(共15张PPT)
(第二课时)
沪科版九年级上册
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）
解直角三角形的
常用等量关系
(2)锐角之间的关系:
∠
A＋
∠
B＝
90
(3)边角之间的关系:
A
C
B
a
b
c
复习
如图,在Rt△ABC中：∠C=90°
∠A=30°,AB=4，解这个直角三角形。
A
B
C
复习
解:在Rt△ABC中∠C=90°
(1)∠B=90°-∠A=
90°-30°=60°
(2)
∵
∠C=90
°
∠A=30°
AB=4
∴
∴
BC=2
(3)
如图一学生要测量校园内一棵水杉树高度，他站在距离水杉树8m的E处，测得树顶仰角∠ACD=52°，
已知测角仪
的架高CE=1.6m．
问树高AB为多少米？(精确到0.1m)。
你知道怎样算出树高吗？
E
B
1.6m
8m
52°
D
A
C
例1
在视线与水平线所成的角中，
视线在水平线的上方的角叫做仰角。
视线在水平线下方的角叫做俯角。
强调：
仰角与俯角都是视线与水平线所成的角。
水平线
铅垂线
视线
仰角
视线
俯角
学习新知
1.6m
8m
52
°
D
A
E
C
B
解：Rt⊿ACD中，∠ACD=52°，CD=EB=8m
又DB=CE=1.6m，得
AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8(m)
答：树高约为11.8m。
1、如图,飞机飞行的高度AB=1000m,从飞机上测得
地面着陆点C的俯角为18
°，求飞机到着陆点的距
离A
C的值。(精确到1m)
动动脑
露一手
A
B
C
18°
解：由题意得∠C=18
°
答：飞机A到着陆点AC的距离约为3236m。
2.
如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一侧的E处同时施工。如果从AC上的一点B，使∠ABD
=
140°，BD
=
520m,∠D=50°,那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到1m）
50°
140°
520m
A
B
C
E
D
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
答：开挖点E离点D
334m正好能使A，C，E成一直线.
解：要使A、C、E在同一直线上，则
∠ABD是
△BDE
的一个外角
动动脑
露一手
同时量的CD=50
m.已知测角器高1m,问电视塔的高度为多少米？(精确到1m)．
如图某校九年级学生为了测出当地电视塔的高度AB
，因为不能直接到达塔底B处,他们采用在发射台院外与塔底B成一直线的C，D两处地面上，用测角器测得电视塔顶A的仰角分别为45°、
30°,
C
B
D
30°
45
°
C1
B1
A
D1
例2
50
m
C
B
D
30°
45
°
C1
B1
A
D1
（1）这个图形中有哪几个直角三
角
形？
（2）这些直角三角形之间有何关系？
分析
50
m
（3）在每个直角三角形中用哪种边角关系才能与已知建立起等量关系？
解：设AB1=xm。
在Rt⊿AC1B1中，
∠AB1C1=90
°
∠AC1B1=45
°得
C1B1=AB1=x
在Rt⊿A1D1B1中，
∠AB1D1=90
°
∠AD1B1=30
°得
解方程，得
答：电视塔的高度约为69m。
C
B
D
30°
45
°
C1
B1
A
D1
50
m
1.如图，某直升机于空中A处测的正前方地面控制点C的俯角为300；若航向不变，直升机继续向前飞行1000m至B处，测得地面控制点C的俯角为450。求直升机再向前飞行多远与地面控制点C的距离最近(结果保留根号)。
A
C
B
D
提示：过C作CD
⊥AB，
垂足为D。在⊿ACD和⊿BCD
中利用解直角三角形知识计算
CD=500(
)m
1、了解仰角、俯角的概念：
2、实际问题中如果图中无直角三角形，可适当地作垂线等辅助线，“化斜为直”，“善于转化”为解直角三角形问题。
3、要注意底部可以到达和底部不能到达两种物体高度的测量方法，解题时也是要将其转化为解直角三角形的知识来解。
本节课我们有哪些收获？
作业：
p131:第2、3两题。
下课了!(共16张PPT)
23.2解直角三角形及其应用
第一课时
回顾与思考
1、三角形中有几个元素？
B
C
A
a
c
b
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°
2、Rt△ABC(∠C=90°），除了直角外，还有几个元素？
3、a,b,c，∠A，∠B这5个元素之间有哪些关系呢？
（1）三边之间的关系：
a2+b2=c
锐角B也有类似（3）的边角关系吗？
(3)边角之间的关系:
tanA=
a
b
sinA=
cosA=
b
c
a
c
探究活动：
在直角三角形中除直角外至少需要已知几个元素就可以求出其余的元素呢？
在Rt△ABC中,
（1）根据∠A=
60°,斜边AB=30,
A
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,
就可以求出其余三个元素.
(其中至少有一个是边),
想
一
想
你发现了什么
B
C
∠B
AC
BC
∠A
∠B
AB
一角一边
两边
（2）根据AC=
，BC=
你能求出这个三角形的其他元素吗？
两角
（3）根∠A=60°,∠B=30°,
你能求出这个三角形的其他元
素吗
不能
你能求出这个三角形的其他元素吗
在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
1、在下列直角三角形中不能求解的是（
）
A.已知一直角边一锐角
B.已知一斜边一锐角
C.已知两边
D.已知两角
D
小试牛刀：
小试牛刀：
2、在Rt
△ABC
中，
∠C=
90 ，
∠A=30 ,
a=5，解这个直角三角形就是要我们求（
）。
3、在Rt△ABC中∠C=90
，AC=
12,
AB=
13
解这个直角三角形就是要我们求（
）。
学生活动：
1、请每人出一道解直角三角形的题，让同桌检验是否能解。
2、请一个小组展示自己的题，并请同桌分析解答的思路。
例题解析:
例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=42°6',
c=287.4,
解这个直角三角形。
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=
,BC
=
,解这个直角三角形.
