广东省深圳市深圳外国语学校2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷（含答案）

2025-2026学年深圳外国语学校九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ）
2．如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ）
3．英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成（如图所示）．一个正六边形的内角和的度数是（ ）
A． B．
C． D．
5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为。以，为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
6. 关于的方程根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
7. 如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，，其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3 D.4个
二. 填空题（共5小题，每题3分，共15分）
9. 因式分解： = _______ .
10. 已知，都是实数，且，则 =_______ .
11. 二次函数的图象与轴交点坐标是 _______ .
12. 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小远和小光同学安装的化学实验装置，安装要求为
试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处. 已知试管，，试管倾
斜角为，经测得：，，. 实验时，当导气管紧贴水槽，
延长交的延长线于点，且（点，，，在同一条直线上），线段的长度为
.（结果精确到，参考数据：，，）
13. 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形.
已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么 _______ .
三. 解答题（共7小题，共61分）
14. 计算：；
15. 先化简，再求值：，其中，.
16. 党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．远光教育积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，施老师随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用表示）：，，，，，并绘制出如图的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图1中组所在扇形的圆心角度数为_______ ，并将条形统计图补充完整．
（2）若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．求这组数据的众数和中位数．
（3）若此次竞赛进入初赛后续还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按，，的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小远这三轮的成绩分别为86，89，93，问小远能参加决赛吗？请说明你的理由．
（4）经过初赛，进入决赛的同学有3名女生2名男生，现从这五位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率．
17. 随着新能源汽车的逐渐增加，为加快公共领域充电基础设施建设，远光停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？
18. 如图，是的直径，点在上，为外一点，且，．
（1）求证：直线为的切线．
（2）若，，求的半径．
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
19. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，远光九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
【设计方案求碗里水面的宽度】
素材一： 如图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计)，当碗中盛满水时的最大深度.
素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为45°时停止倾斜.
问题解决
任务一 如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式；
任务二 如图2，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度下降了2cm至线段PQ处，求此时水面宽度PQ的长；
任务三 如图3，把瓷碗绕点B缓慢倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为45°时停止倾斜，求此时碗里水面的宽度CH=__________ cm.
20. 我们知道，一次函数 的图象可以由正比例函数 的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数 的图象向右平移一个长度单位得到；函数 也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用 “描点法” 作出函数 的图象，列表：恰当地选取自变量 的几个值，计算 对应的值．
描点：以表中各对 、 的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线 两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来．
（1）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①函数 的图象是由函数 向 （填 “左” 或 “右”） 平移1个单位得到 ．
②函数 的图象关于点 （填写点的坐标） 中心对称（填写点的坐标）．
（2）一次函数 的图象经过函数 的中心对称点，并且与函数 的图象交于点 ，点 ．当 时， 的取值范围是 ________
（3）如图2，在平面直角坐标系中，点 为原点，矩形 的顶点 ， 的坐标分别为 、．点 是 的中点，连结 ， 交于点 ，函数 的图象经过 ， 两点．
①求出函数 的表达式．
②过线段 中点 的一条直线 与这个函数的图象交于 ， 两点（ 在 右侧），若以 、、、 为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点 的坐标．
2025-2026学年深圳外国语学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C C B C C A
一．选择题（共8小题）
1．解：选项A、B、D的图标都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图标能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2．解：从左边看，是一个矩形，矩形中部靠下有一条横向的虚线．
故选：B．
3．解：．
故选：C．
4．解：正六边形的内角和为，
故选：C．
5．解：∵点A的坐标为(，0)，点C的坐标为(0，3)，
，，
∵四边形OABC是矩形，
(矩形的对边相等)，(矩形的内角等于)，
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转，得到矩形，
，，，
∴A′B′⊥y轴，
∴点的坐标为(3，6)，
故选：B．
6．解：由题知，，
所以方程无实数根．
故选：C．
解：∵四边形 是正方形，，点 是 的中点，
∴，，
∴，
由折叠得 ，，，
∴，，
在 和 中，
，
∴，
∴，
∵，且 ，，
∴，
解得 ，
∴，
故选：。
解：∵抛物线 与 轴交于点 ，（此处可能原文排版问题，推测应为）
∴对称轴为直线 ，
∴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，
∵抛物线交 轴的正半轴，
∴，
∴，故②错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴 ，开口向下，
∴ 时， 有最大值，最大值 ，
∴（ 为任意实数），
（ 为任意实数），故③错误，不符合题意；
④，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
将点 代入 ，
，
，
过点 作 轴交 于点 ，
，
，
，
，
，
，
当 时， 的面积最大，
故④不正确，不符合题意；
故选：．
二．填空题（共5小题）
9．解：
．
故答案为：．
10．解：∵，
∴，，
∴，
将代入，
得：，
∴．
故答案为：64．
11．解：将代入解析式得：，
∴二次函数的图象与轴的交点坐标为．
故答案为：．
12．解：导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在同一条
直线上），
过点作于点，于点，如图：
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
(cm)，
..8(cm)，
故答案为：21.8.
