四川省眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2025高二上·彭山月考）直线与直线间的距离是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：将直线方程转化为为，
直线方程转化为，
则所求距离为.
故答案为：B.
【分析】利用平行直线间的距离公式得出直线与直线间的距离.
2．（2025高二上·彭山月考）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线方程，可知，且焦点在x轴上，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而得出双曲线的渐近线方程.
3．（2025高二上·彭山月考）已知向量，，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由已知条件，得，，
且，
由，
得，
则，
解得
故答案为：D.
【分析】利用向量运算的坐标表示和数量积的坐标表示，再利用已知条件得出实数k的值.
4．（2025高二上·彭山月考）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆上的点到左焦点的最大值为，椭圆上的点到左焦点的最小值为
联立，
解得，，
根据，
得，
则椭圆方程是.
故答案为：D.
【分析】结合椭圆的性质和已知条件以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出的值，进而得出椭圆的标准方程.
5．（2025高二上·彭山月考）已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
因为点为线段的中点，设点的坐标为.
根据中点坐标公式和，
则，.
由此可得，.
因为点在上，
将，代入圆方程，
可得：，即，
两边同时除以，得：.
故答案为：C.
【分析】先设出点的坐标和点的坐标，再根据中点坐标公式建立点的坐标与点的坐标的关系，再将点的坐标代入已知圆的方程，从而变形得到动点的轨迹方程.
6．（2025高二上·彭山月考）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于，
根据抛物线的定义可知，所以当PQ垂直于准线时交准线于，有最小值，
，最小值为，
当且仅当在与抛物线的交点时取得等号.
故答案为：C.
【分析】用抛物线的定义，将转化为点到准线的距离，再结合几何图形的性质，通过数形结合求出的最小值.
7．（2025高二上·彭山月考）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设关于直线对称的点为，
则，
解得，则，
因为入射光线经过点，
所以所在直线的斜率为，
则入射光线所在直线方程为，即．
故答案为：D.
【分析】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标和两点求斜率公式，再根据点斜式得出入射光线所在直线方程．
8．（2025高二上·彭山月考）设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设垂足在第一象限，
由题意，可知与渐近线垂直，
如图所示，
则，
由点到直线的距离公式，
可得，
又因为，所以，
设，则，
得，则，
由，
解得，
由，得，
解得．可得，
所以，双曲线的离心率为．
故答案为：D.
【分析】由点到直线的距离公式可得，设，再借助等面积法，得到，再利用双曲线的离心率公式，从而得出双曲线的离心率.
9．（2025高二上·彭山月考）下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标是
B．双曲线的顶点坐标是
C．抛物线的准线方程是
D．双曲线的离心率
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A：在椭圆中，因为，，
所以，且焦点在轴上，故A错误；
对于B：在双曲线中，，顶点在y轴上，
所以双曲线的顶点为，故B正确；
对于C：因为抛物线的准线为，故C正确；
对于D：在双曲线中，，
则，
所以，双曲线的离心率为，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】由题意，根据椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、抛物线的标准方程以及这三个圆锥曲线的性质，从而逐项判断找出结论正确的选项.
