黑龙江省哈尔滨市五常市雅臣中学2025-2026学年高二上学期期末强化数学试卷（含解析）

黑龙江省五常市雅臣中学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）

A． B．
C． D．
3．直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．在等比数列中，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段AB的中点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知等比数列中，公比为，，且，，11成等差数列，又，数列的前项和为，则（ ）
A．1013×1012 B． C．1012×2023 D．1012×2024
7．过点向圆可以作两条切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
9．已知双曲线：，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ）
A．实轴长为6 B．焦点坐标为，
C．离心率为 D．渐近线方程为
10．若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点，则以下命题正确的是（ ）
A．
B．
C．，使得
D．设与的夹角为，则
11．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ）
A．等差数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列是等差比数列
D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
三、填空题
12．已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 .
13．已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为 .
14．若数列满足（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为 .
四、解答题
15．已知：直线：与直线：交于点P．
(1)求直线和交点P的坐标．
(2)若过点P的直线l与两坐标轴截距互为相反数，求l的直线方程．
16．已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点.
(1)求的标准方程；
(2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程.
17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．
18．记数列的前项和为，满足.记数列的前项和为，满足，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
19．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)（i）求的最小值；
（ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值.
参考答案
1．B
【详解】直线为平行于轴的直线，
所以倾斜角为.
故选：B
2．B
【详解】记线段的中点为，由正四面体的性质可知，为的重心，

因为为的中点，则，所以，，
所以，，所以
所以
.
故选：B.
3．C
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：.
4．B
【详解】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
又由a3＝6，a4＝18，则q＝＝3，
则a1＝，a2＝，
则a1+a2＝2；
故选B．
5．A
【详解】线段AB的中点P设为，则，
点A在圆上运动时，
线段AB的中点M的轨迹方程是，
整理得．
故选：A
6．C
【详解】∵，，11成等差数列，
∴，，
又，故，
，所以数列为等差数列，
所以，公差，
故.
故选：C.
7．A
【详解】依题意，得点在圆外，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
8．A
【详解】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限，
在第一象限内，由，得，则，
所以，即，所以点的坐标为，
所以的最小值为点到直线的距离，即.
故选：A.
9．AC
【详解】根据题意可得，，所以，
所以双曲线的实轴长为，故A正确；
双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，故B错误；
双曲线的离心率为，故C正确；
双曲线的渐近线方程为，即，故D错误.
故选：AC.
10．BCD
【详解】对于A，当且平面时，才满足，故A错误；
对于B，若，则，若，则，即可得到，故B正确；
对于C，若，则，则，使得，若，使得则，所以，故C正确；
对于D，设与的夹角为，则，所以，故D正确.
故选：BCD.
11．BCD
【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误；
若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确；
若，，数列是等差比数列，所以C选项正确；
若等比数列是等差比数列，则，
，所以D选项正确.
故选：BCD
12．
【详解】由题意得，则，解得；
当，则，此时，舍去.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
13．
【详解】设，因为点在圆上运动，
所以，且，
又点，，，
所以
，
令，函数为减函数，又，
所以当时，取最大值，
当时，取最小值.
所以取的最大值与最小值之和为.
故答案为：
14．
【详解】因为数列为调和数列，所以，故为等差数列．
由，得，所以，
所以，故，故，
当且仅当或时取等号，
由于，当且仅当时取得最大值，
故的最大值为．
故答案为：
15．(1)
(2)或
【详解】（1）解方程组 ，
解得 ，
∴点的坐标为,
（2）直线的斜率显然存在且不为0，设：
令，得，令，得，
所以
∴，∴或，
得为：或
16．(1)
(2)或.
【详解】（1）解：联立方程组，解得，即，
因为圆的圆心在轴上，可设圆的方程为，
又因为圆过点和点，则，
即，解得，所以，
故圆的标准方程为.
（2）解：因为，则圆心到直线的距离为，
当斜率不存在时，直线的一般方程为，此时，符合题意；
当存在斜率时，设的方程为，即，
则，解得，所以的一般方程为，
综上所述，直线的一般方程为或.
17．（1）．（2）．
【详解】（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点，
∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），
（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），
设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ，
则cosθ，
∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．
（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），
设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），
解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），
（0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0），
设平面APC的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，﹣1，），
平面ADP的法向量（1，0，0），
∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，
∴|cos|，
解得，∴P（0，，），
∴PF的长度|PF|．
18．(1)，
(2)
【详解】（1），当时，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
由得，
整理得①，②
②-①得，即
即数列是等差数列，，，，
（2）
，
，
两式相减，
即数列的前项和.
19．(1)；
(2)；证明见解析．
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即，
又椭圆离心率为，所以，则，
所以椭圆C的方程为：
（2）（i）由椭圆方程得，，设，
因为点M在椭圆C上，所以，即，
所以，
所以，
当，即M为椭圆上下顶点时，，
所以求的最小值为；
（ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：，
联立，消去x得，
方程的判别式，
设，，则由韦达定理得，
则，
注意到，即，
所以，
所以