河北省-唐山市高二数学2025-2026学年上学期期末试卷（含答案）

2025－2026学年度高二年级第一学期期末考试
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟。
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在数列中，，则
A.2 B.3
C. D.
2.已知直线的方程为，则的倾斜角为
A. B.
C. D.
3.三棱锥的所有棱长都为2，，分别是，的中点，则
A. B.
C. D.
4.椭圆的左、右焦点分别为，，经过的直线交椭圆于，两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为
A. B.
C. D.
5.在正方体中，为棱的中点，，则
A. B.
C. D.
6.已知圆经过，两点，圆心在直线上，则圆的方程为
A. B.
C. D.
7. 过圆 上的动点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，，则四边形 周长的最大值为
A.8　　　　 B.16　　　　
C. 　　　　 D.
8. 经过抛物线 焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点，若 ，则
A.3　　　　 B.4　　　　 C.5　　　　 D.6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，，，则
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
10. 已知点 ，，动点 满足 ，设动点 的轨迹为 ，则
A. 的方程为
B. 上存在点 在直线 上
C. 上存在点 到点 的距离为8
D. 与圆 的公共弦所在的直线方程为
11. 在正三棱柱 中，，，则
A. 直线 与 所成角的正切值为2
B. 直线 与平面 所成角的余弦值为
C. 若 为直线 上一动点，则 的最小值为
D. 三棱锥 的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 是平面 的一个法向量，直线 的一个方向向量为 ，且 ，则 ______.
13. 已知斜率为1的直线与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点，，则线段 的中点坐标为 ______.
14. 已知双曲线 的右焦点为 ，实轴长为4，渐近线方程为 ，动点 在双曲线左支上， 为圆 上一点，则 的最小值为 ______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知等差数列的首项，且。
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和。
16.（15分）
已知圆：，直线：。
（1）求的圆心坐标与半径；
（2）求直线被圆截得的弦的长度；
（3）过点作圆的切线，求切线所在直线的方程。
17.（15分）
记数列的前项和为，已知，数列满足：，。
（1）求的通项公式；
（2）求证：数列为等差数列，并求的通项公式。
18.(17分)
如图，△ABC和所在的平面垂直，且，，.
(1) 当时，求a的值；
(2) 当时，求点B到平面ACD的距离；
（3） 求平面ACD和平面BCD夹角的余弦值.
19.(17分)
已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，直线l的方程为.
（1） 求 的方程；
（2） 过 的左焦点F的直线与 交于A，B两点.
（ⅰ）求△OAB（O为坐标原点）面积的最大值；
（ⅱ） 为l上的动点，记直线AMi，BMi 的斜率之和为ki，，求 .
2025－2026学年度高二年级第一学期期末考试
数学参考答案
一.选择题（单选）：
1～4 CDAD 5～8 CCCB
二.选择题（多选）：
9.ACD 10.AD 11.ACD
三.填空题：
12.2 13. 14.6
四.解答题：（若有其他解法，请参照给分）
15. 解：
（1） 因为 ，且 ，则 ，，……… 2分
则公差 ，……… 4分
所以 。……… 6分
（2） 由（1）得
。……… 9分
所以
……… 11分
。……… 13分
16. 解：
（1） 圆 ，……… 2分
所以 的圆心坐标为 ，半径为 。……… 5分
（2） 圆心 到直线 的距离 ，……… 8分
所以 。……… 10分
（3）易知点在圆外，且切线的斜率存在.设切线所在直线的方程为，即，则圆心到直线的距离， ………………………………………… 12分
整理得，解得或， ………………………………………………… 14分
所以切线所在直线的方程为或. ………………………………………… 15分
17. 解：
（1）当时，， ……………………………………………………………… 2分
当时，， ………………………………………… 5分
当时，成立，
综上，. ……………………………………………………………………………… 7分
（2）因为. ………………………………………………………… 8分
所以， ……………………………………………………………… 10分
所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ………………………………………… 12分
， …………………………………………………………………… 14分
. …………………………………………………………………… 15分
18. 解：
解法一：（1）如图，在平面内，过点作交于点；在平面内，过点作交于点.
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面. ………………………………………… 2分
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，.
，. ……………………………………………… 4分
当时，，
所以，解得. …………………………………………………………………… 6分
（2）设平面 的法向量为 。
当 时，，，，，，，，，，
则 {m CA→=0,m CD→=0, 即 {3x1 y1=0, y1+3z1=0, 取 m=(1,3,1)。 9分
所以点 B 到平面 ACD 的距离 d=|BC→·m||m|=|-23|5=2155。 12分
（3）由题意可知平面 ACD 的一个法向量为 m=(1,3,1)，与 a 无关。 14分
平面 BCD 的一个法向量为 n=(1,0,0)。 16分
，。
所以平面 ACD 和平面 BCD 的夹角的余弦值为 55。 17分
解法二：（1）如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
连接 。又 ，，
所以 平面 。又 平面 ，
所以 BC⊥AO。 2分
因为 ，
所以 ，
所以 ACO DCO， 4分
所以 AC=CD=2，即 a=2。 6分
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ，， 平面 ，
所以 平面 。
以点 为原点，分别以 ，， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系。
如图：O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,1,0)，D(0,0,3)。 8分
CA→= 3，-1，0 ，CD→= 0，-1，3 ，BC→= 0，-2，0 。 9分
设平面 的法向量为 。
则 {m CA→=0,m CD→=0, 即 {3x1 y1=0, y1+3z1=0, 取 m=(1,3,1)。 10分
所以点 B 到平面 ACD 的距离 d=|BC→·m||m|=|-23|5=2155。 12分
（3）由题意可知平面 ACD 的一个法向量为 m=(1,3,1)，与 a 大小无关。 14分
平面 BCD 的一个法向量为 n=(1,0,0)。 16分
，。
所以平面 ACD 和平面 BCD 的夹角的余弦值为 55。 17分
19. 解：
（1） 由题意得 …………………………………………………… 2分
解得 ………………………………………………………………………… 4分
故椭圆的方程为． …………………………………………………………… 5分
（2）（ⅰ） 由题意可知直线的斜率不为，设直线的方程为．
联立得．………………………………………………… 6分
设，，则，． ……………………………… 7分
所以
， …………………………………………………………… 9分
令，，． ………………………………………… 10分
设，易知在单调递增．
所以当，即时，取得最小值，，
此时取得最大值． ………………………………………………………………………… 12分
（ⅱ） 在（ⅰ）中，，
所以
…………………………………………………… 14分
． ………………………………………………………………………… 15分
因此． …………………………………………………… 17分