10．（2025高二上·彭山月考）已知圆和圆，则（ ）．
A．圆的半径为4
B．y轴为圆与的公切线
C．圆与公共弦所在的直线方程为
D．圆与上共有3个点到直线的距离为1
【答案】B,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：对于A，将圆化为标准方程为，
则圆的半径为2，故A错误；
对于B，因为圆心到y轴的距离为1，等于圆的半径，
所以，圆与y轴相切，
同理可得，圆心到y轴的距离等于圆的半径，
所以圆与y轴相切，则y轴为圆与的公切线，故B正确；
对于C，将与左右分别相减，
得圆与的公共弦所在的直线方程为，故C正确；
对于D，如图，
因为直线同时经过两圆的圆心，
依题意，可作两条与该直线平行且距离为1的直线与，其中与和圆都相切，各有一个公共点，
因为与和圆都相交，各有两个交点，
所以，圆与上共有6个点到直线的距离为1，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】将圆的方程化为圆的标准方程，从而得出圆的半径长，则判断出选项A；利用圆与圆的位置关系和两圆公切线的求解方法，则判断出选项B；将两圆方程相减化简，从而得出公共弦所在的直线方程，则判断出选项C；结合两圆的图象作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，再通过观察分析结合点到直线的距离公式，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高二上·彭山月考）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，直线与椭圆相切于点，且关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．点在以为圆心，16为半径的圆上
D．
【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A：由题意，
可得，，
则，
所以，
则，故A正确；
对于B：由椭圆光学性质结合，
可得为的角平分线，
因为，
所以，
化简得，则，故B正确；
对于C：由椭圆光学性质，可得在直线上，且，
则，所以，点在以为圆心，16为半径的圆上，故C正确；
对于D：由正弦定理，可得，，
则，，
又因为、，
所以，则，
所以，
则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理计算，则判断出选项A；根据题意结合椭圆的光学性质，从而可得为的角平分线，再利用三角形的面积公式和等面积法，从而计算可得的值，则判断出选项B；借助椭圆的光学性质可得在直线上且，从而得出的值，进而得出点在以为圆心，16为半径的圆上，则判断出选项C；根据题意结合正弦定理以及、，从而得出，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2025高二上·彭山月考）已知直线与圆相交于、两点，则 .
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：因为圆的圆心为，半径，
所以，圆心到直线的距离，
则.
故答案为：.
【分析】利用圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式和弦长公式，从而得出MN的长.
13．（2025高二上·彭山月考）已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为 ．
【答案】14
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的右焦点为，连接，，
根据椭圆的对称性，可得，
则四边形为矩形
所以，
由椭圆的定义，可得，
所以，
则的周长为：.
故答案为：14.
【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，根据椭圆的对称性和矩形的定义，则判断出四边形为矩形，利用椭圆的定义和焦距定义，从而可得的值和，再利用三角形的周长公式得出的周长.
14．（2025高二上·彭山月考）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，
得圆C：的圆心到直线l：的距离为：，
所以l与圆C相离，
如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，
则，此时，
所以，则的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系，再结合圆的切线的性质和几何法求最值的方法以及正弦函数的定义，从而得出的最大值.
15．（2025高二上·彭山月考）已知直线，直线，设直线与的交点为P，点Q的坐标为．
（1）求经过点Q且与直线平行的直线方程；
（2）求线段的中垂线方程．
【答案】（1）解：设经过点Q且与直线平行的直线方程为，
又因为点，
所以，
解得，
则所求直线方程为.
（2）解：由，
解得，
则点，
所以线段的中点为，
又因为直线的斜率，
所以线段的中垂线斜率，
则线段的中垂线方程为，即.
【知识点】平面内中点坐标公式；直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）由两直线的平行关系设出所求直线方程，再利用点代入法和待定系数法，从而得出所求直线方程.
（2）联立两直线方程求出交点坐标，再利用中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出线段的中垂线方程.
（1）设经过点Q且与直线平行的直线方程为，而点，
则，解得，所以所求直线方程为.
（2）由，解得，则点，线段的中点为，
直线的斜率，线段的中垂线斜率，
所以线段的中垂线方程为，即.
16．（2025高二上·彭山月考）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组.第2组.第3组.第4组.第5组.
（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；
（2）若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
【答案】（1）解：由频率分布直方图，知：，
可得，
所以500名志愿者中年龄在的人数为人.
（2）解：由题意，第2组、第4组和第5组的频率之比为，
则6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15个，
而2名志愿者中恰好来自同一组的基本事件有：，共4个，
所以抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，利用频率之和为1得出的值，再根据频数等于频率乘以样本容量，从而估计出这500名志愿者中年龄在的人数.
