广西壮族自治区贵港市高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2025高二上·贵港月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·贵港月考）若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·贵港月考）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（2025高二上·贵港月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·贵港月考）的展开式中的系数为（ ）
A．24 B． C． D．
6．（2025高二上·贵港月考）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高二上·贵港月考）已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·贵港月考）已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025高二上·贵港月考）下列说法正确的有（ ）
A．“，使得”的否定是“，都有”
B．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是
C．若，则“”的充要条件是“”
D．已知，则的最小值为9
10．（2025高二上·贵港月考）设离散型随机变量的分布列为
2 3 4
0.3 0.4
若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高二上·贵港月考）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A． B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点
12．（2025高二上·贵港月考）某体育器材店在两个购物平台上均开设了网店，平台一有1万人给出评分，综合好评率为，平台二有2万人给出评分，综合好评率为，则这家体育器材店的总体综合好评率为 .
13．（2025高二上·贵港月考）甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有 种.（用数字作答）
14．（2025高二上·贵港月考）设，函数给出下列四个结论：
①当时，函数的最大值为0；
②当时，函数是增函数；
③若函数存在两个零点，则；
④若直线与曲线恰有2个交点，则.
其中所有正确结论的序号是 .
15．（2025高二上·贵港月考）（1）求函数的定义域，以及的定义域；
（2）已知函数，求的解析式；
16．（2025高二上·贵港月考）AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据．
焦虑 不焦虑 合计
男性 10
女性 20
合计
（1）根据已知条件，填写上面列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？
（2）现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望．
附：为样本容量．
17．（2025高二上·贵港月考）防疫抗疫，人人有责，随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增.下表是某口罩厂今年的月份与订单（单位：万元）的几组对应数据：
月份 1 2 3 4 5
订单 20 24 43 52
（1）求关于的线性回归方程，并估计6月份该厂的订单数；
（2）求相关系数（精确到0.01），说明与之间具有怎样的相关关系.
参考数据：，，.，.参考公式：相关系数；回归直线的方程是，其中.
18．（2025高二上·贵港月考）在平面直角坐标系内，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少1．
（1）求曲线的方程；
（2）点在曲线上，若直线斜率存在并与抛物线交于、两点（、异于点）．若，证明：直线过定点．
19．（2025高二上·贵港月考）已知函数，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若任意且，都有成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式，即，解得，
即集合，因为集合，所以.
故答案为：A.
【分析】解一元二次不等式求得集合A，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，.
对于选项A，因为，所以选项A错；
对于选项B，不妨取，，，，
则，所以选项B错；
对于选项C，取，则，所以选项C错；
对于选项D，由题意，可知，，
由不等式的基本性质，
可得，所以选项D对.
故答案为：D.
【分析】利用不等式的基本性质可判断选项A和选项D；利用特殊值法可判断选项B和选项C，从而找出结论正确的选项.
3．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
当且仅当时，取得等号.
故答案为：A.
【分析】由基本不等式求最值的方法和乘“1”法，从而可得的最小值.
4．【答案】A
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：易知集合，
若是的必要不充分条件，则，解得，故实数a的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】解不等式求得集合B，根据是的必要不充分条件列式求a的范围即可.
5．【答案】D
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：，
因为展开式的通项为，
所以的展开式中含的项为，
所以展开式中的系数为-40．
故选：D.
【分析】先将式子化为，进而求出展开式的通项，进而求得展开式中含的项，即可求出展开式中的系数.
