内蒙古呼和浩特市2026届高三上学期期末考试数学试卷（含解析）

内蒙古呼和浩特市2025-2026学年高三上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．向量，，，若，则k的值是（ ）
A．4 B．－4 C．6 D．－6
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，则（ ）
A． B．28 C．4 D．16
6．正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前10个正方形的面积和为（ ）
A． B． C． D．
7．为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
8．已知首项为3的数列的前n项和为，若，则（ ）
A．3 B． C． D．－2
二、多选题
9．已知圆，直线，则（ ）
A．圆C的圆心坐标为
B．直线l的方向向量和共线
C．当直线l与圆C相切时，或
D．当时，l与圆C的相交弦长度为2
10．下列说法正确的有（ ）
A．样本数据1，1，2，3，5，8的分位数为2
B．设样本数据、、…、的平均数为，则函数取到最小值时
C．在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越大
D．在一组样本数据，，…，（，、不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为1
11．已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（ ）
A．此正四面体的表面积为
B．此正四面体外接球的表面积为
C．此正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
D．从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为
三、填空题
12．已知，，则 ．
13．设随机变量的概率分布为，k＝1、2、3、4、5，则 ．
14．已知，，点P在函数的图象上，则面积的最大值为 ．
四、解答题
15．某班组织竞赛活动，规定比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答．假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题目且另外2道题不能完成．
(1)求甲正确完成其中2道题的概率；
(2)设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望．
16．已知奇函数和偶函数满足．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
17．记的内角的对边分别为,．
(1)求A；
(2)若，在AB边上存在一点D，使得，连接CD，若的面积为，的平分线交CD于点E，求的值．
18．在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此．
(1)将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标；
(2)已知曲线，绕原点逆时针旋转得到曲线．
（ⅰ）求曲线的方程；
（ⅱ）P为曲线上一点，P不在x轴上，过P作交曲线于B，D两点，求证：BD与曲线在P点处的切线垂直．
19．如图，在三棱锥中，已知，，且，．

(1)若，，求证：；
(2)在（1）的条件下，求二面角的余弦值；
(3)若，求二面角余弦值的最小值．
参考答案
1．D
【详解】因为，或，
所以，又因为，
所以.
故选：D
2．A
【详解】由题意有：，，
所以，
故选：A.
3．D
【详解】向量，，则
因为，
所以，
故选：D
4．A
【详解】即为，
故的解集为，
而为的真子集，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
5．B
【详解】抛物线的焦点坐标为，
所以椭圆的，且焦点在轴上，
则.
故选：B.
6．C
【详解】作出示意图如图所示：

第一个正方形是，记为，
由平面几何知识可得第二个正方形的边长为，
所以正方形的面积为，记为，
依次类推可得第三个正方形的面积为，记为，
可得第个正方形的面积为，
所以正方形的面积可依次排成一个以为首项，为公比的等比数列，
所以前10个正方形的面积和为.
故选：C.
7．A
【详解】把的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为，
再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为.
故选：A.
8．B
【详解】因为，则，
所以，则，即，
因为，所以，，
，，
所以数列是以为周期的数列，
故.
故选：B.
9．BCD
【详解】对于A，圆的圆心坐标为，A错误；
对于B，直线的方向向量为和共线，B正确；
对于C，圆的圆心坐标为，半径，
当直线l与圆C相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，
解得或，C正确；
对于D，当时，，即，
计算圆心到直线的距离为，说明直线l过圆心，
此时直线与圆C的相交弦长度为2，D正确；
故选：BCD.
10．ABD
【详解】对于A，因为，所以样本数据的分位数为2，故A正确；
对于B，由
，函数开口向上，对称轴为，
则函数取到最小值时，故B正确；
对于C，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，
即犯错误的概率越小，故C错误；
对于D，由题意，在散点图中，所有样本点都在直线上，
说明这组数据的样本完全正相关，其相关系数是1，故D正确.
故选：ABD
11．BC
【详解】A：因为正四面体每个面都是边长为2的正三角形，
所以此正四面体的表面积为，因此本选项说法不正确；
B：把该正面体放在正方体中，如下图所示：
设该正方体的棱长为，则有，
所以该正方体的对角线长为，
所以该正方体外接球的半径为，
所以该正四面体外接球的半径为，
所以该正四面体外接球的表面积为，因此本选项说法正确；

C：设此正四面体内任意一点为，
它到该正四面体四个面的距离分别为，
设点到平面的距离为，显然为一常数，
因为该正四面体每个面都是边长为2的正三角形，设每个面的面积为，
所以有，
即为定值，所以本选项说法正确；
D：设的中点为，连接，
因为是正三角形，
所以，
因为平面，
所以平面，而平面，
所以，同理可证，，
除了这三对互相垂直，其他的棱之间成的角为，
所以从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为，
所以本选项说法不正确.
故选：BC

12．
【详解】由题意可得，，则，
则，则，得或，
因为，所以，则.
故答案为：
13．/0.1
【详解】由题意可知：随机变量的所有可能值的概率和为1，
即，
则，
则，
∴，
故答案为：.
14．2026
【详解】由题意，，
当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，则；
当时，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，则.
由于，所以面积的最大值为2026.
故答案为：2026.
15．(1)
(2)分布列见解析；
【详解】（1）令事件为甲正确完成其中2道题，
所以；
（2）由已知有：的可能取值为，
所以，
所以的分布列为：
所以.
16．(1)证明见详解
(2)1
【详解】（1）在中，用代替，可得，
又是奇函数，是偶函数，则，，
所以，又，
两式相减得，两式相加得，
所以，
，，当且仅当，即时，取等号；
所以，
所以成立.
（2）由（1），，则，
令，则，
由（1）知，则对，有，
所以即在上单调递增，又，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以的最小值为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）∵，
∴，
∵，∴，
∴，∴.
（2）∵，∴，
∵，即，
∴，
在中，即，
∴，
∴，
∴，
∴.
18．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）由题意可得，，则；
（2）（ⅰ）设曲线上任意一点为，且，将其绕原点逆时针旋转得到点，
则，得，
则，即，
故曲线的方程为；
（ⅱ）设，且，，
由题意可知，过点的切线斜率存在，故设切线方程为，
联立，得，
则，
即
，
则，
当直线的斜率存在时，设直线，，
联立，得，
则，
则，
，
因为，所以
，
则，
即，即，
因为直线不过点，所以，
则，得，
则，此时BD与曲线在P点处的切线垂直；
当直线的斜率不存在时，设直线，其中或，，
联立，得，则，
则
，不符合题意.

综上，BD与曲线在P点处的切线垂直．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：因为，，，
所以，，，
所以，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）由（1）可知，，，，
以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
，，
设平面的一个法向量为：，
，则，令，则，，
所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为：，
所以，
由于二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
（3）在所在平面内，由且，满足椭圆定义，
在所在平面内，以的中点为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，
故点的轨迹方程为，
在所在平面内，由可知，在所在平面内，
以的中点为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，
故点轨迹方程为.
过点作，垂足为，连接，

由，，
，平面，得面，
又平面，所以.
故是二面角的平面角，
在中，，
设，，
因为，所以，
，
两式作差可得：，即，
所以.
即二面角的余弦值最小为，
当且仅当即，时取等号.