寒假提升试题（2） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册

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寒假提升试题（2） 2025-2026学年上学期
初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，用心欣赏下列汉字，其中是轴对称图形的是（ ）
A．最 B．美 C．张 D．湾
2．如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小聪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则A，B间的距离不可能是（ ）
A．50米 B．40米 C．30米 D．20米
3．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边OA、OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，就可以知道射线OC是的角平分线．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．
D．三边分别相等的两个三角形全等．
6．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递48件，若该快递公司的快递员总人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，点D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
9．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，a，，分别对应下列五个字：十、堰、我、爱、游，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．游十堰 B．我爱游 C．我爱十堰 D．我游十堰
10．如图，中，，垂足为点D，，P为直线下方的一个动点，满足，则当最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．写出使分式有意义的的一个值 ．
12．水滴石穿是一个成语，最早出自东汉·班固《汉书·枚乘传》．该成语的意思是指水滴不断地滴，可以滴穿石头，比喻坚持不懈，集细微的力量也能成就大的功劳．小明同学观察记录后发现，水滴不断地滴在一块石头上，1年后形成了一个深为的小洞，用科学记数法可表示为 ．
13．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图所示的剪纸是一副轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标是，则其关于轴的对称点的坐标为 ．
14．已知实数a，b满足，则 ．
15．如图，将沿直线折叠，使顶点的对应点落在边上，此时直线与边，分别相交于点，．若，则的度数为 ．
16．①的最小值是2；
②若，则；
③当和时，式子的值相等，则；
④若，则．
其中正确的是 （填序号）．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，点A，C，E在同一直线上，．求证：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．已知，其中为整数．证明：能被4整除．
21．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．如多项式，因式分解的结果为，当时，各个因式的值是，，于是就可以把“1525425”作为一个七位数密码．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．
(1)已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是什么？
(2)已知多项式，当m，n分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为10，16，请你求出第三个因式码．
22．如图，在中，是的高，点在边的延长线上，．
(1)在所在直线上方求作一点，使得；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)记与，的交点分别为G，H，若，求的度数．
23．某儿童乐园一周内的门票定价相同．某一周，周五到周日该儿童乐园的门票销售情况如下：周五按定价售出张，共收入12000元；周六仍按定价销售，售出100张；周日开展促销活动，按定价打8折．已知周末两天门票的销量是周五的5倍，这两天的门票收入是51000元．
(1)请你用含的式子表示周日门票的销量；
(2)该儿童乐园门票的定价为多少元？
24．在平面直角坐标系中，已知，其中，过点作轴的垂线．将线段进行平移，平移后点A，B的对应点分别是点C，D，且点与点关于直线对称．
(1)若，求点的坐标；
(2)当时，n，q满足．点在线段上，点在线段上，求的最小值．
25．在中，．点在边BC的延长线上，，连接，点是线段上一动点．
(1)如图1，若平分，求证：为等腰三角形；
(2)如图2，过作，点与点在直线的异侧，，连接交于点，连接交于点．
①求证：；
②当时，判断是否为的角平分线，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A B D B C C C B
1．B
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这个图形是轴对称图形，逐一检查每个选项，只有“美”字具有垂直对称轴．
【详解】解：A、“最”字不是轴对称图形，故不符合题意；
B、“美”字是轴对称图形，故符合题意；
C、“张”字不是轴对称图形，故不符合题意；
D、“湾”字不是轴对称图形，故不符合题意．
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．
根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，计算出的取值范围即可解答．
【详解】解：连接，
根据三角形的三边关系可得，即，
∴A，B间的距离不可能是50米．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，由分式有意义的条件得，即可求解；理解分式有意义的条件：“分式的分母不为零．”是解题的关键．
【详解】解：要使分式有意义，
，
解得：，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方，再计算乘法约分即可．
【详解】解：，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由三边相等得，再根据全等三角形对应角相等得出，即可判断．
【详解】解：由图可知，，又，为公共边，
，
，
射线OC是的角平分线．
因此依据的数学基本事实是：三边分别相等的两个三角形全等．
故选D．
6．B
【分析】本题考查列分式方程解应用题，设原来平均每人每周投递快件件，读懂题意，找准等量关系即可列分式方程．找准等量关系列方程是解决问题的关键．
【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，
由题意可得，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份成为解题的关键．
根据点E分别是的中点可得，同理可得即可解答．
【详解】解：∵点E分别是的中点，
∴，
∵点D分别是的中点，
∴．
故选C．
8．C
【分析】根据作图方法可得点P在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号可得答案．
【详解】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等；
∴a-b=0．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键．
9．C
【分析】本题考查了因式分解的应用，先对多项式进行因式分解，得到，再根据密码手册中的对应关系即可得出答案．
【详解】解：
，
由题意得，，，，a分别对应：十、堰、我、爱，
∴结果呈现的密码信息可能是“我爱十堰”，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，等腰直角三角形的判定与性质，三角形面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据得出P在与平行，且到的距离为的直线l上，，作点B关于直线l的对称点，连接交l于P，如图所示，则，，此时点P到B、C两点距离之和最小，作于M，则，证明是等腰直角三角形，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴P在与平行，且到的距离为的直线l上，
∴，
作点B关于直线l的对称点，
连接交l于P，如图所示，则，，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作于M，则，
由条件可知，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
11．1（不唯一）
【分析】该题考查了分式有意义，分式有意义的条件是分母不为零，因此需满足分母不等于零，解不等式得到x的取值范围，再取一个符合的值即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得．
∴x的一个值可以为1．
故答案为：1（不唯一）．
12．
【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．
本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
【详解】解：∵，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征；熟练掌握关于轴对称的两点的坐标特征是解题的关键．根据点关于轴对称作答即可；
【详解】解：因为点关于轴对称，点的坐标为
所以点的坐标为
故答案为：
14．
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、平角的定义，由折叠的性质可知，，，，根据平角的定义可得：，因为可得：，根据三角形内角和定理可以求出，所以可得，再利用平角的定义可以求出．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
.
