广东省广州市执信中学2025-2026学年高三上学期12月阶段测试数学试题
1．（2025高三上·广州月考）数集是整数与数集是整数之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·广州月考）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有
A．D＝E B．D＝F C．F＝E D．D＝E＝F
3．（2025高三上·广州月考）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（–∞，1） B．（–∞，–1）
C．（1，+∞） D．（–1，+∞）
4．（2025高三上·广州月考）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高三上·广州月考）将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为（ ）
A． cm B．6 cm C． cm D． cm
6．（2025高三上·广州月考）若多项式，则 （ ）
A．9 B．10 C．-9 D．-10
7．（2025高三上·广州月考）如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为三点，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
8．（2025高三上·广州月考）如图，B地在A地的正东方向处，C地在B地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远．现要在曲线上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
9．（2025高三上·广州月考）已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，，，这组数满足（ ）
A．平均数为 B．中位数为
C．方差为 D．极差为
10．（2025高三上·广州月考）正方体中，点分别为棱的中点，则（ ）
A． B．平面
C．平面 D．
11．（2025高三上·广州月考）设是函数的三个零点，则（ ）
A．
B．
C．若成等差数列，则成等比数列
D．若成等差数列，则
12．（2025高三上·广州月考）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
13．（2025高三上·广州月考）在中，内角的对边分别为，，则的值为 ．
14．（2025高三上·广州月考）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
15．（2025高三上·广州月考）已知等差数列的前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，且公比为q，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和.
16．（2025高三上·广州月考）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数．
17．（2025高三上·广州月考）如图，三棱柱中，，，分别为棱的中点.
（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明.
（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.
18．（2025高三上·广州月考）已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于两点．
（1）若直线垂直于轴，求；
（2）当时，在轴上方，求、的坐标；
（3）设为线段的中点，求点到直线的距离的最小值．
19．（2025高三上·广州月考）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中.
（1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；
（2）设结束后，细胞数量为的概率为.
（i）求；
（ii）证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：当为整数时，可取所有奇数，
当为整数时，可取所有奇数，故，
故答案为：C
【分析】分析两个数集中参数表达式表示的数的类型：判断2n+1（n为整数）和4k±1（k为整数）是否都表示所有奇数，进而确定数集关系。
2．【答案】A
【知识点】圆的一般方程；图形的对称性
【解析】【解答】解：由题意知，圆心（ ，）在直线y＝x上，
所以＝，
∴D＝E.
故答案为：A.
【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标，再利用已知条件和图形的对称性，则由代入法证出D=E，从而找出正确的选项.
3．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】设 ，因为复数对应的点在第二象限，所以 ，解得： ，
故答案为：B.
【分析】 由复数代数形式的乘除运算求出复数，由其 对应的点在第二象限可得实数a的取值范围 .
4．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故AB错误；又当时，此时，由图可知当时，，故C错误，D正确.
故答案为：D
【分析】先根据函数图象的奇偶性排除非偶函数选项，再通过特定区间的函数值符号，匹配选项中的解析式。
5．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由圆柱体体积公式知，水的体积为 （cm3）．
当水倒入圆锥形器皿之后，体积不变．
设倒圆锥形器皿的水面半径 ，
则 ，即 ，解得 ，
所以水面高度为： .
故答案为：B.
【分析】 先求出水的体积，设出圆锥中水的底面半径，利用体积相等，求出圆锥的高.
6．【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：多项式，
等号右侧只有最后一项的展开式中含有，并且的系数为，等号左侧的系数是1，
∴；
又的系数在右侧后两项中，的系数为，左侧的系数是0，
∴， ∴.
故答案为：D．
【分析】将视为整体，利用二项式展开的系数对应关系，分别分析和的系数，建立方程求解。
7．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，则，
所以，则，
又，
则，又，则，
所以，由，得，
因此，又，
解得，所以，
则，解得，
所以，则，
故答案为：C
【分析】先由交点间距求周期T，进而得ω；再利用已知点的函数值求φ，结合交点坐标求振幅A，最后代入计算f( )。
8．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；抛物线的应用
【解析】【解答】解：以线段AB的中点O为原点，射线OB为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
令点为曲线PQ上任意一点，
则，
因此曲线PQ是以点A，B为左右焦点，实轴长为2的双曲线右支，其方程为，
显然点C在曲线PQ含焦点B的区域内，
设，，有，
则修建这两条公路的总费用为：
，当且仅当时取等号，
由，且，，
解得，
则当时，，
所以修建这两条公路的总费用最低是万元.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，则得出点的坐标，再利用双曲线的定义求出曲线PQ的方程，再结合两点间距离公式得出修建这两条公路的总费用，再利用函数求最值的方法，从而得出修建这两条公路的总费用的最小值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为点与点关于点对称，
所以，则，
又，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，
所以，，，，这组数的平均数为，中位数为，方差为，极差为，故BCD正确，A错误.
