广东省广州市真光中学汾水校区2025-2026学年高二上学期12月阶段测试数学试卷
1．（2025高二上·广州月考）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．相交 C．相切 D．内含
2．（2025高二上·广州月考）在中，已知，，，则边上的中线长为（ ）
A． B．6 C． D．7
3．（2025高二上·广州月考）如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高二上·广州月考）已知在等差数列中，，，则（ ）
A．12 B．10 C．6 D．4
5．（2025高二上·广州月考）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高二上·广州月考）已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（ ）
A．椭圆的焦距为 B．
C．椭圆的离心率 D．的面积的最大值是
7．（2025高二上·广州月考）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·广州月考）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·广州月考）已知圆，直线.则以下命题正确的有（ ）
A．直线l恒过定点
B．y轴被圆C截得的弦长为
C．直线l与圆C恒相交
D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为
10．（2025高二上·广州月考）已知，为双曲线的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则（ ）
A． B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的离心率为 D．
11．（2025高二上·广州月考）如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ）.
A．异面直线与所成角为
B．平面
C．三棱锥的体积不变
D．直线与平面所成角正切值的取值范围为
12．（2025高二上·广州月考）若向量，且，则 .
13．（2025高二上·广州月考）已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为
14．（2025高二上·广州月考）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离比为，则点到圆上的点的距离最大值是 ．
15．（2025高二上·广州月考）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
16．（2025高二上·广州月考）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长；
（3）若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程.
17．（2025高二上·广州月考）已知动圆经过点，且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）已知是（1）中的轨迹上的两个动点，为坐标原点，且直线与的斜率之积为，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.
18．（2025高二上·广州月考）如图，把的菱形纸片沿对角线翻折，E，F，G，H分别为，，，的中点，O是菱形对角线的交点.
（1）证明：E，F，G，H四点共面；
（2）若菱形纸片沿对角线翻折成直二面角，求折纸后异面直线，所成角的余弦值；
（3）若菱形纸片沿对角线翻折到使异面直线，的所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值.
19．（2025高二上·广州月考）已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点.
（i）求证：点在定直线上；
（ii）求证：射线平分.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：对圆，圆心，半径.
圆：，圆心，半径.
圆心距：.
因为，所以两圆相交.
故答案为：B
【分析】将两个圆的方程化为标准形式，从而确定各自的圆心坐标和半径.计算两圆的圆心距，最后根据圆心距与两圆半径之和、半径之差的大小关系，来判断两圆的位置关系.
2．【答案】B
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间中的中点坐标公式
【解析】【解答】解： 根据中点坐标公式，中点的坐标为.
根据空间两点间距离公式，.
故答案为：B.
【分析】首先回忆空间中点坐标的中点公式，求出边的中点坐标，再利用空间两点间的距离公式，计算出该中点到点的距离，这个距离就是边上的中线长.
3．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】用空间向量基本定理，将向量用已知的基底、、表示出来.要先找到与相关的向量关系，再逐步转化为基底的线性组合.
4．【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：在等差数列中，，
则，所以，公差，
则.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和等差数列的性质，从而求出公差，再利用等差数列的性质得出的值.
5．【答案】C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：因为，且，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意，由和已知条件，再利用正切函数的图象，从而得出直线的倾斜角的取值范围.
6．【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图：
根据椭圆的标准方程：，得，，
所以.
所以：椭圆的焦距为：，故A错；
根据椭圆的定义：，故B错；
椭圆的离心率：，故C正确；
当点为椭圆短轴端点时，的面积最大，为：，故D错.
故答案为：C
【分析】围绕椭圆的基本性质展开，包括焦距、椭圆上点到两焦点距离之和（椭圆定义）、离心率以及焦点三角形面积的最大值.根据椭圆的标准方程确定、的值，再计算的值，然后依次分析每个选项涉及的椭圆性质.
7．【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设底面正方形边长为，则，
则，
设平面的法向量为，
则，可取，
所以，
因直线与平面所成角的余弦值为，
故直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得，故正四棱柱的体积为.
故答案为：B.
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再用向量的夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值，结合已知的余弦值，求出底面正方形的边长，求出正四棱柱的体积.
8．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图：
设直线与圆的切点为，作，交于点，
则，
因为，，
所以，
又因为为中点，
所以，.
