湖南省长沙市湖南省长郡中学2025-2026学年上学期期末高二数学试卷（PDF版，含解析）

高二数学(A卷)期末
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的.
1.已知集合A=x|0≤x≤2},B={x|zx2≤1},则A∩B=
A.(0,1) B.[0,2] C.[0,1] D.(0,2)
2.记Sn为等差数列{an)的前n项和，若as=4,则S =
A.32 B.16 C.72 D.36
学号 3.已知双曲线方程为：一Y6=1,则其渐近线方程为
A.y=±2x B.y=±2x C.y=±4x D.y=±4x
不要答题 4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a·b=1,则a与b的夹角为姓名__ A.6 B.3 c.23 D.55.若数列{an}的通项公式为an=cos(“),则{an}的前10项和为
A.—1 B.0 C.1 D.2
密封线内 6.若定义[-2025,2025]上的函数f(x):对任意x ,xz∈[一2025,2025]有f(x +x )=f(x )+f(x2)-12,若f(x)的最大值和最小值分别为M,N,则M+N的值为班级___ A.12 B.24 C.-12 D.—247.如图，平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是正三角形，四边形ABCD是正方 P
形，点M是平面ABCD内(不包含边界)的一个动点，且满足MP⊥MC,则点 D C
M在正方形ABCD内的轨迹是 A M B
D C D。 C D C D。 C
M
M MM
A B A B A B A B
学校 A B C D
8.设点M是抛物线x2=16y的焦点，点F是双曲线I:x2-3=1的左焦点，点Q是T上第一象限
内的一动点，则下列结论正确的是
A.|QF|-|QM|的最大值是2√5
B. |QF|+|QM|的最小值是2√5
C.|QF|-|QM|的最大值是2√5+2
D.IQF|+|QM|的最小值是2√5+2
高二数学试题(L)第1页(共6页)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.曲线y=In 2x+2x+3的一条切线的斜率为4,则该切点的横坐标为_______
13.欧拉公式e=cos θ+isinθ是由数学家欧拉发现的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，
被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若z=e3,则z2=_______.
14.一个高为8cm直三棱柱形容器(容器壁厚度忽略不计)静置在水平的桌面上，底面△ABC完全
贴合桌面.容器内盛有定量清水.已知底面△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，满足关
系式bcos C+ccos B=asin A,且c,b,a构成公差为2的等差数列.现将一个可容纳于容器内的
最大铁质小球放入其中，液面恰好和小球相切；若不放人小球，将容器密封后横向放置(使直三
棱柱的某一侧面贴合桌面),则此时液面的最低高度为_______cm.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2sin Acos C=2sin B-sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若a=√3,求△ABC周长的最大值.
高二数学试题(L)第3页(共6页)
16.(本小题满分15分)
设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知 S,=2"十c,n∈N",c∈R.
(1)求c的值及(an}的通项公式；
(2)令ba=(n+1)Dcg (S,+1),数列{bn}的前n项和为Tn,证明：Tn<1.
17.(本小题满分15分)
已知椭圆 E:2+y2=1,,设F ,F 分别为椭圆的左、右焦点.
(1)点A在椭圆E上，若F A·F A=0,求△F AF 的面积；
(2)过点F 的直线L(斜率不为0)交E于C,D两点，在x轴上是否存在定点Q,使得QC·QD为
定值 若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
高二数学试题(L)第4页(共6页)
18.(本小题满分17分)
已知平面直角坐标系中，点A(a,0),B(0,b)(其中a,b为常数，且ab≠0),点O为坐标原点。
(1)若点P满足条件OP=4OA+4OB,试证明A,P,B三点共线，并求P点相对点A,B的
位置；
(2)线段AB的n等分点按与A的距离由近到远分别记为P ,P ,P , ,Pn-1,其中 n∈N",n
≥2.
(1)当n=2025时，求|OA+OP +OP + +OP-+OB|的值(用含a,b的式子表示);
(li)当a=b=1,n=8时，求OP·(OP+OP,)(1≤i≤n-1,1≤i≤n-1,i,j∈N")的最
小值.
高二数学试题(L)第5页(共6页)
19.(本小题满分17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD和△BAD均为正三角形，AD⊥DC,DC=√3,AB=2,M
为PC上一点，设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)求证：l//平面ABCD;
(2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，E为l上的点，求PC与平面ECD所成角的正弦值的最
大值；
(3)当PA//平面DMB时，平面DAM与PB交于Q,求VPAac的值.
