2025-2026学年人教A版数学必修第二册单元测试：第九章 统计（含解析）

第九章 统计
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在以下调查中，适合用普查的是(　　)
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．调查一批LED灯的寿命
C．调查某城市居民的食品消费结构
D．调查一个班级学生的身高情况
2．①在一次满分为100分的测试中，有12人的成绩在90分以上，30人的成绩在60～80分，12人的成绩低于60分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为(　　)
A．分层随机抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，简单随机抽样
C．简单随机抽样，分层随机抽样
D．分层随机抽样，分层随机抽样
3．某市举行中小学教师演讲比赛．若将报名的50位教师编号为00，01，…，49，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从下面随机数表第1行第5列开始横向依次选取两个数字，重复的剔除，则选出来的第8个个体的编号为(　　)
45 67 32 12 12 31 02 01 04 52 15 20 01 12 51 29
32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．12 B．20
C．29 D．23
4．已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图①、图②所示．为了解各学段学生对航展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数(估计值)分别为(　　)
A．200，24 B．200，28　
C．100，24 D．100，28
5．有一组样本数据：1，1，2，2，3，3，4，4，4，6，则关于该组数据的数字特征中，数值最大的为(　　)
A．75%分位数 B．平均数　
C．极差 D．众数
6．为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下表，则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为(　　)
性别 学生数 平均分 方差
男生 6 80 4
女生 4 75 2
A．77.5，9.2 B．77.5，11　
C．78，9.2 D．78，11
7．下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图．
记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为s1；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为s2．根据上述信息，下列结论中正确的是(　　)
A．<，s1s2
C．>，s1，s1>s2
8．在某中学举行的百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[12，13)，第二组[13，14)，…，第六组[17，18]，得到如下频率分布直方图，则这100名学生的成绩的平均数和中位数(保留一位小数)分别是(　　)
A．15.2　15.4 B．15.1　15.4　
C．15.1　15.3 D．15.2　15.3
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(　　)
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
10．某社区通过公益讲座以普及社区居民的普法知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份普法知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于75%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
D．讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差
11．为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试．如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图．则下列关于这次考试成绩的估计正确的是(　　)
A．众数为82.5　
B．第80百分位数约为91.7
C．平均数为88　
D．没有一半以上干部的成绩在80～90分之间
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．如图，某学校共有教师200人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师为________人．
13．已知样本数据x1，x2，x3，x4的平均数是4，方差为2，现样本加入新数据3，4，5，则加入数据后新样本的方差是________．
14．某校进行了物理学业质量检测考试，将考试成绩进行统计并制成如下频率分布直方图，则a的值为________；考试成绩的中位数为________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)为了对某课题进行讨论研究，用按比例分配分层随机抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据如下表所示(单位：人)．
高校 相关人数 抽取人数
A x 1
B 36 y
C 54 3
(1)求x，y；
(2)若从高校B的相关人员中选2人作专题发言，应采用什么抽样方法？请写出合理的抽样过程．
16．(本小题满分15分)(教材原题·P217习题9.2 T9)在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年，在50名员工中，最高年收入达到了200万，员工年收入的平均数是10万”，而你的预期是获得9万元年薪．
