湖南省-长沙市湖南师范大学附属中学2025-2026学年上学期期末高一数学试卷（PDF版，含解析）

高一数 学 期 末
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.)
座位号 1.已知集合A={-2,1,3,4,5},B={x∈R|2x-6≥0},则A∩CRB=
A.{3,4,5} B.(—2,1)
C.{-2,1} D.{—2,1,3}
2.命题“Vx≥1,lg x≥0”的否定为
A.3x≤1,lg x<0 B. Vx≤1,lg x<0
考场号_ C. Vx≥1,lg x<0 D.3x≥1,lg x<0
3.已知函数f(x)是定义在区间[0,十∞]上的函数，且在该区间上单调递增，若x满足f(2x—1)<
f(3),则x的取值范围是
学号 密封线内不要答题 A.(2,) B[3,3] c.(2,3) D.(3,)4.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=A.3m—2n B.—2m+3n姓名_ C.3m+2n D.2m+3n5.已知向量a,b满足a+b=(2,3),a—b=(-2,1),则|a|2一|b|2=
A.—2 B.-1 C.0 D.1
6.已知a>0,b>0且ab=a+b+3,则ab的最小值是
A.9 B.1 C.3 D.√3
班级 7.若函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,u>0,0<1ql<2)的部分图象如图所示，则
y↑
m
0
2 x
年级 -m
A.w=2,φ=6 B.①=2,φ=-6
C.w=3,φ=4 D.w=3,φ=-4
高一数学试题(T) 第1页(共6页)
8.已知函数f(x)=e—e*+In(√x2+1+x)+1,则关于x的不等式f(x2—2x)+f(3x)>2的解
集为
A.(0,十∞) B.(一1,0)
C.(一∞,—1) D.(一∞,—1)U(0,+∞)
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.下列说法正确的是
A.“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件
B.若a>b>c>0,则C.若x>1,则x+ 一1的最小值为2
D.Vx∈R,|x|+1≥1
10.已知函数f(x)=2sin(2x+笞),把函数f(x)的图象沿x轴向左平移6个单位长度，得到函数
g(x)的图象.则下列说法不正确的是
A.函数g(x)是奇函数
B.当z∈[0,]时，函数g(x)的值域是[-1,2]
C.函数g(x)图象关于直线x=—4对称
D.函数g(x)在区间[4,否]上单调递增
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1)是偶函数，当x∈[0,1],f(x)=x2+x,则
A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
B.4是函数f(x)的周期
C.f(2023)+f(2024)=0
D.方程f(x)=|In x|恰有4个不同的根
答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
高一数学试题(T) 第2页(共6页)
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12.已知幂函数f(x)的图象过点(27,3√3),则(g)=____
13.tan 20°+tan 40°+√3tan 20°tan 40°=_____.
14.如图，有一块扇形草地OMN,已知半径为R,∠MON=2,现要在其中圈出一块矩形场地ABCD
作为儿童乐园使用，其中点A,B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN,则矩形ABCD的面
积S最大值为_____.
Q
D C
M N
A B
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分13分)
已知fca)=csos( +asim( +a)
(1)利用诱导公式将f(a)化简，并求f(3)值；
(2)若f(α)=-2,求osa+sin’acosa的值.
高一数学试题(T)第3页(共6页)
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=log x+1为奇函数，且a≠-1.
(1)求实数a的值；
(2)设g(x)=f(x)—log (x-a),若不等式g(x)值范围.
17.(本小题满分15分)
把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是0℃,室温是00℃,那么t min后物体的温度θ
(单位：℃)可由公式θ=0o+(θ —0o)a'求得，其中a是一个随着物体与空气的接触情况而定的正
常数.某日室温为20℃,上午9点小泽使用某品牌电热养生壶烧1升水(假设加热时水温随时间
变化为一次函数，且初始温度与室温一致),8分钟后水温达到100℃,9点18分时，壶中热水自
然冷却到60℃.
(1)求9点起壶中水温θ(单位：℃)关于时间t(单位：分钟)的函数θ=f(t);
(2)若当日小泽在1升水沸腾(100 ℃)时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保
温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值40℃时，设备不加热，当壶内水温
不高于临界值40℃时，开始加热至90℃后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶(在保
温状态下)多长时间后第二次开始加热 (结果保留整数)
(参考数据：1g2≈0.301,lg 7≈0.845)
高一数学试题(T)第4页(共6页)
18.(本小题满分17分)
已知a=(一1,2√3),b=(sin x—cos x,sin rcos x),函数f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的解析式及图象的对称中心；
(2)若f(+2)=-233,且5(3)设g(x)=sin x+cos x,若方程mf(x-12)+2g(x)=0在x∈(0,)上有解，求实数m的取
值范围.