P
D M
C
A B
高二数学试题(L)第6页(共6页)
高二数学(A卷)期末参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答 案 C D A B A B C D BCD ABD BCD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.C【解析】由A=[0,2],B=[-1,1]得A∩B=[0,1],故选C.
2.D【解析】因为a =4,所以S =9a =36.故选D.
3.A【解析】由双曲线方程为：4-16=1,得a2=4,bB2=16,则a=2,b=4,则其渐近线方程为y=±2x.
4.B【解析】因为la|=2,|b|=1,a·b=1,cosθ=1a 1b=,则a与b的夹角为3',故选B.
5.A【解析】根据三角函数周期性可知{an}的周期为4,且前4项的和为0,则S =S×2+2=S =a +az=0+
(一1)=—1,故选A.
6.B【解析】令g(x)=f(x)-12,则原条件转化为g(x +x )=g(x )+g(x ),令x =—x ,易得g(x)是奇函
数，满足g(x)的最大值g(x)mx与最小值g(x)min之和为0.由f(x)=g(x)+12,得f(x)的最大值M=g(x)max
+12,f(x)的最小值N=g(x)min+12,因此M+N=g(x)mux+12+g(x)min+12=24.故选B.
7.C【解析】方法一：如图：取AD中点O,连接OM,由|PA|=|PD|可得POLAD,因为 P
平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD,故PO⊥平面
D C
ABCD,所以PO⊥MC,又因为MP⊥MC,MP∩PO=P,所以MC⊥平面 POM,所以以 0
A M B
MC⊥OM,M在平面ABCD内轨迹为以OC为直径的圆弧，故选C.
方法二：由方法一，PO⊥平面ABCD,作ON⊥AD,故可以O为坐标原点，分别以OA, z
P
ON,OP的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨取|AB|=2,则|OP|
D Cy
=IAB|=√3,则P(0,0,√3),C(一1,2,0).由点M在平面ABCD 内，可设 0kx M NA B
M(x,y,0),因为MP⊥MC,所以MP·MC=0,MP=(一x,-y,√3),MC=(-1-x,
2—y,0).即化简得：x+x2-2y+y2=0得：(x+2)2+(y-1)2=5.所以，M在平面ABCD 内一个以
(一，1,0)为圆心,为半径的圆弧上，所以点M在正方形ABCD 内(不包含边界)的轨迹为ON,故选C.
8.D【解析】如图，由点M是抛物线x2=16y的焦点，故M(0,4),由双曲线I:z2一学=1 yAM Q
N
知，a=1,b=√3,c=√1+3=2,故F(-2,0),右焦点F'(2,0),所以kM=0+2=2,又双
F 0 F' x
曲线的渐近线方程为y=±√3x,所以直线FM与双曲线第一象限部分无交点，故|QF|-
IQM|<|FM|=2√5,故A,C错误；由双曲线的定义，|QF|=2a+|QF'|=2+IQF'|,
所以|QF|+|QM|=2+|QF'|+|QM|≥2+|MF'|=2+2√5,即点Q运动到线段MF′与双曲线的交点N
时，|QF|+|QM|有最小值2+2√5,故B错误，D正确。故选D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得
6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BCD【解析】a=3,b=2,c=√5,离心率-5,故A错误；a=3,椭圆的长轴长为6,故B正确；由均值不等式，
PE I·IPE l≤(PEI+IPF l)=9,故C正确；点P到F 的距离最大值为a+c=3+√5,故D正确。
高二数学(L)(A卷)参考答案— 1
10.ABD【解析】对于A,对抗赛恰好两场结束，需满足“甲或乙连续赢两场”,则概率为3×3+3×3=9,故
A正确；对于B,甲赢得对抗赛，包含两种情况：一种是两场结束后甲获胜，概率为3×3=9,另一种是甲在
前两场比赛输了一场，第3 场比赛胜，则概率为3×3×3+3×3×3=2,概率之和为29,,故B与D正
确；对于C,P(A)=9,P(B)=27,P(AB)=9,P(AB)≠P(A)P(B),不满足独立条件，故C错误。
11. BCD【解析】对于AB,由题意，数列{an}满足an+=2a3 +1,可得a1=23t1=3·+3,可得a+-1
÷(-2)二一又a =号，所以a-1=3,,所以数列-1}是首项为23,公比为13的等比
数列.所以-1=3×(3)" =2·(3)”,所以=2·(3)"+1>1,所以0于C,由{-1}的通项得：一1-3()厂一吴：用么(+)·3+-1-数列{b,}的前
n项和：--2+本<章四二去(一)<去5.>一
故C正确；对于D,由=1+,得其前n项和：=n+2=n+1--,令n+1-3<2025,
即n<2024+-3.因为3<1,故满足条件的最大整数n=2024,D正确。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.12 【解析】设切线的切点坐标为(zo y y=In 2x+2x+3,=共+2,ylL-=+2=4,zx =,所以切
点横坐标为12
13.一— 【解析】由欧拉公式得 z=e3=cos2+isin2=-2+2i,故z2=-2-3:.