（2）根据分层抽样的方法确定各组人数，设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，再利用列举法写出所有基本事件，则由古典概率公式得出抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．
（1）由直方图知：，可得，
所以500名志愿者中年龄在的人数为人.
（2）由题设，第2组.第4组和第5组的频率之比为，
则6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，
不妨设第2组.第4组和第5组抽取的志愿者为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15个，
而2名志愿者中恰好来自同一组的基本事件有：，共4个，
所以抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
17．（2025高二上·彭山月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：∵平面，平面，
∴，
又∵，，平面PAD，
∴平面PAD，
又因为平面PAD，
∴，
∵，且E为中点，
∴，
又因为，平面，
∴平面．
（2）解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，且平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，则，，
∴，
∴，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由线面垂直的定义得出线线垂直，利用线线垂直证出线面垂直，再根据等腰三角形三线合一得出，利用线面垂直的判定定理证出平面.
（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，得出平面的法向量和平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）∵平面，平面，∴，
又∵，，平面PAD，∴平面PAD，
又平面PAD，∴，
∵，且E为中点，∴，
又，平面，
∴平面．
（2）如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，且平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，∴，
∴．
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．（2025高二上·彭山月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程.
【答案】（1）解：∵双曲线的一条渐近线方程为，
∴，
则，
∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为，
∴，
则，
又因为，
所以，
解得，
所以双曲线的方程为．
（2）解：由题意直线的斜率存在，
设直线方程为，，
由，
得，
由题意，得，
解得，
因为，
所以
，
又因为点O到直线的距离，
所以，的面积为：，
则，
所以，
解得或，
又因为，
所以，
则直线的方程为或．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用双曲线方程得出渐近线的斜率，从而得出a，b的关系式，再利用已知条件和点到直线的距离公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出的值，进而得出双曲线C的标准方程.
（2）由题意得出直线的斜率存在，设直线方程为，再联立直线方程与双曲线的方程，再利用弦长公式求出的值，再根据点到直线的距离求出点到直线的距离，再利用三角形的面积公式建立方程求出的值，从而求出直线的方程．
（1）∵双曲线的一条渐近线方程为，
∴，即，
∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为，
∴，即，
又，则，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设，
由得，
由题意得，解得，
因为，
所以，
又点O到直线的距离，
所以的面积，
则，即，解得或，
又因为，所以，
所以直线的方程为或．
19．（2025高二上·彭山月考）已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，当时，
①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
②求的最小值.
【答案】（1）解：由题意，可得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）证明：①设，，
由，得（★），
由点在椭圆上，
则，
所以①，
同理可得② ，
①②可得：
代入（★）式，可得：，
则，
变形可得，
所以直线恒过定点．
②由已知条件，可知直线的斜率存在，
设直线，，，
联立方程组：，
其中（▲），
所以，，
由已知条件，得：
因为直线不过点，所以，
化简可得，
所以
代入（▲）式，则，此时直线恒过定点．
②因为，
所以，点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，
则，
此时点的坐标为，直线的斜率，满足条件，
则的最小值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将，两点代入椭圆方程解出的值，从而得出椭圆的标准方程.
（2）①由已知条件和两点求斜率公式以及点代入法和作差法，从而证出直线恒过定点，并求出定点坐标．
②利用得出点在以为直径的圆上，从而得出圆心坐标和半径长，再利用得出此时点的坐标和直线的斜率，从而得出的最小值．
（1）由题意可得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）解法一：①由条件，可知直线的斜率存在，
设直线，，，
联立方程组：，
其中（▲），
所以，，
由条件，即，
由于直线不过点，故，
化简可得，
所以
，
代入（▲）式，，此时直线恒过定点．
②因为，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，
所以，此时的坐标为，的斜率，满足条件．
故的最小值为．
解法二：①设，，由条件，即（★），
由点在椭圆上，则有，
即①，同理可得② ，
①②可得：
代入（★）式可得：，
即，
变形可得．所以直线恒过定点．
②解法同一.