故答案为：BCD
【分析】由点关于对称的性质，得（即），再结合统计量的变换规律（平均数、中位数线性变换，方差、极差不变）分析各选项。
10．【答案】B,C
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2.
A：因为，
所以，
因为，
所以不成立，故A错误；
B：因为，
所以，
因为，
所以，而平面，
所以平面，故B正确；
C：设平面的法向量为，
因为，所以，
于是有，，
因为，平面，
所以平面，故C正确；
D：因为，所以，而，
显然不存在实数，使得成立，所以不成立，故D错误，
故答案为：BC
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法分析线线垂直、线面垂直、线面平行：
1.计算向量点积判断垂直；
2.验证直线方向向量与平面内两相交直线垂直，证明线面垂直；
3.证明直线方向向量与平面法向量垂直，且直线不在平面内，得线面平行。
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，，显然不符合题意；
当时，分别画出与的图像，如图所示：
显然有一个小于0的零点，有2个大于0的零点，A正确；
B、令，可得，设，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递减，
所以的最小值为，
要使得有两个大于0的零点，则，故B错误；
C、由题意，所以，
由于成等差数列，所以，所以，
所以，所以成等比数列，故C正确；
D、由，得，所以，
由于，解得，
又，则，故，
则，又故舍去，
因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将零点问题转化为的交点问题，结合函数单调性、数列性质分析选项：
1. 分析时与的交点，判断的范围；
2. 构造函数求的取值范围；
3. 结合等差数列条件推导等比关系及差值。
12．【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由知抛物线的准线方程为，
设点，由题意得，解得，
代入抛物线方程，得，解得，
则点到轴的距离为．
故答案为：．
【分析】利用抛物线的定义（抛物线上任一点到准线的距离等于到焦点的距离），先求点P的横坐标，再代入抛物线方程求纵坐标的绝对值（即到x轴的距离）。
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，则，
所以，
由正弦定理得，
所以，
所以，解得.
故答案为：
【分析】先将正切的关系式转化为正弦、余弦的形式，结合两角和的正弦公式得到sinAsinB的表达式；再利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，进而求出ab。
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：若，
则，
又因为三个向量均为平面内的单位向量，
所以，向量两两垂直，显然不成立，
则，
不妨设，
则，
不妨设，，
则，
所以，
则
，
由，，
得，，
则.
故答案为：.
【分析】利用分类讨论可得，再根据数量积的坐标表示和向量的模的求解方法，再利用辅助角公式和正弦型函数求值域的方法，从而得出的取值范围.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，又因为，
且，所以，故，
所以；
（2）解：由（1）可知，，又，所以.
若选择条件①，可得，
；
若选择条件②，可得，
；
若选择条件③，可得，
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1) 由等差数列首项和前5项和求公差，得通项公式；
(2) 先由求，再结合所选公比求等比数列首项，最后用分组求和法（等差减等比）求前项和。
16．【答案】（1）解：因为，
所以，
又因为在处的切线方程为，
所以，，
则，
解得，
所以.
（2）解：由（1）得，
则，
令，
解得，
不妨设，，
则，
易知恒成立，
则令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
则的单调递减区间为和，
单调递增区间为和.
（3）解：由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，
则
所以在上存在唯一零点，
不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，
所以，
则在上存在唯一零点，
不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，
所以，
则在上存在唯一零点，
不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，
则单调递增，
所以在上无极值点，
综上所述：在和上各有一个极小值点，
在上有一个极大值点，共有个极值点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先对求导，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出曲线在点处的切线方程，再利用已知条件得出的值.
（2）由（1）和导数的运算法则和复合函数求导公式，从而得出函数的解析式，再利用导数的运算法则和复合函数求导公式，从而得出，再利用数轴穿针引线法得出与的解，从而得出函数的单调区间.