6．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，原不等式为，符合题意；
当时，要使关于的不等式的解集为，
只需
解得，
综上所述，．
【分析】利用分类讨论的方法和不等式恒成立问题求解方法，再利用二次函数的图象的开口方向和判别式法，从而得出实数m的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，变形可得，
因为，所以，即对任意，且，
不等式恒成立，
设，因为，所以函数在区间上单调递减，
所以恒成立，即，即在区间上恒成立，则，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】原不等式变形可得，即，构造函数，由已知可知函数在区间上单调递减，即在区间上恒成立，解对数不等式即可得实数a的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，解得或，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
因为对任意，存在，使，
所以在上有解，整理得，即，
令，，
当时，解得，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减，
因为，所以，所以，
则实数b的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，并求最小值，问题转化为在上有解，分离参数得，即，令，求导，再利用导数判断函数的单调性并求出其最值，即可得实数b的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】充要条件；命题的否定；命题的真假判断与应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，“，使得”的否定是“，都有”，
故A正确；
对于B，若命题“”为假命题，
则无实根，
所以，
则，
所以，实数的取值范围是，故B正确；
对于C，若，由不能推出，
则“”不是“”的充要条件，故C错误；
对于D，因为，
当且仅当时，即当时等号成立，
则的最小值为9，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据特称命题的否定是全称量词命题，则判断出选项A；根据命题的真假性判断方法，从而得出实数m的取值范围，则判断出选项B；根据已知条件和充要条件判断方法，则判断出选项C；根据基本不等式求最值的方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,D
【知识点】离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：对于选项A和选项B，由表格，可得，
所以，
则，
，故A正确、B错误；
对于选项C和选项D，因为，，，
所以，，，故C错误、D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据随机变量的分布列的性质得出的值，再根据数学期望公式和方差公式，从而得出的值，再根据对应关系，从而得出的值，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为为奇函数，
所以，
则①，
又因为为偶函数，
所以②，
由①②，可得，，
则，
所以的一个周期为4，
在①中，令，则，
当时，，
则，
所以，
则，故A正确；
由②可得，，
则，
所以，函数是定义在上的偶函数，
当时，，
则是上的增函数，
所以是上的减函数，
因为是的一个周期，
所以，是上的减函数，故B错误；
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
则的图象关于直线对称，故C正确；
将函数的零点个数转化为与图象的交点个数，
由题意，得与的图象如下：
当时，；
当时，；
当时，，
结合图象可知，函数在上存在1个零点，
当时，；
当时，，
由此可得与的图象有5个交点，
所以有5个零点，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】先由已知条件得出，，从而得出函数的一个周期为4，再结合题中给出的解析式和函数的周期性，从而得出的值，则判断出选项A；先利用偶函数定义证出函数是偶函数，再结合函数的周期性和函数在上的单调性，则判断出函数在区间上的单调性，则判断出选项B；利用偶函数图象的对称性和函数的周期性，则判断出选项C；先画出与的图象，从而判断出两个图象的交点个数，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意可知，有1万人给出评分时综合好评率为，平台二有2万人给出评分时综合好评率为，
所以体育器材店的总体综合好评率为 .
故答案为： .
【分析】根据题意，把数据代入公式计算可得答案见解析.
13．【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解： 丙丁相邻，将丙丁捆绑和甲乙以外的两人排列，有种，形成了四个空，再将甲乙插入四个空，有种，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有种.
故答案为：.
【分析】丙丁相邻，将丙丁捆绑，先将丙丁捆绑和甲乙以外的两人排列，再甲乙插空求解即可.
14．【答案】①③
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：①当时，，
当时，；当时，，
则，故①正确；
②当时，，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
则函数不是增函数，故②错误；
③当时，只有一个零点，
令函数，
解得
当时，函数在上没有零点，
则无意义，
所以，函数在上有且只有一个零点为0，
则函数有且只有一个零点，故不符合题意；
当时， 函数在上有1个零点为0，
因为，不在范围内；
当时，，
则函数在上有一个零点，
所以有两个零点，符合题意；
当时，，
则函数在上没有零点，
所以有且只有一个零点，故不符合题意，
综上所述：当时，有两个零点，故③正确；
④因为直线与曲线恰有2个交点，
可转化为恰有两个零点.
令函数，
解得，
当时，，函数在上有3个零点，
令，得，
则函数在上没有零点，
所以有3个零点，故④错误.
故答案为：①③.
【分析】把和代入解析式，再利用单调函数的定义判断出序号②；再根据函数的单调性求出函数的最值，则判断出序号①；
令，解出函数的零点，从而判断零点是否在区间内，再对含的零点分有无意义，是否在相应区间内进行讨论，则可判断序号③；把④转化为恰有两个零点，从而解出函数的零点，从而取时函数有3个零点，则可判断序号④，从而找出正确结论的序号.
15．【答案】解：（1）要使函数有意义，则，即，解得，则函数的定义域为，令，解得，则的定义域为；（2）令，解得，则，即.
（1）解：要使函数有意义，则，即，解得，
则函数的定义域为，
令，解得，则的定义域为；
（2）解：令，解得，则，即.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）根据对数函数，偶次根式以及分式有意义，列不等式组求的定义域，再根据复合函数定义域的求法求的定义域即可；
（2）利用换元法求的解析式即可.
