贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题
1．（2025高二上·贵阳月考）已知向量，向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由，则，所以.
故答案为：D
【分析】向量的线性运算遵循坐标对应加减、数乘的规则，先计算数乘向量，再进行向量减法。
2．（2025高二上·贵阳月考）若抛物线上有一点，其横坐标为2，则该点到焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：因为抛物线的方程为，所以，所以，
所以点到焦点的距离与点到其准线的距离相等，
即，
故答案为：B．
【分析】利用抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离来求解。
3．（2025高二上·贵阳月考）“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：“直线与直线互相垂直”的充要条件为：
或.
因为“”是“或”的充分不必要条件，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】两直线垂直的充要条件是它们的系数满足，先求出使两直线垂直的所有 值，再判断“”与该条件的逻辑关系。
4．（2025高二上·贵阳月考）如图，在斜三棱柱中，为棱BC上靠近的三等分点，为的中点，设，则用表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】向量的线性运算遵循首尾相接、分段相加的原则，我们把分解成几段可以用已知向量表示的部分，再进行合并化简。
5．（2025高二上·贵阳月考）如图，在等腰梯形ABCD中，与CD之间的距离为3，O为AB的中点，则等腰梯形ABCD的外接圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可知：，
由对称性可知圆心在y轴上，设圆心，半径，
因为，则，解得，
可得，所以所求圆的标准方程为.
故答案为：A．
【分析】等腰梯形具有对称性，其外接圆的圆心必在对称轴（y轴）上，我们可以通过两点到圆心距离相等来确定圆心坐标和半径。
6．（2025高二上·贵阳月考）在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为8
B．存在点使得
C．满足的点有且只有4个
D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：椭圆中，△F1PF2的周长，故A错误；
当∠F1PF2最大时此时P在椭圆短轴的端点，此时三角形为等腰三角形边长分别为2、2、此时，故B错误；
时，，由椭圆的对称性可知存在4个点，故C正确；
如果线段PF1的中点在y轴上时，设的中点为，此时是的中位线，轴，△F1PF2的面积，故D错误.
故答案为：C．
【分析】先由椭圆方程求出 a，b，c，再利用椭圆定义、几何性质及向量垂直条件，逐一验证各选项。
7．（2025高二上·贵阳月考）如图，在四面体ABCD中，，且，点满足，则直线CE与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：不妨设，，
则，，
由，则，
于是，
在中，由余弦定理，，则，
设直线与所成角为，则，
故答案为：B．
【分析】利用向量法求异面直线所成角，先把和用已知向量表示，再计算它们的点模长与点积，最后代入夹角公式求解。
8．（2025高二上·贵阳月考）已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：连接，如下图：
因，且为线段的中点，则四边形为矩形，
则，
因，则，
则，，
在中利用勾股定理得，，则，
故椭圆的离心率为.
故答案为：C．
【分析】利用椭圆的对称性、定义以及矩形的性质，结合勾股定理推导出离心率。
9．（2025高二上·贵阳月考）已知直线和圆，则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点
B．直线一定与圆相交
C．直线被圆截得的最短弦长为4
D．圆与圆有3条公切线
【答案】A,B,C
【知识点】恒过定点的直线；圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A，直线的方程可整理为：，因为故需使，即直线过定点，故A正确；
B， 由A知直线过定点，而点在圆内，所以直线一定与圆相交，故B正确；
C， 因为直线过定点，当OA垂直于时，圆心到直线的距离最大，最大值为，此时直线被圆截得的最短弦长为，故C正确；
D，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为，所以两圆的圆心距为，
因为介于与之间，所以两圆相交，公切线有条，故D错误.
故答案为：ABC．
【分析】先处理直线过定点问题，再判断直线与圆、圆与圆的位置关系，最后计算最短弦长。
10．（2025高二上·贵阳月考）如图，在底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足，），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点到直线AC的距离为
B．当时，直线AP与平面所成角的正弦值是
C．若，则点在平面内
D．若，则点在平面内
【答案】B,C,D
【知识点】共面向量定理；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A：如图，以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为轴建系，
则，，，，，
所以，
则，
故，故A错误；
B：根据A选项可知. 又，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，所以.