1 / 1四川省眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2025高二上·彭山月考）直线与直线间的距离是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2025高二上·彭山月考）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·彭山月考）已知向量，，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2025高二上·彭山月考）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·彭山月考）已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·彭山月考）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2025高二上·彭山月考）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·彭山月考）设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·彭山月考）下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标是
B．双曲线的顶点坐标是
C．抛物线的准线方程是
D．双曲线的离心率
10．（2025高二上·彭山月考）已知圆和圆，则（ ）．
A．圆的半径为4
B．y轴为圆与的公切线
C．圆与公共弦所在的直线方程为
D．圆与上共有3个点到直线的距离为1
11．（2025高二上·彭山月考）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，直线与椭圆相切于点，且关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．点在以为圆心，16为半径的圆上
D．
12．（2025高二上·彭山月考）已知直线与圆相交于、两点，则 .
13．（2025高二上·彭山月考）已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为 ．
14．（2025高二上·彭山月考）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为 .
15．（2025高二上·彭山月考）已知直线，直线，设直线与的交点为P，点Q的坐标为．
（1）求经过点Q且与直线平行的直线方程；
（2）求线段的中垂线方程．
16．（2025高二上·彭山月考）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组.第2组.第3组.第4组.第5组.
（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；
（2）若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
17．（2025高二上·彭山月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．（2025高二上·彭山月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程.
19．（2025高二上·彭山月考）已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，当时，
①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
②求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：将直线方程转化为为，
直线方程转化为，
则所求距离为.
故答案为：B.
【分析】利用平行直线间的距离公式得出直线与直线间的距离.
2．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线方程，可知，且焦点在x轴上，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而得出双曲线的渐近线方程.
3．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由已知条件，得，，
且，
由，
得，
则，
解得
故答案为：D.
【分析】利用向量运算的坐标表示和数量积的坐标表示，再利用已知条件得出实数k的值.
4．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆上的点到左焦点的最大值为，椭圆上的点到左焦点的最小值为
联立，
解得，，
根据，
得，
则椭圆方程是.
故答案为：D.
【分析】结合椭圆的性质和已知条件以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出的值，进而得出椭圆的标准方程.
5．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
因为点为线段的中点，设点的坐标为.
根据中点坐标公式和，
则，.
由此可得，.
因为点在上，
将，代入圆方程，
可得：，即，
两边同时除以，得：.
故答案为：C.
【分析】先设出点的坐标和点的坐标，再根据中点坐标公式建立点的坐标与点的坐标的关系，再将点的坐标代入已知圆的方程，从而变形得到动点的轨迹方程.
6．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于，
根据抛物线的定义可知，所以当PQ垂直于准线时交准线于，有最小值，
，最小值为，
当且仅当在与抛物线的交点时取得等号.
故答案为：C.
【分析】用抛物线的定义，将转化为点到准线的距离，再结合几何图形的性质，通过数形结合求出的最小值.
7．【答案】D
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设关于直线对称的点为，
则，
解得，则，
因为入射光线经过点，
所以所在直线的斜率为，
则入射光线所在直线方程为，即．
故答案为：D.
【分析】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标和两点求斜率公式，再根据点斜式得出入射光线所在直线方程．
8．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设垂足在第一象限，
由题意，可知与渐近线垂直，
如图所示，
则，
由点到直线的距离公式，
可得，
又因为，所以，
设，则，
得，则，
由，
解得，
由，得，
解得．可得，
所以，双曲线的离心率为．
故答案为：D.
【分析】由点到直线的距离公式可得，设，再借助等面积法，得到，再利用双曲线的离心率公式，从而得出双曲线的离心率.