16．【答案】（1）解：与性别有关填写列联表为：
焦虑 不焦虑 合计
男性 40 10 50
女性 20 30 50
合计 60 40 100
零假设：焦虑与否与性别无关，
根据列联表中的数据，
得，
则依据的独立性检验，可以推断不成立，
即认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关．
（2）解：由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人，
其中男性人数为（人），女性人数为（人），
由题意可得，随机变量的所有可能取值为1，2，3，
则，
所以，随机变量的分布列如下：
1 2 3
则．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据表中数据完成列联表，再提出零假设并计算得出的取值，从而比较得出该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关．
（2）根据分层抽样的方法得出男性人数和女性人数，再利用已知条件得出随机变量的所有可能取值，再利用超几何分布求出对应概率，从而可得随机变量X的分布列，进而可得随机变量X的数学期望值.
（1）填写列联表为：
焦虑 不焦虑 合计
男性 40 10 50
女性 20 30 50
合计 60 40 100
零假设：焦虑与否与性别无关．
根据列联表中的数据得，
故依据的独立性检验，可以推断不成立，
即认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关．
（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人，
其中男性人数为（人）；女性人数为（人）
由题意可得，随机变量的所有可能取值为1，2，3．
，
随机变量的分布列如下：
1 2 3
则．
17．【答案】（1）解：由题意，
可得：，，
，
则，
关于的线性回归方程为，
因为2022年6月对应的变量为6，
将代入，
得，
则估计6月份该厂的订单数为59.9万元．
（2）解：因为相关系数，
与之间具有很强的正相关关系.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平均数公式，再利用最小二乘法和代入法，从而求出和的值，进而可得关于的线性回归方程，再取得出的值，从而估计出6月份该厂的订单数.
（2）由已知数据结合相关系数公式，从而得出相关系数的值，进而可得与的相关系数近似为0.99，则得出与之间的线性相关程度相当高．
（1）解：由题可得：，
，
，
关于的线性回归方程为，
2022年6月对应的变量为6，将代入，
得，
估计6月份该厂的订单数为59.9万元．
（2）相关系数.
与之间具有很强的正相关关系.
18．【答案】（1）解：由题意，
曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少，
即曲线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，
即抛物线的定义，且焦点为点，在轴正半轴，
所以，
所以曲线的方程为.
（2）证明：将点坐标代入曲线的方程，
可得，所以，
因为直线斜率存在并与抛物线交于、两点，
所以设直线，且，
设，
联立直线和抛物线方程，
可得，
由韦达定理可知，
所以，
，
因为，所以
代入化简得，注意到前三项可以因式分解，
即，最后两项不含，
所以将分解为，
原式可以进一步因式分解为，
解得或，
即直线分别过定点或，
因为、异于点，
所以舍去，
故直线过定点.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可知曲线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，再利用抛物线的定义可知焦点即为点，在轴正半轴，从而得出曲线的方程.
（2）设直线，将直线l与抛物线方程联立，利用得出，再代入化简可得关于的方程，从而证出直线过定点．
（1）由题干条件曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少，
即曲线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，此即抛物线的定义，
且焦点为点，在轴正半轴，所以，所以曲线的方程为；
（2）将点坐标代入曲线的方程，可得，所以，
因为直线斜率存在并与抛物线交于、两点，所以设直线，且，
设，联立直线和抛物线方程，可得，
由韦达定理可知，所以，
，
因为，所以
，
代入化简得，注意到前三项可以因式分解，
即，最后两项不含，所以将分解为，
原式可以进一步因式分解为，解得或，
即直线分别过定点或，因为、异于点，所以舍去，
故直线过定点.
19．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，解得或，
又因为，所以，
列表如下：
x 2
单调递减 极小值 单调递增
则有极小值，无极大值；
（2）解：易知，，
若对任意且恒成立，
不妨令，则，
令，则，即函数在单调递增，
因为，则，
所以在时恒成立，即，，
令，，则，
又因为，所以令，解得，令，解得，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时取到最大值，
故实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用判断函数的单调性，并求函数的极值即可；
（2）易知，，不妨令，问题等价于，令，易知在单调递增，问题等价于在时恒成立，分离参数得到，，再构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，并求出的最大值即可.
（1）解：当时，，．
则，令，解得或，
又因为，所以．
列表如下：
x 2
单调递减 极小值 单调递增
因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值．
（2）解：因为，，
所以，，
若对任意且恒成立
不妨令，则
，
令，只需证明在单调递增，
因为，则，
所以在时恒成立，即，，
令，，则，
因为，所以令，解得，令，解得，
从而在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时取到最大值，所以实数的取值范围是．
1 / 1广西壮族自治区贵港市高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2025高二上·贵港月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式，即，解得，
即集合，因为集合，所以.