(1)你是否能够判断年薪为9万元的员工在这家公司算高收入者？
(2)如果招聘员继续告诉你，“员工年收入的变化范围是从3万到200万”，这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定？为什么？
(3)如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的第一四分位数为4.5万，第三四分位数为9.5万，你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定？
(4)根据(3)中招聘员提供的信息，你能估计出这家公司员工收入的中位数是多少吗？为什么平均数比估计出的中位数高很多？
17．(本小题满分15分)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将20只小鼠均分为两组：对照组(不加药物)和实验组(加药物)．测得20只小鼠体重(单位：g)如下：
对照组：20.1 20.4 20.1 20.0 20.1 20.3 20.6 20.5 20.4 20.5
实验组：19.8 20.3 20.0 20.2 19.9 19.8 20.0 20.1 20.2 19.7
对照组和实验组的小鼠体重的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
(1)求；
(2)判断该药物对小鼠的生长是否有显著的抑制作用(若，则认为该药物对小鼠的生长有显著的抑制作用，否则不认为有显著的抑制作用)．
18．(本小题满分17分)某学校400名学生参加某次测评，根据男、女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求出分数低于50分的频率；
(2)估计总体400名学生中分数大于70分的人数；
(3)根据该学校规定，把成绩位于后25%的学生划定为不及格，把成绩位于前25%的学生划定为优秀．根据频率分布直方图，确定本次测试的及格分数线与优秀分数线．
19．(本小题满分17分)某校艺术团共有150人，男生与女生的比例是2∶1．为了解艺术团全体学生的身高，按性别比例进行分层随机抽样，抽取样本量为30的样本，并观测样本身高数据(单位：cm)．已知男生样本的身高平均数为169，标准差为．下表是抽取的女生样本的数据：
抽取 次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163
记抽取的第i个女生的身高为xi(i＝1，2，3，…，10)，样本平均数＝160，标准差s＝．
(1)用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试估计艺术团女生总体身高在[160，165]范围内的人数；
(2)用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数μ和方差σ2，求μ，σ2的值；
(3)若女生样本数据在(－2s，＋2s)之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差．
参考数据：≈3.9，1592＝25 281，1692＝28 561．
参考答案
1．D　[A选项，每个批次生产的汽车的数量非常多，且调查汽车抗撞击能力具有破坏性，不适合使用普查，应使用抽样调查； B选项，调查一批LED灯的寿命具有破坏性，不宜使用普查，应使用抽样调查； C选项，某城市居民数量非常多，不适合使用普查，应使用抽样调查； D选项，一个班级学生的身高情况，人数较少，适合用普查．故选D．]
2．A　[对于①，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当；对于②，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当．故选A．]
3．B　[根据随机数表的读数规则，依次从随机数表中读出的有效编号为32，12，31，02，01，04，15，20，得到选出来的第8个个体的编号为20．故选B．]
4．D　[样本量为(4 000+3 500+2 500)×1%=100，
抽取的初中生人数为4 000×1%=40，
所以抽取的初中生里购买航展模型的人数约为40×70%=28．故选D．]
5．C　[在这组样本数据中，75%分位数是4，
平均数是=3，
极差是6-1=5，众数是4，
在以上四个数中，显然是极差5最大．故选C．]
6．C　[由均值和方差公式直接计算．
可估计全班学生数学的平均分为80×+75×=78，方差为×[4+(80-78)2]+×[2+(75-78)2]=9.2．故选C．]
7．B　[甲地1日至7日最低气温均低于或等于乙地，则甲地最低气温平均值小于乙地，即<；
标准差是反应一组数据的波动强弱的量，
由题图可知甲地最低气温明显波动性较大，则标准差值要大，即s1>s2．故选B．]
8．C　[100名学生成绩的平均数=12.5×0.10+13.5×0.15+14.5×0.15+15.5×0.30+16.5×0.25+17.5×0.05=15.1，
因为前三组小矩形的面积和为0.10+0.15+0.15=0.4，
前四组小矩形的面积和为0.10+0.15+0.15+0.30=0.7，
所以中位数位于第四组内，设中位数为a，
则有0.30(a-15)=0.1，
解得a≈15.3．故选C．]
9．CD　[设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为+c，m+c，σ，t，因为c≠0，所以CD正确，故选CD．]
10．ABD　[对于A，讲座前问卷答题的正确率的中位数为=72.5%<75%，所以A正确；
对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为=89.5%，
所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，所以B正确；对于C，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%，所以C错误；对于D，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以D正确．故选ABD．]
