北京市第一七一中学2026届高三上学期12月月考数学试题
1．（2025高三上·北京月考）若集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高三上·北京月考）已知复数（其中i是虚数单位），则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2025高三上·北京月考）已知、，且，则
A． B． C． D．
4．（2025高三上·北京月考）已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2025高三上·北京月考）已知数列满足为其前n项和.若，则（ ）
A．20 B．30 C．31 D．62
6．（2025高三上·北京月考）已知函数若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·北京月考）已知 ，则“ ”是“ 是直角三角形”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2025高三上·北京月考）衣柜里的樟脑丸会随着时间的推移挥发而体积缩小，刚放进的新樟脑丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新樟脑丸经过天后，体积变为，则约为（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·北京月考）已知M为所在平面内的一点，，且，则（ ）
A．0 B．1 C． D．3
10．（2025高三上·北京月考）在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个
①；
②直线与平面所成角不变；
③点到直线的距离不变；
④点到四点的距离相等.
其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．③④ C．①③④ D．①②④
11．（2025高三上·北京月考）已知双曲线的一条渐近线方程是，则 ．
12．（2025高三上·北京月考）的展开式中的系数是 .
13．（2025高三上·北京月考）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，g（x）= ；若g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），m的最大值为 .
14．（2025高三上·北京月考）斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓（yùn）都”或“潮（qiàn）堵”：其上底是一矩形，下底是一线段.有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤（mào）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是 .
15．（2025高三上·北京月考）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”.则下列有关说法中：
①函数是圆的一个太极函数；
②对于圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
③存在圆，使得是圆的一个太极函数；
④函数是奇函数，且当时，，若是圆的太极函数，则.
所有正确的是 .
16．（2025高三上·北京月考）在中，，.
（1）求的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断是否存在，若不存在，说明理由；若存在，求出的面积.条件①：；条件②：；条件③：成等差数列.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17．（2025高三上·北京月考）如图，在三棱柱中，侧面，均为矩形，点D是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，．
（Ⅰ）求直线到平面的距离；
（Ⅱ）在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．
18．（2025高三上·北京月考）某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．
满意度 老年人 中年人 青年人
报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2
（1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记表示这3人中老年人的人数，求的分布列和期望；
（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
19．（2025高三上·北京月考）已知椭圆的焦点是，且，离心率为．
（1）求椭圆的方程
（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，求的取值范围．
20．（2025高三上·北京月考）已知函数.
（1）当时，求曲线点处的切线方程；
（2）求证：当时，函数存在极值；
（3）若函数在区间上有零点，求的取值范围.
21．（2025高三上·北京月考）设正整数数列满足．
（1）若，请写出所有可能的取值；
（2）记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；
（3）若为周期数列，求所有可能的取值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ， 或 ，
∴ ，
故答案为：A
【分析】根据集合描述求集合，应用集合交运算求交集即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数
.
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数求模公式，从而得出复数z的模.
3．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对于选项A，取，，则成立，
但，故选项A错误；
对于选项B，取，，则成立，
但，则，故选项B错误；
对于选项C，因为指数函数在上单调递减，
若，则，故选项C正确；
对于选项D，取，，则，
但，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】利用特殊值法比较大小，则判断出选项A、选项B和选项D；利用指数函数的单调性比较大小，则判断出选项C，从而找出正确的选项.
4．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】解：因为直线l是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线l上，
将圆的一般方程转变为标准方程为： ，
则圆心为 ，将圆心坐标代入直线l的方程得 ，
则 ， ，
所以，函数是开口向下，且以为对称轴的抛物线，
则 .
故答案为：A.
【分析】利用圆心必然在直线l上得到的关系式，再利用替换法和二次函数求最值的方法，从而得出的最大值.
5．【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，所以为等比数列，且，
又因为，所以，则.
故答案为：C.
【分析】利用等比数列的定义、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式计算的值.