高一数学试题(T)第5页(共6页)
19.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=sin x,g(x)=cos x.
(1)证明：对Vz∈R,f(x)—2(2)记M (x)=max{fLf(x)],fLg(x)]},M (x)=max{g[f(x)],g[g(x)]),证明：对Vx∈R,
M (x)(3)若r∈(0,),直线y=x分别与函数y=g(x),y=f[g(x)],y=g[f(x)]的图象的交点的横
坐标为a,b,c,判断a,b,c的大小关系，并证明b+c<2·
高一数学试题(T)第6页(共6页)
高一数学期末参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D A B B A C D BD ACD ABD
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.C【解析】集合A={-2,1,3,4,5},B={x∈R|x≥3},∴CB={x∈R|x<3},则A∩CB={-2,1}.
2.D【解析】全称量词命题的否定，先将全称量词改为存在量词，再否定结论.故“Vx≥1,lg x≥0”的否定为“3x
≥1,lg x<0”.
3.A【解析】因为函数f(x)是定义在区间(0,十∞)上的增函数，满足f(2x—1)解得2≤<3.
4.B【解析】因为点D在边AB上，BD=2DA,所以BD=2 DA,即CD-CB=2(CA-CD),
所以CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.
5.B【解析】因为向量a,b满足a+b=(2,3),a—b=(—2,1),所以|al2—|b|2=(a+b)·(a—b)=2×(-2)+3
×1=-1.
6.A【解析】∵a>0,b>0且ab=a+b+3≥2√ab+3,∴(√ab—3)(√ab+1)≥0,
∴√ab≥3,∴ab≥9,当且仅当a=b=3时等号成立.
7.C【解析】根据函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,0所以T=2π=3,解得w=3,由图象可得Asin(一12+4)=0,且08.D【解析】令g(x)=e—e x+In(√x2+1+x),因为√x2+1>√x2=|x|≥-x所以g(x)的定义域为R,则
f(x)=g(x)+1.因为g(x)+g(一x)=0,所以g(x)为奇函数。函数y=e—e ,y=√x2+1+x,在R上均为
增函数，y=ln x 在定义域上为增函数，所以根据复合函数的单调性的性质可得g(x)在R上为增函数.
f(x2—2x)+f(3x)>2等价于g(xz2—2x)+g(3x)>0,即g(x2—2x)>-g(3x)=g(-3x),则x2-2x>
—3x,即x2+x>0,解得x<-1或x>0,则关于x的不等式f(x2—2x)+f(3x)>2的解集为(一∞,-1)U
(0,+∞).
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.BD【解析】对于A,当c=0时，ac2=bc2,所以“a>b”不是“ac2>bc2”的充分条件，故A错误；
对于B,a二a+c=b(a+cCa-+a(b+c=aCa+)),因为a>b>c>0,所以a一a+c<0,故B正确；
对于C,因为x>1,所以x—1>0,所以x+z—=(x-1)+ 一+1≥2√(z-1)·+1=3,当且仅当x
-1=—一1,,即x=2时取等号，故C错误；
对于D,因为|x|≥0,从而|x|+1≥1恒成立，故D正确。
10.ACD【解析】对于A,函数f(x)=2sin(2x+6)的图象沿x轴向左平移6个单位长度，得到g(x)=
2sin[2(x+誓)+ ]=2cos 2x.所以函数g(x)是偶函数，故A不正确；
对于B,当r∈[0,]时，2z∈[0,25],,所以函数g(x)的值域为[一1,2],故B正确；
高一数学(T)参考答案-1
对于C,函数g(x)的图象关于点(一4,o)对称，故C不正确；
对于D,函数g(x)在区间[4,]上单调递减，故D不正确。
11.ABD【解析】对于A,因为f(x+1)是偶函数，所以f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=
1 对称，故A正确；
对于B,因为f(1—x)=f(1+x),所以f(2+x)=f[1-(1+x)]=f(一x)=—f(x),即f(x+4)=
一f(x+2)=—(一f(x))=f(x),即周期T=4,故B正确；
对于C,f(2023)=f(3)=f(一1)=—f(1)=-2,f(2024)=f(0)=0,所以f(2023)+f(2024)=-2≠0,
故C错误；
对于D,因为x∈[0,1],f(x)=x2+x,且函数f(x)的图象关于直线x=1对称，根据对称性可以作出f(x)在
区间[1,2]上的图象，又f(x+4)=f(x)=—f(一x),可知f(x)关于点(2,0)对称，又可作出f(x)在区间
[2,4]上的图象，又f(x)的周期T=4,作出y=f(x)的图象与y=|Inx|的图象(如图所示),所以f(x)与y
=|In x|有4个交点，故D正确。
2 y=IlnxlA
11
0 1 5 9 x
-2| y=f(x)
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12.13 【解析】设幂函数为f(x)=x,又幂函数f(x)的图象过点(27,3√3),所以27°=3√3,解得a=2,
所以f(x)=x ,所以()=(一)=亏.
