寒假提升试题（1） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册

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寒假提升试题（1） 2025-2026学年上学期
初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．下列四个手机软件图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图1所示，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞点沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，因此始终有，其判定依据是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，边长为，的长方形，它的周长为16，面积为10，则的值为（ ）
A．40 B．70 C．80 D．160
6．如图，一轮船在海上往东行驶，在处测得灯塔位于北偏东，在处测得灯塔位于北偏东，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．平分
8．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ）
A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量
9．数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当且时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（）
A．，同学都答对 B．，同学都答错
C．只有同学答对 D．只有同学答对
10．若为正整数，则下列各数中，一定能整除的是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
11．如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点，连接，，，．有以下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
13．计算： ．
14．红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在0.000007左右．数据0.000007用科学记数法表示为 ．
15．若，则 ．
16．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是 ．
17．如图，在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点F处，连接，交于点E，当是直角三角形时，则的度数为 ．
三、解答题
18．按要求完成下列各题：
(1)因式分解：；
(2)计算：．
19．如图，在中，，延长至点，过点作于点，交于点．请完成以下尺规作图和填空：
（）请用尺规作的平分线交于点；（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（）已知：平分交于点，求证：．
证明：平分，
① ，
，
② ，
，
，
，
∴③ ，
∴，
∴④ ，，
∴⑤ ，
．
20．计算：
(1)；
(2)．
21．解分式方程：
(1)；
(2)．
22．如图，在中，点E是上一点，连接平分，且于点D，若．
(1)求的度数；
(2)求线段的长．
23．先化简，再求值：，其中．
24．如图，在中，点在上，满足，连接，是的中线，平分，分别交于点，连接，延长至点，使，连接，交的延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
25．中国经济高速发展带来了各行各业的发展，其中电商经济发展较快，改变了大众的消费习惯，也给大家提供了方便．某电商销售甲、乙两种服装共获利2880元，其中甲种服装的利润比乙种服装利润的2倍少360元．
(1)该电商销售甲、乙两种服装的利润分别是多少元？
(2)若该电商销售每件乙种服装的利润比每件甲种服装的利润少5元，且乙种服装的销售数量是甲种服装销售数量的，求每件甲种服装的利润是多少元？
26．在中，，于点．
(1)如图，，点在上，满足，连接，过点作于点，延长交于点，求的度数；
(2)如图，点在上，满足，且平分，过点作于点，延长交于点，求证：；
(3)如图，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，当最小时，若，请直接写出的大小．（用含的代数式表示）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B A C B A B A B
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】本题主要考查轴对称图形，会判断轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合逐一进行判断即可得出答案．
【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．是轴对称图形，故该选项符合题意；
．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，直接进行判断即可．
【详解】解：由题意，应用方法的几何原理是三角形具有稳定性，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括同底数幂的乘除、幂的乘方以及同类项的加法，熟练掌握同底数幂的乘除（指数相加减）、幂的乘方（指数相乘）以及同类项加法（系数相加）是解题关键
【详解】对于A：∵ ，而非，∴ A错误；
对于B：∵ ，∴ B正确；
对于C：∵ ，而非，∴ C错误；
对于D：∵ ，而非，∴ D错误；
故选：B
4．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据三边对应相等的两个三角形全等即可证明，即可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴．
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了代数式的求值，因式分解的运用，理解题意，得到，再运用因式分解得到，代入计算即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
∵，
∴原式，
故选：C ．
6．B
【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键．
根据方向角的定义得出、的度数，结合三角形内角和，求出的度数即可．
【详解】解：由方向角的定义可知，
∴，，
∴，
故选B．
7．A
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的性质是解题的关键．
根据全等三角形的性质得出，，，证明，据此得出选项即可．
【详解】解：，
，，，
，
，即平分，
故选项B、C、D正确，不符合题意，选项A不正确，符合题意，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键，
根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案．
【详解】根据分式方程可知：
食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分，
x表示的意义是蒸发掉的水量．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的方法．
解分式方程，分析解的符号，判断两位同学的说法是否正确．
【详解】解：∵，
∴（其中），
①当时，得：，即，方程的解为负数，故同学答对；
②当且时，得：且，即且，方程的解为正数，故同学答对；
综上，，同学都答对．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查因式分解及数的特征，熟练掌握因式分解的应用以及正整数的特征是解题的关键．
先因式分解可得，即三个连续正整数的乘积．三个连续正整数中必有一个是2的倍数，一个3的倍数，因此乘积必是6的倍数．
【详解】∵，
∴是三个连续正整数，
