利用拉密定理速解动态平衡问题
如图所示,物体受三个共点力作用而处于平衡状态,由拉密定理(正弦定理)可得==,化简得==,则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦值成正比。
[典例] (2025·德阳二模)如图所示,将半径为R的半圆柱体A放置于粗糙水平面上,另一半径也为R的球B置于半圆柱上,下端用挡板MN托住,其中挡板MN的延长线过A横截面的圆心,且与水平面的夹角为θ,以O点为轴逆时针转动挡板MN,θ从0°缓缓增大到60°的过程中,A始终未动。已知B的质量为m,不计A、B之间的摩擦力,重力加速度g取10 m/s2,则 ( )
A.θ=30°时,半圆柱体A对球B的支持力大小为mg
B.θ=30°时,挡板MN对球B的支持力大小为mg
C.半圆柱体A对地面的摩擦力一直增大
D.半圆柱体A对地面的摩擦力先增大后减小
听课随笔:
[应用体验]
1.(2025·怀化三模)(多选)如图甲所示,工人用叉车拉石墩时,可简化为如图乙所示的模型,∠BAC=90°,叉车臂AC与水平方向的夹角为θ。不计球形石墩表面摩擦,叉车和石墩始终保持相对静止,在叉车匀速运动的过程中,若θ从0°缓慢增加为90°,叉车臂对石墩的作用力FAC和车把对石墩的作用力FAB的大小变化为 ( )
A.FAB一直增加 B.FAB先增加后减小
C.FAC先减小后增加 D.FAC一直在减小
2.(2025·合肥模拟)水平传感器可以测量器械摆放所处的水平角度,属于角度传感器的一种,其作用就是测量载体的水平度,又叫倾角传感器,如图为一个简易模型,截面为内壁光滑的竖直放置的正三角形,内部有一个小球,其半径略小于正三角形内接圆半径,三角形各边均有压力传感器和倾角传感器,信息处理单元能将各边与水平面间的夹角以及所受压力通过显示屏显示出来,图中此时AB边恰好处于水平状态,将其以A为轴在竖直平面内逆时针缓慢转动,在AB边倾角传感器示数θ从0°增大到90°的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.AB边压力传感器示数一直增大
B.AC边压力传感器示数先增大后减小
C.BC边压力传感器示数一直增大
D.θ=90°时,AB边与AC边压力传感器示数之比为1∶2
专题拔高
利用拉密定理速解动态平衡问题
[典例] 选D B受到MN给的弹力F1、A给的弹力F2和自身重力mg而平衡,受力分析如图,由几何关系可知sin α=,解得α=30°,将B受到的力构成矢量三角形,由几何关系可知β=120°,由正弦定理有==,当θ=30°时,解得F1=F2=mg,故A、B错误;由牛顿第三定律可知,B给A的弹力FBA与F2等大,结合以上分析可得FBA=mgsin θ,由平衡条件可知,地面对A的摩擦力大小f=FBAcos=mgsin θ×cos,由牛顿第三定律可知,A对地面的摩擦力大小f1=mgsin θ×cos,由数学关系可得f1=mg×=mg×,可知θ从0°缓缓增大到60°的过程中,半圆柱体A对地面的摩擦力f1先增大后减小,故C错误,D正确。
[应用体验]
1.选AD
解法一:在叉车匀速运动的过程中,对石墩进行受力分析,如图1所示,由平衡条件和正弦定理得==,在θ从0°增加为90°过程中,角α保持不变,β由180°减小到90°,γ由90°增大到180°,所以sin β增大,sin γ减小,所以FAB一直增加,FAC一直在减小。故选A、D。
解法二:在叉车匀速运动的过程中,对石墩进行受力分析,并将石墩所受的三个力进行平移构成一个首尾相接的矢量三角形,在θ从0°增加为90°过程中,该矢量三角形的三个顶点应落在一个圆上,如图2所示,重力为圆的直径,由图2可知,FAB一直增加,FAC一直在减小。故选A、D。
2.选D 对正三角形内部的小球受力分析,如图所示。
缓慢转动过程中,AC、AB边对球的弹力NAC、NBC的方向总是垂直相应的边,两力夹角保持不变,BC边与球始终无弹力,由几何关系可知,随着角度θ从0°增大到90°,角α与角θ之和保持不变,且α+θ=120°,所以角β也保持60°不变,由平衡条件和正弦定理得==,所以球对AC边的压力NAC'=NAC=sin θ=mgsin θ,球对AB边的压力NAB'=NAB=sin=mgsin,θ从0°增大到90°的过程中,sin θ一直增大,sin先增大后减小,故AB边压力传感器示数先增大后减小,AC边压力传感器示数一直增大,A、B、C错误;θ=90°时,AB边与AC边压力传感器示数之比为===,故选D。
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利用拉密定理速解动态平衡问题