6．【答案】D
【知识点】函数的值域；图形的对称性
【解析】【解答】解：设，则，
因为的图象上存在两个点关于原点对称，
所以在上有解，
则在上有解，
由在上的值域为，
得实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】利用的图象上存在两个点关于原点对称得出在上有解，再利用函数求值域的方法得出实数a的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若 ，则 或 ，不能推出 是直角三角形；
若 ，则 ，所以 是直角三角形不能推出 ；
所以“ ”是“ 是直角三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【分析】若 ，则 或 ；若 ，则 ；由充分条件和必要条件的概念即可得解.
8．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意，当时，，
所以，
化简得，
因为，，
所以，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件得出函数关系，从而可知，两边取对数得再利用对数的运算性质化简，从而得出k的估计值.
9．【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：由，
则，
所以共线，
则为中点，如下图：
因为且，
所以，又因为，
所以，则，
所以，，
则.
故答案为：D.
【分析】由向量加减、数乘的几何意义知点为中点，再根据已知条件得出的值和、的长，再由数量积的定义得出的值.
10．【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如下图，
当在棱上运动时，始终在平面中，
由，，
可得，
所以，故①正确；
此时点的轨迹为线段，如上图可知，，过正方形中心且，故③④正确；
如上图，延长与的延长线交于，连接，
则即为直线与平面所成角，
当点在上运动时，不变而在变，
所以不是定值，故②错误.
故答案为：C.
【分析】根据的变化情况找出点的轨迹，则可判断出①、③、④；作出直线与平面所成的角，当点在上运动时，不变而在变，再利用正弦函数的定义判断出②，从而找出正确结论的序号.
11．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为，
则直线的方程可化为，
所以，.
故答案为：.
【分析】利用双曲线渐近线方程求解方法求出双曲线的渐近线方程，再结合已知条件得出正数的值.
12．【答案】15
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：因为二项式展开式的通项为，
令，可得，
所以的展开式中的系数是.
故答案为：15.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项，再利用赋值法得出的展开式中的系数.
13．【答案】；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，
则。
所以，在区间[0，m]上，，
要使函数g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），
则，解出.
则m的最大值为.
故答案为：；.
【分析】利用函数的图象变换得出函数g（x）的解析式；再利用x的取值范围和不等式的基本性质以及正弦型函数求最值的方法，从而得出m的取值范围，进而得出m的最大值.
14．【答案】20
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】解：过A作，垂足为M，连接MD，过B作，垂足为N，连接CN，如图所示
则三棱柱为直棱柱且三棱锥与三棱锥全等，
由题意，得AB=3，BC=2，EF=6，底边BC上的高为5，
所以
则该几何体的体积.
故答案为：20.
【分析】利用已知条件作辅助线，再将所求几何体分割成1个直三棱柱和2个全等的三棱锥，再根据柱体的体积公式、锥体的体积公式，从而代入相关数据求和得出此几何体的体积.
15．【答案】①④
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：①因为圆的圆心为，且是函数的一个对称中心，函数过，故①正确；
②如下图所示，
则是偶函数，
只需轴上方三角形面积与轴下方个三角形面积之和相等时，符合题意，故②错误；
③因为，
所以是奇函数，对称中心为，
但不在函数图象上，
则不存在圆，使得是圆的一个太极函数，故③错误；
④因为圆的圆心为，函数为奇函数，
如下图所示，
因为函数的图象若是圆的太极函数，
所以，必然有顶点在圆内，
则，
解得，故④正确；
故答案为：①④．
【分析】利用太极函数的定义和已知条件判断出序号①和序号 ③ ；利用偶函数的定义判断出序号②；利用奇函数的性质和太极函数的定义，则判断出序号 ④ ，从而找出正确的序号．
16．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理
可得
所以，
则，
又因为，
所以.