13.√3【解析】由tan 60°=tan 20°20°'tan 40°=√3,得tan 20°+tan 40°=√3—√3tan 20°tan 40°,
故 tan 20°+tan 40°+√3tan 20°tan 40°=√3.
14.(√2-1)R2【解析】作OH⊥AB,垂足为H,交CD于E,连接OA,OB,
设∠AOB=0(o<0<2),则AB=2Rsin号，OH=Rcos2,OE=DE=÷AB=Rsin2,
故EH=OH一OE—R(cos2—sin2),
则S=AB·EH=R2(2sin co9-2sin2号)=R(sin 0+cos e-1)=R[√2 sin(0+4)-1],
0
D C
E
M N
H
A B
因为0<θ<,所以<0+4<3,
故θ+4=时，√2sin(θ+4))取最大值√2,
即当θ=4时，∠MOA=∠NOB=8,
即A在弧MN的四等分点处时，矩形ABCD的面积S最大，Smax=(√2-1)R2.
高一数学(T)参考答案一2
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.【解析】(1)因为1o)-cocr+faom(-+- 4分
=_sin acosa=—tan a, 6分
所以f(恶)=—tan=—√3. 7分
(2)由(1)知，若f(a)=-2,即 tan a=2, 8分
因为 os2a+sinecosa=c2sin2asicossa=2tan2a+1, 11分
所以cos2a+sinaco =2×2+1=3 13分
16.【解析】(1)由y=f(x)为奇函数，则对定义域内的每一个x都有f(一x)=—f(x), 2分
所以1ogse=-los 2平，即1oege22=0.所以a=±1,
又a≠一1,所以a=1. 5分
(2)由(1)知g(x)=log x+1-log (x-1),其定义域为(1,十∞),
则g(x)=log z+1-Ig (x-1)=logz +1=-Ilog (z+1), 7分
任取z>I >1,则g(x)一g(z )=loeg ( +1)-log (z +1)=loB 十，
因为xI>z>1,则x +1>z +1>2,所以0<+1<1,
所以log2+logz1=0,,即g(x )-g(x )<0所以g(x )所以函数g(x)=—log (x+1)在(1,十∞)上单调递减。 9分
对Vx∈[7,9],g(x)即log2x十m,得m>—log (x十1)一x, 11分
记函数h(x)=—log (x+1)一x,x∈[7,9],
因为函数y=—log (x+1),y=—x均为减函数，则函数y=h(x)在区间[7,9]上单调递减，
(或者用减函数加减函数，还是减函数，可得函数y=h(x)在区间[7,9]上单调递减)
所以函数y=h(x)在区间[7,9]上的最大值为h(x)nnx=h(7)=—log 8—7=—10, 14分
所以m>-10,
因此，实数m的取值范围是(一10,+∞). 15分
17.【解析】(1)当O≤t≤8时，θ=kt+20,代入t=8,T=100,解得k=10,则θ=10t+20, 2分
由题意θ=θ +(θ —θo)a1,代入θ =20,θ =100,θ=60,t=10,得a=(去) 5分
由题意-u-0×(1)“+20 7分
(2)若从100℃降温至40℃,由题意有θ=80×(专)°+20,代入θ=40,
计算得t =20分钟，故经过20分钟养生壶(在保温状态下)开始第一次加热； 9分
由(1)得θ=10t+20可知，从40℃加热至90℃,代入计算得t =5分钟； 11分
从90℃降温至40℃,代入θ=6。+(B,-6)×(),
计算得zt=10×1082=10×(g2-1)≈18分钟， 14分
高一数学(T)参考答案一 3
则t +t +t =20+5+18=43分钟，
故43分钟后养生壶(在保温状态下)第二次开始加热. 15分
18.【解析】(1)由a=(一1,2√3),b=(sin x—cos1x,sin xcos x)可得，
f(x)=a·b=cos x—sin'x+2√3sin xcos x
=(cos2x+sin2x)(cos2x—sin2x)+2√3sin rcosr 3分
=√3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+6),
令2x+6=kπ,k∈Z,则r=-12+,k∈Z,
