山西省阳泉市高二数学2025-2026学年上学期期末试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 山西省阳泉市高二数学2025-2026学年上学期期末试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 91.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-30 00:00:00 | ||
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文档简介
阳泉市2025~2026学年度
第一学期期末教学质量监测试题
高二数学
（考试时长：120分钟 满分：150分）
注意事项：
本试题分第Ⅰ卷 （选择题） 和第Ⅱ卷 （非选择题） 两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（共40分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 顶点在坐标原点，焦点是（0，2）的抛物线的方程是
A. B.
C. D.
2. 若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点
A.(3，4) B.(6，8)
C.(，) D.(，)
3. 在等差数列中，，，则
A.5 B.7 C.8 D.9
4. “”是“直线和直线垂直”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为
A. B.
C. D.
6. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比
A. B.
C. D.
7. 设数列的通项公式为，，若数列是递增数列，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
8. 已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是和在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则的离心率为
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 当时，方程可以表示的曲线有
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若，，，则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
11. 数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为“卡西尼曲线”．卡西尼是法国天文学家，他在1675年研究土星及其卫星的运行规律时，发现了这种类型的曲线．设卡西尼曲线的两定点为和，常数为．则给出下列四个结论正确的是
A. 曲线一定过原点
B. 曲线一定关于坐标轴对称
C. 当且仅当时，曲线上存在到，距离相等的点
D. 曲线上存在点使得的面积大于
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）
12. 已知直线与圆相交于A，B两点，则.
13. 甲、乙两物体分别从相距120m的两处同时出发相向运动，甲第一分钟运动5m，以后每分钟比前一分钟多运动2m，乙每分钟运动10m.甲、乙开始运动后分钟相遇？
14. 如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，现要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到农贸市场中去，已知，，，在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线的方程为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数在处的切线方程是.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数的单调区间和极值.
16.（本小题满分15分）
已知数列中，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和.
17.（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得点在平面内？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分17分）
如图，抛物线上一点到轴的距离是到焦点距离的一半，是轴上一点，过点作直线交抛物线于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求线段中点的轨迹方程；
（3）过点作抛物线的另一条弦，若直线与轴交于点，
连接，，求证：.
19.（本小题满分17分）
已知函数，其中且.
（1）当时，证明：；
（2）讨论的单调性；
（3）求证：对任意的且，都有：.
阳泉市2025~2026学年度
第一学期期末教学质量监测试题
高二数学参考答案和评分标准
评分说明：
1.考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参考评分参考中相应的规定给分。
2.计算题只有最后答案没有演算过程的，不给分。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C A C C B D
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11
答案 ABC BCD BC
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12.8
13.6
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
（1）∵，∴，
又∵在处的切线方程为，
∴， ∴
∴，
∴b=1 (5分)
（2）定义域为，
则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
则在处取得极小值，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为，
极小值为f(12)=1+ln2，无极大值 （13分）
16.（本小题满分15分）
（1）∵，∴，
又∵，
∴{an+2n-1}是以2为首项，4为公比的等比数列 （6分）
（2）由（1）可知，则，
∴
=23·4n-2n+13 (15分)
17.（本小题满分15分）
解：（1）证明：连接，，
在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点，
点为的中点，
又 点为的中点，
,
又平面，平面
平面. （4分）
（2），为中点，
，且，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，可得，
设直线与平面所成角为，
则，.
直线与平面所成角的正弦值为. （10分）
（3）设
则，，
若在平面内，则，即，解得，
存在点，当时，点在平面内. （15分）
18.（本小题满分17分）
（1）由题意可得，
解得，
故该抛物线的标准方程为. ………………………………………… （3分）
（2）设方程为， ，
由，得，
则，，
设中点，则，
消去得，
中点的轨迹方程为. ………………………………………… （9分）
（3）证明：，，
则，同理，
又，、、三点共线，
，可得，
整理得，则\（E（0， ），
.
