浙江省台州市黄岩区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

浙江省台州市黄岩区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列是2025年成都世运会的候选会徽，其中是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
2.如果将抛物线向下平移2个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
3.下列事件中，是必然事件的是（）
A. 任意买一张电影票，座位号是3的倍数 B. 任意一个五边形的外角和是
C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D. 投一枚图钉，“钉尖朝上”
4.已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定
5.学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，下列算式正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到′′，边′′与交于点（′不在上），则的度数为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，点都在上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点、．点，，，处的读数分别为，，，，则直尺的宽的长为（ ）
A. B. C. D.
9.已知的图象上有A（x1，t）、B（x2，t+2）两点，下列说法正确的是（　　）
A. 若t＜0，则x1＜0＜x2 B. 若t＞0，则0＜x2＜x1
C. 若t＞-2，则0＜x1＜x2 D. 若t＜-2，则x1＜x2＜0
10.如图，已知中，，，点P、Q分别为、上的点，将线段绕着点P顺时针旋转，点Q的对应点G刚好落在上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为 ．
12.某数学兴趣小组为了估计投一枚图钉“钉尖朝上”的概率，进行了多次投图钉的试验，试验教数匠结果整理如下（频率保留三位小数）：
投图钉次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
“钉尖朝上”的次数 30 61 94 124 153 183 216 246 277 309
“钉尖朝上”的频率 0.600 0.610 0.627 0.620 0.612 0.610 0.617 0.615 0.616 0.618
请你估计“钉尖朝上”的概率为 （保留两位小数）.
13.已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，该圆锥的侧面积为 ．
14.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是所在圆的圆心，通过测量，发现弦的长度是，所在圆的半径是，则上的点到弦的距离的最大值是 ．
15.已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根为x=3，抛物线y=a（x-1）2+bx-b+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的另一个根为 .
16.如图，△ABC内接于⊙O，AC=BC=8，AD平分∠CAB交BC于点D，连结CO并延长交AD于点E，若OE=1，则⊙O的半径等于 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1) 画出绕点C逆时针旋转后的；
(2) 求点A的运动路径长．（结果保留）
19.(本小题6分)
现有六张分别标有数字的卡片．
(1) 若甲从中随机抽取一张，则抽到标有的卡片的概率是 ；
(2) 若将其中标有的卡片给甲，标有的卡片给乙，两人各随机取出一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出两张卡片上的数字之和小于的概率．
20.(本小题6分)
已知关于的一元二次方程．
(1) 若该方程有一个根为，求的值；
(2) 求证：不论为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21.(本小题6分)
某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．
(1) 求这个函数的解析式；
(2) 当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
22.(本小题8分)
如图，是的直径，点为上的一点，与相切于点，．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，求的长．
23.(本小题6分)
已知二次函数的图象经过点．
(1) 求二次函数图象的对称轴；
(2) 若，当时，函数最大值为9，求a的值；
(3) 已知函数图象经过、，且，求t的取值范围．
24.(本小题8分)
在中，直径弦，垂足为点，连接．以、为一组邻边构造，连接．
(1) 如图1，若经过点，的半径为5，求的长度；
(2) 如图2，若不经过点，记与交于点，．
①若，求的长度；
②若设，则与之间的关系式为________；
③如图3，连接，若，求的半径．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】0.62
13.【答案】
14.【答案】5
15.【答案】x=-1
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：，
移项得：，
开平方得：，
即；
【小题2】
解：，
因式分解得：，
∴或
解得：．

18.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求，
【小题2】
解：由网格图可知，，
∴点A的运动路径长，
即点A的运动路径长为．

19.【答案】【小题1】

【小题2】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片数字之和小于结果有种，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：把代入方程，得：，
解得；
【小题2】
解：由关于的一元二次方程可知：
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．

21.【答案】【小题1】
解：设气压P与气球体积V之间的函数解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴；
【小题2】
解：当时，气球将爆炸，随着的增大而减小，
当时，，
解得：．
∴故为了安全起见，气体的体积应不小于立方米．

22.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线．
【小题2】
解：如图，连接，
由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：将代入得，，
∴，
∴．
【小题2】
解：把代入得，
∵对称轴，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴当时，，即，
解得．
【小题3】
解：当时，，
∵，对称轴，
∴当时，，，
∴且，
∴离对称轴越近函数值越大，
∵，
∴，即
解得，
综上所述，且．

24.【答案】【小题1】
解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：①连接，如图所示：
同理（1）可得：，，
∴，
∵，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴，
∴；
②同理①可得：，
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：；
∴与之间的关系式为；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
解得：（负根舍去），
∴，
∴．

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