14. 4(1-√2+18) 【解析】已知在△ABC中bcos C+ccos B=asin A,由正弦定理知sin Bcos C+sin Ccos B
=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,所以sin A=sin2A.因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以sin A=1,A=90°,
所以△ABC为直角三角形，因为c,b,a成公差为2的等差数列，所以c=b-2,a=b+2,因为b2+c2=a2,可以
解得a=10,b=8,c=6.所以△ABC三边长分别为6,8,10.假设△ABC的内切圆的半径为r.则由等面积法
bcsin A=2(a+b+c)r.解得r=2,三棱柱内能容纳的最大球的半径为2,此时液面的高度为4.所以直三棱
柱容器内的水的体积为v=2×6×8×4一专π·23=96-32.当直三棱柱横向放置(即使得直棱柱的一个侧
面贴合在桌面),容器里面的水的形状变成一个高为8cm的直棱柱。所以此时容器里面的水直棱柱的底面面
积为S=12-3·若把某一个侧面贴合桌面，此时液面与水平桌面平行，从棱柱的两个底面看可以得到如下三
种情况.因为液面高与三角形高的比值相同，所以如图3所示时液面高度最低.此时由相似三角形性质可知，
高二数学(L)(A卷)参考答案- 2
假设液面高度为h,可以算得图3所示的情况下满足(二)-云可以算得最小高度为hnin=
号(1-√2-5)=(1-√÷+恐).
6 10 8 10 6
8
8 6 10
图1 图2 图3
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解析】(1)在△ABC中，A+B+C=π,故 sin B=sin(A+C),
将其代入等式得：
2sin Acos C=2sin(A+C)-sin C 1分
化简得：2sin Acos C=2sin Acos C+2cos Asin C—sin C,
整理得：sin C(2cos A-1)=0 3分
由C∈(0,π),则sin C≠0,
解得cos A=2 4分
又A∈(0,π),
故A=3· , 6分(2)由余弦定理可得a2=b十c—2bccos A,代入A=六，a=√3可得3=b2+c2—bc,则bc=b+c32-3,
7分
由基本不等式bc≤(去)2,可得b+32-3≤(去c)2, 9分
则(b+c)2≤12,由b>0,c>0可得b+c≤2√3 11分
当且仅当b=c时等号成立 12分
则C△ABc=a+b+c≤2√3+√3=3√3 13分
16.【解析】(1)n=1时，a =S =2+c; 2分
n≥2时，an=S-S-1=(2”+c)—(2”-1+c)=2”-1 5分
∵{an}是等比数列，则n=1时的项也满足a=2”一1,
即2+c=2°=1,得c=—1 8分
(2)b,=(2+-128B (2)=n(n+1) 9分
=n+1 11分
∴T=b +b + +b
=1-2+2一3+ +一n+1=1-n+1 13分
∵n∈N",则+I>0,
.1-n+1<1成立，即T,<1 15分
高二数学(L)(A卷)参考答案-3
17.【解析】(1)设F A=,F A=q,又c=√3,则F F =2√3 1分
由F,A·F A=0得F AIF A 2分
JP+--12,解得p·q=16-12=2 4分
故S△F r =9=1. 5分
(2)由(1)知，左焦点F(一√3,0).
因为直线l斜率不为0,可设直线l的方程为x=my-√3 6分
联立直线l的方程与椭圆方程x2+4y2=4,得(m2+4)y2-2√3my-1=0.