（2）解：选择条件①：
由（1）知，，
所以，则，
因为，所以，
则，此时存在，
因为，所以，
又因为，
所以 ；
选择条件②：，
因为，
由余弦定理，可得，
又因为，可得，
由条件②：，可得：，
所以，
又因为，可得，这与在中，矛盾，
则此时不存在；
选择条件③：成等差数列，
因为成等差数列，所以，
又因为，所以
由余弦定理，可得，
化简得
联立方程组，得，
解得：或（舍），
又因为，，
可知为等边三角形，此时存在，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；等差中项
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和同角三角函数基本关系式，从而得到的值，再利用三角形中角C的取值范围，从而求出角的大小.
（2）选①：结合第一问可求出角和角的值，从而得到△ABC存在，再利用三角形面积公式求解；选②：利用余弦定理可得，则△ABC不存在；选③：利用余弦定理可得的值，再结合，得到△ABC存在，利用三角形面积公式求解.
（1）因为，由正弦定理
可得
所以，
即，又，所以；
（2）选择条件①：
由（1）知，，所以，故，因为，所以，
所以，此时存在，
因为，所以
又因为
所以
选择条件②：
因为，由余弦定理可得，
又所以可得，
又由条件②：，可得：，所以，
又，所以可得，这与在中，矛盾
故此时不存在
选择条件③：成等差数列
因为成等差数列，所以，
因为，所以
又由余弦定理可得，
化简得
联立方程组，可解得：或（舍），
又，，所以可知为等边三角形，此时存在，
所以.
17．【答案】（1）证明：由题意，连接交于点，
∵为矩形，∴为中点，
连接，，
在△中，为中点，D是棱的中点，
∴，
∵，，
∴平面.
（2）解：（Ⅰ）由题意和（1），得平面，
∴直线到平面的距离与点到平面的距离相等，
连接，设点到平面的距离为，
∵，，
由几何知识，得，，，
在△中，，
∴△是直角三角形，
∴，
取中点，连接，
由几何知识，得，易得，
∵，
∴，
∴，
∴直线到平面的距离为.
（Ⅱ）由题意和（1）、（2）、（Ⅰ），
得：以点为原点，，，方向为轴，
建立空间直角坐标系如下图所示，
则， ，，，，
∴，，
设，为面的一个法向量，
∴，
∴，则，
解得：，当时，，
∴面的其中一个法向量，
若直线与平面所成角为，
∴，
整理得，
解得：，
∴.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）通过证明平行于平面内的一条直线，再利用线线平行证出平面.
（2）（Ⅰ）将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，再根据等体积法，结合三棱锥的体积公式得到点到平面的距离，从而得出直线到平面的距离.
（Ⅱ）由几何关系，建立空间直角坐标系，设，则得出点的坐标和向量坐标，再根据线面垂直求出面的法向量，利用数量积求出通过直线与平面所成的角的余弦值，再结合已知条件得出的值，从而求出的值.
（1）由题意：连接交于点，
∵为矩形∴为中点
连接，
在△中，为中点，D是棱的中点
∴
∵，
∴平面
（2）（Ⅰ）由题意及（1）得
平面
∴直线到平面的距离与点到平面的距离相等
连接，设点到平面的距离为
∵，
∴由几何知识得，，
在△中，
∴△是直角三角形
∴
取中点，连接，
由几何知识得，，易得
∵
∴
∴
∴直线到平面的距离为
（Ⅱ）由题意，（1）及（2）（Ⅰ）得，
以点为原点，，，方向为轴，建立空间直角坐标系如下图所示，
则， ，，，
∴，
设，为面的一个法向量
∴
∴即，解得：
当时，
∴面的其中一个法向量
若直线与平面所成角为
∴
整理得
解得：
∴
18．【答案】解：（1）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为
，，，
因为，
所以老年人更倾向于选择报团游.
（2）由题意，可得的可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
所以.
（3）由上表可知，报团游的满意率为，
自助游的满意率为，
因为，
所以，建议他选择报团游．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件分别计算三种人群的频率，再进行比较，从而得出老年人更倾向于选择报团游.
（2）根据题意得出的可能取值，再利用组合式公式和古典概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式计算即可.