故函数f(x)图象的对称中心为(一12+2,0),k∈Z. 5分
(2)由.f(+号)=-33,可得2sin[2(+2)+6]=-23,
化简得sin(a+号)=-3, 6分
因为5sin a=si[(a+3)一3]=sin(a+3)cos--cos(a+3)sin
=-3×1+3×3=3√2-3 10分
(3)由题方程mf(x一2)+2g(x)=0有解，即方程sin x+cos x+msin 2x=0有解，
设 sin x+cos x=t,则1+sin 2x=t2,所以sin 2x=t2—1, ·11分
因为r∈(0,否),所以x+4∈(4,34),则t=√2sin(x+4)∈[1√2],
则原方程可化为t+m(t2—1)=0在t∈[1,2]上有解， 13分
由题知，m≠0,故方程可化为1=一—在t∈(1,√2)上有解，
因为y=1-1在t∈[1,√2]上单调递增，所以∈(0,2), 15分
所以-1∈(o,2),故m∈[-∞,—√2],故实数m的取值范围为(一∞,一√2). 17分
19.【解析】(1)一方面，f(x)+g(x)=sin x+cos x=√2sin(x+4)≤√2<2,, 2分
另一方面,fCx)—g(z)=sin x—cos x=√2sin(z—4)≤√2<,
故对Vz∈R,f(x)一2(2)M (x)=max{f[f(x)],fLg(x)]}=max{sin(sin x),sin(cos x)},
M (x)=max{g[f(x)],g[g(x)]}=max{cos(sin x),cos(cos x)},
法一：先证Vx∈R,sin(sin x)因为2-sin z≤[-1,7+1]≤[0,π],cos z∈[-1,1]∈[一π,π],
且y=cosx为偶函数且在[0,π]上单调递减，由(1)知，f(x)一2所以|cos x|<2-sin x,
所以 cos(cos z)=cos( Icos z|)>cos(2-sin x)=sin(sin x).(×) 6 分
再证Vx∈R,sin(cos x)高一数学(T)参考答案一 4
因为2—cos z≤[-1,否+1]≤[0,π],sin z∈[-1,1]≤[一π,π],
y=cosz为偶函数且在[0,π]上单调递减，同样可证| sin xl<2-cosx,
所以cos(sin x)=cos( |sin x|)>cos(—cos x)=sin(cos x), 8分
或者对于*式，用·2-x替换x,得sin[sin(2—x)]法二：
icos )-0Smz>=sncosz+sa(z-号)-2m t15-2+步
云同理，sin(sin x)—cos(cos x)<0. 8分
于是对Vx∈R,若 sin(cos x)≤sin(sin x),则max{sin(sin x),sin(cos x)}=sin(sin x)max{cos(sin x),cos(cos x)},
若sin(cos x)>sin(sin x),则max{sin(sin x),sin(cos x)}=sin(cos x)max{cos(sin x),cos(cos x)},
故Vx∈R,M (x)(3)cos a=a,sin(cos b)=b,cos(sin c)=c,
不妨假设a≥c,因为a,c∈(0,1),则a=cos a≤cos c,
根据单位圆上扇形面积大于构成扇形的圆弧所对弦与两半径围成的三角形面积可知，0所以c=cos(sinc)>cos c≥a,矛盾，所以a不妨假设a≤b,因为a,b∈(0,1),则a=cos a≥cosb,
又0b.
综上可知，b令t=cos b,则sin t=b,于是cos b=cos(sin t)=t,
因为cos(sin c)=c,
于是x=t与x=c是方程y=cos(sin x)=x的根，其中t∈(0,1),c∈(0,), 14分
令h(x)=cos(sin x)一x,
令r=sin x,当z∈(0,2)时，r∈(0,1),
又r=sin x在(0,)上单调递增，y=cosr在(0,1)上单调递减，y=-x在R上单调递减，
由复合函数的单调性可知，h(x)=cos(sin x)—x 在(0,否)上单调递减，
于是t=c=cos b.由cos(sin c)=c,所以cos b=cos(sin c),
又因为y=cosx在(0,)上单调递减可知，b=sin c. 16分
从而b=sin c从而c<2-b,故b+c<2· 17分
高一数学(T)参考答案一 5