故答案为：A.
【分析】解一元二次不等式求得集合A，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025高二上·贵港月考）若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，.
对于选项A，因为，所以选项A错；
对于选项B，不妨取，，，，
则，所以选项B错；
对于选项C，取，则，所以选项C错；
对于选项D，由题意，可知，，
由不等式的基本性质，
可得，所以选项D对.
故答案为：D.
【分析】利用不等式的基本性质可判断选项A和选项D；利用特殊值法可判断选项B和选项C，从而找出结论正确的选项.
3．（2025高二上·贵港月考）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
当且仅当时，取得等号.
故答案为：A.
【分析】由基本不等式求最值的方法和乘“1”法，从而可得的最小值.
4．（2025高二上·贵港月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：易知集合，
若是的必要不充分条件，则，解得，故实数a的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】解不等式求得集合B，根据是的必要不充分条件列式求a的范围即可.
5．（2025高二上·贵港月考）的展开式中的系数为（ ）
A．24 B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：，
因为展开式的通项为，
所以的展开式中含的项为，
所以展开式中的系数为-40．
故选：D.
【分析】先将式子化为，进而求出展开式的通项，进而求得展开式中含的项，即可求出展开式中的系数.
6．（2025高二上·贵港月考）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，原不等式为，符合题意；
当时，要使关于的不等式的解集为，
只需
解得，
综上所述，．
【分析】利用分类讨论的方法和不等式恒成立问题求解方法，再利用二次函数的图象的开口方向和判别式法，从而得出实数m的取值范围.
7．（2025高二上·贵港月考）已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，变形可得，
因为，所以，即对任意，且，
不等式恒成立，
设，因为，所以函数在区间上单调递减，
所以恒成立，即，即在区间上恒成立，则，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】原不等式变形可得，即，构造函数，由已知可知函数在区间上单调递减，即在区间上恒成立，解对数不等式即可得实数a的取值范围.
8．（2025高二上·贵港月考）已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，解得或，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
因为对任意，存在，使，
所以在上有解，整理得，即，
令，，
当时，解得，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减，
因为，所以，所以，
则实数b的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，并求最小值，问题转化为在上有解，分离参数得，即，令，求导，再利用导数判断函数的单调性并求出其最值，即可得实数b的取值范围.
9．（2025高二上·贵港月考）下列说法正确的有（ ）
A．“，使得”的否定是“，都有”
B．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是
C．若，则“”的充要条件是“”
D．已知，则的最小值为9
【答案】A,B,D
【知识点】充要条件；命题的否定；命题的真假判断与应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，“，使得”的否定是“，都有”，
故A正确；
对于B，若命题“”为假命题，
则无实根，
所以，
则，
所以，实数的取值范围是，故B正确；
对于C，若，由不能推出，
则“”不是“”的充要条件，故C错误；
对于D，因为，
当且仅当时，即当时等号成立，
则的最小值为9，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据特称命题的否定是全称量词命题，则判断出选项A；根据命题的真假性判断方法，从而得出实数m的取值范围，则判断出选项B；根据已知条件和充要条件判断方法，则判断出选项C；根据基本不等式求最值的方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高二上·贵港月考）设离散型随机变量的分布列为
2 3 4
0.3 0.4
若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：对于选项A和选项B，由表格，可得，
所以，
则，
，故A正确、B错误；
对于选项C和选项D，因为，，，
所以，，，故C错误、D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据随机变量的分布列的性质得出的值，再根据数学期望公式和方差公式，从而得出的值，再根据对应关系，从而得出的值，进而找出正确的选项.
11．（2025高二上·贵港月考）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A． B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为为奇函数，
所以，
则①，
又因为为偶函数，
所以②，
由①②，可得，，
则，
所以的一个周期为4，
在①中，令，则，
当时，，
则，
所以，
则，故A正确；
由②可得，，
则，
所以，函数是定义在上的偶函数，
当时，，
则是上的增函数，
所以是上的减函数，
因为是的一个周期，
所以，是上的减函数，故B错误；
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
则的图象关于直线对称，故C正确；
将函数的零点个数转化为与图象的交点个数，
由题意，得与的图象如下：
当时，；
当时，；
当时，，
结合图象可知，函数在上存在1个零点，
当时，；
当时，，
由此可得与的图象有5个交点，
所以有5个零点，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】先由已知条件得出，，从而得出函数的一个周期为4，再结合题中给出的解析式和函数的周期性，从而得出的值，则判断出选项A；先利用偶函数定义证出函数是偶函数，再结合函数的周期性和函数在上的单调性，则判断出函数在区间上的单调性，则判断出选项B；利用偶函数图象的对称性和函数的周期性，则判断出选项C；先画出与的图象，从而判断出两个图象的交点个数，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2025高二上·贵港月考）某体育器材店在两个购物平台上均开设了网店，平台一有1万人给出评分，综合好评率为，平台二有2万人给出评分，综合好评率为，则这家体育器材店的总体综合好评率为 .
