山东省淄博市淄川区2025-2026学年九年级上学期期末（元旦竞赛）数学试卷（扫描版，含答案）

初四数学试题参考答案
友情提示： 解题方法只要正确，可参照得分.
一、选择题（本题共 10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的
选项填在下面的表中．每小题 4分，满分 40分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记
0分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C A D A B B B
二、填空题（每小题 4分，共 20分）
11. 1 ； 12. y＝5（x＋2） ﹣1； 13. 8； 14. 10； 15. ①②④．
2
三、解答题（第 16，17，18，19题每题 10分；第 20，21题每题 12分，第 22，23题每题 13
分；满分 90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本题满分 10分）
解：（1）解： 4x2 5x 6 0
x 2 4 x 3 0，
3
∴ x1 2， x2 ；4
（2）解：4sin30 3tan45 cos60
1 1
4 3 1
2 2
2 3 1 1
2
1
2 3
2
1
．
2
17.（本题满分 10分）
（1）解：根据三视图可知，该几何体为三棱柱，
故答案为：三棱柱；
（2）解：作 AD BC交BC于点D，
初四数学答案第 1页 （共 10 页）
FG 12 cm，
5
AD 12 cm，
5
在Rt△ABC中， AC 4cm，
12
2 2 16
sinC 5 3 ，CD AC AD cm，
4 5 5
tanC 3 ，
4
AB 4 3 3cm，
4
V 1 4 3 5 30 cm3 ，
2
该三棱柱的体积为30cm3．
18.（本题满分 10分）
（1）解：∵母线长为25cm、高为20cm，
∴底面半径为 r a 2 h 2 25 2 20 2 15cm ，
侧面积为 πrl 15 25π 375πcm2，
故答案为：15；375π；
（2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为 n ，
nπ 25
由题意得 2π 15，
180
∴n 216，
答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为 216 度．
19.（本题满分 10分）
（1）解：∵直线 y x 2 y k与反比例函数 k 0 的图象交于 A、B 两点，点 A 的横坐
x
标为 1，
初四数学答案第 2页 （共 10 页）
∴把 x 1代入 y x 2得 y 3，
∴ A 1, 3 ，
∴ k 1 3 3；
y x 2

解析式联立 3 ，
y x
x 1 x 3
解得
y 3
或
y 1
，
∴ B 3, 1 ；
（2）解：设直线 y x 2与 x 轴的交点为 C，
把 y 0代入 y x 2得：0 x 2，
解得： x 2，
∴C 2，0 ，
1 1
∴ S△AOB S△AOC S△BOC 2 1 2 3 4；2 2
k
（3）解：观察图象，不等式 x 2 的解集为 3 x 0或 x 1；
x
（4）解：∵ S ABD S ACD S BCD 8，
1
∴ CD y 1 A CD y2 2 B
8，
1
∴ CD 3 1 CD 1 8，
2 2
∴CD 4，
∴点 D 的坐标为 2 , 0 或 6, 0 ．
初四数学答案第 3页 （共 10 页）
20．（本题满分 12分）
（1）解：设每顶头盔的售价为 x 元，
根据题意得， x 50 200 10 80 x 5250
解得 x1 65 ， x2 85 （舍），
∴降价为80 65 15（元）
答：当每顶头盔降价 15 元时，每月的利润为 5250 元；
（2）解：设每月的销售利润为 w，每顶头盔的售价为 x 元，
根据题意得，w x 50 200 10 80 x 10 x 75
2
6250
∵ 10 0，且不能亏本且降价不低于 5 元，即50 x 75 ,
∴当 x 75时，w 取得最大值 6250，
∴降价为80 75 5（元）
答：当每顶头盔降价 5 元时，每月的销售利润最大，最大利润是 6250 元．
21．（本题满分 12分）
（1）解：如图，过点 A 作 AG PF于点 G，与直线QE交于点 H，过点 B 作BM AG于
点 M，过点 D 作DN BM于点 N，
∴四边形DHMN，四边形 EFGH均为矩形，
∴MH ND，EF HG 5，BM∥DH，
∴ NBD BDQ 60 ，
由图可得：B 到地面PF的距离为MG，
在Rt△BND中，
∵ NBD 60 ，BD 80cm，
初四数学答案第 4页 （共 10 页）
∴ ND BD sin60 3 80 40 3 69 cm ，
2
∵MG MH HG ND EF，EF 5cm，
∴MG 69 5 cm = 74cm ．
故 B 到地面PF的距离为74cm；
（2）解：最高点 A 到地面的高度为 AG AM MG AM 74 cm ，
当 ABD= 90°时， ABM ABD NBD 90 60 30 ，
在Rt ABM中，
∵ AB 120cm， ABM 30 ，
∴ AM AB sin ABM AB sin30 60cm，
∴ AG 60 74 cm 134cm ，
当 ABD 105 时， ABM 45 ，
同理得 AM 2 AB 60 2cm 85cm，
2
∴ AG 159cm，
∴159 134 25cm．
故当 ABD从90 增大到105 后，展板的最高点 A 到地面的高度增加了25cm．
22.（本题满分 13分）
（1）解：连接BD，如图，
AB 是 O的直径，
ADB 90 ，
A ABD 90 ，
B D 2 AD，
A 2 ABD，
初四数学答案第 5页 （共 10 页）
3 ABD 90 ，
ABD 30 ，
A 60 ，
C A 60 ；
（2）证明： CD AB，
A ADC 90 ，
ADC 50 ，
A 40 ，
C A 40 ．
B D 2 AD，
A 2 ABD，
ABD 20 ，
ABC ADC 50 ，
CBD ABC ABD 70 ，
BDC 180 C CBD 180 40 70 70 ，
CDB CBD，
CD CB．
（3）解： 四边形 ADBC为圆的内接四边形，
FAC CBD ，
ABC ADC ，
ABD CBD ABC ， CD AB，
DAB ADC 90 ， DAB 90 ，
B D 2 AD， DAB 2 ABD，
90 2( )，
2 90 ．
\ ， 满足的关系式为2 90 ．
初四数学答案第 6页 （共 10 页）
23.（本题满分 13分）
3
1 2（ ）解：∵抛物线 y x bx c经过 B 5 , 0 ，C 0 , 3 ，
5
15
18
5b c 0 b
∴ c 3 ，解得
5 ，