设直线与平面的夹角为，则，故B正确；
C：当时，，由共面向量定理知，共面，
所以点在面内，故C正确；
D： ，
所以，共面，所以点在面内，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】以 A 为原点，建立空间直角坐标系，将点和向量坐标化，再分别计算距离、线面角，并用共面向量定理判断点是否在平面内。
11．（2025高二上·贵阳月考）已知过点的抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过焦点作两条相互垂直的直线分别交于A，B和M，N四点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线AB的斜率为1，则
B．若点平分弦AB，则直线AB的方程为
C．的最小值为
D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：
将的坐标代入，得，解得，
故抛物线C的方程为，，
由题意可知直线AB，MN的斜率存在且不为0，
设，
A，直线的斜率为1，过，
直线的方程为，代入，得，
整理得，，
，，故A正确；
B，设直线AB的方程为，代入，得，
整理得，恒成立，
，，为AB的中点，，
直线的方程为：，故B错误；
C，由B选项知，
同理，，，
当且仅当时取等，故C正确；
D，准线与轴的交点，，
由B项可知，，
，，，
，，
，
，，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】先由点 Q(1，2) 求出抛物线方程，再分别对每个选项用弦长公式、中点坐标、垂直条件等进行计算验证。
12．（2025高二上·贵阳月考）已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为 .
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：，代入
由右焦点得，，代入，故，
故双曲线的标准方程为.
故答案为：
【分析】已知双曲线的渐近线方程和右焦点坐标，利用双曲线的基本性质 以及渐近线斜率 ，可以直接求出 和 ，从而得到标准方程。
13．（2025高二上·贵阳月考）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由题意得，圆的圆心，半径，过点P作圆C的切线为切点，
连接，如图3：显然，在中，，
因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可，
而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离，
于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d，
而，因此，，
所以切线长最短为．
故答案为：．
【分析】切线长由点P到圆心C的距离和圆的半径决定。要使切线最短，只需让P到圆心C的距离最短，而最短距离就是圆心到直线l的距离。
14．（2025高二上·贵阳月考）椭圆上有一动点，左、右焦点分别为和，过作圆的切线，切点分别为A，B两点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设，由题意可得，，
则
令，则，
因，，即，则，
由对勾函数可知在上单调递减，
则当，有最小值，最小值为.
故答案为：
【分析】先利用椭圆的范围确定点到圆心 的距离范围，再通过向量数量积的几何表示，将 转化为关于 的函数，最后求最小值。
15．（2025高二上·贵阳月考）已知直线过点且倾斜角为，圆的方程为.
（1）求直线的方程；
（2）已知直线与直线平行，且与圆相交所得弦长为2，求直线的方程.
【答案】（1）解：因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为，
且直线过点，
所以直线的方程为，即
（2）解：因为直线与直线平行，可设的方程为，，
因为圆的方程为，可知半径，圆心为，
则圆心到直线的距离为，
且直线与圆相交所得弦长为，解得或，
所以的方程为或.
【知识点】直线的倾斜角；直线的点斜式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1) 先由倾斜角求出直线斜率，再用点斜式写出直线方程；
(2) 利用平行直线的斜率相同设出直线方程，再结合圆的弦长公式和点到直线的距离公式，求解直线的截距。
（1）因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为，
且直线过点，
所以直线的方程为，即
（2）因为直线与直线平行，可设的方程为，，
因为圆的方程为，可知半径，圆心为，
则圆心到直线的距离为，
且直线与圆相交所得弦长为，解得或，
所以的方程为或.
16．（2025高二上·贵阳月考）如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中是PD的中点.
（1）求证：平面ACE；
（2）若点为PB的中点，求点到平面ACE的距离.
【答案】（1）证明：如图，连接AC，交BD于O，连接EO.
因底面ABCD是矩形，则，
又因是PD的中点，所以.
又平面，平面，
则平面.
（2）解：因为底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AB、AD、AP两两相互垂直.
以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，E是PD的中点，
所以 ，
则，
设平面ACE的一个法向量为，
那么，所以，
令，则，所以，
于是，
所以点Q到平面ACE的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】(1) 利用矩形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理证明线线平行，再由线面平行的判定定理得证。
(2) 建立空间直角坐标系，求出平面ACE的法向量，再用点到平面的距离公式计算。
（1）如图，连接AC，交BD于O，连接EO.
因底面ABCD是矩形，则，
又因是PD的中点，所以.