设方程为，
由，得，
则，，同理：，
，，
∴ME∥BC。 （17分）
19.（本小题满分17分）
（1）当时，，，
要证明，即证，即，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，即，
∴f(x)≤x2+x-1。 （4分）
（2）的定义域为，，
当时，，在上单调递增；
当时，
，，在上单调递减，
，，在上单调递增。
综上，当时，函数在上调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
(10分)
（3）由（1）可得，（当且仅当时等号成立），
令，，，，，则，
，
，
e. (17 分)
（以上答案仅供参考，如有不同解法酌情给分）
第一学期期末教学质量监测试题
高二数学
（考试时长：120分钟 满分：150分）
注意事项：
本试题分第Ⅰ卷 （选择题） 和第Ⅱ卷 （非选择题） 两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（共40分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 顶点在坐标原点，焦点是（0，2）的抛物线的方程是
A. B.
C. D.
2. 若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点
A.(3，4) B.(6，8)
C.(，) D.(，)
3. 在等差数列中，，，则
A.5 B.7 C.8 D.9
4. “”是“直线和直线垂直”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为
A. B.
C. D.
6. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比
A. B.
C. D.
7. 设数列的通项公式为，，若数列是递增数列，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
8. 已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是和在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则的离心率为
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 当时，方程可以表示的曲线有
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若，，，则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
11. 数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为“卡西尼曲线”．卡西尼是法国天文学家，他在1675年研究土星及其卫星的运行规律时，发现了这种类型的曲线．设卡西尼曲线的两定点为和，常数为．则给出下列四个结论正确的是
A. 曲线一定过原点
B. 曲线一定关于坐标轴对称
C. 当且仅当时，曲线上存在到，距离相等的点
D. 曲线上存在点使得的面积大于
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）
12. 已知直线与圆相交于A，B两点，则.
13. 甲、乙两物体分别从相距120m的两处同时出发相向运动，甲第一分钟运动5m，以后每分钟比前一分钟多运动2m，乙每分钟运动10m.甲、乙开始运动后分钟相遇？
14. 如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，现要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到农贸市场中去，已知，，，在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线的方程为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数在处的切线方程是.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数的单调区间和极值.
16.（本小题满分15分）
已知数列中，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和.
17.（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得点在平面内？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分17分）
如图，抛物线上一点到轴的距离是到焦点距离的一半，是轴上一点，过点作直线交抛物线于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求线段中点的轨迹方程；
（3）过点作抛物线的另一条弦，若直线与轴交于点，
连接，，求证：.
19.（本小题满分17分）
已知函数，其中且.
（1）当时，证明：；
（2）讨论的单调性；
（3）求证：对任意的且，都有：.
阳泉市2025~2026学年度
第一学期期末教学质量监测试题
高二数学参考答案和评分标准
评分说明：
1.考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参考评分参考中相应的规定给分。
2.计算题只有最后答案没有演算过程的，不给分。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C A C C B D
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11
答案 ABC BCD BC
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12.8
13.6
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
（1）∵，∴，
又∵在处的切线方程为，
∴， ∴
∴，
∴b=1 (5分)
（2）定义域为，
则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
则在处取得极小值，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为，
极小值为f(12)=1+ln2，无极大值 （13分）
16.（本小题满分15分）
（1）∵，∴，
又∵，
∴{an+2n-1}是以2为首项，4为公比的等比数列 （6分）
（2）由（1）可知，则，
∴
=23·4n-2n+13 (15分)
17.（本小题满分15分）
解：（1）证明：连接，，
在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点，
点为的中点，
又 点为的中点，
,
又平面，平面
平面. （4分）
（2），为中点，
，且，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，可得，
设直线与平面所成角为，
则，.
直线与平面所成角的正弦值为. （10分）
（3）设
则，，
若在平面内，则，即，解得，
存在点，当时，点在平面内. （15分）
18.（本小题满分17分）
（1）由题意可得，
解得，
故该抛物线的标准方程为. ………………………………………… （3分）
（2）设方程为， ，
由，得，
则，，
设中点，则，
消去得，
中点的轨迹方程为. ………………………………………… （9分）
（3）证明：，，
则，同理，
又，、、三点共线，
，可得，
整理得，则\（E（0， ），
.
设方程为，
由，得，
则，，同理：，
，，
∴ME∥BC。 （17分）
19.（本小题满分17分）
（1）当时，，，
要证明，即证，即，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，即，
∴f(x)≤x2+x-1。 （4分）
（2）的定义域为，，
当时，，在上单调递增；
当时，
，，在上单调递减，
，，在上单调递增。
综上，当时，函数在上调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
(10分)
（3）由（1）可得，（当且仅当时等号成立），
令，，，，，则，
，
，
e. (17 分)
（以上答案仅供参考，如有不同解法酌情给分）
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