（3）利用已知条件和古典概率公式，从而分别计算出两种旅游方式的满意度，进而建议他选择报团游．
19．【答案】（1）解：由题意，可知，
解得，，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：由椭圆的定义，可知，
则，
当直线的斜率不存在时，则；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，两点的坐标分别为和，
由，
消得，
则，，，
所以
同理可得，
则，
所以
，
设，则，当且仅当时等号成立，
所以，，
综上所述，的取值范围是.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用焦距和离心率为，再利用椭圆中，三者联立解方程可得a，b，c的值，从而得出椭圆的方程.
（2）先利用椭圆的定义，将转化为，当直线斜率不存在时，则求出的值；当直线斜率存在时，设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，从而得到韦达定理和，再利用斜率表示出的值，从而得出的取值范围.
（1）由题意可知，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由椭圆的定义可知，则，
当直线的斜率不存在时，则，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，两点的坐标分别为和，
由消得，
，
则，，
即
同理，
则，
，
设
，当且仅当时等号成立，
所以，，
综上所述的取值范围是.
20．【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
因为，
所以曲线在处的切线方程为，
即.
（2）证明：因为，
当时，由，得，
随着的变化，的变化情况如下表：
0
单调递减 单调递增
所以，函数存在极小值，且极小值为.
（3）解：因为，
当时，因为，
所以，
则在区间上单调递减，且，
因为在区间上有零点，
所以，
解得，
所以；
当时，，
因为在区间上有零点，
由（1）可知，，
因为函数是增函数，
所以函数是增函数，
又因为，所以，
综上所述，的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义得出切线的斜率，利用代入法得出切点的坐标，点斜式得出曲线点处的切线方程.
（2）先求导，再根据导数的正负判断函数的单调性，结合函数极值点的定义，从而证出当时的函数存在极值.
（3）先求导，分和两种情况讨论，再利用导数正负求出函数的单调区间，根据零点存在性定理和（1）得出函数的最值，再由函数是增函数得出实数a的取值范围.
（1）解：当时，，，，
因为，
所以曲线在处的切线方程为，
即；
（2）证明：，
当时，由得，，
随着的变化，的变化情况如下表：
0
单调递减 单调递增
所以存在极小值，且极小值为；
（3）解：，
当时，因为，所以，
在区间上单调递减，且，
因为在区间上有零点，
所以， 解得，
所以；
当时，，
因为在区间上有零点，
由（1）可知，，
因为函数是增函数，
所以函数是增函数，
又，
所以，
综上所述，的取值范围是.
21．【答案】（1）解：因为正整数数列满足，
当时，，
所以，，
则，
所以或，
则或，
当时，或，
所以或；
当时，，
所以，
则的可能取值为、、.
（2）证明：如果存在正整数，满足是的倍数，
则对，都是的倍数；
如果存在为3的倍数，
根据，
可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于，
当为3的倍数时，可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数，
综上所述，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数.
（3）解：首先注意到是正整数数列，
则数列一定有最小值，
设为，下证或t=，
当为偶数时，设，
则，与是最小值矛盾，
所以是奇数，
不妨设，
则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾，
综上所述，只能是小于的正奇数，即或.
当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；
当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环，
所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数，
经检验，当时，数列确实是周期数列.
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；反证法的应用
【解析】【分析】（1）根据数列递推公式求出、的值，从而求出的值，再分类讨论计算出所有可能的取值.
（2）先证明如果存在为3的倍数，再根据数列递推公式得到都是3的倍数，再证出都是3的倍数，从而证出若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数.
（3）依题意得出数列一定有最小值，设为，则或t=，再利用函数的周期性，从而得到当数列中出现或时数列为周期数列，进而得出所有可能的取值.
（1）解：因为正整数数列满足，
当时，，所以，，所以，则或，即或，
当时，或，所以或；
当时，，所以；
所以的可能取值为、、；
（2）证明：如果存在正整数，满足是的倍数，则对，都是的倍数；
如果存在为3的倍数，根据，可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于，当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；
综上所述，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；
（3）证明：
首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为，下证或；
当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾；
所以是奇数；不妨设，则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾；
综上，只能是小于的正奇数，即或；
当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；
当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环；
所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数；
经检验，当时，数列确实是周期数列；
1 / 1北京市第一七一中学2026届高三上学期12月月考数学试题
1．（2025高三上·北京月考）若集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ， 或 ，
∴ ，
故答案为：A
【分析】根据集合描述求集合，应用集合交运算求交集即可.