又因为，，
可设：，，.
由.
根据双曲线的定义，
得.
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件得出线线垂直，再利用中点的性质和三角函数的定义以及双曲线的定义，再根据双曲线中三者的关系，最后由双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率.
9．【答案】C,D
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、直线化为，
令，解得，则直线恒过定点，故A错误；
B、 圆，当时，，
则y轴被圆C截得的弦长为，故B错误；
C、由A可知：直线过定点，因为，所以点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确；
D、要使直线l被圆C截得弦长最长，则直线过圆心，即则，解得，则直线方程为：，即，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】化直线方程为，令求解即可得直线恒过点即可判断A；根据圆方程，令求出圆和y轴的交点坐标即可判断B；判断定点和圆的位置关系即可判断C；要使弦长最长，直线过圆心，代入求解即可判断D.
10．【答案】C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据双曲线的定义，则，故A错；
由双曲线方程，知，，
则双曲线渐近线为，故B错；
因为，所以离心率为，故C正确；
因为，又因为的最小值是，
所以，故D正确.
故答案为：CD．
【分析】利用双曲线的定义判断出选项A；利用双曲线方程求出渐近线方程，则判断选项B；利用离心率公式判断出选项C；利用和向量的模的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项．
11．【答案】A,C,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】对于A，因为正方体中，且为等边三角形，
所以，异面直线与夹角为，故A正确；
对于C，因为平面，平面，
所以平面，
则为定值，故C正确；
对于D，建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，
则，，，，
所以，
则，
由正方体的性质，知：平面，平面，
平面，
则平面的法向量为，
因为直线与平面所成角正弦值为，
又因为，，
则当时，取得最大值，
因为，所以，，
当或时，取值为，
同理可得，所以，
则，故D正确；
对于B，因为不平行，所以平面不成立，故B错误.
故答案为：ACD.
【分析】利用异面直线的夹角求解方法，则判断出选项A；利用线面垂直判定定理和性质定理判断出选项B；利用等体积法和三棱锥的体积公式，则判断出选项C； 利用空间直角坐标系使用代数法求解线面角的取值范围.判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：由，得，
解得，则，
所以.
故答案为：.
【分析】根据空间向量平行的坐标表示，从而得出的值，进而得出向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示，从而得出向量的模.
13．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，，
则，
所以，，
则，
所以直线的斜率为.
故答案为：.
【分析】根据焦点弦公式和同角三角函数基本关系式计算可得出直线的斜率.
14．【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；轨迹方程
【解析】【解答】解：设点，，
，
整理得，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
圆的标准方程为，
圆是以为圆心，半径是，
圆心与之间的距离，
，
点到圆的距离的最大值为．
故答案为：．
【分析】设点，先利用已知的距离比值求出点的轨迹方程，从而确定圆心坐标和半径长，再根据圆的方程确定圆的圆心坐标和半径长，再利用两点间距离公式求出圆心距，再根据两圆位置关系判断方法，从而确定两圆的位置关系，最后利用两圆的位置关系求出点到圆的最大值．
15．【答案】（1）解：因为为等差数列的前项和，且，，
则，
所以，
可得公差，
所以数列的通项公式为.
（2）解：因为，
所以，
令，
解得，
可知，当时，；当时，，
所以的最小值为.
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，从而可得的值，再利用等差数列的通项公式得出等差数列的公差的值并结合等差数列的通项公式可得.
（2）根据（1）得出的等差数列的通项公式和等差数列求和公式，从而得出，再根据的符号分析得出的最小值.
（1）因为为等差数列的前项和，且，，
则，即，可得公差，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，则，
令，解得，
可知当时，；当时，；
所以的最小值为.
16．【答案】（1）解：设椭圆C的方程为，
因为椭圆经过点且长轴长为，所以，
则椭圆C的标准方程为；
（2）解：由题意可知：直线l的方程为，设，，
联立，消元整理得，
由韦达定理可得：，，
则；
（3）解：设，
由弦中点是，可得，解得，
由于在椭圆上，故，
两式相减得到，即，
故，于是，
故直线的方程是，整理得.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设椭圆C的方程为，根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，即可得椭圆C的标准方程；
（2）由题意可得直线l的方程，设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合弦长公式求解即可；
（3）设，根据“点差法”求出直线的斜率，由点斜式求解即可.