设C(z ,y),D(x ,y ),则y+y =223+4,192=m2+4, 8分
z +x =-8+4, x =12-4m2 10分
设定点Q(n,0),则QC·QD=(x -n)(x -n)+yiy2=x x —n(x +x )+n2+y1y 11分
代入得：QC·QD=27283”+n2-4, 12分
令此式与m无关，则27+8√3n=0,则n=-983,
此时QC·QD=-4+n2=-4+243=-64 14分
因此，在x轴上存在定点Q(-983,0),使得QC·QD为定值64· 15分
18.【解析】(1)证明：已知OP=4A+2OB,则
AP=OP-OA=4OA+2OB-OA=-3OA+3OB=3(OB-OA)=3AB, 2分
∵AP与AB共线，且两向量有公共点A,
∴A,P,B三点共线 3分
D3D一
由AP—AB可得P在线段AB上靠近B点的四等分点上 4分
(2)(i)由题意得,OP =2025A+2025OB,
OP =2023A+202503, ,P=20250A+202303 6分
∴OP +OP22=OA+OB 7分
对任意正整数m,n,且m+n=2025,
OP=202025“OA+2025OB,OP。=2025“”OA+2025OB,
有OP"+OP=OA+OB 8分
∴OA+OP +OP + +OP2 2+OB=1013(OA+OB),
∴|OA+OP+OP + +OP22+OB|=1013|OA+OB|=1013√a2+b2 10分
(ii)当a=b=1,n=8时，
OP=8A+OB,OP=8820A+OB,
∴OP +OP,=16-8+0A+iOB 11分
高二数学(L)(A卷)参考答案一4
0P·(OP,+OP,=( 8OA+8OB)[1 -8+OA+30B]
=(8-[16-(6++i(i+i)=(i-4)+3-12i+6, 13分
令M(j)=i-4j+3212i+64,
当i=1,2,3时，M(j)≥M(7)=(i-4)×732—12i+64=22-52+36,
当i=2或3时，上式有最小值为6, 14分
当i=4时，.M(j)=42-12324+6=1, 15分
当i=5,6,7时，M(j)≥M(1)=2-1260,当i=5或6时，上式有最小值为16 16分
综上，OP,·(OP,+OP;)的最小值为56 17分
19.【解析】(1)由△BAD为正三角形且AD⊥DC可知∠BDC=6·
又因为DC=√3,且DB=AB=2,在△BDC中，由余弦定理得
CB2=BD2+CD2-2×BD×CD×cos∠BDC=22+(3)2-2×2×√3×=1,
所以CB=1,所以CB2+CD2=4=BD2,所以∠DCB=2,即DC⊥BC.
所以AD//BC, ·2分
因为BC//AD,BCC平面PAD,ADC平面PAD,所以BC//平面PAD.
又 BCC平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l,所以BC//l.
又I平面ABCD,BCC平面ABCD,所以L//平面ABCD. 4分
(2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，平面PAD⊥平面ABCD,
如图，取AD中点O,连接OP,OB,
由PA=PD可得PO⊥AD,由AB=DB可得BO⊥AD,
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,
故可以O为坐标原点，分别以OA,OB,OP为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
z
P
D; M
oi C
x A B
y
5分
因为AB=2,所以B(0,√3,0),C(-1√3,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),
设E(m,0,√3),m∈R,则有DE=(m+1,0,J3),DC=(0,J3,0),PC=(-1,3,—√3),
设平面ECD的法向量为n=(x,y,z),
则 即cGm-1D2+/5=-.
令x=—√3,则z=m+1,
所以平面ECD的一个法向量为n=(-√3,0,m+1), 7分
高二数学(L)(A卷)参考答案一5
设直线PC与平面ECD所成的角为θ,
si 6=-1csPCc,n)I晋in1-3Cm+1)-7.·5+2mn
当m=0,sinθ=0,当m≠0时，-.4+2+17·√4(二十+
当且仅当m=—4时等号成立， 9分
所以直线PC与平面ECD所成角的正弦值的最大值为2-7 10分
(3)设PM=λMC,如图，连接AC交BD于点N,连接MN.
P
D M
C
A' B
因为PA//平面BDM,PAC平面PAC,平面PACN平面BDM=MN,所以PA//MN.
在梯形ABCD中，BC//AD,CB=1,AD=AB=2,
所以有△ADN∽△CBN,所以AN=AB=2. 11分
因为PA//MN,所以有Mc=AN=2,,所以λ=2. 12分
因为平面DAM与PB交于Q,平面DAM与PC交于M,
所以有平面DAM∩平面PBC=MQ.
又AD//平面PBC,ADC平面DAM,所以AD//MQ.
又 BC//AD,所以BC//MQ,B=PC=3, 13分
所以，MQ=3BC= AD.
设梯形AQMD高为h ,则Dft 14分
由MC=2,可知PM=3PC,所以VAFMD=3VAPnc. 15分
又四棱锥P-AQMD与三棱锥P-AMD高相等，
所以VpAQwD=4V.ean=专VA所以有VPAD=27. Pm = 4· 3V AP c =9 Vr = 29 VeALCD. 17分
高二数学(L)(A卷)参考答案一6