微专题(十一) 动量定理的四种常见题型
|应用动量定理的4点注意|
(1)研究对象可以是单个物体,也可以是多个物体组成的系统。
(2)表达式是矢量式,需要规定正方向。
(3)匀变速直线运动,如果题目不涉及加速度和位移,用动量定理比用牛顿第二定律求解更简捷。
(4)在变加速运动中F为Δt时间内的平均力。
题型1 单方向动量定理
[例1] 如图所示,实线是实验小组某次研究平抛运动得到的实际轨迹,虚线是相同初始条件下平抛运动的理论轨迹。分析后得知这种差异是空气阻力影响的结果。实验中,小球的质量为m,水平初速度为v0,初始时小球离地面高度为h。已知小球落地时速度大小为v,方向与水平面成θ角,小球在运动过程中受到的空气阻力大小与速率成正比,比例系数为k,重力加速度为g。下列说法正确的是 ( )
A.小球落地时重力的功率为mgv
B.小球下落的时间为
C.小球下落过程中的水平位移大小为
D.小球下落过程中空气阻力所做的功为m(v2-)+mgh
听课随笔:
题型2 多过程问题
[例2] (2025·湖北高考)一个宽为L的双轨推拉门由两扇宽为的门板组成。门处于关闭状态,其俯视图如图(a)所示。某同学用与门板平行的水平恒定拉力作用在一门板上,一段时间后撤去拉力,该门板完全运动到另一边,且恰好不与门框发生碰撞,其俯视图如图(b)所示。门板在运动过程中受到的阻力与其重力大小之比为μ,重力加速度大小为g。若要门板的整个运动过程用时尽量短,则所用时间趋近于 ( )
A. B.
C. D.2
听课随笔:
题型3 柱状模型
研究 对象 流体类:液体流、气体流等,通常给出流体的密度ρ
微粒类:电子流、光子流、尘埃等,通常给出单位体积内的微粒数n
分析 步骤 ①建构“柱状”模型:沿流速v的方向选取一段小柱体,其横截面积为S
②微元 研究 小柱体的体积ΔV=vSΔt
小柱体质量m=ρΔV=ρvSΔt
小柱体内微粒数N=nvSΔt
小柱体动量p=mv=ρv2SΔt
③建立方程,应用动量定理FΔt=Δp研究
[例3] (2025·北京高考)关于飞机的运动,研究下列问题。
(1)质量为m的飞机在水平跑道上由静止开始做加速直线运动,当位移为x时速度为v。在此过程中,飞机受到的平均阻力为f,求牵引力对飞机做的功W。
(2)飞机准备起飞,在跑道起点由静止开始做匀加速直线运动。跑道上存在这样一个位置,飞机一旦超过该位置就不能放弃起飞,否则将会冲出跑道。已知跑道的长度为L,飞机加速时加速度大小为a1,减速时最大加速度大小为a2。求该位置距起点的距离d。
(3)无风时,飞机以速率u水平向前匀速飞行,相当于气流以速率u相对飞机向后运动。气流掠过飞机机翼,方向改变,沿机翼向后下方运动,如图所示。请建立合理的物理模型,论证气流对机翼竖直向上的作用力大小F与u的关系满足F∝uα,并确定α的值。
规范解答:
题型4 动量定理在电磁感应中的应用
1.求解电磁感应中的相关物理量
导体棒或金属框在安培力作用下做非匀变速直线运动时,安培力的冲量I安=lBt=Blq,通过导体棒或金属框的电荷量q=Δt=Δt=nΔt=n,磁通量变化量ΔΦ=BΔS=Blx,如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力,则I安=mv2-mv1。当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时选用动量定理求解更方便。
2.求解电荷量q的两种方法
[例4] (2025·海南海口模拟)如图所示,固定在水平面上的光滑金属导轨AB、CD间距为L,导轨一端连接电阻R,垂直于导轨平面向下存在磁感应强度为B的匀强磁场,将一质量为m、电阻为r的导体棒垂直导轨静止放置,用恒力F向右拉动导体棒,经过距离x导体棒恰好达到最大速度,则在此过程中 ( )
A.最大速度v=
B.通过导体棒的电荷量q=
C.从开始至速度最大所用的时间t=+
D.回路产生的焦耳热Q=Fx-
听课随笔:
微专题(十一) 动量定理的四种常见题型