16．②③/③②
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，①未限制，最小值可能为负；②通过完全平方公式变形求值即可；③根据分式性质进行求解即可；④根据完全平方公式进行求解，得出结果可能为负，不一定为．
【详解】解：①当时，例如，，故最小值不是2，此说法错误；
②∵，
∴，故此说法正确；
③∵当和时，式子的值相等，
∴，
∴，
∴，
∴，故此说法正确；
④∵，
∴，
∴，故此说法错误．
综上，正确的有②③．
故答案为：②③．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，平方差公式．
（1）先化简二次根式和绝对值，并计算零指数幂，然后算加减即可；
（2）直接利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
18．见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质
．由，易证，再根据平行线的性质推出，结合，证明，即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．，
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再将a的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．见解析
【分析】本题考查了整数的混合运算，简化的表达式，得到，提取公因数4后，证明其为4的倍数，从而得证．
【详解】证明：
，
为整数，，
为整数，
故能被4整除．
21．(1)152329
(2)178
【分析】本题考查因式分解的应用，因式分解的意义，解决本题的关键是通过对多项式分解因式，代入数值得到因式码并按顺序排列形成密码．
（1）对多项式分解因式，然后代入计算各因式的值，按从小到大顺序排列因式码形成密码；
（2）对多项式分解因式，再根据前两个因式码为10，16，得到方程组：，求出m、n，然后将m、n代入第三个因式求出结果即可．
【详解】（1）解：
，
当时，
，
，
∴用上述方法生成的密码是152329；
（2）解：
，
∵m，n分别取正整数，，密码的前两个因式码为10，16，
∴，
解得：，
∴
．
即第三个因式码为178．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图，作垂线，作线段，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正确作出图形，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）延长射线到点，过点作的垂线，再截取，连接即可；由等腰三角形三线合一的性质可得，利用即可证明；
（2）连接，由（1）知，，可得，推出，进而得到，证明，推出，设，则，再求出，最后利用三角形内角和定理建立方程求解出的值，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示为所求：
∵，
∴，
由作图得，
∴
∵，
∴；
（2）解：如图，连接，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
解得，
∴．
23．(1)周日门票的销量为张
(2)该儿童乐园门票的定价为150元
【分析】本题考查了列代数式，分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
（1）根据题意知，周末两天门票的销量是张，再由周六售出100张，可得周日门票的销量；
（2）根据题意知，售价为元，再根据“周末两天门票的销量是周五的5倍，这两天的门票收入是51000元”列出分式方程求解即可．
【详解】（1）解：∵周五按定价售出张，周末两天门票的销量是周五的5倍，
∴周末两天门票的销量是张，
∵周六售出100张，
∴周日门票的销量为张；
（2）解：根据题意知，售价为元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴（元），
答：该儿童乐园门票的定价为150元．
24．(1)
(2)
【分析】（1）先求出，再根据题意画出图形，结合对称得到，再根据平移的性质得到；
（2）如图，与交于点，连接，由平移和对称得到，，，即可得到与互相垂直平分，则，，当在上时最小，根据垂线段最短得到当时，最小，即此时的值最小，再根据，得到，把展开整理得到，求出．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴直线为，
如图，
∵点与点关于直线对称，
∴，
∴线段向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到线段，
∴；
（2）解：如图，与交于点，连接，
∵过点作轴的垂线，
∴直线为，
∵将线段进行平移，平移后点A，B的对应点分别是点C，D，
∴，，
∵点与点关于直线对称，，，
∴垂直平分，，
∴，，，
∴，
∴与互相垂直平分，
∴，
∴，
∴当在上时最小，
根据垂线段最短得到当时，最小，即此时的值最小，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
即的最小值．
【点睛】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平移的性质，完全平方公式，根据得到是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)①见解析；②为的角平分线，理由见解析．
【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，得到，由，得到，再根据角平分线的定义求出，利用三角形外角的性质求出，即可证明；
（2）①如图，连接，利用三角形内角和定理与平角的定义结合已知条件推出，
，证明，推出，，进而证明，得到，再证明，即可证明结论；②由①知，易证垂直平分，得到，是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一即可说明．
【详解】（1）证明：∵在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）①证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∴为的角平分线，理由如下：
由①知，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴（三线合一），
∴为的角平分线．
【点睛】本题考查等腰三角性的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
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