9．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A：在椭圆中，因为，，
所以，且焦点在轴上，故A错误；
对于B：在双曲线中，，顶点在y轴上，
所以双曲线的顶点为，故B正确；
对于C：因为抛物线的准线为，故C正确；
对于D：在双曲线中，，
则，
所以，双曲线的离心率为，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】由题意，根据椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、抛物线的标准方程以及这三个圆锥曲线的性质，从而逐项判断找出结论正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：对于A，将圆化为标准方程为，
则圆的半径为2，故A错误；
对于B，因为圆心到y轴的距离为1，等于圆的半径，
所以，圆与y轴相切，
同理可得，圆心到y轴的距离等于圆的半径，
所以圆与y轴相切，则y轴为圆与的公切线，故B正确；
对于C，将与左右分别相减，
得圆与的公共弦所在的直线方程为，故C正确；
对于D，如图，
因为直线同时经过两圆的圆心，
依题意，可作两条与该直线平行且距离为1的直线与，其中与和圆都相切，各有一个公共点，
因为与和圆都相交，各有两个交点，
所以，圆与上共有6个点到直线的距离为1，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】将圆的方程化为圆的标准方程，从而得出圆的半径长，则判断出选项A；利用圆与圆的位置关系和两圆公切线的求解方法，则判断出选项B；将两圆方程相减化简，从而得出公共弦所在的直线方程，则判断出选项C；结合两圆的图象作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，再通过观察分析结合点到直线的距离公式，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A：由题意，
可得，，
则，
所以，
则，故A正确；
对于B：由椭圆光学性质结合，
可得为的角平分线，
因为，
所以，
化简得，则，故B正确；
对于C：由椭圆光学性质，可得在直线上，且，
则，所以，点在以为圆心，16为半径的圆上，故C正确；
对于D：由正弦定理，可得，，
则，，
又因为、，
所以，则，
所以，
则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理计算，则判断出选项A；根据题意结合椭圆的光学性质，从而可得为的角平分线，再利用三角形的面积公式和等面积法，从而计算可得的值，则判断出选项B；借助椭圆的光学性质可得在直线上且，从而得出的值，进而得出点在以为圆心，16为半径的圆上，则判断出选项C；根据题意结合正弦定理以及、，从而得出，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：因为圆的圆心为，半径，
所以，圆心到直线的距离，
则.
故答案为：.
【分析】利用圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式和弦长公式，从而得出MN的长.
13．【答案】14
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的右焦点为，连接，，
根据椭圆的对称性，可得，
则四边形为矩形
所以，
由椭圆的定义，可得，
所以，
则的周长为：.
故答案为：14.
【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，根据椭圆的对称性和矩形的定义，则判断出四边形为矩形，利用椭圆的定义和焦距定义，从而可得的值和，再利用三角形的周长公式得出的周长.
14．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，
得圆C：的圆心到直线l：的距离为：，
所以l与圆C相离，
如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，
则，此时，
所以，则的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系，再结合圆的切线的性质和几何法求最值的方法以及正弦函数的定义，从而得出的最大值.
15．【答案】（1）解：设经过点Q且与直线平行的直线方程为，
又因为点，
所以，
解得，
则所求直线方程为.
（2）解：由，
解得，
则点，
所以线段的中点为，
又因为直线的斜率，
所以线段的中垂线斜率，
则线段的中垂线方程为，即.
【知识点】平面内中点坐标公式；直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）由两直线的平行关系设出所求直线方程，再利用点代入法和待定系数法，从而得出所求直线方程.
（2）联立两直线方程求出交点坐标，再利用中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出线段的中垂线方程.
（1）设经过点Q且与直线平行的直线方程为，而点，
则，解得，所以所求直线方程为.
（2）由，解得，则点，线段的中点为，
直线的斜率，线段的中垂线斜率，
所以线段的中垂线方程为，即.
16．【答案】（1）解：由频率分布直方图，知：，
可得，
所以500名志愿者中年龄在的人数为人.
（2）解：由题意，第2组、第4组和第5组的频率之比为，
则6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15个，
而2名志愿者中恰好来自同一组的基本事件有：，共4个，
所以抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，利用频率之和为1得出的值，再根据频数等于频率乘以样本容量，从而估计出这500名志愿者中年龄在的人数.