[例1] 选B 小球落地时重力的功率为PG=mgvsin θ,故A错误;小球下落过程在竖直方向根据动量定理可得mvsin θ=mgt-kt,又t=h,解得小球下落的时间为t=,故B正确;小球在水平方向根据动量定理可得mvcos θ-mv0=-kt,又t=x,解得小球下落过程中的水平位移大小为x=,故C错误;小球下落过程根据动能定理可得mv2-m=mgh+Wf,解得小球下落过程中空气阻力所做的功为Wf=mv2-m-mgh,故D错误。
[例2] 选B 设拉力作用时间为t1,撤去拉力后门板运动的时间为t2,门板运动过程的最大速度为vm,根据动量定理,撤去拉力后有μmgt2=mvm,则vm=μgt2,设门板运动的总时间为t,对于全过程,由运动学公式有=,则t=,可知t2越大,t越小,当t2趋近于t时,t取最小值,解得tmin趋近于,故选B。
[例3] 解析:(1)根据动能定理得W-fx=mv2
解得牵引力对飞机做的功W=mv2+fx。
(2)设在该位置速度为vm,
加速过程,根据速度位移关系=2a1d
减速过程,根据速度位移关系=2a2(L-d)
联立解得d=。
(3)在无风的情况下,飞机以速率u水平飞行时,气流相对于飞机的速率也为u,并且气流掠过机翼后方向改变,从而对机翼产生竖直向上的作用力F,设气柱在水平方向投影的面积为S,Δt时间内气流竖直方向的动量变化量为Δp,根据动量定理有
F'·Δt=Δp
又Δp=mΔv,m=ρSΔv·Δt,F=F'
联立可得F=ρSΔv2
又Δv∝u,可知F∝u2,即α=2。
答案:(1)mv2+fx (2) (3)论证见解析 2
[例4] 选C 导体棒达到最大速度时,感应电动势E=BLv,感应电流I=,此时导体棒所受合力为0,则有F=BIL,解得v=,故A错误;感应电动势的平均值==,感应电流的平均值==,解得q=,故B错误;根据动量定理有Ft-BLt=mv,其中t=,解得t=+,故C正确;根据能量守恒定律可知,回路产生的焦耳热Q=Fx-mv2=Fx-,故D错误。
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动量定理的四种常见题型
微专题（十一）
|应用动量定理的4点注意|
(1)研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统。
(2)表达式是矢量式，需要规定正方向。
(3)匀变速直线运动，如果题目不涉及加速度和位移，用动量定理比用牛顿第二定律求解更简捷。
(4)在变加速运动中F为Δt时间内的平均力。
题型1 单方向动量定理
[例1] 如图所示，实线是实验小组某次研究
平抛运动得到的实际轨迹，虚线是相同初始条件
下平抛运动的理论轨迹。分析后得知这种差异是
空气阻力影响的结果。实验中，小球的质量为m，
水平初速度为v0，初始时小球离地面高度为h。已知小球落地时速度大小为v，方向与水平面成θ角，小球在运动过程中受到的空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A.小球落地时重力的功率为mgv
B.小球下落的时间为
C.小球下落过程中的水平位移大小为
D.小球下落过程中空气阻力所做的功为m(v2-)+mgh
√
[解析] 小球落地时重力的功率为PG=mgvsin θ，故A错误；小球下落过程在竖直方向根据动量定理可得mvsin θ=mgt-kt，又t=h，解得小球下落的时间为t=，故B正确；小球在水平方向根据动量定理可得mvcos θ-mv0=-kt，又t=x，解得小球下落过程中的水平位移大小为x=，故C错误；小球下落过程根据动能定理可得mv2-m=mgh+Wf，解得小球下落过程中空气阻力所做的功为Wf=mv2-m-mgh，故D错误。
题型2 多过程问题
[例2] (2025·湖北高考)一个宽为L的双轨推拉门
由两扇宽为的门板组成。门处于关闭状态，其俯视
图如图(a)所示。某同学用与门板平行的水平恒定拉
力作用在一门板上，一段时间后撤去拉力，该门板完全运动到另一边，且恰好不与门框发生碰撞，其俯视图如图(b)所示。门板在运动过程中受到的阻力与其重力大小之比为μ，重力加速度大小为g。若要门板的整个运动过程用时尽量短，则所用时间趋近于( )