c 3
y 3 x2 18∴该抛物线的解析式为 x 3．
5 5
3 18
（2 2）解：∵ y x x 3，
5 5
18
5
∴抛物线对称轴为直线 x 3
2
，

3
5
∵点 A 与 B 5 , 0 关于直线 x 3对称，
∴ A 1, 0 ，
设直线BC的解析式为 y ax b，
0 5a b a
3

把 B 5 , 0 ，C 0 , 3

代入可得 3 b ，解得：
5 ，
b 3
3
∴直线BC的解析式为 y x 3，
5
x, 3 2 18 设点 P 坐标为 x x 3 1 x 5 ，
5 5
3
如图，过点 P 作PD x轴交BC于点 D ，则点 D 的坐标为 x, x 35 ，
PD 3 x2 18 x 3 3 3∴ x 3
x2 3x，
5 5 5 5
初四数学答案第 7页 （共 10 页）
S S 1 1 3 2 3 2 15∴ PBC PDC S PDB PD OB 5 x 3x x x，2 2 5 2 2
3 15 3
对于二次函数 S x2 x，其中 a 0，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大
2 2 2
值，
15
b 2 5
∵对称轴为 x 2a 2 3 2
，

2
5 3 5 2 15 5 75
∴当 x 时， S PBC有最大值为 ，2 2 2 2 2 8
5 2
将 x 代入 y 3 x2 18 x 3 y 3 5 18 5 3 9得： ，
2 5 5 5 2 5 2 4
P
5 , 9 △PBC 75即当点 坐标为 2 4 时， 的面积最大，最大面积为 ． 8
3 18
（3）解：设 E 3, m P 2 ， n, n n 3 ，
5 5
①当点 P 在 x 轴上方时，1 n 5，
过点 P 作对称轴的垂线，垂足为 F，过点 B 作BG PF于点 G，
∵ BPE是以 BE 为斜边的等腰直角三角形，
初四数学答案第 8页 （共 10 页）
∴ BPE 90 ，PB PE，
∴ BPG EPF 90 ，
∵ G PFE 90 ，
∴ BPG PBG 90 ，
∴ PBG EPF，
在 BPG和!PEF中，
G PFE 90

PBG EPF ，

PB PE
∴ BPG≌ PEF AAS ，
∴BG PF，
3 18 13 5
∴ n2 n 3 n 3，解得 n1 ， n 0（舍），n ， n 6（舍），5 5 3 2 3 3 4
P 13 , 4 5 4 ∴ 1 ， P3 3 2
, ；
3 3
②当点 P 在 x 轴下方时，n 5或n 1，
如图，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 H，过点 E作 E K ⊥ P H 于点 K，
∵ BPE是以 BE 为斜边的等腰直角三角形，
∴ BPE 90 ，PB PE，
∴ BPH EPK 90 ，
∵ K PHB 90 ，
∴ BPH PBH 90 ，
∴ P BH E P K ，
在 BPH和VPEK中，
K PHB 90

PBH EPK ，

BP PE
∴ BPH≌ PEK AAS ，
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∴ P H E K ，
3 2 18
∴ n n 3 n 3 13 5 ，解得 n1 0， n2 （舍）， n5 5 3 3
（舍）， n4 6，3
∴ P3 0 , 3 ， P4 6 , 3 ，
13 , 4 5 4 综上所述，点 P 的坐标为 0, 3 ， ， 6, 3 ， , ．
3 3 3 3
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，包括求抛物线解析式、求抛物线对称轴及最
值等，利用三角形面积公式的和差关系求解，全等三角形的判定与性质及绝对值方程的求
解．
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