【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意可知，有1万人给出评分时综合好评率为，平台二有2万人给出评分时综合好评率为，
所以体育器材店的总体综合好评率为 .
故答案为： .
【分析】根据题意，把数据代入公式计算可得答案见解析.
13．（2025高二上·贵港月考）甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有 种.（用数字作答）
【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解： 丙丁相邻，将丙丁捆绑和甲乙以外的两人排列，有种，形成了四个空，再将甲乙插入四个空，有种，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有种.
故答案为：.
【分析】丙丁相邻，将丙丁捆绑，先将丙丁捆绑和甲乙以外的两人排列，再甲乙插空求解即可.
14．（2025高二上·贵港月考）设，函数给出下列四个结论：
①当时，函数的最大值为0；
②当时，函数是增函数；
③若函数存在两个零点，则；
④若直线与曲线恰有2个交点，则.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：①当时，，
当时，；当时，，
则，故①正确；
②当时，，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
则函数不是增函数，故②错误；
③当时，只有一个零点，
令函数，
解得
当时，函数在上没有零点，
则无意义，
所以，函数在上有且只有一个零点为0，
则函数有且只有一个零点，故不符合题意；
当时， 函数在上有1个零点为0，
因为，不在范围内；
当时，，
则函数在上有一个零点，
所以有两个零点，符合题意；
当时，，
则函数在上没有零点，
所以有且只有一个零点，故不符合题意，
综上所述：当时，有两个零点，故③正确；
④因为直线与曲线恰有2个交点，
可转化为恰有两个零点.
令函数，
解得，
当时，，函数在上有3个零点，
令，得，
则函数在上没有零点，
所以有3个零点，故④错误.
故答案为：①③.
【分析】把和代入解析式，再利用单调函数的定义判断出序号②；再根据函数的单调性求出函数的最值，则判断出序号①；
令，解出函数的零点，从而判断零点是否在区间内，再对含的零点分有无意义，是否在相应区间内进行讨论，则可判断序号③；把④转化为恰有两个零点，从而解出函数的零点，从而取时函数有3个零点，则可判断序号④，从而找出正确结论的序号.
15．（2025高二上·贵港月考）（1）求函数的定义域，以及的定义域；
（2）已知函数，求的解析式；
【答案】解：（1）要使函数有意义，则，即，解得，则函数的定义域为，令，解得，则的定义域为；（2）令，解得，则，即.
（1）解：要使函数有意义，则，即，解得，
则函数的定义域为，
令，解得，则的定义域为；
（2）解：令，解得，则，即.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）根据对数函数，偶次根式以及分式有意义，列不等式组求的定义域，再根据复合函数定义域的求法求的定义域即可；
（2）利用换元法求的解析式即可.
16．（2025高二上·贵港月考）AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据．
焦虑 不焦虑 合计
男性 10
女性 20
合计
（1）根据已知条件，填写上面列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？
（2）现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望．
附：为样本容量．
【答案】（1）解：与性别有关填写列联表为：
焦虑 不焦虑 合计
男性 40 10 50
女性 20 30 50
合计 60 40 100
零假设：焦虑与否与性别无关，
根据列联表中的数据，
得，
则依据的独立性检验，可以推断不成立，
即认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关．
（2）解：由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人，
其中男性人数为（人），女性人数为（人），
由题意可得，随机变量的所有可能取值为1，2，3，
则，
所以，随机变量的分布列如下：
1 2 3
则．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据表中数据完成列联表，再提出零假设并计算得出的取值，从而比较得出该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关．
（2）根据分层抽样的方法得出男性人数和女性人数，再利用已知条件得出随机变量的所有可能取值，再利用超几何分布求出对应概率，从而可得随机变量X的分布列，进而可得随机变量X的数学期望值.