（1）由题意设椭圆C的方程为，
因为椭圆经过点且长轴长为，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由已知设直线l的方程为，设，.
将直线代入，
得，
所以，，
.
（3）设，则中点是，
于是，即，
由于在椭圆上，故，
两式相减得到，即，
故，于是，
故直线的方程是，
整理得
17．【答案】解：（1）设点与直线的切点为，
则，所以动点到定点和定直线的距离相等，
点的轨迹是抛物线，且以为焦点，直线为准线，
，
则动圆圆心的轨迹方程是.
（2）设，直线的方程为，
由题意，可知，把直线的方程代入（1）中的轨迹方程，
可得
所以，
又因为直线与的斜率之积为，
所以，则，
所以，解得：（舍）或，
所以直线的方程为，
则直线恒过定点.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切位置关系判断方法和代入法，则由抛物线定义得出动圆圆心的轨迹方程.
（2）设直线的方程为，将直线AB方程与抛物线方程联立，再利用韦达定理和两点求斜率公式，从而表示出直线与的斜率之积，利用已知条件得出b的值，从而得出直线AB关于m的方程，再变形得出直线AB恒过的定点坐标.
18．【答案】（1）证明：
如图，连接.
∵E，F，G，H分别为，，，的中点，
∴，∴，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）解：∵四边形为菱形，，
∴，为等边三角形，.
设菱形的边长为2，则.
∵二面角为直二面角，∴平面平面，
∵平面平面，，平面，
∴平面.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
∴，
故，
∴异面直线，所成角的余弦值为.
（3）解：设菱形的边长为2，则.
如图，连接.
∵为等边三角形，∴，
∵异面直线，的所成角为，∴，
∵平面，，∴平面，
∵平面，∴，∴.
∵，平面，平面，平面平面，
∴为二面角的平面角.
∵，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】空间点、线、面的位置；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）用三角形中位线定理证明线线平行，进而证明四点共面.
（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值.
（3）根据异面直线所成角为得到向量垂直关系，再求出两个平面的法向量，利用法向量夹角公式计算平面夹角的余弦值.
（1）如图，连接.
∵E，F，G，H分别为，，，的中点，
∴，∴，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）∵四边形为菱形，，
∴，为等边三角形，.
设菱形的边长为2，则.
∵二面角为直二面角，∴平面平面，
∵平面平面，，平面，∴平面.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
∴，故，
∴异面直线，所成角的余弦值为.
（3）设菱形的边长为2，则.
如图，连接.
∵为等边三角形，∴，
∵异面直线，的所成角为，∴，
∵平面，，∴平面，
∵平面，∴，∴.
∵，平面，平面，平面平面，
∴为二面角的平面角.
∵，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：由题意，设左焦点的坐标为，
则双曲线的渐近线方程为：，，
所以，左焦点到其中一条渐近线的距离为，
可得，
又因为，解得，
则双曲线的标准方程为.
（2）（i）证明：由题意，知，
因为直线过，，点在第一象限，
所以，直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
则，
又因为方程的判别式为，
由为方程的两个根，
所以，，
因为直线的方程为，直线的方程为，
联立可得，
则，
所以点在直线上.
（ii）证明：由（i）知，（其中）
则，
所以
则，
所以射线平分.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设出左焦点坐标和渐近线方程，利用双曲线中a，b，c三者的关系式和点到直线的距离公式以及已知条件，从而可得的值，再利用实轴长定义得出的值，从而得出双曲线C的方程.
（2）(i)设直线的方程为，，联立直线方程与双曲线的方程和判别式法得出韦达定理式，从而可得，再联立直线的方程，从而证出点在定直线上.
（ii）由（i）求出点的坐标，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式、二倍角的正切公式，从而求出，，，进而证出，即证出射线平分.
（1）由题意，设左焦点的坐标为，
双曲线的渐近线方程为：，，
左焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，
又因为，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）由题知，
因为直线过，，点在第一象限，故直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
则，
方程的判别式，
由已知为方程的两个根，
所以，
（i）证明：因为直线的方程为，直线的方程为
联立可得
，
则，即在直线上；
（ii）证明：由（i）知，（其中）
则
即，故射线平分.