2．（2025高三上·北京月考）已知复数（其中i是虚数单位），则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数
.
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数求模公式，从而得出复数z的模.
3．（2025高三上·北京月考）已知、，且，则
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对于选项A，取，，则成立，
但，故选项A错误；
对于选项B，取，，则成立，
但，则，故选项B错误；
对于选项C，因为指数函数在上单调递减，
若，则，故选项C正确；
对于选项D，取，，则，
但，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】利用特殊值法比较大小，则判断出选项A、选项B和选项D；利用指数函数的单调性比较大小，则判断出选项C，从而找出正确的选项.
4．（2025高三上·北京月考）已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】解：因为直线l是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线l上，
将圆的一般方程转变为标准方程为： ，
则圆心为 ，将圆心坐标代入直线l的方程得 ，
则 ， ，
所以，函数是开口向下，且以为对称轴的抛物线，
则 .
故答案为：A.
【分析】利用圆心必然在直线l上得到的关系式，再利用替换法和二次函数求最值的方法，从而得出的最大值.
5．（2025高三上·北京月考）已知数列满足为其前n项和.若，则（ ）
A．20 B．30 C．31 D．62
【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，所以为等比数列，且，
又因为，所以，则.
故答案为：C.
【分析】利用等比数列的定义、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式计算的值.
6．（2025高三上·北京月考）已知函数若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的值域；图形的对称性
【解析】【解答】解：设，则，
因为的图象上存在两个点关于原点对称，
所以在上有解，
则在上有解，
由在上的值域为，
得实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】利用的图象上存在两个点关于原点对称得出在上有解，再利用函数求值域的方法得出实数a的取值范围.
7．（2025高三上·北京月考）已知 ，则“ ”是“ 是直角三角形”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若 ，则 或 ，不能推出 是直角三角形；
若 ，则 ，所以 是直角三角形不能推出 ；
所以“ ”是“ 是直角三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【分析】若 ，则 或 ；若 ，则 ；由充分条件和必要条件的概念即可得解.
8．（2025高三上·北京月考）衣柜里的樟脑丸会随着时间的推移挥发而体积缩小，刚放进的新樟脑丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新樟脑丸经过天后，体积变为，则约为（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意，当时，，
所以，
化简得，
因为，，
所以，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件得出函数关系，从而可知，两边取对数得再利用对数的运算性质化简，从而得出k的估计值.
9．（2025高三上·北京月考）已知M为所在平面内的一点，，且，则（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：由，
则，
所以共线，
则为中点，如下图：
因为且，
所以，又因为，
所以，则，
所以，，
则.
故答案为：D.
【分析】由向量加减、数乘的几何意义知点为中点，再根据已知条件得出的值和、的长，再由数量积的定义得出的值.
10．（2025高三上·北京月考）在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个
①；
②直线与平面所成角不变；
③点到直线的距离不变；
④点到四点的距离相等.
其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．③④ C．①③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如下图，
当在棱上运动时，始终在平面中，
由，，
可得，
所以，故①正确；
此时点的轨迹为线段，如上图可知，，过正方形中心且，故③④正确；
如上图，延长与的延长线交于，连接，
则即为直线与平面所成角，
当点在上运动时，不变而在变，
所以不是定值，故②错误.
故答案为：C.
【分析】根据的变化情况找出点的轨迹，则可判断出①、③、④；作出直线与平面所成的角，当点在上运动时，不变而在变，再利用正弦函数的定义判断出②，从而找出正确结论的序号.
11．（2025高三上·北京月考）已知双曲线的一条渐近线方程是，则 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为，
则直线的方程可化为，
所以，.
故答案为：.