（3）结合（2）中结论，再利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，再利用导数与函数的极值点的关系，从而得出函数的极值点个数.
（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
17．【答案】（1）解：如图，在平面内，过点作交于点，连结，
在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.
（2）解：连结，∵，∴为正三角形.
∵为的中点，∴，
又∵侧面侧面，且面面，
平面，∴平面，
在平面内过点作交于点，
分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.
∵为的中点，∴点的坐标为，
∴.
∵，∴，∴，
设平面的法向量为，
由得，
令，得，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 利用线面平行的判定（线线平行），通过作平行线找到AM；
(2) 建立空间直角坐标系，求平面PQB1 的法向量，再用向量法求线面角的正弦值。
18．【答案】（1）解：设焦距为2c，由题意，解得，即，
当直线垂直于轴时，则，
将代入椭圆方程得，解得，
所以.
（2）解：设，则，
因为，所以，
则，即，
又，联立可得，，
所以，即，
所以直线AB的斜率，则直线AB的方程为，
联立，得，解得或，
因为，所以B点横坐标为，代入可得B点纵坐标，
所以.
（3）解：由（1）得，当直线垂直于轴时，，点到直线的距离；
当直线不垂直于轴时，设斜率为k，则方程为，，
联立，得，
，
所以，
则，所以
则直线OM的方程为，即，
所以到直线的距离，
由求根公式得，
不妨取代入可得，
令，则，所以，
则，
因为，且单调递减，
所以，
综上，点到直线的距离的最小值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 先求右焦点坐标，代入垂直x轴的直线方程到椭圆，解出弦端点纵坐标，求弦长；
(2) 设点坐标，利用结合椭圆方程求，再求直线与椭圆的另一交点；
(3) 分直线垂直与不垂直x轴，用韦达定理得中点坐标，写出直线方程，用点到直线距离公式化简，求最小值即可。
（1）设焦距为2c，由题意，解得，即，
当直线垂直于轴时，则，
将代入椭圆方程得，解得，
所以.
（2）设，则，
因为，所以，
则，即，
又，联立可得，，
所以，即，
所以直线AB的斜率，则直线AB的方程为，
联立，得，解得或，
因为，所以B点横坐标为，代入可得B点纵坐标，
所以.
（3）由（1）得，当直线垂直于轴时，，点到直线的距离；
当直线不垂直于轴时，设斜率为k，则方程为，，
联立，得，
，
所以，
则，所以
则直线OM的方程为，即，
所以到直线的距离，
由求根公式得，
不妨取代入可得，
令，则，所以，
则，
因为，且单调递减，
所以，
综上，点到直线的距离的最小值.
19．【答案】（1）解：个结束后，的取值可能为，
则，
，
，，
所以分布列为：
则.
（2）（i)解：因为表示分裂结束后共有个细胞的概率，
所以，必在某一个周期结束后分裂成个细胞，
不妨设在第时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率为，
所以
.
（ii）证明：因为代表分裂后有个细胞的概率，
设细胞在后分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，
其中一个分裂为个细胞，一个保持一直分裂为个细胞，
此事件的概率为：
得，
则
，
其中，，
令，，
记，，
令，得，
当，，则单调递增；
当，，则单调递减，
则，
所以.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出的取值，再利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出不同取值对应的概率，进而列出随机变量的分布列，再利用随机变量求数学期望公式，从而求出随机变量的数学期望.
（2）（i）利用已知条件和函数的周期性，从而求出第时分裂为个细胞的概率，再利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式、互斥事件加法求概率公式和等比数列求和公式，从而得出.
（ii）先求出第时分裂为个细胞的概率，再利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式、互斥事件加法求概率公式和等比数列求和公式，从而求出，再利用导数的正负判断出函数的单调性，从而得出函数的最值，进而证出不等式成立.
（1）个结束后，的取值可能为，其中，
，
，，
所以分布列为
.
（2）（i）表示分裂结束后共有个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设在第时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率，
所以
.
（ii）代表分裂后有个细胞的概率，设细胞在后分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，其中一个分裂为个细胞，一个保持一直分裂为个细胞，此事件的概率
，
得，
，
其中，.
令，，
记，，令，得.
当，，递增；
当，，递减.