（1）填写列联表为：
焦虑 不焦虑 合计
男性 40 10 50
女性 20 30 50
合计 60 40 100
零假设：焦虑与否与性别无关．
根据列联表中的数据得，
故依据的独立性检验，可以推断不成立，
即认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关．
（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人，
其中男性人数为（人）；女性人数为（人）
由题意可得，随机变量的所有可能取值为1，2，3．
，
随机变量的分布列如下：
1 2 3
则．
17．（2025高二上·贵港月考）防疫抗疫，人人有责，随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增.下表是某口罩厂今年的月份与订单（单位：万元）的几组对应数据：
月份 1 2 3 4 5
订单 20 24 43 52
（1）求关于的线性回归方程，并估计6月份该厂的订单数；
（2）求相关系数（精确到0.01），说明与之间具有怎样的相关关系.
参考数据：，，.，.参考公式：相关系数；回归直线的方程是，其中.
【答案】（1）解：由题意，
可得：，，
，
则，
关于的线性回归方程为，
因为2022年6月对应的变量为6，
将代入，
得，
则估计6月份该厂的订单数为59.9万元．
（2）解：因为相关系数，
与之间具有很强的正相关关系.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平均数公式，再利用最小二乘法和代入法，从而求出和的值，进而可得关于的线性回归方程，再取得出的值，从而估计出6月份该厂的订单数.
（2）由已知数据结合相关系数公式，从而得出相关系数的值，进而可得与的相关系数近似为0.99，则得出与之间的线性相关程度相当高．
（1）解：由题可得：，
，
，
关于的线性回归方程为，
2022年6月对应的变量为6，将代入，
得，
估计6月份该厂的订单数为59.9万元．
（2）相关系数.
与之间具有很强的正相关关系.
18．（2025高二上·贵港月考）在平面直角坐标系内，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少1．
（1）求曲线的方程；
（2）点在曲线上，若直线斜率存在并与抛物线交于、两点（、异于点）．若，证明：直线过定点．
【答案】（1）解：由题意，
曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少，
即曲线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，
即抛物线的定义，且焦点为点，在轴正半轴，
所以，
所以曲线的方程为.
（2）证明：将点坐标代入曲线的方程，
可得，所以，
因为直线斜率存在并与抛物线交于、两点，
所以设直线，且，
设，
联立直线和抛物线方程，
可得，
由韦达定理可知，
所以，
，
因为，所以
代入化简得，注意到前三项可以因式分解，
即，最后两项不含，
所以将分解为，
原式可以进一步因式分解为，
解得或，
即直线分别过定点或，
因为、异于点，
所以舍去，
故直线过定点.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可知曲线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，再利用抛物线的定义可知焦点即为点，在轴正半轴，从而得出曲线的方程.
（2）设直线，将直线l与抛物线方程联立，利用得出，再代入化简可得关于的方程，从而证出直线过定点．
（1）由题干条件曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少，
即曲线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，此即抛物线的定义，
且焦点为点，在轴正半轴，所以，所以曲线的方程为；
（2）将点坐标代入曲线的方程，可得，所以，
因为直线斜率存在并与抛物线交于、两点，所以设直线，且，
设，联立直线和抛物线方程，可得，
由韦达定理可知，所以，
，
因为，所以
，
代入化简得，注意到前三项可以因式分解，
即，最后两项不含，所以将分解为，
原式可以进一步因式分解为，解得或，
即直线分别过定点或，因为、异于点，所以舍去，
故直线过定点.
19．（2025高二上·贵港月考）已知函数，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若任意且，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，解得或，
又因为，所以，
列表如下：
x 2
单调递减 极小值 单调递增
则有极小值，无极大值；
（2）解：易知，，
若对任意且恒成立，
不妨令，则，
令，则，即函数在单调递增，
因为，则，
所以在时恒成立，即，，
令，，则，
又因为，所以令，解得，令，解得，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时取到最大值，
故实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用判断函数的单调性，并求函数的极值即可；
（2）易知，，不妨令，问题等价于，令，易知在单调递增，问题等价于在时恒成立，分离参数得到，，再构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，并求出的最大值即可.
（1）解：当时，，．
则，令，解得或，
又因为，所以．
列表如下：
x 2
单调递减 极小值 单调递增
因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值．
（2）解：因为，，
所以，，
若对任意且恒成立
不妨令，则
，
令，只需证明在单调递增，
因为，则，
所以在时恒成立，即，，
令，，则，
因为，所以令，解得，令，解得，
从而在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时取到最大值，所以实数的取值范围是．
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