【分析】利用双曲线渐近线方程求解方法求出双曲线的渐近线方程，再结合已知条件得出正数的值.
12．（2025高三上·北京月考）的展开式中的系数是 .
【答案】15
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：因为二项式展开式的通项为，
令，可得，
所以的展开式中的系数是.
故答案为：15.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项，再利用赋值法得出的展开式中的系数.
13．（2025高三上·北京月考）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，g（x）= ；若g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），m的最大值为 .
【答案】；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，
则。
所以，在区间[0，m]上，，
要使函数g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），
则，解出.
则m的最大值为.
故答案为：；.
【分析】利用函数的图象变换得出函数g（x）的解析式；再利用x的取值范围和不等式的基本性质以及正弦型函数求最值的方法，从而得出m的取值范围，进而得出m的最大值.
14．（2025高三上·北京月考）斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓（yùn）都”或“潮（qiàn）堵”：其上底是一矩形，下底是一线段.有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤（mào）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是 .
【答案】20
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】解：过A作，垂足为M，连接MD，过B作，垂足为N，连接CN，如图所示
则三棱柱为直棱柱且三棱锥与三棱锥全等，
由题意，得AB=3，BC=2，EF=6，底边BC上的高为5，
所以
则该几何体的体积.
故答案为：20.
【分析】利用已知条件作辅助线，再将所求几何体分割成1个直三棱柱和2个全等的三棱锥，再根据柱体的体积公式、锥体的体积公式，从而代入相关数据求和得出此几何体的体积.
15．（2025高三上·北京月考）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”.则下列有关说法中：
①函数是圆的一个太极函数；
②对于圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
③存在圆，使得是圆的一个太极函数；
④函数是奇函数，且当时，，若是圆的太极函数，则.
所有正确的是 .
【答案】①④
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：①因为圆的圆心为，且是函数的一个对称中心，函数过，故①正确；
②如下图所示，
则是偶函数，
只需轴上方三角形面积与轴下方个三角形面积之和相等时，符合题意，故②错误；
③因为，
所以是奇函数，对称中心为，
但不在函数图象上，
则不存在圆，使得是圆的一个太极函数，故③错误；
④因为圆的圆心为，函数为奇函数，
如下图所示，
因为函数的图象若是圆的太极函数，
所以，必然有顶点在圆内，
则，
解得，故④正确；
故答案为：①④．
【分析】利用太极函数的定义和已知条件判断出序号①和序号 ③ ；利用偶函数的定义判断出序号②；利用奇函数的性质和太极函数的定义，则判断出序号 ④ ，从而找出正确的序号．
16．（2025高三上·北京月考）在中，，.
（1）求的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断是否存在，若不存在，说明理由；若存在，求出的面积.条件①：；条件②：；条件③：成等差数列.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理
可得
所以，
则，
又因为，
所以.
（2）解：选择条件①：
由（1）知，，
所以，则，
因为，所以，
则，此时存在，
因为，所以，
又因为，
所以 ；
选择条件②：，
因为，
由余弦定理，可得，
又因为，可得，
由条件②：，可得：，
所以，
又因为，可得，这与在中，矛盾，
则此时不存在；
选择条件③：成等差数列，
因为成等差数列，所以，
又因为，所以
由余弦定理，可得，
化简得
联立方程组，得，
解得：或（舍），
又因为，，
可知为等边三角形，此时存在，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；等差中项
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和同角三角函数基本关系式，从而得到的值，再利用三角形中角C的取值范围，从而求出角的大小.
（2）选①：结合第一问可求出角和角的值，从而得到△ABC存在，再利用三角形面积公式求解；选②：利用余弦定理可得，则△ABC不存在；选③：利用余弦定理可得的值，再结合，得到△ABC存在，利用三角形面积公式求解.
