2025-2026学年人教A版数学必修第二册单元测试：第十章 概率（含解析）

第十章 概率
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下一些说法，正确的是(　　)
A．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
B．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖
C．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
D．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的
2．已知A，B，C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P(A)＝0.2，P(C)＝0.7，则P(A∪B)＝(　　)
A．0.2　　　B．0.5　　　C．0.6　　　D．0.9
3．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是(　　)
A．
C．
4．王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件P表示“抽中甲、乙两位同学”，事件Q表示“抽中甲、丙两位同学”，则(　　)
A．P是必然事件 B．Q是不可能事件
C．P与Q是互斥事件 D．P与Q是对立事件
5．若古典概型的样本空间Ω＝{1，2，3，4}，事件A＝{1，2}，事件A，B相互独立，则事件B可以是(　　)
A．{1，3} B．{1，2，3}
C．{3，4} D．{2，3，4}
6．(2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A．
C．
7．如图，A，B，C表示某系统的3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.85，0.8，0.75，那么系统可以正常工作的概率为(　　)
A．0.064 5 B．0.995 5
C．0.499 5 D．0.992 5
8．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10∶10平后，先多得2分者为胜方，在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，甲先发球，则甲以13∶11赢下此局的概率为(　　)
A．
C．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)＝，P(A∪B)＝，P(A∪C)＝，则(　　)
A．P(B∩C)＝ B．P(B)＝
C．P(B∪C)＝ D．P(C)＝
10．(教材P253习题10.2 T5改编)如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，设事件A＝{1，2，7，8}，事件B＝“得到的点数为偶数”，事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是(　　)
A．事件B与C互斥
B．P(A∪B)＝
C．事件A与C相互独立
D．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
11．某社团开展学党史知识竞赛，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是(　　)
A．两人均获得满分的概率为
B．两人至少一人获得满分的概率为
C．两人恰好只有甲获得满分的概率为　
D．两人至多一人获得满分的概率为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为________．
13．已知某艺术协会的会员中，喜爱书画或戏曲的会员占，喜爱书画的会员占，同时喜爱书画、戏曲的会员占．现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为________．
14．某市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两队队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢两个球者获胜．通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响．已知某局甲先发球，该局打四个球，甲赢的概率是________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)(教材原题·P247习题10.1T12)假设有5个条件类似的女孩(把她们分别记为A，B，C，D，E)应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用．如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：
(1)女孩A得到一个职位；
(2)女孩A和B各得到一个职位；
(3)女孩A或B得到一个职位．
16．(本小题满分15分)已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个(小球除颜色、标号外均相同)．
(1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率；
(2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率．
17．(本小题满分15分) (教材原题·P267复习参考题10T8)某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的．
(1)在如图的树状图中填写样本点，并写出样本空间；
(2)求李明第二次答题通过面试的概率；
(3)求李明最终通过面试的概率．
18．(本小题满分17分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)(单位：℃)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温 /℃ [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
19．(本小题满分17分)某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间内，按，，，，，分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1．
(1)求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．
参考答案
1．C　[根据概率的意义逐一判断可知C正确，A，B，D不正确．]
2．B　[因为事件B与事件C互为对立，
所以P(B)=1-P(C)=0.3，
因为事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5．故选B．]
3．D　[由题意，先后抛掷硬币三次，构成的样本点为{正正正}，{正正反}，{正反正}，{反正正}，{正反反}，{反正反}，{反反正}，{反反反}，共8个，
其中，至少一次正面向上所包含的样本点为{正正正}，{正正反}，{正反正}，{反正正}，{正反反}，{反正反}，{反反正}，共7个，
所以至少一次正面向上的概率P=．故选D．]
4．C　[从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访，所有的样本点构成的样本空间为{(甲乙)，(甲丙)，(乙丙)}，
对于A，P不一定发生，故不是必然事件；
对于B，Q可能发生，所以不是不可能事件；
对于C，P与Q不能同时发生，故P与Q是互斥事件；
对于D，P 与Q不能同时发生，但P∪Q不是全部事件，所以P与Q不是对立事件．故选C．]
5．A　[由题意得P(A)==，
A选项，P(B)==，A∩B={1}，故P(A∩B)=，
