山东省淄博市高新区2025-2026学年九年级上学期（五四学制）期末数学试卷 （扫描版，含答案）

初四期末数学试题答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C B D C A C D B B
二、填空题
140 56
11. x 0 12. k 2 13. 544 14. 15.
3 9
三、解答题

16.解（1）3tan 30 tan 45 2sin 30
2 tan 60
=3 3 1 1 2 2 3………………………2分
3 2
= 3 1 1 2 3
=3 3……………………………5分
1
3 1 12 2cos30
2
3 2 2 3 2 3 ………………………2分
2
3 2 2 3 3
2……………………………5分
17.解： ADB C 90
在Rt△ADB中
A 60

， AB 2 6
AD
cos60 ………………………1分
2 6
AD 1 2 6 cos60 2 6 6 ………………………3分
2
DB 2 6 sin 60 3 2 6 3 2……………………………5分
2
在Rt△BCD中
BC CD，DB 3 2
BC 2 CD2 BD2
2CD2 18………………………8分
CD 0
CD 3……………………………10分
18.解：（1） y1 2x 2
令 x 0，得 y1 2；令 y1 0，得 x 1。
A(0 , 2)、B( 1 , 0)
DA AB
B , D关于点 A(0 , 2)中心对称
D(1 , 4)………………………2分
k
将D(1 , 4)
y2
代入 x ，得
k 4
4
反比例函数的解析式为 y2 ……………………………4分x
（2）令 y1 y2，得
2x 4 2
x
解得， x1 2 , x2 1
y1 2 , y2 4
C( 2 , 2)………………………6分
S△PCD S△PAC S△PAD
1 1
6 2 PA 1 PA
2 2
PA 4
A(0 , 2)
点 P的坐标为 (0 , 6)或(0 , 2)……………………………8分
(3) x 2或0 x 1……………………………10 分
解：（1）最多添加 4 个。……………………………2分
19.
……………………………8分
（2）由题意，作图如下：
……………………………10分
20.解：（1）根据题意可知DE AB，
∴ AED BEC 90 ，
∵ BCE 45 ，
∴ B 45 BCE，
∴ BE CE，
设 BE CE x米，
∴DE 4 x 米，
在Rt ACE中， AE CE tan54.5 1.4x（米），………………………2分
在Rt ADE中， tan ADE tan26.7
AE 1.4x
0.5 ，………………………4分
DE 4 x
解得 x 2.2，………………………6分
∴ BE CE 2米， AE 1.4x 3（米）；……………………………8分
答：线段 AE的长度约为3米；……………………………9分
（2）解： AB AE BE 3 2 5（米），
答：大树 AB的高度约为 5 米．……………………………12分
21. 2解：（1）当 c 3时，二次函数的解析式为 y x bx 3,
将点 1, 2 2代入 y x bx 3，得： 1 2 b 3 2 ，
解得b 0，………………………1分
则该二次函数的解析式为 y x2 3，
0, 3
因此，该二次函数顶点坐标为 ；……………………………2分
（2）①证明：∵b +c = -3，
∴ c 3 b，………………………3分
∴ b2 4c b2 4b 12 b 2 2 8 0，………………………5分
因此，二次函数 y x
2 bx c的图象和 x 轴有两个交点；……………………………6分
②将 A m,n 代入 y x2 bx c，
得， n m 2 bm c………………………7分
∵b +c = -3
n b b
2
∴ m 2 bm c m 2 bm 3 b (m )2 b 3，………………………8分
2 4
由于b c，c 3 b，
3
则b 3 b，即b ，
2
b 3
所以 ，
2 4
b 2n b
2 b
∵函数 m b 3，开口向上，对称轴为m ，
2 4 2
3 b 3 3∴当 时，即 b 6，
2 4 2
m b 时， n取最小值 6，
2
b2
即 b 3 6，
4
整理得b2 4b 12 0，
解得b 2或 b 6（舍去），……………………………10分
b
当 3，即b 6时，m 3， n取最小值 6，
2
则 3 2 3b b 3 6 ，
解得b 3 6，不符合题意，舍去
综上所述，b的值为 2。……………………………12分
22.解：（1）实数2，3，4不可以构成“和谐三组数”，理由如下：
1 1 5 1 1 1 3 1 1 1 7 1
∵ ， ， ，
2 3 6 4 2 4 4 3 3 4 12 2
∴实数 2，3，4不可以构成“和谐三组数”；……………………………2分
（2）①∵M t, y1 ，N t 1,y2 ，R t 3, y3
k
三点均在函数 y 上，
x
y k y k y k∴ 1 ， ， ，t 2 t 1 3 t 3
1 t 1 t 1 1 t 3
∴ ， ， y1 k y
，
2 k y3 k
∵ y1，y2，y3构成“和谐三组数”，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ 或 y1 y2 y3 y1 y y
或
3 2 y2 y3 y
，
1
1 1 1
当 y y y 时，则 t t 1 t 3，1 2 3
∴ t 2；
1 1 1
当 y y y 时，则 t t 3 t 1，1 3 2
∴ t 2；
1 1 1
当 y y y 时，则 t 1 t 3 t，2 3 1
∴ t 4；
综上所述，t的值为 4或 2或 2；……………………………8分
②∵ t 0，k 0，
∴ t 2；
由题意得，∠MPN ∠PNQ ∠NQR 90 ，
M、N、R三点不共线，
∴∠PNM ∠QNR 180 90 90 ，
∵ PMN PNM 90 ，
∴∠PMN ∠QNR，
∴△PNM∽△QNR，
PM PN
∴ QR QN ………………………10 分
∵ t 2，
∴ y
k y k y k1 ， 2 ， 3 ，2 3 5
∴ PM y
k 2k
1 y2 ，QN y6 2
y3 ，15
又∵ PN t 1 t 1，QR t 3 t 1 2，
k
1
∴ 6 2 ，2 k
15
解得 k 3 10或 k 3 10………………………12 分
∵ k 0
∴ k 3 10……………………………13分
c 2
1
23.解：（1）将点 A 0, 2 ，B( 4 , 0)代入 y x2 bx c，得
2 0
1
16 4b c
2
3
b
解得， 2
c 2
y 1 x 2 3 x 2
∴ 2 2 ……………………………3分
（2）解：∵C△PDB PD DB PB
又 PC PD 1
∴C PD DB PB DB PB PC 1………………5分△PDB
∵DB 5为定值，
∴当 PB PC取得最小值时，C△PDB有最小值，………………………6分
∴即当点 P 在线段BC上时，PB PC 2取得最小值，最小值为 BC 4 0 0 8 2 4 5，
∴C△PDB的最小值为 4 5 5 1 4 5 4。……………………………8分
（3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有 3 个交点，其中一条与抛物线
y 1 x 2 3 x 2有且只有 1 个交点，
2 2
设该直线的解析式为 y 2x b2 ，
1 2 3
联立方程，得 2x b2 x x 2，整理得， x 2 x 4 2b 0，2 2 2
∵有且只有一个交点，
∴ ( 1)2 4 1 ( 4 2b2 ) 0，
b 17解得 2 ，8
∴点M 符合条件的位置之一在直线 y
17
2x 上，………………………10分
8
设直线 y 2x 17 与 x轴交于点 N ，则 N (
17
，0)，
8 16
S△BCM S
1 17 81
△BCN ( 4) 8
∴ 2 16 4 ……………………………13 分