13．解：在中，°，，，
由勾股定理得： ，
是准直角三角形，
∴有以下两种情况：
①当∠AD°时，过点D作于H，如图1所示：
°，
又∵∠AD°，
，
即AD为∠BAC的平分线，
°，于H，
∴CD = DH，
设CD =，
在Rt△ACD和中，
，
(HL)，
，
则BH =， ，
在Rt△BDH中，由勾股定理得：DH ，
即，
解得：x = ，
；
②当∠AD°时，如图2所示：
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
综上所述：或
故答案为：或
三. 解答题（共6小题）
14. 解：原式
15. 解：原式
当中，
原式
16. 解：（1）参加此次竞赛总人数：（人），
组所占百分比：，
组所在扇形的圆心角度数，
组人数：（人），
条形统计图如图所示：
故答案为：54．
（2）排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100，
∴中位数为：，
出现次数最多，
∴众数为96，
综上：众数为96，中位数为95.5；
（3）小远最后得分：，
∴小远能参加决赛．
（4）画树状图如下：
女2女3男1男2女1女3男1男2女1女2男1男2女1女2女3男2……（此处省略部分树状图分支文字）
∴一共有20种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有12种情况，
∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为．
17．解：（1）设乙型充电桩的单价是万元，则甲型充电桩的单价是万元，
∴，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型充电桩的单价为0.8万元，乙型充电桩的单价为0.6万元．
（2）设购买甲型充电桩的数量为个，
，
，
设所需总费用为万元，
由题意得，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，
此时，，
答：远光停车场购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需总费用最少．
18．（1）证明：如图1，连接，则，
，
，
，
，
，
，
故直线为的切线；
（2）解：如图2，连接、，
，，，
，
，
由（1）得 ，
，
又 ，
是等边三角形，
，
故 的半径是4；
（3）解：，，
，
故阴影部分的面积为 。
19. 解：任务一：以碗底 的中点 为原点 ，以 为 轴， 的中垂线 为 轴，建立平面直角坐标系，如图：
瓷碗高度 ，碗口宽 ，碗体 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗中盛满水时的最大深度 ，
由题意得：，，
，
，
设抛物线的解析式为 ，
将点 的坐标代入得：，
解得 。
抛物线解析式为 ；
任务二： 碗中液面高度为 ，，
这时液面的纵坐标为 ，
当时，，
解得，，，
则液面宽度为；
任务三：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点，
由题知，，，
轴，
又，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
，
联立方程组，解得或（舍），
，
。
故答案为：。
20. 解：（1）观察图象并分析表格，
①函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位；
②函数的图象关于点(，1)中心对称
故答案为：(，1)；
（2）或
（3）①将、代入函数可得：
解得：，
，
②为函数的对称中心，
，
，
以、、、为顶点组成的四边形为平行四边形，且
如图所示：
点的坐标为或.