如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，由拉密定理(正弦定理)可得==，化简得==，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦值成正比。
[典例] (2025·德阳二模)如图所示，将半径为R的半圆柱体A放置于粗糙水平面上，另一半径也为R的球B置于半圆柱上，下端用挡板MN托住，其中挡板MN的延长线过A横截面的圆心，且与水平面的夹角为θ，以O点为轴逆时针转动挡板MN，θ从0°缓缓增大到60°的过程中，A始终未动。已知B的质量为m，不计A、B之间的摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，则 ( )
A.θ=30°时，半圆柱体A对球B的支持力大小为mg
B.θ=30°时，挡板MN对球B的支持力大小为mg
C.半圆柱体A对地面的摩擦力一直增大
D.半圆柱体A对地面的摩擦力先增大后减小
√
[解析] B受到MN给的弹力F1、A给的弹力F2和自身重力mg而平衡，受力分析如图，由几何关系可知sin α=，解得α=30°，将B受到的力构成矢量三角形，由几何关系可知β=120°，由正弦定理有==，
当θ=30°时，解得F1=F2=mg，故A、B错误；
由牛顿第三定律可知，B给A的弹力FBA与F2等大，结合以上分析可得FBA=
mgsin θ，由平衡条件可知，地面对A的摩擦力大小f=FBAcos
=mgsin θ×cos，由牛顿第三定律可知，A对地面的摩擦力大小f1=mgsin θ×cos，由数学关系可得f1=mg×
=mg×，可知θ从0°缓缓增大到60°的过程中，半圆柱体A对地面的摩擦力f1先增大后减小，故C错误，D正确。
1.(2025·怀化三模)(多选)如图甲所示，工人
用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示的
模型，∠BAC=90°，叉车臂AC与水平方
向的夹角为θ。不计球形石墩表面摩擦，
叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若θ从0°缓慢增加为90°，叉车臂对石墩的作用力FAC和车把对石墩的作用力FAB的大小变化为 ( )
A.FAB一直增加 B.FAB先增加后减小
C.FAC先减小后增加 D.FAC一直在减小
应用体验
√
√
解析：解法一：在叉车匀速运动的过程中，对石墩进行受力分析，如图1所示，由平衡条件和正弦定理得==，在θ从0°增加为90°过程中，角α保持不变，β由180°减小到90°，γ由90°增大到180°，所以sin β增大，sin γ减小，所以FAB一直增加，FAC一直在减小。故选A、D。
解法二：在叉车匀速运动的过程中，对石墩进行受力分析，并将石墩所受的三个力进行平移构成一个首尾相接的矢量三角形，在θ从0°增加为90°过程中，该矢量三角形的三个顶点应落在一个圆上，如图2所示，重力为圆的直径，由图2可知，FAB一直增加，FAC一直在减小。故选A、D。
2.(2025·合肥模拟)水平传感器可以测量器械摆放
所处的水平角度，属于角度传感器的一种，其作用就
是测量载体的水平度，又叫倾角传感器，如图为一个
简易模型，截面为内壁光滑的竖直放置的正三角形，
内部有一个小球，其半径略小于正三角形内接圆半径，三角形各边均有压力传感器和倾角传感器，信息处理单元能将各边与水平面间的夹角以及所受压力通过显示屏显示出来，图中此时AB边恰好处于水平状态，将其以A为轴在竖直平面内逆时针缓慢转动，在AB边倾角传感器示数θ从0°增大到90°的过程中，下列说法正确的是 ( )
A.AB边压力传感器示数一直增大
B.AC边压力传感器示数先增大后减小
C.BC边压力传感器示数一直增大
D.θ=90°时，AB边与AC边压力传感器示数之比为1∶2
√
解析：对正三角形内部的小球受力分析，如图所示。
缓慢转动过程中，AC、AB边对球的弹力NAC、NBC的方向
总是垂直相应的边，两力夹角保持不变，BC边与球始终
无弹力，由几何关系可知，随着角度θ从0°增大到90°，
角α与角θ之和保持不变，且α+θ=120°，所以角β也保持
60°不变，由平衡条件和正弦定理得==，
所以球对AC边的压力NAC'=NAC=sin θ=mgsin θ，球对AB边的压力NAB'=NAB=sin=mgsin，θ从0°增大到90°的过程中，sin θ一直增大，sin先增大后减小，故AB边压力传感器示数先增大后减小，AC边压力传感器示数一直增大，A、B、C错误；θ=90°时，AB边与AC边压力传感器示数之比为=
==，故选D。