又平面，平面，
则平面.
（2）因为底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AB、AD、AP两两相互垂直.
以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，E是PD的中点，
所以 ，
则，
设平面ACE的一个法向量为，
那么，所以，
令，则，所以，
于是，
所以点Q到平面ACE的距离为.
17．（2025高二上·贵阳月考）已知双曲线的实轴长为2，焦距为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积.
【答案】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为
可得，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为
联立方程组，整理得，
设，则且，
由弦长公式，可得，
又由原点到直线的距离为，
所以的面积为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】(1) 利用双曲线的基本几何性质（实轴长、焦距）求出 、，再通过 求出 ，从而写出标准方程。
(2) 先写出直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出弦长，再用点到直线的距离公式求出高，最后用三角形面积公式求解。
（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为
可得，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为
联立方程组，整理得，
设，则且，
由弦长公式，可得，
又由原点到直线的距离为，
所以的面积为.
18．（2025高二上·贵阳月考）如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙.
（1）求证：平面平面AECD；
（2）若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值.
【答案】（1）证明：在矩形中，因为，且为的中点，
可得，所以，所以，所以，
因为，，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，过点作直线垂直于平面，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，以所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
可得，
则.，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量 ，
设平面与平面所成夹角为，则，
所以平面与平面AEF所成夹角的余弦值为.
（3）解：由，可得，其中，
则，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量，
设平面与平面所成夹角为，则，
解得，
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 先在矩形中通过几何关系证明 ，再结合折叠后 ，用线面垂直判定定理得到 平面 ，进而证得平面 平面 。
(2) 建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，用向量夹角公式计算二面角的余弦值。
(3) 用参数 表示点 的坐标，求出平面 的法向量，结合已知二面角大小列方程求解 。
（1）证明：在矩形中，因为，且为的中点，
可得，所以，所以，所以，
因为，，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，过点作直线垂直于平面，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，以所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，
则.，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量 ，
设平面与平面所成夹角为，则，
所以平面与平面AEF所成夹角的余弦值为.
（3）解：由，可得，其中，
则，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量，
设平面与平面所成夹角为，则，
解得，
19．（2025高二上·贵阳月考）如图，在矩形ABCD中，分别是矩形四条边的中点，点分别是OF，CF的等分点，直线和直线的交点为.
（1）若，求点的坐标并证明点在椭圆上；
（2）证明：点在同一个椭圆上；
（3）若.已知，过点作斜率为的直线交（2）中椭圆于S，T两点，直线分别交直线于P，Q两点，若，求的值.
【答案】（1）解：当时，
直线①， 直线②，
联立①②，得的坐标为
把的坐标代入椭圆方程， 有
在椭圆上.
（2）证明：设，则.
则直线①，
则直线②，
在直线上，是方程①，②的解，
①②，得，化简得
点在同一个椭圆上 .
（3）解：当时，椭圆：，
将椭圆向右平移两个单位长度，则椭圆
即是
平移后，
设显然，且直线不过原点，
设直线过，
则直线.
所以，可变为，整理得
因为，所以两边同除以，得，即
因为点坐标满足此方程，则是方程的两根，
，则
直线，直线，直线，
分别联立解得， .
则=.
所以，解得.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先确定各点坐标，写出两条直线的方程，联立求交点 ，再代入椭圆方程验证。
(2)用等分点参数表示 、 的坐标，写出直线 和 的方程，消去参数得到交点的轨迹方程，证明为椭圆。
(3)设出直线 的方程，与椭圆联立得到 、 坐标关系；再写出直线 、 的方程，求它们与 的交点 、，利用 列方程求解 。
（1）当时，
直线①， 直线②，
联立①②，得的坐标为
把的坐标代入椭圆方程， 有
在椭圆上.
（2）设，则.
则直线①，
则直线②，
在直线上，是方程①，②的解，
①②，得，化简得
点在同一个椭圆上 .
（3）当时，椭圆：，
将椭圆向右平移两个单位长度，则椭圆
即是
平移后，
设显然，且直线不过原点，
设直线过，
则直线.
所以，可变为，整理得
因为，所以两边同除以，得，即
因为点坐标满足此方程，则是方程的两根，
，则
直线，直线，直线，
分别联立解得， .
则=.
所以，解得.