1 / 1广东省广州市真光中学汾水校区2025-2026学年高二上学期12月阶段测试数学试卷
1．（2025高二上·广州月考）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．相交 C．相切 D．内含
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：对圆，圆心，半径.
圆：，圆心，半径.
圆心距：.
因为，所以两圆相交.
故答案为：B
【分析】将两个圆的方程化为标准形式，从而确定各自的圆心坐标和半径.计算两圆的圆心距，最后根据圆心距与两圆半径之和、半径之差的大小关系，来判断两圆的位置关系.
2．（2025高二上·广州月考）在中，已知，，，则边上的中线长为（ ）
A． B．6 C． D．7
【答案】B
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间中的中点坐标公式
【解析】【解答】解： 根据中点坐标公式，中点的坐标为.
根据空间两点间距离公式，.
故答案为：B.
【分析】首先回忆空间中点坐标的中点公式，求出边的中点坐标，再利用空间两点间的距离公式，计算出该中点到点的距离，这个距离就是边上的中线长.
3．（2025高二上·广州月考）如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】用空间向量基本定理，将向量用已知的基底、、表示出来.要先找到与相关的向量关系，再逐步转化为基底的线性组合.
4．（2025高二上·广州月考）已知在等差数列中，，，则（ ）
A．12 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：在等差数列中，，
则，所以，公差，
则.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和等差数列的性质，从而求出公差，再利用等差数列的性质得出的值.
5．（2025高二上·广州月考）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：因为，且，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意，由和已知条件，再利用正切函数的图象，从而得出直线的倾斜角的取值范围.
6．（2025高二上·广州月考）已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（ ）
A．椭圆的焦距为 B．
C．椭圆的离心率 D．的面积的最大值是
【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图：
根据椭圆的标准方程：，得，，
所以.
所以：椭圆的焦距为：，故A错；
根据椭圆的定义：，故B错；
椭圆的离心率：，故C正确；
当点为椭圆短轴端点时，的面积最大，为：，故D错.
故答案为：C
【分析】围绕椭圆的基本性质展开，包括焦距、椭圆上点到两焦点距离之和（椭圆定义）、离心率以及焦点三角形面积的最大值.根据椭圆的标准方程确定、的值，再计算的值，然后依次分析每个选项涉及的椭圆性质.
7．（2025高二上·广州月考）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设底面正方形边长为，则，
则，
设平面的法向量为，
则，可取，
所以，
因直线与平面所成角的余弦值为，
故直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得，故正四棱柱的体积为.
故答案为：B.
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再用向量的夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值，结合已知的余弦值，求出底面正方形的边长，求出正四棱柱的体积.
8．（2025高二上·广州月考）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图：
设直线与圆的切点为，作，交于点，
则，
因为，，
所以，
又因为为中点，
所以，.
又因为，，
可设：，，.
由.
根据双曲线的定义，
得.
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件得出线线垂直，再利用中点的性质和三角函数的定义以及双曲线的定义，再根据双曲线中三者的关系，最后由双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率.
9．（2025高二上·广州月考）已知圆，直线.则以下命题正确的有（ ）
A．直线l恒过定点
B．y轴被圆C截得的弦长为
C．直线l与圆C恒相交
D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为
【答案】C,D
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、直线化为，
令，解得，则直线恒过定点，故A错误；
B、 圆，当时，，
则y轴被圆C截得的弦长为，故B错误；
C、由A可知：直线过定点，因为，所以点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确；
D、要使直线l被圆C截得弦长最长，则直线过圆心，即则，解得，则直线方程为：，即，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】化直线方程为，令求解即可得直线恒过点即可判断A；根据圆方程，令求出圆和y轴的交点坐标即可判断B；判断定点和圆的位置关系即可判断C；要使弦长最长，直线过圆心，代入求解即可判断D.
10．（2025高二上·广州月考）已知，为双曲线的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则（ ）
A． B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的离心率为 D．
【答案】C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据双曲线的定义，则，故A错；
由双曲线方程，知，，
则双曲线渐近线为，故B错；
因为，所以离心率为，故C正确；
因为，又因为的最小值是，
所以，故D正确.