（1）因为，由正弦定理
可得
所以，
即，又，所以；
（2）选择条件①：
由（1）知，，所以，故，因为，所以，
所以，此时存在，
因为，所以
又因为
所以
选择条件②：
因为，由余弦定理可得，
又所以可得，
又由条件②：，可得：，所以，
又，所以可得，这与在中，矛盾
故此时不存在
选择条件③：成等差数列
因为成等差数列，所以，
因为，所以
又由余弦定理可得，
化简得
联立方程组，可解得：或（舍），
又，，所以可知为等边三角形，此时存在，
所以.
17．（2025高三上·北京月考）如图，在三棱柱中，侧面，均为矩形，点D是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，．
（Ⅰ）求直线到平面的距离；
（Ⅱ）在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：由题意，连接交于点，
∵为矩形，∴为中点，
连接，，
在△中，为中点，D是棱的中点，
∴，
∵，，
∴平面.
（2）解：（Ⅰ）由题意和（1），得平面，
∴直线到平面的距离与点到平面的距离相等，
连接，设点到平面的距离为，
∵，，
由几何知识，得，，，
在△中，，
∴△是直角三角形，
∴，
取中点，连接，
由几何知识，得，易得，
∵，
∴，
∴，
∴直线到平面的距离为.
（Ⅱ）由题意和（1）、（2）、（Ⅰ），
得：以点为原点，，，方向为轴，
建立空间直角坐标系如下图所示，
则， ，，，，
∴，，
设，为面的一个法向量，
∴，
∴，则，
解得：，当时，，
∴面的其中一个法向量，
若直线与平面所成角为，
∴，
整理得，
解得：，
∴.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）通过证明平行于平面内的一条直线，再利用线线平行证出平面.
（2）（Ⅰ）将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，再根据等体积法，结合三棱锥的体积公式得到点到平面的距离，从而得出直线到平面的距离.
（Ⅱ）由几何关系，建立空间直角坐标系，设，则得出点的坐标和向量坐标，再根据线面垂直求出面的法向量，利用数量积求出通过直线与平面所成的角的余弦值，再结合已知条件得出的值，从而求出的值.
（1）由题意：连接交于点，
∵为矩形∴为中点
连接，
在△中，为中点，D是棱的中点
∴
∵，
∴平面
（2）（Ⅰ）由题意及（1）得
平面
∴直线到平面的距离与点到平面的距离相等
连接，设点到平面的距离为
∵，
∴由几何知识得，，
在△中，
∴△是直角三角形
∴
取中点，连接，
由几何知识得，，易得
∵
∴
∴
∴直线到平面的距离为
（Ⅱ）由题意，（1）及（2）（Ⅰ）得，
以点为原点，，，方向为轴，建立空间直角坐标系如下图所示，
则， ，，，
∴，
设，为面的一个法向量
∴
∴即，解得：
当时，
∴面的其中一个法向量
若直线与平面所成角为
∴
整理得
解得：
∴
18．（2025高三上·北京月考）某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．
满意度 老年人 中年人 青年人
报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2
（1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记表示这3人中老年人的人数，求的分布列和期望；
（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
【答案】解：（1）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为
，，，
因为，
所以老年人更倾向于选择报团游.
（2）由题意，可得的可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
所以.
（3）由上表可知，报团游的满意率为，
自助游的满意率为，
因为，
所以，建议他选择报团游．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件分别计算三种人群的频率，再进行比较，从而得出老年人更倾向于选择报团游.
（2）根据题意得出的可能取值，再利用组合式公式和古典概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式计算即可.
（3）利用已知条件和古典概率公式，从而分别计算出两种旅游方式的满意度，进而建议他选择报团游．
19．（2025高三上·北京月考）已知椭圆的焦点是，且，离心率为．
（1）求椭圆的方程
（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，可知，
解得，，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：由椭圆的定义，可知，
则，
当直线的斜率不存在时，则；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，两点的坐标分别为和，
由，
消得，
则，，，
所以
同理可得，
则，
所以
，
设，则，当且仅当时等号成立，
所以，，
综上所述，的取值范围是.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用焦距和离心率为，再利用椭圆中，三者联立解方程可得a，b，c的值，从而得出椭圆的方程.