1 / 1贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题
1．（2025高二上·贵阳月考）已知向量，向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·贵阳月考）若抛物线上有一点，其横坐标为2，则该点到焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2025高二上·贵阳月考）“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高二上·贵阳月考）如图，在斜三棱柱中，为棱BC上靠近的三等分点，为的中点，设，则用表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高二上·贵阳月考）如图，在等腰梯形ABCD中，与CD之间的距离为3，O为AB的中点，则等腰梯形ABCD的外接圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高二上·贵阳月考）在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为8
B．存在点使得
C．满足的点有且只有4个
D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为
7．（2025高二上·贵阳月考）如图，在四面体ABCD中，，且，点满足，则直线CE与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·贵阳月考）已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·贵阳月考）已知直线和圆，则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点
B．直线一定与圆相交
C．直线被圆截得的最短弦长为4
D．圆与圆有3条公切线
10．（2025高二上·贵阳月考）如图，在底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足，），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点到直线AC的距离为
B．当时，直线AP与平面所成角的正弦值是
C．若，则点在平面内
D．若，则点在平面内
11．（2025高二上·贵阳月考）已知过点的抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过焦点作两条相互垂直的直线分别交于A，B和M，N四点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线AB的斜率为1，则
B．若点平分弦AB，则直线AB的方程为
C．的最小值为
D．若，则
12．（2025高二上·贵阳月考）已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为 .
13．（2025高二上·贵阳月考）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ．
14．（2025高二上·贵阳月考）椭圆上有一动点，左、右焦点分别为和，过作圆的切线，切点分别为A，B两点，则的最小值为 .
15．（2025高二上·贵阳月考）已知直线过点且倾斜角为，圆的方程为.
（1）求直线的方程；
（2）已知直线与直线平行，且与圆相交所得弦长为2，求直线的方程.
16．（2025高二上·贵阳月考）如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中是PD的中点.
（1）求证：平面ACE；
（2）若点为PB的中点，求点到平面ACE的距离.
17．（2025高二上·贵阳月考）已知双曲线的实轴长为2，焦距为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积.
18．（2025高二上·贵阳月考）如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙.
（1）求证：平面平面AECD；
（2）若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值.
19．（2025高二上·贵阳月考）如图，在矩形ABCD中，分别是矩形四条边的中点，点分别是OF，CF的等分点，直线和直线的交点为.
（1）若，求点的坐标并证明点在椭圆上；
（2）证明：点在同一个椭圆上；
（3）若.已知，过点作斜率为的直线交（2）中椭圆于S，T两点，直线分别交直线于P，Q两点，若，求的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由，则，所以.
故答案为：D
【分析】向量的线性运算遵循坐标对应加减、数乘的规则，先计算数乘向量，再进行向量减法。
2．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：因为抛物线的方程为，所以，所以，
所以点到焦点的距离与点到其准线的距离相等，
即，
故答案为：B．
【分析】利用抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离来求解。
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：“直线与直线互相垂直”的充要条件为：
或.
因为“”是“或”的充分不必要条件，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】两直线垂直的充要条件是它们的系数满足，先求出使两直线垂直的所有 值，再判断“”与该条件的逻辑关系。
4．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】向量的线性运算遵循首尾相接、分段相加的原则，我们把分解成几段可以用已知向量表示的部分，再进行合并化简。
5．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可知：，
由对称性可知圆心在y轴上，设圆心，半径，
因为，则，解得，
可得，所以所求圆的标准方程为.
故答案为：A．
【分析】等腰梯形具有对称性，其外接圆的圆心必在对称轴（y轴）上，我们可以通过两点到圆心距离相等来确定圆心坐标和半径。
6．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：椭圆中，△F1PF2的周长，故A错误；
当∠F1PF2最大时此时P在椭圆短轴的端点，此时三角形为等腰三角形边长分别为2、2、此时，故B错误；
时，，由椭圆的对称性可知存在4个点，故C正确；
如果线段PF1的中点在y轴上时，设的中点为，此时是的中位线，轴，△F1PF2的面积，故D错误.
