浙江省-宁波市高三数学2025-2026学年上学期期末试卷（含答案）

绝密★启用前
宁波市2025学年第一学期期末考试
高三数学试卷
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上。将条形码横贴在答题卷右上角“贴条形码区”。
作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破。
选择题部分（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1. 在复平面内，对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合，，若，则的值不可能是
A. B.
C. D.2
3. 等差数列的前项和为，公差为，若，，则
A. B.
C.2 D.3
4. 已知命题；命题，。则
A. 和都是真命题
B. 和都是真命题
C. 和都是真命题
D. 和都是真命题
5. 已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则
A. B.
C. D.1
6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上单调递增，则的最小值为
A. B.
C. D.
7. 已知，是两个不相等的锐角，且满足，，则的值为
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
8. 已知双曲线的左、右顶点分别是，，左、右焦点分别是，。若的渐近线方程为，焦距为，动点满足，则
A. 　　　　　 B.
C. 　　　　 D.
二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得分，选对但不全的得部分分，有选错的得分。
9. 海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法。收获时，从两个试验区各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如下图所示。
记事件“乙试验区产量不低于千克”，根据直方图得到的估计值为，则
A. 乙试验区产量频率分布直方图中，
B. 甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数
C. 甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数
D. 甲试验区产量的分位数大于乙试验区产量的中位数
10. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过第一象限上一点作的垂线，垂足为，线段与相交于点。若，则
A. 直线的斜率为　　　
B. 为的平分线
C. 的面积为　　　
D. ，，三点共线
11. 设，已知函数，则
A. 函数在上无极值点
B. 函数在上可能单调递增
C. 当时，
D. 当时，
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 直线与圆相交于，两点，则。
13. 一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为。
14. 甲、乙两人进行乒乓球练习，设甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且各局练习的胜负相互独立。现进行局练习，规定胜局多者获胜，记“局练习甲获胜”的概率为，则。（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）如图，在三棱柱中，直线平面，是棱上一点，，，。
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值。
16.（15分）的内角，，所对的边分别为，，，记的面积为，。
（1）求的值；
（2）若为非直角三角形，且满足，，求的值。
17.（15分）已知数列和满足，，，．
（1）证明：数列是等比数列，并求出的通项公式；
（2）将数列，中的所有项从小到大排列组成新数列，记的前项和为，求．
18.（17分）已知椭圆：的离心率为，且过点，是的右焦点，为坐标原点．
（1）求的方程；
（2）设，过点的直线与依次交于，两点（点在第二象限），直线，分别与交于另一点，．
（i）当，两点重合时，求直线的方程；
（ii）当，两点不重合时，直线与轴交点为，求面积的最大值．
19.（17分）已知，函数．
（1）证明：曲线关于直线对称；
（2）当时，求的最小值；
（3）当时，若存在互不相等的三个大于的实数，，，满足，且，证明：．
宁波市2025学年第一学期期末考试
高三数学试卷参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B B D C C D
8．易得双曲线的方程为，，，
设，因为，所以，即，
点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆.
，A选项错误；
，B选项错误；
设线段的中点为，可得，
，故，C选项错误；
，故D选项正确.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 ACD ABD ACD
11．已知，对函数求导，得.
当时，，故无极值点，A选项正确；
当时，存在，使得，B选项错误；
当时，，C选项正确；
当时，令，由选项C得，
于是
，选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．
14．
14．记“5局练习中甲获胜场”的概率为，，，，，，故.
由全概率公式，
则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（1）连结，由题意得，结合，，
可得
即，于是，即，。
因为，所以。
又因为平面，平面，所以，
又，所以平面。
因为CE 平面ACE，所以AA1⊥CE。 6分
（2）方法1：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系。
，，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
，即，令，则，
记直线与平面所成角为，
则，，
因此直线CE与平面A1B1C1所成角的正弦值为66。 13分
方法2：由棱柱性质可知平面平面，
故直线与平面所成角等于直线与平面所成角。
取线段中点，连接，，
因为，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，所以平面，
所以即为直线与平面所成角，即为直线与平面所成角。
在中，，，，
即直线CE与平面A1B1C1所成角的正弦值为66。 13分
16.（1）因为，所以
即，
由余弦定理得32cosB=sinB，于是tanB=32。 6分
（2）因为，所以，
又，
故.
因为，所以，
于是，即或.
因为不为直角三角形，故，即或.
因为，所以，故.
又，，
故，
因此a=csinAsinC=1077 15分
17.（1）因为，所以，
即，又，
所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，
于是an+bn=3·2n-1 6分
（2）由已知，又，
所以数列是以为首项，4为公差的等差数列，
所以.
因为数列，均单调递增数列，且无重复项，
又，，，同时，
所以数列前60项中含数列的前7项，数列的前53项.
记数列前n项的和为，则，
记数列前n项的和为，则，
于是S60=P7+T53=5840 15分
18.（1）由，及，
解得a2=4，b2=3，即椭圆的方程为x24+y23=1 3分
（2）设直线AB的方程为，，
直线AB与椭圆方程联立得，
，，
设，，得.
易知，设BF的直线方程为，其中，
将直线BF与椭圆方程联立得，
则xD=4k2-12(4k2+3)x2=4y2x2-12-124y2x2-12+3x2=4y22-12(x2-1)2(4y22+(x2-1)2)x2=8-5x25-2x2 7分
（i） 当，重合时，，即，，
代入得，
化简得，解得或（舍去）.
因为，所以.
故直线AB的方程为y=34(x+4) 10分
（ii） 因为，所以.
则直线的方程为，
令，得，
将韦达定理代入上式，得，
即直线CD过定点52,0 14分
的面积为
，
当16k23=1-4k2，即k=2114时，取得 ABQ的面积的最大值1338 17分
19.（1） 易知函数的定义域为，
因为
，
所以f(2-x)=f(x)，即曲线y=f(x)关于直线x=1对称 4分
（2） 根据对称性，只需研究时，函数的性质，
，，
令，
。
令，，则，
当时，有，
故，在上单调递增，于是，
即f'(x)>0恒成立，f(x)在(1,2)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(1)=1。 10分
（3）当时，，，
令，，设，
可知在上单调递增，又在上单调递增，
所以在上单调递增。
而，，故，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增。
因为，，，
所以，使得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增。
不妨令，要证，即证。
构造，，
，
令，。
因为，所以，
又因为在上单调递增，所以在上单调递减，
所以在上单调递减，且，
所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，
所以，而，即，
又，，在上单调递减，
所以2x0-x2>x1，即x1x0+x2x0<2。 17分