故，
也就是.
1 / 1广东省广州市执信中学2025-2026学年高三上学期12月阶段测试数学试题
1．（2025高三上·广州月考）数集是整数与数集是整数之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：当为整数时，可取所有奇数，
当为整数时，可取所有奇数，故，
故答案为：C
【分析】分析两个数集中参数表达式表示的数的类型：判断2n+1（n为整数）和4k±1（k为整数）是否都表示所有奇数，进而确定数集关系。
2．（2025高三上·广州月考）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有
A．D＝E B．D＝F C．F＝E D．D＝E＝F
【答案】A
【知识点】圆的一般方程；图形的对称性
【解析】【解答】解：由题意知，圆心（ ，）在直线y＝x上，
所以＝，
∴D＝E.
故答案为：A.
【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标，再利用已知条件和图形的对称性，则由代入法证出D=E，从而找出正确的选项.
3．（2025高三上·广州月考）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（–∞，1） B．（–∞，–1）
C．（1，+∞） D．（–1，+∞）
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】设 ，因为复数对应的点在第二象限，所以 ，解得： ，
故答案为：B.
【分析】 由复数代数形式的乘除运算求出复数，由其 对应的点在第二象限可得实数a的取值范围 .
4．（2025高三上·广州月考）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故AB错误；又当时，此时，由图可知当时，，故C错误，D正确.
故答案为：D
【分析】先根据函数图象的奇偶性排除非偶函数选项，再通过特定区间的函数值符号，匹配选项中的解析式。
5．（2025高三上·广州月考）将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为（ ）
A． cm B．6 cm C． cm D． cm
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由圆柱体体积公式知，水的体积为 （cm3）．
当水倒入圆锥形器皿之后，体积不变．
设倒圆锥形器皿的水面半径 ，
则 ，即 ，解得 ，
所以水面高度为： .
故答案为：B.
【分析】 先求出水的体积，设出圆锥中水的底面半径，利用体积相等，求出圆锥的高.
6．（2025高三上·广州月考）若多项式，则 （ ）
A．9 B．10 C．-9 D．-10
【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：多项式，
等号右侧只有最后一项的展开式中含有，并且的系数为，等号左侧的系数是1，
∴；
又的系数在右侧后两项中，的系数为，左侧的系数是0，
∴， ∴.
故答案为：D．
【分析】将视为整体，利用二项式展开的系数对应关系，分别分析和的系数，建立方程求解。
7．（2025高三上·广州月考）如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为三点，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，则，
所以，则，
又，
则，又，则，
所以，由，得，
因此，又，
解得，所以，
则，解得，
所以，则，
故答案为：C
【分析】先由交点间距求周期T，进而得ω；再利用已知点的函数值求φ，结合交点坐标求振幅A，最后代入计算f( )。
8．（2025高三上·广州月考）如图，B地在A地的正东方向处，C地在B地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远．现要在曲线上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；抛物线的应用
【解析】【解答】解：以线段AB的中点O为原点，射线OB为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
令点为曲线PQ上任意一点，
则，
因此曲线PQ是以点A，B为左右焦点，实轴长为2的双曲线右支，其方程为，
显然点C在曲线PQ含焦点B的区域内，
设，，有，
则修建这两条公路的总费用为：
，当且仅当时取等号，
由，且，，
解得，
则当时，，
所以修建这两条公路的总费用最低是万元.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，则得出点的坐标，再利用双曲线的定义求出曲线PQ的方程，再结合两点间距离公式得出修建这两条公路的总费用，再利用函数求最值的方法，从而得出修建这两条公路的总费用的最小值.
9．（2025高三上·广州月考）已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，，，这组数满足（ ）
A．平均数为 B．中位数为
C．方差为 D．极差为
【答案】B,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为点与点关于点对称，
所以，则，
又，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，
所以，，，，这组数的平均数为，中位数为，方差为，极差为，故BCD正确，A错误.
故答案为：BCD
【分析】由点关于对称的性质，得（即），再结合统计量的变换规律（平均数、中位数线性变换，方差、极差不变）分析各选项。
10．（2025高三上·广州月考）正方体中，点分别为棱的中点，则（ ）
A． B．平面
C．平面 D．
【答案】B,C
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2.