故答案为：CD．
【分析】利用双曲线的定义判断出选项A；利用双曲线方程求出渐近线方程，则判断选项B；利用离心率公式判断出选项C；利用和向量的模的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项．
11．（2025高二上·广州月考）如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ）.
A．异面直线与所成角为
B．平面
C．三棱锥的体积不变
D．直线与平面所成角正切值的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】对于A，因为正方体中，且为等边三角形，
所以，异面直线与夹角为，故A正确；
对于C，因为平面，平面，
所以平面，
则为定值，故C正确；
对于D，建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，
则，，，，
所以，
则，
由正方体的性质，知：平面，平面，
平面，
则平面的法向量为，
因为直线与平面所成角正弦值为，
又因为，，
则当时，取得最大值，
因为，所以，，
当或时，取值为，
同理可得，所以，
则，故D正确；
对于B，因为不平行，所以平面不成立，故B错误.
故答案为：ACD.
【分析】利用异面直线的夹角求解方法，则判断出选项A；利用线面垂直判定定理和性质定理判断出选项B；利用等体积法和三棱锥的体积公式，则判断出选项C； 利用空间直角坐标系使用代数法求解线面角的取值范围.判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2025高二上·广州月考）若向量，且，则 .
【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：由，得，
解得，则，
所以.
故答案为：.
【分析】根据空间向量平行的坐标表示，从而得出的值，进而得出向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示，从而得出向量的模.
13．（2025高二上·广州月考）已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，，
则，
所以，，
则，
所以直线的斜率为.
故答案为：.
【分析】根据焦点弦公式和同角三角函数基本关系式计算可得出直线的斜率.
14．（2025高二上·广州月考）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离比为，则点到圆上的点的距离最大值是 ．
【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；轨迹方程
【解析】【解答】解：设点，，
，
整理得，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
圆的标准方程为，
圆是以为圆心，半径是，
圆心与之间的距离，
，
点到圆的距离的最大值为．
故答案为：．
【分析】设点，先利用已知的距离比值求出点的轨迹方程，从而确定圆心坐标和半径长，再根据圆的方程确定圆的圆心坐标和半径长，再利用两点间距离公式求出圆心距，再根据两圆位置关系判断方法，从而确定两圆的位置关系，最后利用两圆的位置关系求出点到圆的最大值．
15．（2025高二上·广州月考）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）解：因为为等差数列的前项和，且，，
则，
所以，
可得公差，
所以数列的通项公式为.
（2）解：因为，
所以，
令，
解得，
可知，当时，；当时，，
所以的最小值为.
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，从而可得的值，再利用等差数列的通项公式得出等差数列的公差的值并结合等差数列的通项公式可得.
（2）根据（1）得出的等差数列的通项公式和等差数列求和公式，从而得出，再根据的符号分析得出的最小值.
（1）因为为等差数列的前项和，且，，
则，即，可得公差，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，则，
令，解得，
可知当时，；当时，；
所以的最小值为.
16．（2025高二上·广州月考）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长；
（3）若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程.
【答案】（1）解：设椭圆C的方程为，
因为椭圆经过点且长轴长为，所以，
则椭圆C的标准方程为；
（2）解：由题意可知：直线l的方程为，设，，
联立，消元整理得，
由韦达定理可得：，，
则；
（3）解：设，
由弦中点是，可得，解得，
由于在椭圆上，故，
两式相减得到，即，
故，于是，
故直线的方程是，整理得.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设椭圆C的方程为，根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，即可得椭圆C的标准方程；
（2）由题意可得直线l的方程，设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合弦长公式求解即可；
（3）设，根据“点差法”求出直线的斜率，由点斜式求解即可.
（1）由题意设椭圆C的方程为，
因为椭圆经过点且长轴长为，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由已知设直线l的方程为，设，.
将直线代入，
得，
所以，，
.
（3）设，则中点是，
于是，即，
由于在椭圆上，故，
两式相减得到，即，
故，于是，
故直线的方程是，
整理得
17．（2025高二上·广州月考）已知动圆经过点，且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）已知是（1）中的轨迹上的两个动点，为坐标原点，且直线与的斜率之积为，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.
【答案】解：（1）设点与直线的切点为，
则，所以动点到定点和定直线的距离相等，
点的轨迹是抛物线，且以为焦点，直线为准线，
，
则动圆圆心的轨迹方程是.