A. B. C. D.2
√
[解析] 设拉力作用时间为t1，撤去拉力后门板运动的时间为t2，门板运动过程的最大速度为vm，根据动量定理，撤去拉力后有μmgt2=mvm，则vm=μgt2，设门板运动的总时间为t，对于全过程，由运动学公式有=，则t=，可知t2越大，t越小，当t2趋近于t时，t取最小值，解得tmin趋近于，故选B。
题型3 柱状模型
研究对象 流体类：液体流、气体流等，通常给出流体的密度ρ
微粒类：电子流、光子流、尘埃等，通常给出单位体积内的微粒数n
分析步骤 ①建构“柱状”模型：沿流速v的方向选取一段小柱体，其横截面积为S
②微元研究 小柱体的体积ΔV=vSΔt
小柱体质量m=ρΔV=ρvSΔt
小柱体内微粒数N=nvSΔt
小柱体动量p=mv=ρv2SΔt
③建立方程，应用动量定理FΔt=Δp研究
[例3] (2025·北京高考)关于飞机的运动，研究下列问题。
(1)质量为m的飞机在水平跑道上由静止开始做加速直线运动，当位移为x时速度为v。在此过程中，飞机受到的平均阻力为f，求牵引力对飞机做的功W。
[答案] mv2+fx
[解析] 根据动能定理得W-fx=mv2
解得牵引力对飞机做的功W=mv2+fx。
(2)飞机准备起飞，在跑道起点由静止开始做匀加速直线运动。跑道上存在这样一个位置，飞机一旦超过该位置就不能放弃起飞，否则将会冲出跑道。已知跑道的长度为L，飞机加速时加速度大小为a1，减速时最大加速度大小为a2。求该位置距起点的距离d。
[答案]
[解析] 设在该位置速度为vm，
加速过程，根据速度位移关系=2a1d
减速过程，根据速度位移关系=2a2(L-d)
联立解得d=。
(3)无风时，飞机以速率u水平向前匀速飞行，
相当于气流以速率u相对飞机向后运动。气流掠过
飞机机翼，方向改变，沿机翼向后下方运动，如图
所示。请建立合理的物理模型，论证气流对机翼竖
直向上的作用力大小F与u的关系满足F∝uα，并确
定α的值。
[答案] 论证见解析 2
[解析] 在无风的情况下，飞机以速率u水平飞行时，气流相对于飞机的速率也为u，并且气流掠过机翼后方向改变，从而对机翼产生竖直向上的作用力F，设气柱在水平方向投影的面积为S，Δt时间内气流竖直方向的动量变化量为Δp，根据动量定理有F'·Δt=Δp
又Δp=mΔv，m=ρSΔv·Δt，F=F'
联立可得F=ρSΔv2
又Δv∝u
可知F∝u2，即α=2。
题型4 动量定理在电磁感应中的应用
1.求解电磁感应中的相关物理量
导体棒或金属框在安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量I安=lBt=Blq，通过导体棒或金属框的电荷量q=Δt=Δt=nΔt=n，磁通量变化量ΔΦ=BΔS=Blx，如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安=mv2-mv1。当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时选用动量定理求解更方便。
2.求解电荷量q的两种方法
[例4] (2025·海南海口模拟)如图所示，固定在
水平面上的光滑金属导轨AB、CD间距为L，导轨一
端连接电阻R，垂直于导轨平面向下存在磁感应强度
为B的匀强磁场，将一质量为m、电阻为r的导体棒垂直导轨静止放置，用恒力F向右拉动导体棒，经过距离x导体棒恰好达到最大速度，则在此过程中 ( )
A.最大速度v=
B.通过导体棒的电荷量q=
C.从开始至速度最大所用的时间t=+
D.回路产生的焦耳热Q=Fx-
√
[解析] 导体棒达到最大速度时，感应电动势E=BLv，感应电流I=，此时导体棒所受合力为0，则有F=BIL，解得v=，故A错误；感应电动势的平均值==，感应电流的平均值==，解得q=，故B错误；根据动量定理有Ft-BLt=mv，其中t=，解得t=+，故C正确；根据能量守恒定律可知，回路产生的焦耳热Q=Fx-mv2=Fx-，故D错误。