A：因为，
所以，
因为，
所以不成立，故A错误；
B：因为，
所以，
因为，
所以，而平面，
所以平面，故B正确；
C：设平面的法向量为，
因为，所以，
于是有，，
因为，平面，
所以平面，故C正确；
D：因为，所以，而，
显然不存在实数，使得成立，所以不成立，故D错误，
故答案为：BC
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法分析线线垂直、线面垂直、线面平行：
1.计算向量点积判断垂直；
2.验证直线方向向量与平面内两相交直线垂直，证明线面垂直；
3.证明直线方向向量与平面法向量垂直，且直线不在平面内，得线面平行。
11．（2025高三上·广州月考）设是函数的三个零点，则（ ）
A．
B．
C．若成等差数列，则成等比数列
D．若成等差数列，则
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，，显然不符合题意；
当时，分别画出与的图像，如图所示：
显然有一个小于0的零点，有2个大于0的零点，A正确；
B、令，可得，设，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递减，
所以的最小值为，
要使得有两个大于0的零点，则，故B错误；
C、由题意，所以，
由于成等差数列，所以，所以，
所以，所以成等比数列，故C正确；
D、由，得，所以，
由于，解得，
又，则，故，
则，又故舍去，
因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将零点问题转化为的交点问题，结合函数单调性、数列性质分析选项：
1. 分析时与的交点，判断的范围；
2. 构造函数求的取值范围；
3. 结合等差数列条件推导等比关系及差值。
12．（2025高三上·广州月考）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由知抛物线的准线方程为，
设点，由题意得，解得，
代入抛物线方程，得，解得，
则点到轴的距离为．
故答案为：．
【分析】利用抛物线的定义（抛物线上任一点到准线的距离等于到焦点的距离），先求点P的横坐标，再代入抛物线方程求纵坐标的绝对值（即到x轴的距离）。
13．（2025高三上·广州月考）在中，内角的对边分别为，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，则，
所以，
由正弦定理得，
所以，
所以，解得.
故答案为：
【分析】先将正切的关系式转化为正弦、余弦的形式，结合两角和的正弦公式得到sinAsinB的表达式；再利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，进而求出ab。
14．（2025高三上·广州月考）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：若，
则，
又因为三个向量均为平面内的单位向量，
所以，向量两两垂直，显然不成立，
则，
不妨设，
则，
不妨设，，
则，
所以，
则
，
由，，
得，，
则.
故答案为：.
【分析】利用分类讨论可得，再根据数量积的坐标表示和向量的模的求解方法，再利用辅助角公式和正弦型函数求值域的方法，从而得出的取值范围.
15．（2025高三上·广州月考）已知等差数列的前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，且公比为q，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，又因为，
且，所以，故，
所以；
（2）解：由（1）可知，，又，所以.
若选择条件①，可得，
；
若选择条件②，可得，
；
若选择条件③，可得，
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1) 由等差数列首项和前5项和求公差，得通项公式；
(2) 先由求，再结合所选公比求等比数列首项，最后用分组求和法（等差减等比）求前项和。
16．（2025高三上·广州月考）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数．
【答案】（1）解：因为，
所以，
又因为在处的切线方程为，
所以，，
则，
解得，
所以.
（2）解：由（1）得，
则，
令，
解得，
不妨设，，
则，
易知恒成立，
则令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
则的单调递减区间为和，
单调递增区间为和.
（3）解：由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，
则
所以在上存在唯一零点，
不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，
所以，
则在上存在唯一零点，
不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，
所以，
则在上存在唯一零点，
不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，
则单调递增，
所以在上无极值点，
综上所述：在和上各有一个极小值点，
在上有一个极大值点，共有个极值点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先对求导，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出曲线在点处的切线方程，再利用已知条件得出的值.
（2）由（1）和导数的运算法则和复合函数求导公式，从而得出函数的解析式，再利用导数的运算法则和复合函数求导公式，从而得出，再利用数轴穿针引线法得出与的解，从而得出函数的单调区间.
（3）结合（2）中结论，再利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，再利用导数与函数的极值点的关系，从而得出函数的极值点个数.
（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
17．（2025高三上·广州月考）如图，三棱柱中，，，分别为棱的中点.
（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明.
（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）解：如图，在平面内，过点作交于点，连结，
在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.
（2）解：连结，∵，∴为正三角形.