（2）根据分层抽样的方法确定各组人数，设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，再利用列举法写出所有基本事件，则由古典概率公式得出抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．
（1）由直方图知：，可得，
所以500名志愿者中年龄在的人数为人.
（2）由题设，第2组.第4组和第5组的频率之比为，
则6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，
不妨设第2组.第4组和第5组抽取的志愿者为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15个，
而2名志愿者中恰好来自同一组的基本事件有：，共4个，
所以抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
17．【答案】（1）证明：∵平面，平面，
∴，
又∵，，平面PAD，
∴平面PAD，
又因为平面PAD，
∴，
∵，且E为中点，
∴，
又因为，平面，
∴平面．
（2）解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，且平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，则，，
∴，
∴，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由线面垂直的定义得出线线垂直，利用线线垂直证出线面垂直，再根据等腰三角形三线合一得出，利用线面垂直的判定定理证出平面.
（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，得出平面的法向量和平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）∵平面，平面，∴，
又∵，，平面PAD，∴平面PAD，
又平面PAD，∴，
∵，且E为中点，∴，
又，平面，
∴平面．
（2）如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，且平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，∴，
∴．
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．【答案】（1）解：∵双曲线的一条渐近线方程为，
∴，
则，
∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为，
∴，
则，
又因为，
所以，
解得，
所以双曲线的方程为．
（2）解：由题意直线的斜率存在，
设直线方程为，，
由，
得，
由题意，得，
解得，
因为，
所以
，
又因为点O到直线的距离，
所以，的面积为：，
则，
所以，
解得或，
又因为，
所以，
则直线的方程为或．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用双曲线方程得出渐近线的斜率，从而得出a，b的关系式，再利用已知条件和点到直线的距离公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出的值，进而得出双曲线C的标准方程.
（2）由题意得出直线的斜率存在，设直线方程为，再联立直线方程与双曲线的方程，再利用弦长公式求出的值，再根据点到直线的距离求出点到直线的距离，再利用三角形的面积公式建立方程求出的值，从而求出直线的方程．
（1）∵双曲线的一条渐近线方程为，
∴，即，
∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为，
∴，即，
又，则，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设，
由得，
由题意得，解得，
因为，
所以，
又点O到直线的距离，
所以的面积，
则，即，解得或，
又因为，所以，
所以直线的方程为或．
19．【答案】（1）解：由题意，可得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）证明：①设，，
由，得（★），
由点在椭圆上，
则，
所以①，
同理可得② ，
①②可得：
代入（★）式，可得：，
则，
变形可得，
所以直线恒过定点．
②由已知条件，可知直线的斜率存在，
设直线，，，
联立方程组：，
其中（▲），
所以，，
由已知条件，得：
因为直线不过点，所以，
化简可得，
所以
代入（▲）式，则，此时直线恒过定点．
②因为，
所以，点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，
则，
此时点的坐标为，直线的斜率，满足条件，
则的最小值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将，两点代入椭圆方程解出的值，从而得出椭圆的标准方程.
（2）①由已知条件和两点求斜率公式以及点代入法和作差法，从而证出直线恒过定点，并求出定点坐标．
②利用得出点在以为直径的圆上，从而得出圆心坐标和半径长，再利用得出此时点的坐标和直线的斜率，从而得出的最小值．
（1）由题意可得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）解法一：①由条件，可知直线的斜率存在，
设直线，，，
联立方程组：，
其中（▲），
所以，，
由条件，即，
由于直线不过点，故，
化简可得，
所以
，
代入（▲）式，，此时直线恒过定点．
②因为，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，
所以，此时的坐标为，的斜率，满足条件．
故的最小值为．
解法二：①设，，由条件，即（★），
由点在椭圆上，则有，
即①，同理可得② ，
①②可得：
代入（★）式可得：，
即，
变形可得．所以直线恒过定点．
②解法同一.
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