∴ 其中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，
∴必是6的倍数，
∴ 一定能整除的是6．
故选B．
11．C
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解．
【详解】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，
∴第一个图形中剩余的面积为：，
由第一个图形可知，大平行四边形的高为：,
∴第二个图形的大平行四边形的面积为，
∴；
故选：C．
12．C
【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理的应用，角平分线的判定．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
由轴对称可得，，则，进而可判断①的正误；由，结合轴对称的性质可知，，由三角形内角和可求，进而可判断②的正误；由，可得边上的高与边上的高相等，即到两边的距离相等，进而可判断③的正误；由轴对称的性质结合勾股定理可判断④的正误；由不全等，可判断⑤的正误．
【详解】解：∵和是的对称图形，
∴，，
∴，①正确，故符合要求；
∴，
由轴对称的性质可知，，
∵，
∴，即，
∴，②正确，故符合要求；
∵，
∴，，
∴边上的高与边上的高相等，即到两边的距离相等，
∴平分，③正确，故符合要求；
∵，，，
∴，
∵，
∴，故④正确，符合要求；
∵，，，，
∴，
∴不全等，即，⑤错误，故不符合要求；
故选：C．
13．
【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握零指数幂的公式，．
先计算零指数幂和负整数指数幂，再相加．
【详解】解：
，
故答案为：．
14．
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示方法，对于绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．
【详解】解：，
故答案为：．
15．
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】解：∵，
∴设，（），
∴，
故答案为：．
16．/度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数．
【详解】解：，
，，
，
，
，，
．
故答案为：．
17．或
【分析】本题考查了折叠的性质和三角形内角定理及三角形外角定理，掌握三角形内角和为和三角形外角等于不相邻的两个内角和及折叠的性质是解题的关键．由翻折得，再分两种情况讨论，一是为直角三角形，且，则，，则，所以根据；二是为直角三角形，且，此时，点与点重合，则，所以，则，所以根据，即可得到答案．
【详解】解：由翻折得，，
当为直角三角形，且时，如图1，
，
，
，
；
当 为直角三角形，且 时，如图2，此时点与点重合，
，且共线，
，
，
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式以及幂的混合运算．
（1）先提公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
（2）先计算同底数幂的乘除法，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
19．（）作图见解析；（）见解析
【分析】（）根据角平分线的作法作图即可；
（）由等腰三角形的性质可得，即可证，得到，，即得到，即可求证；
本题考查了角平分线的作法，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（）如图所示，即为所求；
（）证明：平分，
，
，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的混合运算和分式的混合运算．
（1）先根据平方差公式，单项式乘多项式，然后合并同类项即可．
（2）先计算分式乘法，再计算分式加法即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
21．(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程．
（1）方程两边同时乘以，移项，合并同类项，化系数为1，最后再检验即可．
（2）方程两边同时乘以，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，最后再检验即可．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以得，
移项得：
合并同类项得：
化系数为1得：
当时，，
故原分式方程的解为：；
（2）解：
方程两边同时乘以得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
化系数为得1：
当时，，
故原分式方程无解．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形判定与性质，解题关键是利用角平分线与垂直的条件推出等腰三角形，进而得到线段相等．
（1）由角平分线得，用三角形内角和求，在中求．
（2）由等腰三角形三线合一得、；由等角对等边得；最后求和得．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（2）解：∵且平分，，，
∴，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．，2
【分析】本题主要考查了分式与整式的混合运算以及求值，先分别计算多项式与多项式，单项式与多项式的乘法运算，括号里面的分式加法，再合并同类项，分式除法转化成乘法计算，最后把代入计算即可．
【详解】解：
当时，
原式
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（）由角平分线的定义得，进而由判定定理“”即可求证；
（）证明，可得，即得，即得到，进而得到，即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．(1)甲种服装的利润是1800元，乙种服装的利润是1080元
(2)每件甲种服装的利润是50元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程等知识．
（1）通过设乙种服装的总利润为未知数x元，甲种服装的总利润为元，根据甲种服装利润与乙种服装利润的关系和总利润列一元一次方程求解；
（2）设每件甲种服装的利润为y元，甲种服装销售数量为a件，根据每件利润差和销售数量关系列方程求解．
【详解】（1）解：设乙种服装的总利润为x元，则甲种服装的总利润为元，
根据题意得，
解得，
则，
答：甲种服装的利润是1800元，乙种服装的利润是1080元．
（2）解：设每件甲种服装的利润为y元，甲种服装销售数量为a件，
则每件乙种服装的利润为元，乙种服装销售数量为件，
由第一小题知
解得：，经检验，符合题意；
答：每件甲种服装的利润为50元．
26．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（）利用线段垂直平分线的性质可得，即得，进而得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（）过点作的延长线于点，可证，得到，，再证明，得到，又证明，得到，即得到，即可求证；
（）连接，可证，得到，即得点在右侧且与的夹角为的射线上运动，作点关于的对称点，连接交于点，由轴对称的性质可知此时最小，由得，由得，再根据四边形内角和可得，最后根据邻补角的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点作的延长线于点，则，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵于点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，连接，
由旋转可得，，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴点在右侧且与的夹角为的射线上运动，如图，
作点关于的对称点，连接交于点，由轴对称的性质可知此时最小，
由轴对称可得，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
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