11．AB　[由题图知，众数出现在[80，85)内，故众数为82.5，故A正确；该次考试成绩在90分以下所占比例为5×(0.01+0.03+0.06+0.05)=0.75，
在95分以下所占比例为5×(0.01+0.03+0.06+0.05+0.03)=0.9，
因此，第80百分位数一定位于内，
所以第80百分位数为90+5×≈91.7，故B正确；由(0.01×72.5+0.03×77.5+0.06×82.5+0.05×87.5+0.03×92.5+0.02×97.5)×5=85.5，故C错误；由(0.06+0.05)×5=0.55>0.5，有一半以上干部的成绩在80~90分之间，故D错误．故选AB．]
12．18　[青年教师的比例为30%，所以青年教师被抽到的人数为60×30%=18．]
13．　[由题意，知=4，s2=2，所以(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2=8，
加入3，4，5后，显然新样本平均数=4=，则新样本的方差=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=．]
14.0．035　　[由频率分布直方图可知，(0.005+0.010+0.015×2+0.020+a)×10=1，
所以a=0.035．
设中位数为x，
则(0.010+0.015+0.020)×10+(x-70)×0.035=0.5，所以x=．]
15．解：(1)因为分层随机抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有==，故x=18，y=2．
(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：
第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36；
第二步，将号码分别写在大小、质地完全相同的纸片上，揉成团，制成号签；
第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀，依次不放回地抽取2个号码，并记录上面的编号；
第四步，把与号码相对应的人选出，即可得到所要的样本．
16．(教材原题·P217习题9.2 T9)
解：(1)能．因为平均收入和最高收入相差太大，说明高收入的员工占极少数，现在已经知道至少有一个人的年收入为200万元，那么其他员工的年收入之和为xi=10×50-200=300(万元)，每人平均收入约6.12万元．
如果再有几个收入特别高的，那么公司其他的员工的收入将会更低，所以能认为年薪为9万元的员工在这家公司算高收入者．
(2)不能．因为年收入200万元这个极端值对均值的影响很大，中位数不受均值的影响，判断是否受聘还要看中位数是多少，由“员工年收入的变化范围是从3万到200万”不能估计中位数的大小．
(3)能．由第一和第三四分位数知，有75%的员工年收入在9.5万元以下，其中25%的员工年收入在4.5万元以下，所以在该公司获得9万元的年薪是有难度的．
(4)收入的中位数大约是7万元，因为受年收入200万元这个极端值的影响，所以平均数比中位数高很多．
17．解：(1)=(20.1+20.4+20.1+20.0+20.1+20.3+20.6+20.5+20.4+20.5)=20.3，
=(19.8+20.3+20.0+20.2+19.9+19.8+20.0+20.1+20.2+19.7)=20，
=(0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22)=0.04，
=(0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32)=0.036．
(2)依题意，-=0.3=2，2=2=2，
-<2，
所以该药物对小鼠的生长没有显著的抑制作用．
18．解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不低于50分的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，
所以样本中分数低于50分的频率为1-0.9=0.1．
(2)根据频率分布直方图可知，样本中分数大于70分的频率为(0.04+0.02)×10=0.6，
所以总体400名学生中分数大于70分的人数约为0.6×400=240．
(3)设本次测试的及格分数线为x，分数小于70分的频率为1-(0.04+0.02)×10=0.4，
分数小于60分的频率为1-(0.02+0.04+0.02)×10=0.2，
所以x∈[60，70)，即0.2+(x-60)×0.02=0.25，解得x=62.5，则本次测试的及格分数线为62.5分．
设本次测试的优秀分数线为y，分数大于70分的频率为(0.04+0.02)×10=0.6，
分数大于80分的频率为0.02×10=0.2，所以y∈[70，80)，即0.2+(80-y)×0.04=0.25，解得y=78.75，
则本次测试的优秀分数线为78.75分．
19．解：(1)∵在女生样本中，身高在[160，165]的频率为=0.4，∴艺术团女生总体身高在[160，165]范围内的人数估计为150××0.4=20．
(2)由题意知，男生样本的身高平均数为169，方差为39，女生样本的身高平均数为160，方差为15，
则总样本的平均数为=166，
方差为×[39+(169-166)2]+×[15+(160-166)2]=49，
∴μ=166，σ2=49．
(3)由题意知，(-2s，+2s)=(160-2，160+2)≈(152.2，167.8)，
由样本数据可知，169 (160-2，160+2)，
∴169为偏离值，
剔除169后，女生样本的身高平均数=×(160×10-169)=159，
由s2=-10=-256 000=15，
得=256 150，
则剔除169后，女生样本的身高的方差s'2=-1692-9'2=(256 150-28 561-9×25 281)=．