√
2
√
6
再试牛刀：
解直角三角形的原则：
“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切，余切），
宁乘勿除，取原避中。
A
B
C
“斜而未倒”
BC=5.2m
AB=54.5m
α
你能求出塔偏离垂直中心线有多少度吗
例2.在△ABC中,∠A=55°,b=20cm,
c=30cm。求三角形的面积S△ABC。
（精确到0.1cm2)
C
A
B
b
c
A
C
B
b
a
c
解：如图，作AB边上的高CD
在Rt△ACD中，CD=AC·sinA=b·sinA
∴S
△ABC=
AB·CD=
bc·sinA
当∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm时，
∴S
△ABC=
bc·sinA
=
×20×30×sin
55°
=245.8(cm2)
=
×20×30×0.8192
△ABC的面积是否可以用a、c及夹角B或a、b及夹角C表示呢？
结论：
S
△ABC=
bc·sinA
=
ab·sinC
=
ac·sinB
D
小结:
通过本节课学习，我们有哪些收获？
1、利用直角三角形（除直角外）两个已知元素（至少有一个是边）去求其它元素。
4、三角形的另一种面积计算公式。
2、在遇到解直角三形的问题时，最好先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的.数形结合有利于分析解决问题。
3、解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；
宁乘勿除，取原避中”的原则。
作业：
1、P125，练习1、2、3题。
2、同步练习23.2（一）
3、选做题：(共20张PPT)
解直角三角形的应用
第三课时
仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
例、学校操场上有一根旗杆，上面有一根升旗用的绳子（绳子足够长），王同学拿了一把卷尺，并且向数学老师借了一把含300的三角板去度量旗杆的高度。
（1）若王同学将旗杆上绳子拉成仰角为600，如图用卷尺量得BC=4米，则旗杆AB的高多少？
（2）若王同学分别在点C、点D处将旗杆上绳子分别拉成仰角为600、300，如图量出CD=8米，你能求出旗杆AB的长吗？
（3）此时他的数学老师来了一看，建议王同学只准用卷尺去量，你能给王同学设计方案完成任务吗？
A
B
4m
600
A
B
D
8m
300
60°
C
C
例：如图，某校九年级学生为了测量电视塔高AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射塔院外与电视塔底B成一直线的C、D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30
°
，同时量得CD=50m，测角器高1m，由此求电视塔的高。（精确到1m）
A
B1
C1
D1
D
C
30°
45°
B
50
解：设AB1=xm，则由题意可知，B1C1=BC,C1D1=CD=50
在Rt△AC1B1中，由∠AC1B1=
45°
，得C1B1=AB1=x.
在Rt△AD1B1中，由∠AD1B1=
30°得
∴x=25(
)
≈69(m)
∴
AB=68+1=69(m)
A
B1
C1
D1
D
C
30°
45°
B
50
45o
C
A
B
如图,为了求河的宽度,在河对岸岸边任意取一点A,再在河这边沿河边取两点B、C,使得∠ABC=60°,∠ACB＝45°,量得BC长为100米,求河的宽度（即求BC边上的高）.
D
60°
45°
A
B
C
B
C
100米
D
B
C
A
45o
45o
C
A
B
60o
D
60o
D
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
翻转
拓展一
B
D
如图，已知铁塔塔基距楼房基水平距离BD为50米，由楼顶A望塔顶的仰角为45
,由楼顶A望塔底的俯角为30 ,塔高DC为
(
)米
A
C
E
B
C
A
45o
60o
D
B
C
A
45o
60o
D
B
C
A
45o
60o
D
B
C
A
45o
60o
D
旋转
E
拓展二
B
C
D
60
A
E
30
50m
M
45o
A
B
C
45o
45o
C
A
B
60o
D
45o
C
A
B
60o
D
45o
C
A
B
60o
D
45o
60o
A
B
D
C
旋转
60o
D
平移
60o
D
60o
D
60o
D
60o
D
60o
D
60o
D
问题1
楼房AB的高度是多少
问题2
楼房CD的高度是多少
拓展三
45o
A
B
C
45o
B
C
A
45o
45o
C
A
B
45o
C
A
B
60o
D
60o
D
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
45o
C
A
B
翻转
B
C
A
45o
60o
D
B
C
A
45o
60o
D
B
C
A
45o
60o
D
B
C
A
45o
60o
D
旋转
E
45o
C
A
B
60o
D
45o
C
A
B
60o
D
45o
C
A
B
60o
D
45o
60o
A
B
D
C
旋转
60o
D
平移
60o
D
60o
D
60o
D
60o
D
60o
D
60o
D
30o
C
A
B
45o
D
30o
C
A
B
60o
D
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在学习时要能形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
例
如图，一艘以20
n
mile/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°，继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°。已知灯塔C四周10
n
mile内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.
如图：点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
方位角
例
如图，一艘以20
n
mile/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°，继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°。已知灯塔C四周10
n
mile内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
30°
60°
D
北
东
A
B
C
1、
海船以34．6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离．（画出图形后计算，
）
2、王英同学从A地沿北偏西60 方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离？
例3.
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
（精确到0.01海里）
65°
34°
P
B
C
A
例3
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？
解：如图
，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈80×0.91
=72.8
在Rt△BPC中，∠B＝34°
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
65°
34°
P
B
C
A
cos∠APC
＝PC/PA
1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念------
2.如何将实际问题向数学模型转化------
通过这节课的学习你有哪些收获与体会？
仰角,俯角;方位角
解直角三角形
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课后作业：
P118
练习1、2