故答案为：C．
【分析】先由椭圆方程求出 a，b，c，再利用椭圆定义、几何性质及向量垂直条件，逐一验证各选项。
7．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：不妨设，，
则，，
由，则，
于是，
在中，由余弦定理，，则，
设直线与所成角为，则，
故答案为：B．
【分析】利用向量法求异面直线所成角，先把和用已知向量表示，再计算它们的点模长与点积，最后代入夹角公式求解。
8．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：连接，如下图：
因，且为线段的中点，则四边形为矩形，
则，
因，则，
则，，
在中利用勾股定理得，，则，
故椭圆的离心率为.
故答案为：C．
【分析】利用椭圆的对称性、定义以及矩形的性质，结合勾股定理推导出离心率。
9．【答案】A,B,C
【知识点】恒过定点的直线；圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A，直线的方程可整理为：，因为故需使，即直线过定点，故A正确；
B， 由A知直线过定点，而点在圆内，所以直线一定与圆相交，故B正确；
C， 因为直线过定点，当OA垂直于时，圆心到直线的距离最大，最大值为，此时直线被圆截得的最短弦长为，故C正确；
D，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为，所以两圆的圆心距为，
因为介于与之间，所以两圆相交，公切线有条，故D错误.
故答案为：ABC．
【分析】先处理直线过定点问题，再判断直线与圆、圆与圆的位置关系，最后计算最短弦长。
10．【答案】B,C,D
【知识点】共面向量定理；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A：如图，以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为轴建系，
则，，，，，
所以，
则，
故，故A错误；
B：根据A选项可知. 又，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，所以.
设直线与平面的夹角为，则，故B正确；
C：当时，，由共面向量定理知，共面，
所以点在面内，故C正确；
D： ，
所以，共面，所以点在面内，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】以 A 为原点，建立空间直角坐标系，将点和向量坐标化，再分别计算距离、线面角，并用共面向量定理判断点是否在平面内。
11．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：
将的坐标代入，得，解得，
故抛物线C的方程为，，
由题意可知直线AB，MN的斜率存在且不为0，
设，
A，直线的斜率为1，过，
直线的方程为，代入，得，
整理得，，
，，故A正确；
B，设直线AB的方程为，代入，得，
整理得，恒成立，
，，为AB的中点，，
直线的方程为：，故B错误；
C，由B选项知，
同理，，，
当且仅当时取等，故C正确；
D，准线与轴的交点，，
由B项可知，，
，，，
，，
，
，，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】先由点 Q(1，2) 求出抛物线方程，再分别对每个选项用弦长公式、中点坐标、垂直条件等进行计算验证。
12．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：，代入
由右焦点得，，代入，故，
故双曲线的标准方程为.
故答案为：
【分析】已知双曲线的渐近线方程和右焦点坐标，利用双曲线的基本性质 以及渐近线斜率 ，可以直接求出 和 ，从而得到标准方程。
13．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由题意得，圆的圆心，半径，过点P作圆C的切线为切点，
连接，如图3：显然，在中，，
因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可，
而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离，
于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d，
而，因此，，
所以切线长最短为．
故答案为：．
【分析】切线长由点P到圆心C的距离和圆的半径决定。要使切线最短，只需让P到圆心C的距离最短，而最短距离就是圆心到直线l的距离。
14．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设，由题意可得，，
则
令，则，
因，，即，则，
由对勾函数可知在上单调递减，
则当，有最小值，最小值为.
故答案为：
【分析】先利用椭圆的范围确定点到圆心 的距离范围，再通过向量数量积的几何表示，将 转化为关于 的函数，最后求最小值。
15．【答案】（1）解：因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为，
且直线过点，
所以直线的方程为，即
（2）解：因为直线与直线平行，可设的方程为，，
因为圆的方程为，可知半径，圆心为，
则圆心到直线的距离为，
且直线与圆相交所得弦长为，解得或，
所以的方程为或.
【知识点】直线的倾斜角；直线的点斜式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1) 先由倾斜角求出直线斜率，再用点斜式写出直线方程；
(2) 利用平行直线的斜率相同设出直线方程，再结合圆的弦长公式和点到直线的距离公式，求解直线的截距。
（1）因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为，
且直线过点，
所以直线的方程为，即
（2）因为直线与直线平行，可设的方程为，，
因为圆的方程为，可知半径，圆心为，
则圆心到直线的距离为，
且直线与圆相交所得弦长为，解得或，
所以的方程为或.
16．【答案】（1）证明：如图，连接AC，交BD于O，连接EO.
