）在区间上是减函数；
④将函数y=cos2x的图象向右平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是　①②③④　．
【考点】余弦函数的图象．
【分析】化简函数f（x）为余弦型函数，求出f（x）的最大值与最小正周期，并判断f（x）的单调性和图象平移问题．
【解答】解：函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+）
=cos（2x﹣）+cos（2x﹣+）
=cos（2x﹣）﹣sin（2x﹣）
=cos[（2x﹣）+]
=cos（2x﹣），
对于①，y=f（x）的最大值为，命题正确；
对于②，y=f（x）的最小正周期是T==π，命题正确；
对于③，x∈[，]时，2x﹣∈[0，π]，
cos（2x﹣）是单调减函数，
∴y=f（x）在区间上是减函数，命题正确；
对于④，将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，
得y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）的图象，命题正确；
综上，以上正确的命题是①②③④．
故答案为：①②③④．
　
三、解答题（共70分）
17．如图，在△ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，
=3，
=2，试用表示、、．
【考点】平面向量的基本定理及其意义；向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】利用D、E为边AB的两个三等分点，
=3，
=2，根据向量的线性运算，即可得到结论．
【解答】解：由题意，D、E为边AB的两个三等分点，
=3，
=2，
∴…
…
…
　
18．已知=（cosα﹣，﹣1），=（sinα，1），与为共线向量，且α∈[﹣，0]．
（1）求sinα+cosα的值；
（2）求的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（1）由两向量的坐标，以及两向量平行时满足的关系列出等式，整理即可求出sinα+cosα的值；
（2）将sinα+cosα=两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinα﹣cosα的值，原式分子利用二倍角的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵=（cosα﹣，﹣1），=（sinα，1），且与为共线向量，
∴cosα﹣=﹣sinα，
则sinα+cosα=；
（2）把sinα+cosα=，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，
即2sinαcosα=﹣，
∵α∈[﹣，0]，∴sinα＜0，cosα＞0，即sinα﹣cosα＜0，
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=﹣，
则原式==．
　
19．求证：
=．
【考点】三角函数恒等式的证明．
【分析】运用两角和差的正弦、余弦公式，由平方差公式和二倍角公式，同角的平方关系和商数关系，由左边化简整理即可得证．
【解答】证明：
=
===
==，
则有=．
　
20．设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．
【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域．
【分析】（Ⅰ）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值
（Ⅱ）通过x
的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f（x）在区间[]上的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx
=
=
=．
因为y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为π
又ω＞0，所以，解得ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=﹣sin（2x﹣），
当时，，
所以，
因此，﹣1≤f（x），
所以f（x）在区间[]上的最大值和最小值分别为：．
　
21．已知函数f（x）=sinx+cosx
（Ⅰ）求f（x）的周期和振幅；
（Ⅱ）在给出的方格纸上用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象
（Ⅲ）写出函数f（x）的单调递减区间．
【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式即可求f（x）的周期和振幅；
（Ⅱ）利用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象；
（Ⅲ）根据三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），
函数f（x）的周期为T=2π，振幅为2．…
（Ⅱ）列表：
x
﹣
x+
0
π
2π
y=2sin（x+）
0
2
0
﹣2
0
图象如上（作图不规范者扣1分）．
…
（Ⅲ）由2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，
解得：2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，
所以函数的递减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z
…
　
22．若函数y=f（x）对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，恒有f（x）＜0
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）若f（2）=1，解不等式f（﹣x2）+2f（x）+4＜0．
【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．
【分析】（1）令x=y=0，代入已知式并整理，可得f（0）=0．在已知等式中取y=﹣x，化简整理可得f（﹣x）=﹣f（x），从而得到函数f（x）是奇函数；
（2）用﹣y代替y，结合函数为奇函数证出f（x﹣y）=f（x）﹣f（y）．由此证出当x1＜x2时，f（x1﹣x2）=f（x1）﹣f（x2）＞0，从而得到函数f（x）在R上是单调减函数；
（3）求出f（8）=4，﹣[f（﹣x2）+2f（x）]=f（x2﹣2x），从而将原不等式转化成f（8）＜f（x2﹣2x），然后根据函数的单调性得到关于x的一元二次不等式，解之即可得到原不等式的解集．
【解答】解：（1）令x=y=0，可知f（0+0）=f（0）+f（0），解之得f（0）=0，
∴0=f（0）=f（﹣x+x）=f（﹣x）+f（x），移项得f（﹣x）=﹣f（x）
所以函数f（x）是奇函数；
（2）根据题意，得f（x﹣y）=f（x）+f（﹣y），
因为函数（x）是奇函数，得f（x﹣y）=f（x）﹣f（y）
设x1、x2∈R，且x1＜x2，得f（x1﹣x2）=f（x1）﹣f（x2）
∵当x＞0时，恒有f（x）＜0．x1﹣x2＞0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，得f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在R上是单调减函数；
（3）不等式f（﹣x2）+2f（x）+4＜0，
即4＜﹣[f（﹣x2）+2f（x）]，也就是4＜﹣f（﹣x2+2x）
∵f（2）=1，得f（8）=f（4）+f（4）=4f（2）=4
﹣f（﹣x2+2x）=f（x2﹣2x），且f（x）在R上是单调减函数，
∴原不等式可化为f（8）＜f（x2﹣2x），得8＞x2﹣2x，解之得﹣2＜x＜4
所以原不等式的解集为（﹣2，4）
　
2016年10月30日