所以P(A∩B)=P(A)P(B)，故事件A，B相互独立，A正确； B选项，P(B)=，A∩B={1，2}，故P(A∩B)==，所以P(A∩B)≠P(A)P(B)，故事件A，B不相互独立，B错误； C选项，P(B)==，A∩B= ，故P(A∩B)=0，所以P(A∩B)≠P(A)P(B)，故事件A，B不相互独立，C错误； D选项，P(B)=，A∩B={2}，故P(A∩B)=，所以P(A∩B)≠P(A)P(B)，故事件A，B不相互独立，D错误．故选A．]
6．C　[从6张卡片中无放回抽取2张，共有，(2，5)，(2，6)，，(4，6)，(5，6)，15种等可能情况，
其中数字之积为4的倍数的有，6种等可能情况，故概率为=．故选C．]
7．D　[因为A，B，C表示某系统的3个开关相互独立，三个中至少有一个正常工作即可，所以P=1-(1-0.85)×(1-0.8)×(1-0.75)=1-0.15×0.2×0.25=0.992 5．]
8．C　[由题意，此局分两种情况：
(1)后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为×××=；
(2)后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为×××=，
所以所求事件概率为+=．故选C．]
9．BCD　[对于A，因为事件A，B，C两两互斥，
所以P(B∩C)=0，故A错误；
对于B，由P(A∪B)=P(A)+P(B)=+P(B)=，
得P(B)=，故B正确；
对于D，由P(A∪C)=P(A)+P(C)=+P(C)=，
得P(C)=，故D正确；
对于C，因为P(B∪C)=P(B)+P(C)=+=，故C正确．故选BCD]．
10．BCD　[事件A={1，2，7，8}，事件B={2，4，6，8}，事件C={2，3，5，7}，P(A)=P(B)=P(C)=．
对于A，事件B，C有相同的样本点2，事件B与C不互斥，A错误；
对于B，P(AB)==，
则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=，B正确；
对于C，P(AC)===P(A)P(C)，事件A与C相互独立，C正确；
对于D，P(ABC)==P(A)P(B)P(C)，D正确．故选BCD．]
11．BCD　[∵甲、乙两人能得满分的概率分别为，两人能否获得满分相互独立，
分别记甲、乙得满分的事件为M，N，则P=，
P=，M，N相互独立，
∴两人均获得满分的概率为
P(MN)=P(M)P(N)=×=，故A 正确；
两人至少一人获得满分的概率为
1-P=1-(1-P)(1-P)=1-=，故B错误；
两人恰好只有甲获得满分的概率为
P=P(1-P)=×=，故C错误；
两人至多一人获得满分的概率为
1-P=1-=，故D 错误．故选BCD．]
12.4　[从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种情况，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)三个数字之和为奇数，共有4种．]
13．　[记事件A=“该会员喜爱书画”，事件B=“该会员喜爱戏曲”，
由题意，知P(A∪B)=，P(A)=，P(A∩B)=，
由概率的基本性质，知P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，
则=+P(B)-，解得P(B)=，
即从该协会中随机抽取一人，该会员喜爱戏曲的概率为．]
14．　[由于连赢两球者赢，甲先发球可分为
该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢，则所求概率为×××=．]
15．(教材原题·P247习题10.1T12)
解：5个人，2个职位，每个人被录用的机会相等，该试验的样本空间可表示为Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}，共有10个样本点．
(1)A得到一个职位包含4个样本点，故其概率为P1==．
(2)A，B各得到一个职位包含1个样本点，故其概率为P2=．
(3)A或B得到一个职位包含7个样本点，故其概率为P3=．
16．解：(1)分别记6个小球为a1，b1，a2，b2，a3，b3，从中任取3个小球有：(a1，b1，a2)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，a3)，(a1，b1，b3)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，a3)，(a1，a2，b3)，(a1，b2，a3)，(a1，b2，b3)，(a1，a3，b3)，(b1，a2，b2)，(b1，a2，a3)，(b1，a2，b3)，(b1，b2，a3)，(b1，b2，b3)，(b1，a3，b3)，(a2，b2，a3)，(a2，b2，b3)，(a2，a3，b3)，(b2，a3，b3)，共20种等可能结果．
3个小球上标号均不相同的有：
(a1，a2，a3)，(a1，a2，b3)，(a1，b2，a3)，(b1，a2，a3)，(b1，b2，a3)，(b1，a2，b3)，(a1，b2，b3)，(b1，b2，b3)，共8种，
所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为=．
(2)每次取球都有6种取法，所以总的取法有36种．
2个小球上标号相同的取法有：(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，(b1，a1)，(b2，a2)，(b3，a3)，(a1，a1)，(a2，a2)，(a3，a3)，(b1，b1)，(b2，b2)，(b3，b3)，共12种取法，
所以2个小球上标号相同的概率为=，
所以取出的2个小球上标号不相同的概率为1-=．
17．(教材原题·P267复习参考题10T8)
解：(1)如图所示：
样本空间Ω={Y，NY，NNY，NNN}．
(2)∵P(Y)=0.6，P(N)=1-P(Y)=0.4，
∴P(NY)=P(N)P(Y)=0.4×0.6=0.24．
(3)∵李明未通过面试的概率为
P(NNN)=0.43=0.064，
∴李明通过面试的概率为1-P(NNN)=0.936．
18．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表中数据可知，最高气温低于25 ℃的频率为=0.6．所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6．
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20 ℃，则Y=200×6+(450-200)×2-450×4=-100；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y=300×6+(450-300)×2-450×4=300；
若最高气温不低于25 ℃，则Y=450×(6-4)=900，
所以利润Y的所有可能值为-100，300，900．
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为=0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8．
19．解：(1)由频率分布直方图，可得0.05+0.12+a+b+0.2+0.08=1，则a+b=0.55，①
因为居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1，
所以0.05+0.12+a+×b=0.6，
则a+0.6b=0.43，②
将①与②联立，解得
所以平均值为0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3×8+0.2×9+0.08×10=7.72．
(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙可支配收入在[7.5，8.5)内，则P=P=P=0.3．
①“抽取3人中有2人可支配收入在[7.5，8.5)内”=AB ∪AC∪BC，且AB，AC，BC两两互斥，
P1=P=0.3×0.3×+0.3××0.3+×0.3×0.3=0.189．
②“抽取3人中有3人可支配收入在[7.5，8.5)内”=ABC，
P2=P=PPP=0.3×0.3×0.3=0.027．
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5)内的概率P=P1+P2=0.189+0.027=0.216．