因底面ABCD是矩形，则，
又因是PD的中点，所以.
又平面，平面，
则平面.
（2）解：因为底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AB、AD、AP两两相互垂直.
以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，E是PD的中点，
所以 ，
则，
设平面ACE的一个法向量为，
那么，所以，
令，则，所以，
于是，
所以点Q到平面ACE的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】(1) 利用矩形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理证明线线平行，再由线面平行的判定定理得证。
(2) 建立空间直角坐标系，求出平面ACE的法向量，再用点到平面的距离公式计算。
（1）如图，连接AC，交BD于O，连接EO.
因底面ABCD是矩形，则，
又因是PD的中点，所以.
又平面，平面，
则平面.
（2）因为底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AB、AD、AP两两相互垂直.
以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，E是PD的中点，
所以 ，
则，
设平面ACE的一个法向量为，
那么，所以，
令，则，所以，
于是，
所以点Q到平面ACE的距离为.
17．【答案】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为
可得，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为
联立方程组，整理得，
设，则且，
由弦长公式，可得，
又由原点到直线的距离为，
所以的面积为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】(1) 利用双曲线的基本几何性质（实轴长、焦距）求出 、，再通过 求出 ，从而写出标准方程。
(2) 先写出直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出弦长，再用点到直线的距离公式求出高，最后用三角形面积公式求解。
（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为
可得，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为
联立方程组，整理得，
设，则且，
由弦长公式，可得，
又由原点到直线的距离为，
所以的面积为.
18．【答案】（1）证明：在矩形中，因为，且为的中点，
可得，所以，所以，所以，
因为，，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，过点作直线垂直于平面，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，以所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
可得，
则.，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量 ，
设平面与平面所成夹角为，则，
所以平面与平面AEF所成夹角的余弦值为.
（3）解：由，可得，其中，
则，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量，
设平面与平面所成夹角为，则，
解得，
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 先在矩形中通过几何关系证明 ，再结合折叠后 ，用线面垂直判定定理得到 平面 ，进而证得平面 平面 。
(2) 建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，用向量夹角公式计算二面角的余弦值。
(3) 用参数 表示点 的坐标，求出平面 的法向量，结合已知二面角大小列方程求解 。
（1）证明：在矩形中，因为，且为的中点，
可得，所以，所以，所以，
因为，，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，过点作直线垂直于平面，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，以所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，
则.，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量 ，
设平面与平面所成夹角为，则，
所以平面与平面AEF所成夹角的余弦值为.
（3）解：由，可得，其中，
则，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量，
设平面与平面所成夹角为，则，
解得，
19．【答案】（1）解：当时，
直线①， 直线②，
联立①②，得的坐标为
把的坐标代入椭圆方程， 有
在椭圆上.
（2）证明：设，则.
则直线①，
则直线②，
在直线上，是方程①，②的解，
①②，得，化简得
点在同一个椭圆上 .
（3）解：当时，椭圆：，
将椭圆向右平移两个单位长度，则椭圆
即是
平移后，
设显然，且直线不过原点，
设直线过，
则直线.
所以，可变为，整理得
因为，所以两边同除以，得，即
因为点坐标满足此方程，则是方程的两根，
，则
直线，直线，直线，
分别联立解得， .
则=.
所以，解得.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先确定各点坐标，写出两条直线的方程，联立求交点 ，再代入椭圆方程验证。
(2)用等分点参数表示 、 的坐标，写出直线 和 的方程，消去参数得到交点的轨迹方程，证明为椭圆。
(3)设出直线 的方程，与椭圆联立得到 、 坐标关系；再写出直线 、 的方程，求它们与 的交点 、，利用 列方程求解 。
（1）当时，
直线①， 直线②，
联立①②，得的坐标为
把的坐标代入椭圆方程， 有
在椭圆上.
（2）设，则.
则直线①，
则直线②，
在直线上，是方程①，②的解，
①②，得，化简得
点在同一个椭圆上 .
（3）当时，椭圆：，
将椭圆向右平移两个单位长度，则椭圆
即是
平移后，
设显然，且直线不过原点，
设直线过，
则直线.
所以，可变为，整理得
因为，所以两边同除以，得，即
因为点坐标满足此方程，则是方程的两根，
，则
直线，直线，直线，
分别联立解得， .
则=.
所以，解得.
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