（2）先利用椭圆的定义，将转化为，当直线斜率不存在时，则求出的值；当直线斜率存在时，设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，从而得到韦达定理和，再利用斜率表示出的值，从而得出的取值范围.
（1）由题意可知，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由椭圆的定义可知，则，
当直线的斜率不存在时，则，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，两点的坐标分别为和，
由消得，
，
则，，
即
同理，
则，
，
设
，当且仅当时等号成立，
所以，，
综上所述的取值范围是.
20．（2025高三上·北京月考）已知函数.
（1）当时，求曲线点处的切线方程；
（2）求证：当时，函数存在极值；
（3）若函数在区间上有零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
因为，
所以曲线在处的切线方程为，
即.
（2）证明：因为，
当时，由，得，
随着的变化，的变化情况如下表：
0
单调递减 单调递增
所以，函数存在极小值，且极小值为.
（3）解：因为，
当时，因为，
所以，
则在区间上单调递减，且，
因为在区间上有零点，
所以，
解得，
所以；
当时，，
因为在区间上有零点，
由（1）可知，，
因为函数是增函数，
所以函数是增函数，
又因为，所以，
综上所述，的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义得出切线的斜率，利用代入法得出切点的坐标，点斜式得出曲线点处的切线方程.
（2）先求导，再根据导数的正负判断函数的单调性，结合函数极值点的定义，从而证出当时的函数存在极值.
（3）先求导，分和两种情况讨论，再利用导数正负求出函数的单调区间，根据零点存在性定理和（1）得出函数的最值，再由函数是增函数得出实数a的取值范围.
（1）解：当时，，，，
因为，
所以曲线在处的切线方程为，
即；
（2）证明：，
当时，由得，，
随着的变化，的变化情况如下表：
0
单调递减 单调递增
所以存在极小值，且极小值为；
（3）解：，
当时，因为，所以，
在区间上单调递减，且，
因为在区间上有零点，
所以， 解得，
所以；
当时，，
因为在区间上有零点，
由（1）可知，，
因为函数是增函数，
所以函数是增函数，
又，
所以，
综上所述，的取值范围是.
21．（2025高三上·北京月考）设正整数数列满足．
（1）若，请写出所有可能的取值；
（2）记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；
（3）若为周期数列，求所有可能的取值.
【答案】（1）解：因为正整数数列满足，
当时，，
所以，，
则，
所以或，
则或，
当时，或，
所以或；
当时，，
所以，
则的可能取值为、、.
（2）证明：如果存在正整数，满足是的倍数，
则对，都是的倍数；
如果存在为3的倍数，
根据，
可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于，
当为3的倍数时，可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数，
综上所述，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数.
（3）解：首先注意到是正整数数列，
则数列一定有最小值，
设为，下证或t=，
当为偶数时，设，
则，与是最小值矛盾，
所以是奇数，
不妨设，
则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾，
综上所述，只能是小于的正奇数，即或.
当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；
当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环，
所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数，
经检验，当时，数列确实是周期数列.
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；反证法的应用
【解析】【分析】（1）根据数列递推公式求出、的值，从而求出的值，再分类讨论计算出所有可能的取值.
（2）先证明如果存在为3的倍数，再根据数列递推公式得到都是3的倍数，再证出都是3的倍数，从而证出若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数.
（3）依题意得出数列一定有最小值，设为，则或t=，再利用函数的周期性，从而得到当数列中出现或时数列为周期数列，进而得出所有可能的取值.
（1）解：因为正整数数列满足，
当时，，所以，，所以，则或，即或，
当时，或，所以或；
当时，，所以；
所以的可能取值为、、；
（2）证明：如果存在正整数，满足是的倍数，则对，都是的倍数；
如果存在为3的倍数，根据，可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于，当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；
综上所述，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；
（3）证明：
首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为，下证或；
当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾；
所以是奇数；不妨设，则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾；
综上，只能是小于的正奇数，即或；
当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；
当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环；
所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数；
经检验，当时，数列确实是周期数列；
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