∵为的中点，∴，
又∵侧面侧面，且面面，
平面，∴平面，
在平面内过点作交于点，
分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.
∵为的中点，∴点的坐标为，
∴.
∵，∴，∴，
设平面的法向量为，
由得，
令，得，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 利用线面平行的判定（线线平行），通过作平行线找到AM；
(2) 建立空间直角坐标系，求平面PQB1 的法向量，再用向量法求线面角的正弦值。
18．（2025高三上·广州月考）已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于两点．
（1）若直线垂直于轴，求；
（2）当时，在轴上方，求、的坐标；
（3）设为线段的中点，求点到直线的距离的最小值．
【答案】（1）解：设焦距为2c，由题意，解得，即，
当直线垂直于轴时，则，
将代入椭圆方程得，解得，
所以.
（2）解：设，则，
因为，所以，
则，即，
又，联立可得，，
所以，即，
所以直线AB的斜率，则直线AB的方程为，
联立，得，解得或，
因为，所以B点横坐标为，代入可得B点纵坐标，
所以.
（3）解：由（1）得，当直线垂直于轴时，，点到直线的距离；
当直线不垂直于轴时，设斜率为k，则方程为，，
联立，得，
，
所以，
则，所以
则直线OM的方程为，即，
所以到直线的距离，
由求根公式得，
不妨取代入可得，
令，则，所以，
则，
因为，且单调递减，
所以，
综上，点到直线的距离的最小值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 先求右焦点坐标，代入垂直x轴的直线方程到椭圆，解出弦端点纵坐标，求弦长；
(2) 设点坐标，利用结合椭圆方程求，再求直线与椭圆的另一交点；
(3) 分直线垂直与不垂直x轴，用韦达定理得中点坐标，写出直线方程，用点到直线距离公式化简，求最小值即可。
（1）设焦距为2c，由题意，解得，即，
当直线垂直于轴时，则，
将代入椭圆方程得，解得，
所以.
（2）设，则，
因为，所以，
则，即，
又，联立可得，，
所以，即，
所以直线AB的斜率，则直线AB的方程为，
联立，得，解得或，
因为，所以B点横坐标为，代入可得B点纵坐标，
所以.
（3）由（1）得，当直线垂直于轴时，，点到直线的距离；
当直线不垂直于轴时，设斜率为k，则方程为，，
联立，得，
，
所以，
则，所以
则直线OM的方程为，即，
所以到直线的距离，
由求根公式得，
不妨取代入可得，
令，则，所以，
则，
因为，且单调递减，
所以，
综上，点到直线的距离的最小值.
19．（2025高三上·广州月考）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中.
（1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；
（2）设结束后，细胞数量为的概率为.
（i）求；
（ii）证明：.
【答案】（1）解：个结束后，的取值可能为，
则，
，
，，
所以分布列为：
则.
（2）（i)解：因为表示分裂结束后共有个细胞的概率，
所以，必在某一个周期结束后分裂成个细胞，
不妨设在第时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率为，
所以
.
（ii）证明：因为代表分裂后有个细胞的概率，
设细胞在后分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，
其中一个分裂为个细胞，一个保持一直分裂为个细胞，
此事件的概率为：
得，
则
，
其中，，
令，，
记，，
令，得，
当，，则单调递增；
当，，则单调递减，
则，
所以.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出的取值，再利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出不同取值对应的概率，进而列出随机变量的分布列，再利用随机变量求数学期望公式，从而求出随机变量的数学期望.
（2）（i）利用已知条件和函数的周期性，从而求出第时分裂为个细胞的概率，再利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式、互斥事件加法求概率公式和等比数列求和公式，从而得出.
（ii）先求出第时分裂为个细胞的概率，再利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式、互斥事件加法求概率公式和等比数列求和公式，从而求出，再利用导数的正负判断出函数的单调性，从而得出函数的最值，进而证出不等式成立.
（1）个结束后，的取值可能为，其中，
，
，，
所以分布列为
.
（2）（i）表示分裂结束后共有个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设在第时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率，
所以
.
（ii）代表分裂后有个细胞的概率，设细胞在后分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，其中一个分裂为个细胞，一个保持一直分裂为个细胞，此事件的概率
，
得，
，
其中，.
令，，
记，，令，得.
当，，递增；
当，，递减.
故，
也就是.
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