（2）设，直线的方程为，
由题意，可知，把直线的方程代入（1）中的轨迹方程，
可得
所以，
又因为直线与的斜率之积为，
所以，则，
所以，解得：（舍）或，
所以直线的方程为，
则直线恒过定点.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切位置关系判断方法和代入法，则由抛物线定义得出动圆圆心的轨迹方程.
（2）设直线的方程为，将直线AB方程与抛物线方程联立，再利用韦达定理和两点求斜率公式，从而表示出直线与的斜率之积，利用已知条件得出b的值，从而得出直线AB关于m的方程，再变形得出直线AB恒过的定点坐标.
18．（2025高二上·广州月考）如图，把的菱形纸片沿对角线翻折，E，F，G，H分别为，，，的中点，O是菱形对角线的交点.
（1）证明：E，F，G，H四点共面；
（2）若菱形纸片沿对角线翻折成直二面角，求折纸后异面直线，所成角的余弦值；
（3）若菱形纸片沿对角线翻折到使异面直线，的所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：
如图，连接.
∵E，F，G，H分别为，，，的中点，
∴，∴，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）解：∵四边形为菱形，，
∴，为等边三角形，.
设菱形的边长为2，则.
∵二面角为直二面角，∴平面平面，
∵平面平面，，平面，
∴平面.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
∴，
故，
∴异面直线，所成角的余弦值为.
（3）解：设菱形的边长为2，则.
如图，连接.
∵为等边三角形，∴，
∵异面直线，的所成角为，∴，
∵平面，，∴平面，
∵平面，∴，∴.
∵，平面，平面，平面平面，
∴为二面角的平面角.
∵，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】空间点、线、面的位置；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）用三角形中位线定理证明线线平行，进而证明四点共面.
（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值.
（3）根据异面直线所成角为得到向量垂直关系，再求出两个平面的法向量，利用法向量夹角公式计算平面夹角的余弦值.
（1）如图，连接.
∵E，F，G，H分别为，，，的中点，
∴，∴，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）∵四边形为菱形，，
∴，为等边三角形，.
设菱形的边长为2，则.
∵二面角为直二面角，∴平面平面，
∵平面平面，，平面，∴平面.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
∴，故，
∴异面直线，所成角的余弦值为.
（3）设菱形的边长为2，则.
如图，连接.
∵为等边三角形，∴，
∵异面直线，的所成角为，∴，
∵平面，，∴平面，
∵平面，∴，∴.
∵，平面，平面，平面平面，
∴为二面角的平面角.
∵，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
19．（2025高二上·广州月考）已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点.
（i）求证：点在定直线上；
（ii）求证：射线平分.
【答案】（1）解：由题意，设左焦点的坐标为，
则双曲线的渐近线方程为：，，
所以，左焦点到其中一条渐近线的距离为，
可得，
又因为，解得，
则双曲线的标准方程为.
（2）（i）证明：由题意，知，
因为直线过，，点在第一象限，
所以，直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
则，
又因为方程的判别式为，
由为方程的两个根，
所以，，
因为直线的方程为，直线的方程为，
联立可得，
则，
所以点在直线上.
（ii）证明：由（i）知，（其中）
则，
所以
则，
所以射线平分.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设出左焦点坐标和渐近线方程，利用双曲线中a，b，c三者的关系式和点到直线的距离公式以及已知条件，从而可得的值，再利用实轴长定义得出的值，从而得出双曲线C的方程.
（2）(i)设直线的方程为，，联立直线方程与双曲线的方程和判别式法得出韦达定理式，从而可得，再联立直线的方程，从而证出点在定直线上.
（ii）由（i）求出点的坐标，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式、二倍角的正切公式，从而求出，，，进而证出，即证出射线平分.
（1）由题意，设左焦点的坐标为，
双曲线的渐近线方程为：，，
左焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，
又因为，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）由题知，
因为直线过，，点在第一象限，故直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
则，
方程的判别式，
由已知为方程的两个根，
所以，
（i）证明：因为直线的方程为，直线的方程为
联立可得
，
则，即在直线上；
（ii）证明：由（i）知，（其中）
则
即，故射线平分.
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